第四章系統(tǒng)運(yùn)動的穩(wěn)定性

第四章系統(tǒng)運(yùn)動的穩(wěn)定性

外部穩(wěn)定性

Lyapunov意義下的穩(wěn)定性問題Lyapunov穩(wěn)定性理論線性系統(tǒng)的Lyapunov穩(wěn)定性分析Lyapunov函數(shù)的構(gòu)造問題離散系統(tǒng)的狀態(tài)運(yùn)動穩(wěn)定性及判據(jù)Lyapunov函數(shù)的存在性通常情況下，可以采取兩種方式來定義系統(tǒng)的穩(wěn)定性，一個是通過輸入輸出這兩個外部變量之間的關(guān)系來表征的外部穩(wěn)定性，另外一種是通過零輸入狀態(tài)運(yùn)動的響應(yīng)來表征的內(nèi)部穩(wěn)定性。因?yàn)橛奢斎胼敵霰碚鞯耐獠棵枋鍪窍到y(tǒng)的一種不完全的描述，所以由這種關(guān)系來表征的外部穩(wěn)定性也是不能完全反應(yīng)出系統(tǒng)運(yùn)動的穩(wěn)定特性，只有在一定的條件下，系統(tǒng)的外部穩(wěn)定性才有可能是完全的，也就是等價(jià)于系統(tǒng)的內(nèi)部穩(wěn)定性。第一節(jié)

外部穩(wěn)定性定義：考慮線性因果系統(tǒng)，如果對應(yīng)于一個有界的輸入u(t)，即滿足其輸出y(t)也是有界的，即則稱此因果系統(tǒng)是外部穩(wěn)定的，或有界輸入有界輸出穩(wěn)定的，記為BIBO穩(wěn)定。解釋：因果系統(tǒng)：就是說系統(tǒng)的輸出只和當(dāng)前時刻及其以前各個時刻的輸入有關(guān)，而與以后時刻的輸入無關(guān)。在討論系統(tǒng)的外部穩(wěn)定性時，必須假設(shè)系統(tǒng)的初始條件為零，這是因?yàn)橹挥性谶@種情況下，系統(tǒng)的輸入輸出外部描述才是唯一的，有意義的。根據(jù)脈沖響應(yīng)矩陣來判別系統(tǒng)的外部穩(wěn)定性Case1.SISO系統(tǒng)利用脈沖響應(yīng)矩陣，寫出系統(tǒng)的輸出:當(dāng)輸入有界，可導(dǎo)出系統(tǒng)的輸出要想保證有界，即存在一個有限常數(shù)k使得

即絕對可積的。Case2.MIMO系統(tǒng)系統(tǒng)輸出y(t)的某個分量yi(t)可以寫成有限項(xiàng)之和，即利用上面的SISO系統(tǒng)的結(jié)論，就可以推導(dǎo)出MIMO系統(tǒng)外部穩(wěn)定性就等價(jià)于：或稱為有界的，絕對可積的。定理4.1.1：給定零初始條件下的線性時變系統(tǒng)，為脈沖響應(yīng)矩陣，則系統(tǒng)為BIBO穩(wěn)定的充要條件是存在一有限常數(shù)k，使得對一切時間,脈沖響應(yīng)矩陣的每個元均滿足關(guān)系式定理4.1.2：對于初始條件為零的線性定常系統(tǒng)，初始時刻為t0＝0，G(t)是脈沖響應(yīng)矩陣，G(s)是傳遞函數(shù)矩陣，則系統(tǒng)BIBO穩(wěn)定性的充要條件是存在一個有限常數(shù)k，使得脈沖響應(yīng)矩陣的每個元均滿足關(guān)系式或等價(jià)的說當(dāng)G(s)為真有理分式函數(shù)矩陣時，G(s)的每個元也就是傳遞函數(shù)gij(s)的所有極點(diǎn)均具有負(fù)實(shí)部。舉例：在左串聯(lián)一個補(bǔ)償器之后，系統(tǒng)是BIBO穩(wěn)定的，但該系統(tǒng)的BIBO穩(wěn)定取決于兩個條件，第一是零極點(diǎn)對消，第二初始條件為零。由于元件老化，外加擾動信號的作用使得這兩個條件很容易被破壞，此時即使輸入有界，輸出也會以et形式，隨著t的增加而無限增加，最終使系統(tǒng)飽和或受到破壞。如果把補(bǔ)償器串聯(lián)在被控系統(tǒng)之后，該系統(tǒng)是BIBO穩(wěn)定的，且單就輸出而言，y(t)只受模態(tài)e－t的控制，只要輸入是有界的，那么輸出必定是有界的，而且對初始狀態(tài)沒有任何限制，可以處于二維狀態(tài)空間中的任何位置。但是考慮到系統(tǒng)的內(nèi)部特性，系統(tǒng)狀態(tài)隨著時間的增加，是按指數(shù)et無限上升，導(dǎo)致系統(tǒng)飽和或受到破壞。從本例中可以看出研究系統(tǒng)由于外界擾動而偏離原來的靜止?fàn)顟B(tài)所產(chǎn)生的運(yùn)動能夠更深刻的揭示出系統(tǒng)是否穩(wěn)定，這就是系統(tǒng)的內(nèi)部穩(wěn)定性。系統(tǒng)的內(nèi)部穩(wěn)定性是考慮在外加擾動作用下系統(tǒng)產(chǎn)生的運(yùn)動的性質(zhì)，一般外加擾動指的是非零初始狀態(tài)和外加輸入作用下，在非零初始狀態(tài)作用下引起的狀態(tài)運(yùn)動是屬于系統(tǒng)本質(zhì)上的一些特性，就把它稱為穩(wěn)定性，第二節(jié)Lyapunov意義下的穩(wěn)定性平衡狀態(tài)、受擾運(yùn)動與擾動方程的原點(diǎn)Lyapunov意義下的穩(wěn)定性定義線性系統(tǒng)平衡狀態(tài)穩(wěn)定性判據(jù)一平衡狀態(tài)、給定運(yùn)動與擾動方程之原點(diǎn)定義：考慮如下非線性系統(tǒng)如果在該系統(tǒng)中，總存在則稱為系統(tǒng)的平衡狀態(tài)或平衡點(diǎn)。

