2021-2022年高中數(shù)學第二章點直線平面之間的位置關(guān)系3.3直線與平面垂直的性質(zhì)3作業(yè)含解析新人教版必修220220226147

PAGEPAGE6直線與平面垂直的性質(zhì)（45分鐘100分）一、選擇題(每小題6分,共30分)1.下面四個結(jié)論：①若直線a∥平面α,則α內(nèi)任何直線都與a平行;②若直線a⊥平面α,則α內(nèi)任何直線都與a垂直;③若平面α∥平面β,則β內(nèi)任何直線都與α平行;④若平面α⊥平面β,則β內(nèi)任何直線都與α垂直.其中正確的兩個是()A.①與②B.②與③C.③與④D.②與④2.下列四個說法中錯誤的是()A.a⊥α,b⊥α?a∥bB.a⊥α,a∥b?b⊥αC.a⊥α,b∥α?a⊥bD.a⊥α,a⊥b?b∥α3.(2013·杭州高一檢測)在正方體ABCD-A1B1C1D1()A.A1C1⊥ADB.D1C1⊥C.AC1與DC成45°角D.A1C1與B1C成60°4.a,b,c是三條直線,α,β是兩個平面,b?α,c?α,則下列結(jié)論不成立的是()A.若α∥β,c⊥α,則c⊥βB.若α⊥β,則b⊥βC.若a是c在α內(nèi)的射影,a⊥b,則b⊥cD.若b∥c,則c∥α5.(2013·寧德高一檢測)如圖,△ABC中,∠ACB=90°,直線l過點A且垂直于平面ABC,動點P∈l,當點P逐漸遠離點A時,∠PCB的大小()A.變大B.變小C.不變D.有時變大有時變小二、填空題(每小題8分,共24分)6.(2013·鄭州高一檢測)若一個直角在平面α內(nèi)的射影是一個角,則該角最大為.7.從平面外一點P引與平面相交的直線,使點P與交點的距離等于1,若點到平面的距離也為1,則滿足條件的直線條數(shù)可能是條.8.(2012·四川高考)如圖所示,二面角α-l-β的大小是60°,線段AB?α,B∈l,AB與l所成的角為30°,則AB與平面β所成的角的正弦值是.三、解答題(9題,10題14分,11題18分)9.已知ABCD為矩形,SA⊥平面ABCD,過點A作AE⊥SB于點E,過點E作EF⊥SC于點F,如圖所示.(1)求證：AF⊥SC.(2)若平面AEF交SD于點G,求證：AG⊥SD.10.(2013·濰坊高一檢測)如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F,M分別是BB1,CC1與AB的中點,(1)求證：AE∥平面A1DF.(2)求證：A1M⊥(3)正方體棱長為2,求三棱錐A1-DEF的體積.11.(能力挑戰(zhàn)題)如圖,四棱柱ABCD-A′B′C′D′中,側(cè)棱與底面垂直,AB∥CD,AD⊥DC,且AB=AD=1,BC=,AA′=.(1)求證：DB⊥BC′.(2)求二面角A′-BD-C的大小.答案解析1.【解析】選B.①是錯誤的,a與α內(nèi)的一簇平行線平行.②③由線面垂直,面面平行的性質(zhì)可判斷出是正確的.④是錯誤的.2.【解析】選D.根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理可知A正確;對于B,因為a⊥α,又a∥bb⊥α,正確;對于C,因為b∥α,則直線b和平面內(nèi)的一條直線平行,又因為a⊥α,和平面內(nèi)的任意一條直線垂直,故a⊥b,正確;D不正確.3.【解析】選D.如圖,AD和A1C1成45°的角,不垂直;D1C1和AB平行,AC1和DC不成454.【解析】選B.一條直線垂直于兩個平行平面中的一個,則垂直于另一個,故A正確.若c∥α,因為a是c在α內(nèi)的射影,所以c∥a,因為b⊥a,所以b⊥c;若c與α相交,則c與a相交,由線面垂直的性質(zhì)與判定定理知,若b⊥a,則b⊥c,故C正確.因為bα,c?α,b∥c,所以c∥α,故D正確.當α⊥β時,平面α內(nèi)的直線不一定垂直于平面β,故B不成立.【誤區(qū)警示】平面幾何中的一些結(jié)論引用到立體幾何中造成錯誤.