初中數(shù)學(xué)最基本的數(shù)學(xué)思想方法

初中數(shù)學(xué)中的主要數(shù)學(xué)思想方法初中數(shù)學(xué)中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想很多，其中最主要的數(shù)學(xué)思想方法包括轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、函數(shù)與方程思想等.(1)轉(zhuǎn)化思想.轉(zhuǎn)化思想就是人們將需要解決的問題，通過演繹、歸納等轉(zhuǎn)化手段，歸結(jié)為另一種相對(duì)容易解決或已經(jīng)有解決方法的問題，從而使原來的問題得到解決.轉(zhuǎn)化思想體現(xiàn)在數(shù)學(xué)解題過程中就是將未知的、陌生的、復(fù)雜的問題通過演繹和歸納轉(zhuǎn)化為已知的、熟悉的、簡(jiǎn)單的問題.初中數(shù)學(xué)中諸如化繁為簡(jiǎn)、化難為易、化未知為已知等均是轉(zhuǎn)化思想的具體體現(xiàn).具體而言，代數(shù)式中加法與減法的轉(zhuǎn)化，乘法與除法的轉(zhuǎn)化，用換元法解方程，在幾何中添加輔助線，將四邊形的問題轉(zhuǎn)化為三角形的問題，將一些角轉(zhuǎn)化為圓周角并利用圓的知識(shí)解決問題等等都體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想.在初中數(shù)學(xué)中，轉(zhuǎn)化思想運(yùn)用的最為廣泛.(2)數(shù)形結(jié)合思想.數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界空間形式和數(shù)量關(guān)系的科學(xué)，因而，在某種程度上可以說數(shù)學(xué)研究是圍繞著數(shù)與形展開的.初中數(shù)學(xué)中的“數(shù)”就是代數(shù)式、方程、函數(shù)、不等式等符號(hào)表達(dá)式，初中數(shù)學(xué)中的“形”就是圖形、圖象、曲線等形象表達(dá)式.數(shù)形結(jié)合思想的實(shí)質(zhì)是將抽象的數(shù)學(xué)語言(“數(shù)”)與直觀的圖象(“形“)結(jié)合起來，數(shù)形結(jié)合思想的關(guān)鍵就是抓住“數(shù)”與“形”之間本質(zhì)上的聯(lián)系，以“形”直觀地表達(dá)“數(shù)”，以“數(shù)”精確地研究“形”，實(shí)現(xiàn)代數(shù)與幾何之間的相互轉(zhuǎn)化.數(shù)形結(jié)合思想包括“以形助數(shù)”和“以數(shù)輔形”兩個(gè)方面，它可以使代數(shù)問題幾何化，幾何問題代數(shù)化.“數(shù)無形時(shí)不直觀，形無數(shù)時(shí)難入微.”數(shù)形結(jié)合是研究數(shù)學(xué)、解決數(shù)學(xué)問題的重要思想，在初中數(shù)學(xué)中有著廣泛應(yīng)用.譬如，在初中數(shù)學(xué)中，通過數(shù)軸將數(shù)與點(diǎn)對(duì)應(yīng)，通過直角坐標(biāo)系將函數(shù)與圖象對(duì)應(yīng)均體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.再比如，用數(shù)形結(jié)合的思想學(xué)習(xí)相反數(shù)、絕對(duì)值等概念，學(xué)習(xí)有理數(shù)大小比較的法則，研究函數(shù)的性質(zhì)等，從形象思維過渡到抽象思維，從而顯著降低了學(xué)習(xí)難度.(3)分類討論思想.