如果系統(tǒng)是線性定常的，，則當(dāng)A為非奇異矩陣時，系統(tǒng)存在一個唯一的平衡狀態(tài)；當(dāng)A為奇異矩陣時，系統(tǒng)將存在無窮多個平衡狀態(tài)。對于非線性系統(tǒng)，可有一個或多個平衡狀態(tài)，這些狀態(tài)對應(yīng)于系統(tǒng)的常值解。任意一個孤立的平衡狀態(tài)（即彼此孤立的平衡狀態(tài)）都可通過坐標(biāo)變換，統(tǒng)一化為擾動方程的坐標(biāo)原點(diǎn)，即f(0,t)=0。在本章中，除非特別申明，我們將僅討論擾動方程關(guān)于原點(diǎn)()處平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性問題。這種“原點(diǎn)穩(wěn)定性問題”使問題得到極大簡化，而不會喪失一般性，從而為穩(wěn)定性理論的建立奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，這是Lyapunov的一個重要貢獻(xiàn)。所謂系統(tǒng)運(yùn)動的穩(wěn)定性，也就是研究平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性，也就是當(dāng)受擾運(yùn)動偏離平衡狀態(tài)之后，能不能依靠自身系統(tǒng)的內(nèi)部結(jié)構(gòu)因素，而返回到平衡狀態(tài)，或是限制在它的一個有限鄰域之內(nèi)。下面給出幾種不同的lyapunov意義下的穩(wěn)定性定義。二Lyapunov意義下的穩(wěn)定性定義設(shè)系統(tǒng)的平衡狀態(tài)的H鄰域?yàn)槠渲蠬>0，為向量的2范數(shù)或歐幾里德范數(shù)，即

類似地，也可以相應(yīng)定義球域S(）和S(）。域S()制約著初始狀態(tài)x0，而域S()是起始于x0的軌跡的邊界。在H鄰域內(nèi)，若對任意給定的，均有(1)如果對應(yīng)于每一個S(），存在一個S((,t0))，使得當(dāng)t趨于無窮時，始于S()的軌跡不脫離S(），則系統(tǒng)的平衡狀態(tài)稱為在Lyapunov意義下是穩(wěn)定的。一般地，實(shí)數(shù)與和t0有關(guān)，如果

與t0無關(guān)，則此時平衡狀態(tài)稱為一致穩(wěn)定的平衡狀態(tài)。含義：首先選擇一個域S()，對應(yīng)于每一個S()，必存在一個域S()，使得當(dāng)t趨于無窮時，始于S()的軌跡總不脫離域S()，反映出狀態(tài)運(yùn)動的有界性。注意：此定義僅要求狀態(tài)軌跡位于S()域內(nèi)，并不要求它逼近平衡狀態(tài)，所以它容許在平衡狀態(tài)附近存在連續(xù)振蕩，其狀態(tài)軌跡是一條被稱為極限環(huán)的閉合回路，極限環(huán)反映了振蕩頻率和振蕩幅度。

以二維狀態(tài)空間為例，平衡狀態(tài)為原點(diǎn)L穩(wěn)定平衡狀態(tài)及典型軌跡(2)如果平衡狀態(tài)原點(diǎn)，在Lyapunov意義下是穩(wěn)定的，并且始于域S()的任一條軌跡，當(dāng)時間t

趨于無窮時，都不脫離S()，且收斂于，則稱系統(tǒng)的平衡狀態(tài)為漸近穩(wěn)定的，其中球域S()被稱為平衡狀態(tài)的吸引域。如果在上述定義中，實(shí)數(shù)

