第四節(jié)冪函數(shù)

一、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念二、冪函數(shù)第四節(jié)冪函數(shù)一、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念設(shè)un(x)(n=1,2,…)為定義在某實(shí)數(shù)集合X上的為定義在集合X上的函數(shù)項(xiàng)無窮級(jí)數(shù),函數(shù)序列,稱級(jí)數(shù)或函數(shù)級(jí)數(shù).簡(jiǎn)稱函數(shù)項(xiàng)如果對(duì)給定的點(diǎn)x0∈X,常數(shù)項(xiàng)級(jí)收的集合,稱為級(jí)數(shù)(8.7)的收斂域(發(fā)散域).散點(diǎn).函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)(8.7)在點(diǎn)x0處發(fā)散,如果常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)發(fā)散,則稱則稱函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)(8.7)在點(diǎn)x0處收斂,函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)(8.7)的所有收斂點(diǎn)(發(fā)散點(diǎn))構(gòu)成斂,x0為級(jí)數(shù)(8.7)的收斂點(diǎn);x0為級(jí)數(shù)(8.7)的發(fā)對(duì)于收斂域中的每一個(gè)x,函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)(8.7)都(x屬于收斂域)是定義在收斂域上的一個(gè)函數(shù).為函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)(8.7)的部分和.有唯一確定的和(記為S(x))與之對(duì)應(yīng).因此數(shù)(8.7)的和函數(shù),并稱于是,當(dāng)x屬于函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)(8.7)的收斂域時(shí),有稱S(x)為函數(shù)項(xiàng)級(jí)當(dāng)|q|<1時(shí),幾何級(jí)數(shù)收斂,且有于是,若令q=x,則函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?－1,1),和函數(shù)為若令,則函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)槿袅顀=sinx,則函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)闉檎麛?shù)其和函數(shù)為(－∞,－1)∪(1,+∞),和函數(shù)為二、冪函數(shù)形如或的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù),稱為冪函數(shù),x0均為常數(shù),其中an(n=0,1,2,…)和并稱an(n=0,1,2,…)為冪函數(shù)的系數(shù).定理8.9如果冪級(jí)數(shù)(8.8)在點(diǎn)x0≠0處收斂,則在滿足不等式|x|<|x0|的一切點(diǎn)x處絕對(duì)收斂;如果冪級(jí)數(shù)(8.8)點(diǎn)x1處發(fā)散,則滿足|x|>|x1|的一切點(diǎn)x處發(fā)散.證設(shè)冪級(jí)數(shù)(8.8)在x0≠0處發(fā)散.因而數(shù)列{anx0n}有界,即存在正數(shù)M,使得|anx0n|≤M,n=0,1,2,…于是,對(duì)于滿足|x|<|x0|的所有x,皆有的必要條件,有根據(jù)級(jí)數(shù)收斂其中由于幾何級(jí)數(shù)收斂,故由定理8.3如果冪級(jí)數(shù)(8.8)在點(diǎn)x1處發(fā)散,則對(duì)任何滿足若不然,如果存在x2,|x2|>|x1|,級(jí)數(shù)收斂,假設(shè)矛盾.定理證畢.則由上面的討論可知,級(jí)數(shù)應(yīng)收斂,與|x|>|x1|的x,冪級(jí)數(shù)(8.8)皆發(fā)散.可知,冪級(jí)數(shù)(8.8)絕對(duì)收斂.|x|<R時(shí),冪級(jí)數(shù)(8.8)收斂;如果：|x|>R時(shí),(8.8)發(fā)散.稱R為冪級(jí)數(shù)(8.8)的收斂半徑.定理8.10設(shè)冪級(jí)數(shù)(8.8)滿足(1)若0<ρ<+∞,則;(2)若ρ=0,則R=+∞;(3)若ρ=+∞,則R=0.證

(1)令un(x)=anxn,則當(dāng)ρ|x|<1,即時(shí),冪級(jí)數(shù)(8.8)絕對(duì)收斂;當(dāng)ρ|x|>1,即時(shí),冪級(jí)數(shù)(8.8)發(fā)散.因此,.于是,由0<ρ<+∞和比值判別法可知,(2)ρ=0時(shí),對(duì)任意x≠0,由式(8.10)有故冪級(jí)數(shù)(8.8)絕對(duì)收斂.因此,R=+∞.(3)ρ=+∞時(shí),對(duì)任意x≠0,由式(8.10)有故冪級(jí)數(shù)(8.8)發(fā)散.因此,R=0.定理證畢.注意,求出冪級(jí)數(shù)(8.8)的收斂區(qū)間(－R,R)之[-R,R]為收斂域,的斂散性.還需判別x=-R和x=R時(shí)的級(jí)數(shù)和稱區(qū)間[－R,R)或(－R,R]或后,而收斂區(qū)間專指開區(qū)間(-R,R).例8.12求下列冪級(jí)數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間和收斂域:解(1)由于可知收斂半徑為R=3.當(dāng)x=－3時(shí),原冪級(jí)數(shù)化為,它顯然絕對(duì)因此,冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間為(－3,3),當(dāng)x=3時(shí),原冪級(jí)數(shù)化為,這是p=2的p級(jí)數(shù)(2)令t=x2,則原冪級(jí)數(shù)化為.由于收斂.收斂;收斂域?yàn)閇－3,3].故的收斂半徑為R=2,從而原冪級(jí)數(shù)的當(dāng)時(shí),原冪級(jí)數(shù)化為,顯因此,冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間為,收斂半徑為然發(fā)散.收斂區(qū)域?yàn)?所以,冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為R=2.由于當(dāng)t=2時(shí),收斂;(3)令t=x+3,則原冪級(jí)數(shù)化為.因此冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間為(－2,2),當(dāng)t=－2時(shí),發(fā)散.因此,原冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間為(－5,－1),收斂區(qū)域?yàn)?－5,－1].收斂域?yàn)?－2,2].定理8.11如果冪級(jí)數(shù)(8.8)的收斂半徑R>0,其和函數(shù)為S(x),則有(1)S(x)在(-R,R)內(nèi)連續(xù);若(8.8)在x=R(或x=-R)處收斂,則S(x)在x=R處左連續(xù)(或在x=-R處右連續(xù)).(2)S(x)在(－R,R)內(nèi)可導(dǎo),且有逐項(xiàng)求導(dǎo)公式:(3)S(x)在(－R,R)內(nèi)可積,且有逐項(xiàng)積分公式:例8.13求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)S(x).解于是,由定理8.11的逐項(xiàng)求導(dǎo)公式(8.11),得將上式兩端同乘以x,得例8.14求冪級(jí)數(shù)