分類討論思想就是根據(jù)數(shù)學(xué)對(duì)象本質(zhì)屬性的共同點(diǎn)和差異點(diǎn)，將數(shù)學(xué)對(duì)象區(qū)分為不同的種類.分類是以比較為基礎(chǔ)的，它有助于揭示數(shù)學(xué)對(duì)象之間的內(nèi)在聯(lián)系與規(guī)律，有助于學(xué)生總結(jié)歸納數(shù)學(xué)知識(shí)、解決數(shù)學(xué)問題.譬如，初中數(shù)學(xué)從整體上看分為代數(shù)、幾何、概率統(tǒng)計(jì)等幾大版塊，并分別采用不同方法進(jìn)行研究，就是分類思想的體現(xiàn).具體而言，實(shí)數(shù)的分類，方程的分類、三角形的分類、函數(shù)的分類、統(tǒng)計(jì)量的分類等等，都是分類思想的具體體現(xiàn).分類思想在初中數(shù)學(xué)中有大量運(yùn)用，從初中數(shù)學(xué)內(nèi)容的組織與展開到數(shù)學(xué)概念的界定與劃分再到數(shù)學(xué)問題的分析與解決都大量運(yùn)用著分類思想.(4)函數(shù)與方程思想.函數(shù)與方程思想就是用函數(shù)的觀點(diǎn)和方法分析問題、解決問題.函數(shù)思想是客觀世界中事物運(yùn)動(dòng)變化、相互聯(lián)系、相互制約的普遍規(guī)律在數(shù)學(xué)中的具體反映.函數(shù)與方程思想的本質(zhì)是變量之間的對(duì)應(yīng)，即用變化的觀點(diǎn)和函數(shù)的形式將所研究的數(shù)量關(guān)系表示出來，然后用函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行研究，從而使問題獲得解決.如果函數(shù)的形式用解析式的方式表示，那么就可以將函數(shù)解析式看作方程，并通過解方程和對(duì)方程的研究使問題得到解決，這就是方程思想.譬如初中數(shù)學(xué)中大量涉及一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)等內(nèi)容的數(shù)學(xué)問題都要用到函數(shù)與方程思想來解決.由于函數(shù)思想與方程思想的內(nèi)容和形式相一致，因而往往將其并稱為函數(shù)與方程思想，并將二者結(jié)合學(xué)習(xí)與運(yùn)用.除上述幾種主要的數(shù)學(xué)思想之外，初中數(shù)學(xué)中還有集合思想、對(duì)應(yīng)思想、符號(hào)化思想、公理化思想等.初中數(shù)學(xué)主要包括如下基本的數(shù)學(xué)方法：（1）幾種重要的科學(xué)思維方法：比較與分類、觀察與嘗試、分析與綜合、概括與抽象、特殊與一般、歸納與類比等；（2）幾種重要的推理方法：完全歸納法、綜合法、分析法、反證法、演繹法等；（3）幾種常用的求解方法：待定系數(shù)法、數(shù)學(xué)建模法、配方法、消元法、換元法、構(gòu)造法、坐標(biāo)法、參數(shù)法等.1、配方法所謂配方，就是把一個(gè)解析式利用恒等變形的方法，把其中的某些項(xiàng)配成一個(gè)或幾個(gè)多項(xiàng)式正整數(shù)次冪的和形式。通過配方解決數(shù)學(xué)問題的方法叫配方法。其中，用的最多的是配成完全平方式。配方法是數(shù)學(xué)中一種重要的恒等變形的方法，它的應(yīng)用十分非常廣泛，在因式分解、化簡(jiǎn)根式、解方程、證明等式和不等式、求函數(shù)的極值和解析式等方面都經(jīng)常用到它。2、因式分解法因式分解，就是把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式乘積的形式。因式分解是恒等變形的基礎(chǔ)，它作為數(shù)學(xué)的一個(gè)有力工具、一種數(shù)學(xué)方法在代數(shù)、幾何、三角等的解題中起著重要的作用。