與t0無關(guān)，則此時平衡狀態(tài)稱為一致漸近穩(wěn)定的。直觀含義：第一點(diǎn)平衡狀態(tài)是laypunov穩(wěn)定的，它反映了系統(tǒng)運(yùn)動的有界性，由區(qū)域S()出發(fā)的任何受擾運(yùn)動都保持在區(qū)域S()內(nèi)，第二點(diǎn)反映的是運(yùn)動的漸近性，也就是從區(qū)域S()出發(fā)的任何受擾運(yùn)動不僅都保持在S()這樣一個較大的區(qū)域內(nèi)，而且隨著時間的增加，它可以漸近地趨向于一個任意小的區(qū)域內(nèi)，并最終趨近于平衡狀態(tài)原點(diǎn)。漸近穩(wěn)定平衡狀態(tài)及典型軌跡

從工程應(yīng)用角度來看，漸近穩(wěn)定性比純穩(wěn)定性更重要。實(shí)際上，漸近穩(wěn)定就是工程意義下的穩(wěn)定，而laypunov意義下的穩(wěn)定則是工程意義下的臨界不穩(wěn)定。另外對于時變系統(tǒng)，考慮它的一致漸近穩(wěn)定性要比漸近穩(wěn)定性有意義的多。按指數(shù)漸近穩(wěn)定是一致漸近穩(wěn)定性中的特例，它明確規(guī)定了系統(tǒng)狀態(tài)趨近于平衡狀態(tài)原點(diǎn)的方式，即按指數(shù)形式或按比指數(shù)衰減更快的方式趨近原點(diǎn)。對于線性系統(tǒng)來講，它的一致漸近穩(wěn)定性就是按指數(shù)漸近穩(wěn)定。(3)對所有的狀態(tài)（狀態(tài)空間中的所有點(diǎn)），如果由這些狀態(tài)出發(fā)的軌跡都保持漸近穩(wěn)定性，或者說，如果系統(tǒng)的平衡狀態(tài)漸近穩(wěn)定的吸引域?yàn)檎麄€狀態(tài)空間，則稱此時系統(tǒng)的平衡狀態(tài)為大范圍漸近穩(wěn)定的。顯然，大范圍漸近穩(wěn)定的必要條件是在整個狀態(tài)空間中只有一個平衡狀態(tài)。而且對于線性來講，根據(jù)疊加原理，原點(diǎn)的漸近穩(wěn)定就等價(jià)于它的大范圍漸近穩(wěn)定。在控制工程問題中，總希望系統(tǒng)具有大范圍漸近穩(wěn)定的特性。如果平衡狀態(tài)不是大范圍漸近穩(wěn)定的，那么問題就轉(zhuǎn)化為確定漸近穩(wěn)定的最大范圍或吸引域，這通常非常困難。通常，對所有的實(shí)際問題，如能確定一個足夠大的漸近穩(wěn)定的吸引域，以致擾動不會超過它就可以了。(4)如果對于某個實(shí)數(shù)>0和任一實(shí)數(shù)

>0，在S（）內(nèi)總存在一個狀態(tài)，使得始于這一狀態(tài)的軌跡最終會脫離開S(），那么平衡狀態(tài)稱為不穩(wěn)定的。下面給出各種穩(wěn)定性之間的關(guān)系：非線性時變系統(tǒng)：L穩(wěn)定漸近穩(wěn)定全局漸近穩(wěn)定

一致穩(wěn)定一致漸穩(wěn)全局一致漸穩(wěn)按指數(shù)穩(wěn)定全局按指數(shù)穩(wěn)定非線性定常系統(tǒng)：一致性概念消失線性時變系統(tǒng)：全局與局部等價(jià)，且按指數(shù)穩(wěn)定就等價(jià)于一致漸近穩(wěn)定線性定常系統(tǒng)：全局與局部等價(jià)，且一致性概念消失，漸近穩(wěn)定就是按指數(shù)穩(wěn)定。在經(jīng)典控制理論中，我們已經(jīng)學(xué)過穩(wěn)定性概念，它與Lyapunov意義下的穩(wěn)定性概念是有一定的區(qū)別的，例如，在經(jīng)典控制理論中只有漸近穩(wěn)定的系統(tǒng)才稱為穩(wěn)定的系統(tǒng)。在Lyapunov意義下是穩(wěn)定的，但卻不是漸近穩(wěn)定的系統(tǒng)，則叫做不穩(wěn)定系統(tǒng)。兩者的區(qū)別與聯(lián)系如下表所示。經(jīng)典控制(線性系統(tǒng)）不穩(wěn)定(Re(s)>0)臨界情況(Re(s)=0)穩(wěn)定(Re(s)<0)Lyapunov意義下不穩(wěn)定穩(wěn)定漸近穩(wěn)定三線性系統(tǒng)平衡狀態(tài)穩(wěn)定性判據(jù)

