第四章1-2隨機(jī)變量的數(shù)字特征

第四章隨機(jī)變量的數(shù)字特征4.1數(shù)學(xué)期望4.2方差4.1.1一維離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望4.1.2一維連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望4.1.3二維隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望引例1分賭本問題(產(chǎn)生背景)

A,B兩人賭技相同,各出賭金100元,并約定先勝三局者為勝,取得全部200元.由于出現(xiàn)意外情況,在A勝2局B勝1局時(shí),不得不終止賭博,如果要分賭金,該如何分配才算公平?4.1.1一維離散型數(shù)學(xué)期望的概念

4.1數(shù)學(xué)期望A勝2局B勝1局前三局:后二局:把已賭過的三局(A勝2局B勝1局)與上述結(jié)果相結(jié)合,即A、B賭完五局,AAAB

BABBA勝B勝分析假設(shè)繼續(xù)賭兩局,則結(jié)果有以下四種情況:AAA

B

BABBA勝B負(fù)A勝B負(fù)B勝A負(fù)B勝A負(fù)因此,A能“期望”得到的數(shù)目應(yīng)為而B能“期望”得到的數(shù)目,則為故有,在賭技相同的情況下,A,B最終獲勝的可能性大小之比為即A應(yīng)獲得賭金的而B只能獲得賭金的因而A期望所得的賭金即為X的“期望”值,X

的可能值與其概率之積的累加.即為若設(shè)隨機(jī)變量X為:在A勝2局B勝1局的前提下,繼續(xù)賭下去A最終所得的賭金.則X所取可能值為:其概率分別為:設(shè)甲、乙兩工人在相同條件下生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，

甲一天內(nèi)生產(chǎn)的廢品數(shù)為X，乙一天內(nèi)生產(chǎn)的廢品數(shù)為Y，經(jīng)過長期觀察，得X，Y的分布如下：引例2技術(shù)高低問題?誰的水平更高一些？在同一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)下(比如假設(shè)讓甲、乙兩人在相同條件下各工作100天)，以乙生產(chǎn)的廢品數(shù)(或平均每天生產(chǎn)的廢品數(shù))來衡量技術(shù)高低。由概率統(tǒng)計(jì)定義，甲生產(chǎn)0個(gè)，1個(gè)，2個(gè)，3個(gè)次品的天數(shù)為30，30，2020.故甲平均每天生產(chǎn)的次品數(shù)：同樣可以得到乙平均每天生產(chǎn)的次品數(shù)因此乙的技術(shù)要好一些。關(guān)于定義的幾點(diǎn)說明(1)E(X)是一個(gè)實(shí)數(shù),而非變量,它是一種加權(quán)平均,與一般的平均值不同,它從本質(zhì)上體現(xiàn)了隨機(jī)變量X取可能值的真正的平均值,也稱均值.(2)級(jí)數(shù)的絕對(duì)收斂性保證了級(jí)數(shù)的和不隨級(jí)數(shù)各項(xiàng)次序的改變而改變,之所以這樣要求是因?yàn)閿?shù)學(xué)期望是反映隨機(jī)變量X取可能值的平均值,它不應(yīng)隨可能值的排列次序而改變.例1

設(shè)X服從參數(shù)為的泊松分布，求X的數(shù)學(xué)期望。解：例2

如何確定投資決策方向?

某人有10萬元現(xiàn)金，想投資于某項(xiàng)目，預(yù)估成功的機(jī)會(huì)為30%，可得利潤8萬元，失敗的機(jī)會(huì)為70%，將損失2萬元．若存入銀行，同期間的利率為5%，問是否作此項(xiàng)投資?解設(shè)X為投資利潤，則存入銀行的利息:故應(yīng)選擇投資.例3商店的銷售策略解例4

隨機(jī)變量的函數(shù)的數(shù)學(xué)期望設(shè)X的分布密度為:求4X+5的數(shù)學(xué)期望。解：先求出4X+5分布一般地，若X的分布為：4.1.2一維連續(xù)型數(shù)學(xué)期望的概念

解例5

設(shè)X服從[a,b]上的均勻分布，求E(X).例6解：E(X)與離散型隨機(jī)變量類似，則Y的數(shù)學(xué)期望為：例7解：4.1.3二維隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望

例8解：由(X,Y)的分布密度可得Z的分布密度例91.設(shè)C是常數(shù),則有證明3.設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變量,C是常數(shù),則有例如可以證明，數(shù)學(xué)期望的有如下性質(zhì)：2.設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變量,C是常數(shù),則有4.設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變量,k,b是常數(shù),則有5.設(shè)X,Y是兩個(gè)隨機(jī)變量,則有推廣：6.設(shè)X,Y是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量,則有通常想法：引例1：有甲、乙兩射手，他們每次命中的環(huán)數(shù)分別用X、Y表示，已知X、Y分布列如下：試問：甲、乙兩人誰的技術(shù)更穩(wěn)定些？89100.20.60.289100.10.80.1在技術(shù)水平相同的條件下，比較一下誰的技術(shù)更穩(wěn)定些。一、方差的概念4.2方差衡量辦法：看誰命中的環(huán)數(shù)比較集中于平均值附近，或偏離平均值程度較小。89100.20.60.289100.10.80.1所以乙射手要比甲射手的技術(shù)穩(wěn)定些。定義

X的標(biāo)準(zhǔn)差：設(shè)X為一隨機(jī)變量，若存在，則稱其為X的方差，記作即定義：[注1]：方差刻劃了X取值的分散（或集中）程度.[注2]：方差是一個(gè)常用來體現(xiàn)隨機(jī)變量X取值分散程度的量.如果D(X)值大,表示X取值分散程度大,E(X)的代表性差;而如果D(X)值小,則表示X的取值比較集中,以E(X)作為隨機(jī)變量的代表性好.二、方差的性質(zhì)(1)設(shè)C是常數(shù),則有(2)設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變量,C是常數(shù),則有證明(3)設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變量,c是常數(shù),則證明(4)設(shè)X,Y相互獨(dú)立,D(X),D(Y)存在,則證明推廣離散型隨機(jī)變量的方差連續(xù)型隨機(jī)變量的方差三、隨機(jī)變量方差的計(jì)算

(1)利用定義計(jì)算

證明(2)利用公式計(jì)算例1計(jì)算參數(shù)為p的0-1分布的方差

解