第1章 連續(xù)時(shí)間信號(hào)分析

第1章

連續(xù)時(shí)間信號(hào)分析本章主要內(nèi)容

連續(xù)時(shí)間信號(hào)的時(shí)域分析周期信號(hào)的頻率分解非周期信號(hào)的頻譜連續(xù)時(shí)間信號(hào)的復(fù)頻域分析連續(xù)信號(hào)的相關(guān)分析與本章內(nèi)容有關(guān)的MATLAB函數(shù)連續(xù)信號(hào)的時(shí)域描述

連續(xù)時(shí)間信號(hào)的定義

所謂連續(xù)時(shí)間信號(hào)，簡稱為連續(xù)信號(hào)，就是指在所討論的時(shí)間內(nèi)，對(duì)于除了若干個(gè)不連續(xù)點(diǎn)以外的任意時(shí)刻值都有定義的信號(hào)，一般用數(shù)學(xué)函數(shù)x(t)表示。

x(t)t0連續(xù)信號(hào)的時(shí)域描述

基本的連續(xù)信號(hào)

正弦信號(hào)兩個(gè)振幅和初相位均不同的同頻率正弦信號(hào)相加后，其結(jié)果仍是原頻率的正弦信號(hào)若一個(gè)正弦信號(hào)的頻率是另一個(gè)正弦信號(hào)頻率的整數(shù)倍時(shí)，則它們的合成信號(hào)是一個(gè)非正弦周期信號(hào)，其周期就等于基波的周期正弦信號(hào)對(duì)時(shí)間的微分或積分仍然是同頻率的正弦信號(hào)

t0Asin(Ωt+)A連續(xù)信號(hào)的時(shí)域描述

抽樣信號(hào)Sa(t)是關(guān)于t的偶函數(shù)Sa(t)是一個(gè)以2π為周期，且具有1/t的單調(diào)衰減幅值的振蕩信號(hào)除t=0外有確定的值，當(dāng)t=±π，±2π，±3π，…時(shí)，Sa(t)=0，且有

-3π-2π-π3ππ2π1t0Sa(t)連續(xù)信號(hào)的時(shí)域描述

單位階躍信號(hào)在躍變點(diǎn)t=0處，函數(shù)值未定義若單位階躍信號(hào)的躍變點(diǎn)在t=t0處，則稱其為延時(shí)單位階躍信號(hào)，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為

0u(t)1t0u(t-t0)1tt0連續(xù)信號(hào)的時(shí)域描述

單位沖激信號(hào)抽樣特性（篩選特性）加權(quán)特性單位沖激信號(hào)為偶函數(shù)尺度變換特性單位沖激信號(hào)的導(dǎo)數(shù)t0(1)δ(t)連續(xù)信號(hào)的時(shí)域描述

復(fù)指數(shù)信號(hào)可見，復(fù)指數(shù)信號(hào)的波形隨復(fù)頻率s的不同取值而變化。t0eσt1σ=0σ<0σ>0t0Re[e

jΩt]1t0Re[est]1σ<0tRe[est]01σ>0連續(xù)信號(hào)的基本運(yùn)算

信號(hào)的相加與相乘

信號(hào)的相加（或相乘）是指兩個(gè)信號(hào)在任意時(shí)刻函數(shù)值之和（或積）。

信號(hào)的微分與積分信號(hào)x(t)的微分（導(dǎo)數(shù)）是指信號(hào)x(t)的函數(shù)值隨時(shí)間變化的變化率。當(dāng)信號(hào)x(t)中含有不連續(xù)點(diǎn)時(shí)，則x(t)在這些不連續(xù)點(diǎn)上出現(xiàn)沖激，其強(qiáng)度為原函數(shù)在該點(diǎn)處的跳變量。信號(hào)x(t)的積分是指在-∞到t區(qū)間內(nèi)的任意時(shí)刻處，信號(hào)x(t)與時(shí)間軸所包圍的面積。連續(xù)信號(hào)的基本運(yùn)算

信號(hào)的時(shí)移與翻褶信號(hào)x(t)時(shí)移±t0（t0>0），就是將x(t)表達(dá)式及其定義域中所有自變量t替換為t±t0，從而使x(t)表達(dá)式變?yōu)閤(t±t0)。從信號(hào)波形上看，x(t+t0)的波形是將x(t)的波形向左移動(dòng)t0時(shí)間；x(t-t0)的波形是將x(t)的波形向右移動(dòng)t0時(shí)間。信號(hào)x(t)的翻褶就是將x(t)表達(dá)式以及定義域中的所有自變量t替換為-t，從而使x(t)表達(dá)式變?yōu)閤(-t)。從信號(hào)波形上看，x(-t)的波形與x(t)的波形關(guān)于縱軸t=0呈鏡像對(duì)稱。翻褶信號(hào)x(-t)的時(shí)移規(guī)律與信號(hào)x(t)恰好相反。連續(xù)信號(hào)的基本運(yùn)算