穩(wěn)定性判據(jù)內(nèi)部穩(wěn)定性與外部穩(wěn)定性的關(guān)系

1．穩(wěn)定性判據(jù)考慮線性時變自治系統(tǒng)：由t0時刻從x0出發(fā)的偏離平衡狀態(tài)的運(yùn)動即為受擾運(yùn)動，也就是它的零輸入響應(yīng)，可以用狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣來表示：如果存在一個正數(shù)k(t0)，使得則有：根據(jù)L穩(wěn)定性的定義，對于任意給定的正數(shù)，只要選擇初始狀態(tài)那么這就說明在上述條件下，系統(tǒng)平衡狀態(tài)是L穩(wěn)定的。

定理1：線性系統(tǒng)平衡狀態(tài)在t0為L穩(wěn)定的充分必要條件是存在一個正數(shù)k(t0)，使得且如果正數(shù)k與初始時刻t0無關(guān)，那么該平衡狀態(tài)是一致穩(wěn)定的。定理2：線性時變系統(tǒng)在t0時刻為漸近穩(wěn)定的充分必要條件是存在一個正數(shù)k(t0)，使得且線性時變系統(tǒng)為一致漸近穩(wěn)定的充分必要條件是存在兩個正常數(shù)k1和k2，使得解釋：從充要條件的第一個式子可以看出平衡狀態(tài)是L穩(wěn)定的，另外由第二個式子可以看出平衡狀態(tài)是漸近穩(wěn)定的，而且是大范圍漸近穩(wěn)定的（線性系統(tǒng)局部與全局等價(jià)），而對于整個系統(tǒng)只有唯一的穩(wěn)定平衡狀態(tài)，其穩(wěn)定性就代表了整個系統(tǒng)的穩(wěn)定性，所以在該定理中用系統(tǒng)的穩(wěn)定性代替了平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。另外在一致漸近穩(wěn)定的判據(jù)中，常數(shù)k1和k2與初始時刻無關(guān)，此判別條件同時包括了漸近穩(wěn)定的兩個判別條件，而且它還指出了系統(tǒng)運(yùn)動漸近趨向于平衡狀態(tài)原點(diǎn)的軌跡形狀，在該條件下可以看出，由任意一個有限的初始狀態(tài)引起的零輸入響應(yīng)將按照與指數(shù)衰減函數(shù)相同甚至是更快的速率逐漸衰減到零，所以線性系統(tǒng)的一致漸近穩(wěn)定性又稱為按指數(shù)穩(wěn)定。定理3：線性定常系統(tǒng)的每個平衡狀態(tài)是L穩(wěn)定的充分必要條件是A的全部特征值實(shí)部小于等于零，且實(shí)部為零的特征根為A矩陣的最小多項(xiàng)式單根。定理4：線性定常系統(tǒng)為大范圍漸近穩(wěn)定的充要條件是A的全部特征根實(shí)部是小于零的。注意：這里利用矩陣A的特征根來判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性只能是針對線性定常系統(tǒng)，而不適用于線性時變系統(tǒng)，也就是說并不等價(jià)與對所有時間t，A(t)的特征根具有負(fù)實(shí)部。例如對于任意時間t，A(t)的特征根恒為－1，但是系統(tǒng)的平衡狀態(tài)卻不是穩(wěn)定的，受擾運(yùn)動無界，將隨著時間t的無限增加而趨于無窮遠(yuǎn)點(diǎn)。2．內(nèi)部穩(wěn)定性與外部穩(wěn)定性的關(guān)系

結(jié)論1：如果線性定常系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的，則該系統(tǒng)必定是BIBO穩(wěn)定的；反過來，如果該系統(tǒng)是BIBO穩(wěn)定的，那么并不一定可以推出系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。證明：（結(jié)論第一部分）由系統(tǒng)運(yùn)動分析可知，脈沖響應(yīng)矩陣G(t)可以寫成如果系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的，則必有也就是說eAt是有界的，B,C,D是常數(shù)矩陣，那么G(t)的每個元都是有界的，即存在一個有限常數(shù)k，使得脈沖響應(yīng)矩陣的每個元均滿足關(guān)系式（結(jié)論第二部分），我們知道根據(jù)系統(tǒng)的規(guī)范分解定理，可以引入線性非奇異變換，將系統(tǒng)進(jìn)行結(jié)構(gòu)分解，分解成能控能觀，能控不能觀，不能控能觀，不能控不能觀四部分，而系統(tǒng)的輸入輸出特性只反映出系統(tǒng)即能控又能觀的那部分子系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性，而對于系統(tǒng)的其他部分不作任何要求，因此可以說不能由系統(tǒng)的BIBO穩(wěn)定性推導(dǎo)出它的內(nèi)部穩(wěn)定性，但是如果該系統(tǒng)是完全能控且完全能觀的，那么他的內(nèi)部穩(wěn)定性和外部穩(wěn)定性是等價(jià)的。結(jié)論2：如果線性定常系統(tǒng)是完全能控且完全能觀的，那么下列說法是等價(jià)的：系統(tǒng)是BIBO穩(wěn)定的；系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的；傳遞函數(shù)的極點(diǎn)都具有負(fù)實(shí)部；A矩陣的特征根具有負(fù)實(shí)部。第三節(jié)Lyapunov穩(wěn)定性理論