因式分解的方法有許多，除中學(xué)課本上介紹的提取公因式法、公式法、分組分解法、十字相乘法等外，還有如利用拆項(xiàng)添項(xiàng)、求根分解、換元、待定系數(shù)等等。3、換元法換元法是數(shù)學(xué)中一個(gè)非常重要而且應(yīng)用十分廣泛的解題方法。我們通常把未知數(shù)或變數(shù)稱為元，所謂換元法，就是在一個(gè)比較復(fù)雜的數(shù)學(xué)式子中，用新的變?cè)ゴ嬖降囊粋€(gè)部分或改造原來的式子，使它簡(jiǎn)化，使問題易于解決。4、判別式法與韋達(dá)定理一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c屬于R，a于0根的判別，△=b2-4ac，不僅用來判定根的性質(zhì)，而且作為一種解題方法，在代數(shù)式變形，解方程（組），解不等式，研究函數(shù)乃至幾何、三角運(yùn)算中都有非常廣泛的應(yīng)用。韋達(dá)定理除了已知一元二次方程的一個(gè)根，求另一根；已知兩個(gè)數(shù)的和與積，求這兩個(gè)數(shù)等簡(jiǎn)單應(yīng)用外，還可以求根的對(duì)稱函數(shù)，計(jì)論二次方程根的符號(hào)，解對(duì)稱方程組，以及解一些有關(guān)二次曲線的問題等，都有非常廣泛的應(yīng)用。5、待定系數(shù)法在解數(shù)學(xué)問題時(shí)，若先判斷所求的結(jié)果具有某種確定的形式，其中含有某些待定的系數(shù)，而后根據(jù)題設(shè)條件列出關(guān)于待定系數(shù)的等式，最后解出這些待定系數(shù)的值或找到這些待定系數(shù)間的某種關(guān)系，從而解答數(shù)學(xué)問題，這種解題方法稱為待定系數(shù)法。它是中學(xué)數(shù)學(xué)中常用的方法之一。6、構(gòu)造法在解題時(shí)，我們常常會(huì)采用這樣的方法，通過對(duì)條件和結(jié)論的分析，構(gòu)造輔助元素，它可以是一個(gè)圖形、一個(gè)方程（組）、一個(gè)等式、一個(gè)函數(shù)、一個(gè)等價(jià)命題等，架起一座連接條件和結(jié)論的橋梁，從而使問題得以解決，這種解題的數(shù)學(xué)方法，我們稱為構(gòu)造法。運(yùn)用構(gòu)造法解題，可以使代數(shù)、三角、幾何等各種數(shù)學(xué)知識(shí)互相滲透，有利于問題的解決。7、反證法反證法是一種間接證法，它是先提出一個(gè)與命題的結(jié)論相反的假設(shè)，然后，從這個(gè)假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過正確的推理，導(dǎo)致矛盾，從而否定相反的假設(shè)，達(dá)到肯定原命題正確的一種方法。反證法可以分為歸謬反證法（結(jié)論的反面只有一種）與窮舉反證法（結(jié)論的反而不只一種）。用反證法證明一個(gè)命題的步驟，大體上分為：（1）反設(shè)；（2）歸謬；（3）結(jié)論。反設(shè)是反證法的基礎(chǔ)，為了正確地作出反設(shè)，掌握一些常用的互為否定的表述形式是有必要的，例如：是、不是；存在、不存在；平行于、不平行于；垂直于、不垂直于；等于、不等于；大（?。┯?、不大（小）于；都是、不都是；至少有一個(gè)、一個(gè)也沒有；至少有n個(gè)、至多有（n—1）個(gè)；至多有一個(gè)、至少有兩個(gè)；唯一、至少有兩個(gè)。歸謬是反證法的關(guān)鍵，導(dǎo)出矛盾的過程沒有固定的模式，但必須從反設(shè)出發(fā)，否則推導(dǎo)將成為無源之水，無本之木。推理必須嚴(yán)謹(jǐn)。