對空間中位置關(guān)系的考慮不周,也是造成判斷錯誤的因素.5.【解析】選C.因為∠ACB=90°,所以AC⊥BC,又因為直線l垂直于平面ABC,所以l⊥BC,根據(jù)線面垂直的判定定理可知,BC⊥平面PAC,所以∠PCB=90°,即∠PCB的大小不變.6.【解析】該角最大是平角,即180°.答案：180°【誤區(qū)警示】本題易錯在不考慮特殊情況,當這個直角的射影為一條線時,形成的角為平角.7.【解析】設(shè)P到平面α的距離為d,若d=1,則直線與平面垂直時滿足題意,則只有1條.答案：1【舉一反三】本題若去掉“點到平面的距離也為1”【解析】分三種情況討論,當點到平面的距離為1時,只有一條;當點到平面的距離大于1時,不存在;當點到平面的距離小于1時,有無數(shù)條.8.【解析】如圖,過點A作平面β的垂線,垂足為C,在β內(nèi)過C作l的垂線,垂足為D,連接AD,由線面垂直關(guān)系可知AD⊥l,故∠ADC為二面角α-l-β的平面角,所以∠ADC=60°.連接CB,則∠ABC為AB與平面β所成的角.設(shè)AD=2,則AC=,CD=1,AB==4,所以sin∠ABC=.答案：9.【證明】(1)因為SA⊥平面ABCD,BC平面ABCD,所以SA⊥BC.又BC⊥AB,SA∩AB=A,所以BC⊥平面SAB,AE平面SAB.所以BC⊥AE.又AE⊥SB,BC∩SB=B.所以有AE⊥平面SBC,又SC平面SBC,所以AE⊥SC.又EF⊥SC,AE∩EF=E,所以SC⊥平面AEF,AF平面AEF,所以AF⊥SC.(2)因為SC⊥平面AEF,AG平面AEF,所以SC⊥AG,又CD⊥AD,CD⊥SA,AD∩SA=A.所以CD⊥平面SAD,又因為AG平面SAD.所以CD⊥AG,又SC∩CD=C,所以AG⊥平面SDC.又SD平面SDC,所以AG⊥SD.【變式訓練】已知a,b,c是平面α內(nèi)相交于一點O的三條直線,而直線l和平面α相交,并且和a,b,c三條直線成等角.求證：l⊥α.【證明】分別在a,b,c上取點A,B,C并使AO=BO=CO.設(shè)l經(jīng)過O,在l上取一點P,在△POA,△POB,△POC中,因為PO=PO=PO,AO=BO=CO,∠POA=∠POB=∠POC,所以△POA≌△POB≌△POC.所以PA=PB=PC.取AB的中點D,連接OD,PD,則OD⊥AB,PD⊥AB.因為PD∩OD=D,所以AB⊥平面POD.因為PO平面POD,所以PO⊥AB.同理,可證PO⊥BC.因為ABα,BCα,AB∩BC=B,所以PO⊥α,即l⊥α.若l不經(jīng)過點O時,可經(jīng)過點O作l′∥l.用上述方法證明l′⊥α,所以l⊥α.10.【解題指南】證明線面平行和線面垂直一般利用其判定定理;求三棱錐的體積一般采用等積法.【解析】(1)在正方體中,因為E,F分別是BB1,CC1的中點,所以EFBC.又因為ADBC,所以EFAD.所以四邊形AEFD是平行四邊形,所以AE∥DF.因為AE?平面A1DF,DF平面A1DF,所以AE∥平面A1DF.(2)因為AD⊥平面ABB1A1,A1M平面ABB1A所以AD⊥A1M.所以在正方形ABB1A1中,M,E分別是AB與BB所以△AA1M≌△BAE,所以∠BAE=∠AA1因為∠BAE+∠A1AO=90°,所以∠AA1M+∠A1AO=90°,所以A1M因為AD∩AE=A,所以A1M⊥(3)×AD=.11.【解析】(1)作BM⊥CD,垂足為M,連接AM.因為AB∥CD,AD⊥DC,BM⊥CD,且AB=AD=1,所以四邊形ABMD是正方形,所以BM=DM=1,所以BD=.又因為BC=,所以CM==1,所以CD=2,所以CD2=BD2+BC2,所以DB⊥BC.又因為CC′⊥平面ABCD,所以C′C⊥BD,又C′C∩BC=C,所以BD⊥平面BCC′.又因為BC′平面BCC′,所以DB⊥BC′.(2)設(shè)AM與BD交于點E,連接A′E.由(1)知,ME⊥BD,且DE=BE