Lyapunov第一法預(yù)備知識Laypunov第二法關(guān)于大范圍漸近穩(wěn)定性關(guān)于L穩(wěn)定性關(guān)于不穩(wěn)定性1892年，A.M.Lyapunov提出了兩種方法（稱為第一法和第二法），用于確定由常微分方程描述的動力學(xué)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。第一法包括了利用微分方程顯式解進(jìn)行系統(tǒng)分析的所有步驟。第二法不需求出微分方程的解，也就是說，可以在不求狀態(tài)方程解的條件下，直接確定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。由于求解非線性系統(tǒng)和線性時變系統(tǒng)的狀態(tài)方程通常十分困難，所以這種方法顯示出極大的優(yōu)越性。一Lyapunov第一法基本思路是：首先將非線性系統(tǒng)線性化，然后計(jì)算線性化方程的特征值，最后則是判定原非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性。如果線性化系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的，那么此非線性系統(tǒng)也是漸近穩(wěn)定的。[例4.3.1]考慮如下非線性系統(tǒng)：顯然原點(diǎn)是唯一的平衡狀態(tài)。試確定其穩(wěn)定性。在原點(diǎn)處等價(jià)線性化，得線性化系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的，所以該非線性系統(tǒng)也是漸近穩(wěn)定的二預(yù)備知識

1、純函數(shù)的正定性

如果對所有在域中的非零狀態(tài)，有，且在x=0處有V(x)=0，則在域（域包含狀態(tài)空間的原點(diǎn)）內(nèi)的純量函數(shù)稱為正定函數(shù)。

如果時變函數(shù)V(x,t)以一個定常的正定函數(shù)作為下限，即存在一個正定函數(shù)V(x)，使得對所有對所有則稱時變函數(shù)V(x,t)在域（包含狀態(tài)空間原點(diǎn)）內(nèi)是正定的。2、純量函數(shù)的負(fù)定性如果–V(x,t)是正定函數(shù)，則純量函數(shù)V(x,t)稱為負(fù)定函數(shù)。3、純量函數(shù)的半正定性如果純量函數(shù)V(x,t)除了原點(diǎn)以及某些狀態(tài)等于零外，在域內(nèi)的所有狀態(tài)都是正定的，則稱為半正定純量函數(shù)。4、純量函數(shù)的半負(fù)定性如果–V(x,t)是半正定函數(shù)，則純量函數(shù)稱為半負(fù)定函數(shù)。5、純量函數(shù)的不定性 如果在域內(nèi)，不論域多么小，V(x,t)既可為正值，也可為負(fù)值時，純量函數(shù)稱為不定的純量函數(shù)。[例4.3.2]

本例給出按照以上分類的幾種純量函數(shù)。假設(shè)x為二維向量。

1、 正定的2、 正半定的3、 負(fù)定的4、 不定的5、 正定的6、二次型

建立在Lyapunov第二法基礎(chǔ)上的穩(wěn)定性分析中，有一類純量函數(shù)起著很重要的作用，即二次型函數(shù)。例如，其中x為實(shí)向量，P為實(shí)對稱矩陣。[例4.3.3]證明下列二次型是正定的。

二次型可以寫成：利用賽爾維斯特準(zhǔn)則，可得因?yàn)镻的所有主子行列式均為正值，所以V(x)是正定的。三Laypunov第二法由力學(xué)經(jīng)典理論可知，對于一個振動系統(tǒng)，當(dāng)系統(tǒng)總能量（正定函數(shù)）連續(xù)減?。ㄟ@意味著總能量對時間的導(dǎo)數(shù)必然是負(fù)定的），直到平衡狀態(tài)時為止，則振動系統(tǒng)是穩(wěn)定的。Lyapunov第二法是建立在更為普遍的情況之上的，即：如果系統(tǒng)有一個漸近穩(wěn)定的平衡狀態(tài)，則當(dāng)其運(yùn)動到平衡狀態(tài)的吸引域內(nèi)時，系統(tǒng)存儲的能量隨著時間的增長而衰減，直到平穩(wěn)狀態(tài)達(dá)到極小值為止。Lyapunov引出了一個虛構(gòu)的能量函數(shù)，稱為Lyapunov函數(shù)。當(dāng)然，這個函數(shù)無疑比能量更為一般，并且其應(yīng)用也更廣泛。實(shí)際上，任一純量函數(shù)只要滿足Lyapunov穩(wěn)定性定理的假設(shè)條件，都可作為Lyapunov函數(shù)，通常采用V(x,t)表示。利用其對時間的導(dǎo)數(shù)的符號特征，提供了判斷平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性、漸近穩(wěn)定性或不穩(wěn)定性的準(zhǔn)則，而不必直接求出方程的解（這種方法既適用于線性系統(tǒng)，也適用于非線性系統(tǒng)）。1、關(guān)于大范圍漸近穩(wěn)定性