導(dǎo)出的矛盾有如下幾種類型：與已知條件矛盾；與已知的公理、定義、定理、公式矛盾；與反設(shè)矛盾；自相矛盾。8、面積法平面幾何中講的面積公式以及由面積公式推出的與面積計(jì)算有關(guān)的性質(zhì)定理，不僅可用于計(jì)算面積，而且用它來證明平面幾何題有時(shí)會(huì)收到事半功倍的效果。運(yùn)用面積關(guān)系來證明或計(jì)算平面幾何題的方法，稱為面積方法，它是幾何中的一種常用方法。用歸納法或分析法證明平面幾何題，其困難在添置輔助線。面積法的特點(diǎn)是把已知和未知各量用面積公式聯(lián)系起來，通過運(yùn)算達(dá)到求證的結(jié)果。所以用面積法來解幾何題，幾何元素之間關(guān)系變成數(shù)量之間的關(guān)系，只需要計(jì)算，有時(shí)可以不添置補(bǔ)助線，即使需要添置輔助線，也很容易考慮到。9、幾何變換法在數(shù)學(xué)問題的研究中，常常運(yùn)用變換法，把復(fù)雜性問題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單性的問題而得到解決。所謂變換是一個(gè)集合的任一元素到同一集合的元素的一個(gè)一一映射。中學(xué)數(shù)學(xué)中所涉及的變換主要是初等變換。有一些看來很難甚至于無法下手的習(xí)題，可以借助幾何變換法，化繁為簡(jiǎn)，化難為易。另一方面，也可將變換的觀點(diǎn)滲透到中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中。將圖形從相等靜止條件下的研究和運(yùn)動(dòng)中的研究結(jié)合起來，有利于對(duì)圖形本質(zhì)的認(rèn)識(shí)。幾何變換包括：（1）平移；（2）旋轉(zhuǎn)；（3）軸對(duì)稱。10、客觀性題的解題方法選擇題是給出條件和結(jié)論，要求根據(jù)一定的關(guān)系找出正確答案的一類題型。選擇題的題型構(gòu)思精巧，形式靈活，可以比較全面地考察學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，從而增大了試卷的容量和知識(shí)覆蓋面。填空題是標(biāo)準(zhǔn)化考試的重要題型之一，它同選擇題一樣具有考查目標(biāo)明確，知識(shí)復(fù)蓋面廣，評(píng)卷準(zhǔn)確迅速，有利于考查學(xué)生的分析判斷能力和計(jì)算能力等優(yōu)點(diǎn)，不同的是填空題未給出答案，可以防止學(xué)生猜估答案的情況。要想迅速、正確地解選擇題、填空題，除了具有準(zhǔn)確的計(jì)算、嚴(yán)密的推理外，還要有解選擇題、填空題的方法與技巧。下面通過實(shí)例介紹常用方法。（1）直接推演法，直接從命題給出的條件出發(fā)，運(yùn)用概念、公式、定理等進(jìn)行推理或運(yùn)算，得出結(jié)論，選擇正確答案，這就是傳統(tǒng)的解題方法，這種解法叫直接推演法。（2）驗(yàn)證法：由題設(shè)找出合適的驗(yàn)證條件，再通過驗(yàn)證，找出正確答案，亦可將供選擇的答案代入條件中去驗(yàn)證，找出正確答案，此法稱為驗(yàn)證法（也稱代入法）。當(dāng)遇到定量命題時(shí)，常用此法。（3）特殊元素法：用合適的特殊元素（如數(shù)或圖形）代入題設(shè)條件或結(jié)論中去，從而獲得解答。這種方法叫特殊元素法。（4）排除、篩選法：對(duì)于正確答案有且只有一個(gè)的選擇題，根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)或推理、演算，把不正確的結(jié)論排除，余下的結(jié)論再經(jīng)篩選，從而作出正確的結(jié)論的解法叫排除、篩選法。（5）圖解法：：借助于符合題設(shè)條件的圖形或圖象的性質(zhì)、特點(diǎn)來判斷，作出正確的選擇稱為圖解法。