第四章計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)分析4(可控可觀性)

§4.5離散控制系統(tǒng)的可控性

如果在一個(gè)有限的時(shí)間里，用一個(gè)無約束的控制信號(hào)，能使系統(tǒng)的任一個(gè)狀態(tài)，從任意的初始狀態(tài)轉(zhuǎn)移到任意需要的狀態(tài)。那么，該系統(tǒng)稱為狀態(tài)完全可控性。系統(tǒng)可控性概念在控制系統(tǒng)的極點(diǎn)配置，最優(yōu)控制中具有重要作用。

1、線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)完全可控性設(shè)離散控制系統(tǒng)的狀態(tài)方程為（4.60）其中為n維向量；H為維矩陣；G為維矩陣。如果存在著無約束的控制信號(hào)，使得任意一個(gè)狀態(tài)由任意的初始狀態(tài)開始，在最多n個(gè)采樣周期內(nèi)，轉(zhuǎn)移到任意需要的狀態(tài)，那么由方程式（4.60）所描述的離散系統(tǒng)是系統(tǒng)狀態(tài)完全可控的，或簡(jiǎn)單地稱為狀態(tài)可控的。

下面推導(dǎo)狀態(tài)完全可控性的條件，因?yàn)榉匠淌剑?.60）的解為可得(4.61）因?yàn)镠是維向量，這樣中每一列都是維向量，如果下述矩陣的秩是n，即（4.62）那么，n個(gè)向量能跨越n維空間。方程式(4.62）的矩陣叫做可控性矩陣。假如可控性矩陣的秩是n，那么對(duì)任意狀態(tài)，存在著一系列無約束控制信號(hào)，滿足方程式（4.61）。因此，可控性矩陣的秩n是給出了狀態(tài)完全可控的充分條件。為了證明方程式（4.62）也是狀態(tài)完全可控的必要條件，我們假設(shè)于是，向量不能跨越n維空間。因此，對(duì)所有的i，某些不存在，所以方程（4.62）是狀態(tài)完全可控的必要條件。如果控制信號(hào)是一個(gè)r維的向量，那么H是維的矩陣?？梢宰C明狀態(tài)完全可控的條件是矩陣的秩為n，即還可以證明，當(dāng)為標(biāo)量時(shí)，在n個(gè)采樣周期內(nèi)，使得狀態(tài)由任意的初始狀態(tài)轉(zhuǎn)移到任意要求的狀態(tài)時(shí)，所需要的無約束控制信號(hào)序列能唯一的確定。當(dāng)為r維向量時(shí)，控制向量序列

不是唯一的解，存在著多組的控制序列。2、線性定常離散系統(tǒng)的輸出完全可控性

在控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)中，對(duì)系統(tǒng)輸出的控制要比狀態(tài)的控制更為需要。對(duì)輸出可控來講，狀態(tài)完全可控的條件，既不必要也不充分。為此，需要對(duì)輸出可控性另作定義?？紤]下述的系統(tǒng)（4.63）

（4.64）其中為n維向量；為標(biāo)量；為m維向量；H為維矩陣；G為維矩陣；C為維矩陣。如果存在著無約束的控制信號(hào)，使得輸出，由任意初始輸出開始，在最多n個(gè)采樣周期間隔內(nèi)，達(dá)到輸出空間的任意需要的點(diǎn)，那么由方程（4.63）和（4.64）所描述的離散系統(tǒng)是輸出完全可控的。或簡(jiǎn)單地稱為輸出可控的。下面按照輸出完全可控制的定義，來推導(dǎo)輸出完全可控性的條件。因?yàn)榉匠淌剑?.63）的解為并有或輸出完全可控的必要與充分條件是向量跨越了m維輸出空間，或

（4.64）現(xiàn)在考慮為r維向量和存在著輸入/輸出D矩陣的系統(tǒng)（4.65）（4.66）其中維矩陣；維矩陣；維矩陣；維矩陣。這一系統(tǒng)的輸出完全可控性的必要與充分條件是（4.67）

比較式（4.64）和式（4.67），不難發(fā)現(xiàn)當(dāng)系統(tǒng)輸出方程中存在著D矩陣時(shí)，有助于達(dá)到輸出完全可控性。

§4.6離散控制系統(tǒng)的可觀性在這一節(jié)中，討論線性定常離散系統(tǒng)的可觀測(cè)性。設(shè)控制作用為零的系統(tǒng)方程為（4.68）（4.69）其中，，Ｇ與Ｃ的定義與上一節(jié)同。

如果每一個(gè)初始狀態(tài)都可通過在一個(gè)有限數(shù)的采樣周期間隔內(nèi)，由的觀測(cè)值來確定，那么這種系統(tǒng)叫做完全可觀測(cè)的?；蛘弋?dāng)一個(gè)狀態(tài)的轉(zhuǎn)移時(shí)最終都會(huì)影響輸出向量的所有分量，那么系統(tǒng)是完全可觀測(cè)的。

控制系統(tǒng)的可觀性概念在狀態(tài)觀測(cè)、極點(diǎn)配量以及系統(tǒng)辯識(shí)中都有十分重要的作用。那么以及在方程式(4.68)和（4.69）中，沒有考慮控制作用的理由是：如果系統(tǒng)由下述方程式描述（4.70）（4.71）

因?yàn)榫仃嚭褪且阎模彩且阎?。上式右邊的?和第3項(xiàng)是已知的量。因此，它們可以從觀測(cè)值中減去。所以，對(duì)于研究完全可觀測(cè)性的充分條件時(shí)，只要考慮方程式（4.68）和（4.69）所描述的系統(tǒng)就足夠了。

下面我們來推導(dǎo)出由方程式（4.68）和（4.69）的所描述的離散系統(tǒng)完全可觀測(cè)性條件。因?yàn)榈慕鉃?/p>

完全可觀測(cè)性意味著給定就能確定.為了確定n個(gè)未知數(shù)，只需要的n個(gè)值。因此，可利用的前面n個(gè)值，即，,來確定。對(duì)一個(gè)完全可觀測(cè)系統(tǒng)，給定我們就能確定，注意到是m維向量，上述的n個(gè)聯(lián)立方程式產(chǎn)生了個(gè)方程，這些方程中包含有。為了由這個(gè)方程中求得唯一的一組解，我們應(yīng)該從這個(gè)方程組中寫出n個(gè)線性無關(guān)的方程，這就需要矩陣的秩為n。這就是由方程式（4.68）和（4.69）所描述的系統(tǒng)完全可觀測(cè)性的條件。如果方程式（4.68）和（4.69）中的矩陣和是共軛矩陣，并考慮到矩陣的秩與共軛轉(zhuǎn)置矩陣的秩是同樣的，那么由方程式（4.68）和（4.69）所示系統(tǒng)的完全可觀測(cè)的必要與充分的條件為