對于給定的系統(tǒng)，若可求得正定的純量函數(shù)V(x,t)，并使其沿軌跡對時間的導(dǎo)數(shù)總為負(fù)值，則隨著時間的增加，V(x,t)將變得越來越小，最終變?yōu)榱?，而x也趨于零。這意味著狀態(tài)空間的原點(diǎn)是漸近穩(wěn)定的。Lyapunov主穩(wěn)定性定理就是前述事實(shí)的普遍化，它給出了漸近穩(wěn)定的充分條件。該定理闡述如下：定理1：考慮如下非線性系統(tǒng)式中如果存在一個具有連續(xù)一階偏導(dǎo)的標(biāo)量函數(shù)V(x,t)，其中V(0,t)=0,且滿足以下條件：1、V(x,t)正定且有界（介于兩個連續(xù)的非減函數(shù)之間）；2、負(fù)定且有界；3、若則在原點(diǎn)處的平衡狀態(tài)是大范圍一致漸近穩(wěn)定的。說明：(1)這里僅給出了充分條件，也就是說，如果我們構(gòu)造出了Lyapunov函數(shù)，那么系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。但如果我們找不到這樣的Lyapunov函數(shù)，我們并不能給出任何結(jié)論，例如我們不能據(jù)此說該系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。(2)對于漸近穩(wěn)定的平衡狀態(tài)，則Lyapunov函數(shù)必存在。(3)對于非線性系統(tǒng)，通過構(gòu)造某個具體的Lyapunov函數(shù)，可以證明系統(tǒng)在某個穩(wěn)定域內(nèi)是漸近穩(wěn)定的，但這并不意味著穩(wěn)定域外的運(yùn)動是不穩(wěn)定的。對于線性系統(tǒng)，如果存在漸近穩(wěn)定的平衡狀態(tài)，則它必定是大范圍漸近穩(wěn)定的。(4)我們這里給出的穩(wěn)定性定理，既適合于線性系統(tǒng)、非線性系統(tǒng)，也適合于定常系統(tǒng)、時變系統(tǒng)，具有極其一般的普遍意義。定理2：考慮如下非線性系統(tǒng)式中，如果存在一個具有連續(xù)一階偏導(dǎo)的標(biāo)量函數(shù)V(x,t)，其中V(0,t)=0,且定理1中的條件2由下述條件來代替：2、是負(fù)半定的,且對于任意t0和任意x0，其中表示在t0時刻從x0出發(fā)的軌跡或解則在原點(diǎn)處的平衡狀態(tài)是大范圍一致漸近穩(wěn)定的。定理4：考慮如下非線性系統(tǒng)式中，如果存在一個具有連續(xù)一階偏導(dǎo)的標(biāo)量函數(shù)V(x)，其中V(0)=0,且定理3中的條件2由下述條件來代替：2、是負(fù)半定的,且對于任意t0和任意x0，其中表示在t0時刻從x0出發(fā)的軌跡或解則在原點(diǎn)處的平衡狀態(tài)是大范圍一致漸近穩(wěn)定的。[例4.3.4]考慮如下非線性系統(tǒng)：顯然原點(diǎn)是唯一的平衡狀態(tài)。試確定其穩(wěn)定性。定義一個正定純量函數(shù)

因?yàn)閂(x)正定，其導(dǎo)數(shù)為負(fù)定，所以V(x)是一個Lyapunov函數(shù)。另外即隨x偏離平衡狀態(tài)趨于無窮而變?yōu)闊o窮，則按照定理3，該系統(tǒng)在原點(diǎn)處的平衡狀態(tài)是大范圍漸近穩(wěn)定的。圖4.2常數(shù)V圓和典型軌跡[例4.3.5]考慮如下非線性系統(tǒng)：原點(diǎn)是唯一的平衡狀態(tài)。試確定其穩(wěn)定性定義一個正定純量函數(shù)

V(x)的導(dǎo)數(shù)是半負(fù)定的，因?yàn)槭蛊錇榱阒挥袃煞N情況，那么我們只要檢驗(yàn)這兩種情況是否為系統(tǒng)的運(yùn)動解.Case1.

x1任意，x2＝0，說明除了[0,0]點(diǎn)以外，[x1,0]并不是系統(tǒng)的運(yùn)動解。

Case2.