圖解法是解選擇題常用方法之一。（6）分析法：直接通過對(duì)選擇題的條件和結(jié)論，作詳盡的分析、歸納和判斷，從而選出正確的結(jié)果，稱為分析法。喬治?波利亞（GPolya,1887-1985年）出生于匈牙利布達(dá)佩斯。上中學(xué)時(shí)，他就是一個(gè)很有上進(jìn)心的學(xué)生。但每當(dāng)遇到較難的數(shù)學(xué)題時(shí)，他也時(shí)常感到困惑:“這個(gè)解答好像還行，它看起來是正確的，但怎樣才能想到這樣的解答呢？這個(gè)結(jié)論好像還行，它看起來是個(gè)事實(shí)，但別人是怎樣發(fā)現(xiàn)這個(gè)事實(shí)的？我自己怎樣才能想出或發(fā)現(xiàn)他們呢？”波利亞帶著一連串的困惑與1905年走進(jìn)了布達(dá)佩斯大學(xué)，并在那里獲得博士學(xué)位。之后，波利亞先后到哥廷根大學(xué)、巴黎大學(xué)、瑞士聯(lián)邦工學(xué)院進(jìn)行數(shù)學(xué)研究或任教。1940年移居美國(guó)，并在斯坦福大學(xué)任教，直到退休。無論在學(xué)習(xí)期間或任教期間，波利亞始終不忘研究少年時(shí)學(xué)數(shù)學(xué)所遇到的困惑。1944年8月，波利亞終于將他的研究成果公布于世，這就是名著《怎樣解題表》。該書出版后，不脛而走，迅速傳遍全世界。直到今天，該書仍被各國(guó)數(shù)學(xué)教育界奉為經(jīng)典。波利亞在《HowToSolveIt》中另外還舉了下面這個(gè)例子:一個(gè)原始人站在一條小溪前，他想要越過這條小溪，但溪水經(jīng)過昨天一夜，已經(jīng)漲了上來；因此他面臨一個(gè)問題：如何越過這條小溪。他聯(lián)想起以前曾經(jīng)從一棵倒下并橫在河上的樹木上走過去，于是他的問題變成了如何找到這樣一顆倒下并橫在溪流上的樹木。他環(huán)顧四周，發(fā)現(xiàn)溪流上沒有這樣的橫著的樹木,但他發(fā)現(xiàn)周圍倒是有不少生長(zhǎng)著的樹木；于是問題再次變成了：如何使這些樹木躺到溪流上。在這個(gè)想像的故事中我們看到了一個(gè)問題是如何被一步步歸約的：首先，原始人通過對(duì)一個(gè)已知的類似問題的聯(lián)想認(rèn)識(shí)到一個(gè)重要的性質(zhì):如果有一棵樹橫在河上，我就可以借助這棵樹過河。這就將一個(gè)無法直接解決的問題轉(zhuǎn)化為了一個(gè)新的、已知的、并容易解決的問題。反過來推導(dǎo)。反過來推導(dǎo)是一種極其重要的啟發(fā)法，正如前面提到的，Pappus在他的宏篇巨著中將這種手法總結(jié)為解題的最重要手法。實(shí)際上，反向解題隱含了解題中至為深刻的思想：歸約。歸約是一種極為重要的手法，一個(gè)著名的關(guān)于歸約的笑話這樣說：有一位數(shù)學(xué)家失業(yè)了，去當(dāng)消防員。經(jīng)過了一些培訓(xùn)之后，正式上任之前，訓(xùn)練的人考他：如果房子失火了怎么辦？數(shù)學(xué)家答出了所有的正確步驟。訓(xùn)練人又問他：如果房子沒失火呢？數(shù)學(xué)家答：那我就把房子點(diǎn)燃，這樣我就把它歸約為了一個(gè)已知問題。人類思維本質(zhì)上善于“順著”推導(dǎo)，從一組條件出發(fā)，運(yùn)用必然的邏輯關(guān)系，得出推論。然而，如果要求的未知量與已知量看上去相隔甚遠(yuǎn)，這個(gè)時(shí)候順著推實(shí)際上就是運(yùn)用另一個(gè)啟發(fā)式方法一一試錯(cuò)一一了。雖然試錯(cuò)是最常用，又是也是最有效的啟發(fā)法，然而試錯(cuò)卻并不是最高效的。對(duì)于許多題目而言，其要求的結(jié)論本身就隱藏了推論，不管這個(gè)推論是充分的還是必要的，都很可能對(duì)解題有幫助。如果從結(jié)論能夠推導(dǎo)出一個(gè)充要推論，那么實(shí)際上我們就將問題進(jìn)行了一次“雙向”歸約，如果原問題不容易解決，那么歸約后的問題也許就容易解決了，通過一層層的歸約，讓邏輯的枝蔓從結(jié)論上一節(jié)節(jié)的生長(zhǎng)，我們往往會(huì)發(fā)現(xiàn)，離已知量越來越近。此外，即便是從結(jié)論推導(dǎo)出的必要非充分推論（“單向”歸約），對(duì)問題也是有幫助的一一任何不滿足這個(gè)推論的方案都不是問題的解：“怎樣解題表”就是《怎樣解題》一書的精華，該表被波利亞排在該書的正文之前，并且在書中再三提到該表。實(shí)際上，該書就是“怎樣解題表”的詳細(xì)解釋。波利亞的“怎樣解題表”將解題過程分成了四個(gè)步驟，只要解題時(shí)按這四個(gè)步驟去做，必能成功。同學(xué)們?nèi)绻茉谄綍r(shí)的做題中不斷實(shí)踐和體會(huì)該表，必能很快就會(huì)發(fā)出和波利亞一樣的感嘆:“學(xué)數(shù)學(xué)是一種樂趣！”第一，你必須弄清問題弄清問題未知數(shù)是什么?已知數(shù)據(jù)（指已知數(shù)、已知圖形和已知事項(xiàng)等的統(tǒng)稱）是什么？條件是什么？滿足條件是否可能？要確定未知數(shù)，條件是否充分?或者它是否不充分？或者是多余的？或者是矛盾的?畫張圖。（線段圖、幾何圖形、示意圖、表格、語言化等式、等。）（“規(guī)范”有助于我們的思考。如果你畫的圖讓你自己都看不清，解決問題時(shí)恐怕也要自找麻煩。）引入適當(dāng)?shù)姆?hào)。（數(shù)學(xué)符號(hào)是數(shù)學(xué)建模的基礎(chǔ)）（“能用數(shù)學(xué)符號(hào)表示”你離“做出題目”的目標(biāo)就只差一半了。）把條件的各個(gè)部分分開。你能否把它們寫下來？（“熟悉條件”是做題的必要前提條件）第二，找出已知數(shù)與求知數(shù)之間的聯(lián)系。如果找不出直接的聯(lián)系，你可能不得不考慮輔助問題你應(yīng)該最終得出一個(gè)求解的計(jì)劃。擬定計(jì)劃你以前見過它嗎？你是否見過相同的問題而形式稍有不同？你是否知道與此有關(guān)的問題？你是否知道一個(gè)可能用得上的定理？看著未知數(shù)！試想出一個(gè)具有相同未知數(shù)或相似未知數(shù)的熟悉的問題。這里有一個(gè)與你現(xiàn)在的問題有關(guān)，且早已解決的問題，你能應(yīng)用它嗎？（轉(zhuǎn)化成做過的、或熟悉的問題。）你能不能利用它？你能利用它的結(jié)果嗎？為了能利用它，你是否應(yīng)該引入某些輔助元素？（用做過的、熟悉的，為模型，其實(shí)就是化未知為己知、化陌生為熟悉。）你能不能重新敘述這個(gè)問題？你能不能用不同的方法重新敘述它？（換一種方法就是，換一種思路。做題時(shí)，愛一條道走到黑！這是一種錯(cuò)誤。）回到定義去。（注意基本方法，對(duì)處理問題的方法要認(rèn)真總結(jié)。應(yīng)試教育的題目經(jīng)常是要回歸課本與基礎(chǔ)。）如果你不能解決所提出的問題，可先解決一個(gè)與此有關(guān)的問題。你能不能想出一個(gè)更容易著手的有關(guān)問題？一個(gè)更普遍的問題？一個(gè)更特殊的問題？一個(gè)類比的問題？你能否解決這個(gè)問題的一部分？?jī)H僅保持條件的一部分而舍去其余部分，這樣對(duì)于未知能確定到什么程度？它會(huì)怎樣變化？（釜底抽薪、挖墻腳！傷其十指不如斷其一指。再難的題目只要不超過我們所掌握的知識(shí)系統(tǒng)，我們總是可以解決其中的容易之處的。滴水石穿！不要怕難題?。┠隳懿荒軓囊阎獢?shù)據(jù)導(dǎo)出某些有用的東