x1任意，x2＝-1，結(jié)果矛盾，說明[x1,－1]也不是系統(tǒng)的運(yùn)動解。

另外則按照定理4，該系統(tǒng)在原點(diǎn)處的平衡狀態(tài)是大范圍漸近穩(wěn)定的。定理5：考慮如下非線性系統(tǒng)式中，如果存在一個具有連續(xù)一階偏導(dǎo)的標(biāo)量函數(shù)V(x,t)，其中V(0,t)=0,以及圍繞原點(diǎn)的一個鄰域H，使得對一切屬于該鄰域H的x都滿足以下條件：1、V(x,t)正定且有界2、半負(fù)定且有界；則在原點(diǎn)處的平衡狀態(tài)在H域上一致穩(wěn)定的。2、關(guān)于L穩(wěn)定性注意：該結(jié)論與定理1比較，沒有條件3，則全局性消失，且條件1和2均在某個鄰域內(nèi)成立，這個鄰域就是平衡狀態(tài)的吸引域，當(dāng)然要確定吸引域的范圍并不是一件容易的事情。定理6：考慮如下非線性系統(tǒng)式中，如果存在一個具有連續(xù)一階偏導(dǎo)的標(biāo)量函數(shù)V(x)，其中V(0)=0,以及圍繞原點(diǎn)的一個鄰域H，使得對一切屬于該鄰域H的x都滿足以下條件：1、V(x)正定；2、半負(fù)定；則在原點(diǎn)處的平衡狀態(tài)在H域上一致穩(wěn)定的。3、關(guān)于不穩(wěn)定性定理7：考慮如下非線性系統(tǒng)，若存在一個具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)的純量函數(shù)V(x,t)或V(x)，其中V(0,t)=0,以及圍繞原點(diǎn)的一個鄰域H，使得對一切屬于該鄰域的x都滿足以下條件：1、V(x,t)正定且有界或V(x)正定；2、正定且有界或正定；則原點(diǎn)處的平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的。第四節(jié)線性系統(tǒng)的Lyapunov穩(wěn)定性分析本節(jié)研究對象為線性系統(tǒng)，整個研究建立在Lyapunov意義下的穩(wěn)定性概念的基礎(chǔ)之上，并利用L第二方法的有關(guān)結(jié)果。在整個討論過程中針對定常和時變兩種情況，分別給出一些穩(wěn)定性判據(jù)。一.

線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性判據(jù)定理1：線性定常系統(tǒng)的零平衡狀態(tài)為漸近穩(wěn)定的充要條件是對任意給定的一個正定對稱矩陣Q，如下形式的Lyapunov矩陣方程有唯一的正定對稱矩陣解P選取如下二次型Lyapunov函數(shù)，即式中P為正定實(shí)對稱矩陣。沿任一軌跡的時間導(dǎo)數(shù)為說明：(1)如果沿任一條狀態(tài)運(yùn)動軌跡不恒等于零，則Q可取半正定矩陣。如果半正定矩陣Q滿足（A，Q）能觀測，即下列秩的條件成立則沿任意軌跡不恒等于零(2)只要選擇的矩陣Q為正定的（或根據(jù)情況選為半正定的），滿足該條件的Q矩陣有無窮多個，而最終系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的判定結(jié)果將與矩陣Q的不同選擇無關(guān)。(3)在確定是否存在一個正定實(shí)對稱矩陣P時，為方便起見，通常取Q=I，這里I為單位矩陣。從而，P的各元素可按下式確定然后再檢驗(yàn)P是否正定。[例4.4.1]設(shè)二階線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程為平衡狀態(tài)是原點(diǎn)。試確定該系統(tǒng)的穩(wěn)定性。取Lyapunov函數(shù)為此時實(shí)對稱矩陣P可由下式確定將矩陣方程展開，可得聯(lián)立方程組為解得：為了檢驗(yàn)P的正定性，我們來校核各主子行列式顯然，P是正定的。因此，在原點(diǎn)處的平衡狀態(tài)是大范圍漸近穩(wěn)定的[例4.4.2]試確定如圖4.3所示系統(tǒng)的增益K的穩(wěn)定范圍。圖4.3控制系統(tǒng)[解]容易推得系統(tǒng)的狀態(tài)方程為在確定K的穩(wěn)定范圍時，假設(shè)輸入u為零。于是上式可寫為假設(shè)取正半定的實(shí)對稱矩陣Q為除原點(diǎn)外，不恒等于零，因此可選上式的Q?；蝌?yàn)證下述矩陣的秩顯然，對于，其秩為3。因此可選擇這樣的Q用于Lyapunov方程?，F(xiàn)在求解如下Lyapunov方程重寫為求解得：為使P成為正定矩陣，其充要條件為定理2（Lyapunov判據(jù)的推廣形式）：矩陣A的所有特征值實(shí)部均小于負(fù)實(shí)數(shù)

-σ，σ>0的充要條件是對任意給定的正定對稱矩陣Q，如下推廣形式的Lyapunov方程有唯一正定對稱解P證明：令由此可以推出，所以要證明A矩陣的全部特征根實(shí)部均小于負(fù)實(shí)數(shù)

-σ，也就是證明矩陣的全部特征根具有負(fù)實(shí)部等價(jià)于對任意正定對稱矩陣Q，Lyapunov方程有唯一正定對稱解：將代入上式中得：二.線性時變系統(tǒng)的穩(wěn)定性判據(jù)

定理3：線性時變系統(tǒng)存在唯一的零平衡狀態(tài)，且A(t)的元均為分段連續(xù)的一致有界函數(shù)，則原點(diǎn)是一致漸近穩(wěn)定的充要條件是對于任意給定的一個實(shí)對稱、一致有界和一致正定的時變矩陣Q(t)，如下形式的Lyapunov方程有唯一的實(shí)對稱的一致有界的一致正定的矩陣解P(t)。Q(t)一致有界，一致正定即存在正實(shí)數(shù)，使得選取如下二次型Lyapunov函數(shù)，即式中P為一致有界，一致正定實(shí)對稱矩陣。V(x)沿任一軌跡的時間導(dǎo)數(shù)為三.線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定自由運(yùn)動的衰減性能估計(jì)利用線性定常系統(tǒng)的Lyapunov判據(jù)不僅可以判斷其原點(diǎn)的漸近穩(wěn)定性，而且還可以對穩(wěn)定的自由運(yùn)動趨向原點(diǎn)的收斂速度快慢進(jìn)行估計(jì)，這種估計(jì)方法的一個突出的優(yōu)點(diǎn)就是無需求出系統(tǒng)的自由運(yùn)動軌跡。這里引入一個正實(shí)數(shù)，并用它來表征系統(tǒng)自由運(yùn)動的衰減性能，并將其稱為衰減系數(shù)。定義衰減系數(shù)為如果線性定常系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的，那么由任意初始狀態(tài)x0出發(fā)的自由運(yùn)動軌線將隨著時間的增加而趨近于原點(diǎn)。從物理的直觀意義上來看，伴隨著系統(tǒng)運(yùn)動收斂到原點(diǎn)，相應(yīng)的能量也隨之衰減到零。如果初始能量越小且能量衰減速率越大，運(yùn)動收斂到原點(diǎn)的速度就越快。第五節(jié)Lyapunov函數(shù)的構(gòu)造問題可以看出，為證明原點(diǎn)的某種穩(wěn)定性，必須構(gòu)造出相應(yīng)的V函數(shù)，即判定穩(wěn)定性類型取決于是否能夠構(gòu)造出某種V函數(shù)以適應(yīng)穩(wěn)定性的某個定理，即：必須構(gòu)造出能夠判定原點(diǎn)穩(wěn)定性類型的V函數(shù)構(gòu)造出好的V函數(shù)，好的標(biāo)準(zhǔn)？如：參數(shù)空間中得到的穩(wěn)定區(qū)最大；保證漸近穩(wěn)定的過渡過程有良好品質(zhì)；得到的穩(wěn)定判據(jù)簡單，便于應(yīng)用；V函數(shù)形式簡單，便于分析其他問題，等等一。線性系統(tǒng)的Lyapunov函數(shù)二次型Lyapunov函數(shù)的存在性：根據(jù)線性系統(tǒng)的Lyapunov穩(wěn)定判據(jù)可知：矩陣P為滿足方程的對稱正定解：其中Q為任意正定對稱矩陣，或半正定對稱矩陣，且（A，Q）可觀測。積分形式的Lyapunov函數(shù)任意給定Q陣，由lyapunov方程直接求出P矩陣，通常比較困難。下面直接給出P矩陣的一個公式，具備積分形式。定理：若線性系統(tǒng)漸近穩(wěn)定，則對任意給定對稱矩陣Q，Lyapunov方程的解可以表示為：當(dāng)Q為任意正定對稱矩陣，或半正定對稱矩陣，且（A，Q）可觀測時，矩陣P是對稱正定矩陣。二非線性系統(tǒng)Lyapunov函數(shù)的構(gòu)造在非線性控制系統(tǒng)理論中，魯里葉和波斯特尼考夫最早提出“二次型＋積分”型的Lyapunov函數(shù)針對力學(xué)系統(tǒng)，切泰耶夫提出“首次積分組合方法”在微分方程理論中，研究低階（2、3、4階）非線性微分方程的穩(wěn)定性，其中非線性是分離的，即一個非線性函數(shù)只是一個狀態(tài)的函數(shù)，部分結(jié)果推廣到高階系統(tǒng)。這里介紹一般非線性系統(tǒng)的V函數(shù)構(gòu)造研究非線性系統(tǒng)其中fi滿足：1）在整個狀態(tài)空間上定義，且連續(xù)；2）在任意有界域上，R為任意正數(shù)，偏導(dǎo)有界，即滿足：Lyapunov函數(shù)為：克拉索夫斯基定理：若存在正定陣V＝[vij]，使得對稱陣：的特征根(λ1,…,λn)滿足，對任意x有其中r為某正數(shù)，或者其主要主子式滿足：對任意x有為某正數(shù)，則非線性系統(tǒng)的原點(diǎn)漸近穩(wěn)定。J為f函數(shù)的雅可比矩陣。簡單說明：非線性系統(tǒng)寫為向量