信號(hào)的尺度變換信號(hào)的尺度變換就是將信號(hào)x(t)表達(dá)式中以及定義域中的所有自變量t替換為at，從而使x(t)表達(dá)式變?yōu)閤(at)。當(dāng)a>1時(shí)，則x(at)是將x(t)的波形沿時(shí)間軸壓縮至原來的1/a當(dāng)0<a<1時(shí)，則x(at)是將x(t)的波形沿時(shí)間軸擴(kuò)展至原來的1/a當(dāng)a<0時(shí)，則x(at)是將x(t)的波形沿時(shí)間軸壓縮或擴(kuò)展至1/|a|t210x(t)1t420x(-t/2)1t-1/2-10x(-2t)1t1/210x(-2t+2)1t420x(t/2)1t1/210x(2t)1連續(xù)信號(hào)的時(shí)域分解x(t)x(0)t0…連續(xù)信號(hào)的時(shí)域分解連續(xù)信號(hào)的卷積

卷積的定義

卷積的圖解10tx1(t)=u(t)(a)單位階躍信號(hào)x2(t)=e-atu(t)t01(b)單邊指數(shù)信號(hào)x2(-τ)τ01(c)翻褶y(t)t01/a(f)卷積值(e)相乘并積分x1(τ)x2(t-τ)01tτ(d)時(shí)移x2(t-τ)tτ01連續(xù)信號(hào)的卷積

卷積的性質(zhì)交換律結(jié)合律分配律微積分性質(zhì)連續(xù)信號(hào)的卷積

任意信號(hào)與沖激信號(hào)的卷積上式表明，x(t)與δ(t-t0)的卷積，相當(dāng)于將信號(hào)x(t)延時(shí)t0。

任意信號(hào)與階躍信號(hào)的卷積上式表明，單位階躍信號(hào)u(t)相當(dāng)于積分器。

任意信號(hào)與沖激偶信號(hào)的卷積上式表明，沖激偶信號(hào)δ’(t)相當(dāng)于微分器。本章內(nèi)容提要

連續(xù)時(shí)間信號(hào)的時(shí)域分析

周期信號(hào)的頻率分解非周期信號(hào)的頻譜連續(xù)時(shí)間信號(hào)的復(fù)頻域分析連續(xù)信號(hào)的相關(guān)分析與本章內(nèi)容有關(guān)的MATLAB函數(shù)周期信號(hào)的描述(a)鋸齒波-T03T02T0x(t)tT00……(b)半波整流-T03T02T0x(t)tT00……若連續(xù)時(shí)間信號(hào)x(t)在（-∞，∞）區(qū)間，以T0為周期，周而復(fù)始地重復(fù)再現(xiàn)，則稱信號(hào)x(t)為周期信號(hào)，其表達(dá)式是周期分別為T1和T2的兩個(gè)(或多個(gè))周期信號(hào)線性疊加后，是否仍是周期信號(hào)，這主要取決于在這兩個(gè)周期T1，T2之間是否有最小公倍數(shù)，即存在一個(gè)最小數(shù)T0能同時(shí)被T1和T2所整除。若存在最小公倍數(shù)則有傅里葉級(jí)數(shù)

狄里赫利（Dirichlet）條件

數(shù)學(xué)已經(jīng)證明，周期為T0的任一周期信號(hào)分解成傅里葉級(jí)數(shù)形式，就必須在任一區(qū)間[t，t+T0]內(nèi)，滿足狄里赫利（Dirichlet）條件：在一個(gè)周期內(nèi)信號(hào)是絕對(duì)可積的，即在一個(gè)周期內(nèi)只有有限個(gè)不連續(xù)點(diǎn)，且在這些點(diǎn)處的函數(shù)值必須是有限值在一個(gè)周期內(nèi)只有有限個(gè)最大值和最小值上述條件中，條件（1）是充分條件但不一定是必要的，且任一有界的周期信號(hào)都能滿足這一條件；條件（2）、（3）是必要條件但不是充分的。傅里葉級(jí)數(shù)

傅里葉級(jí)數(shù)的主要形式

三角型傅里葉級(jí)數(shù)指數(shù)型傅里葉級(jí)數(shù)舉例通過以下變換對(duì)可以看出時(shí)域的連續(xù)函數(shù)造成頻域是非周期的頻譜函數(shù),而頻域的離散頻譜就與時(shí)域的周期時(shí)間函數(shù)對(duì)應(yīng).(頻域采樣，時(shí)域周期延拓)周期（時(shí)域）離散（頻域）連續(xù)（時(shí)域）非周期（頻率）周期信號(hào)的頻域分析

頻域分析的概念由于任意波形的周期信號(hào)x(t)都可以用反映信號(hào)頻率特性的頻譜X(nΩ0)來描述，而X(nΩ0)是離散頻率nΩ0的復(fù)函數(shù)，則x(t)與X(nΩ0)之間存在著一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，即這種用頻率函數(shù)來描述或表征任意周期信號(hào)的方法就稱為周期信號(hào)的頻域分析。信號(hào)的頻譜與時(shí)域波形的關(guān)系頻率的高低相當(dāng)于波形變化的快慢，即時(shí)域波形變化越慢，則頻譜中高頻成分越少；時(shí)域波形變化越劇烈，則頻譜中高頻分量越多諧波幅度的大小反映了時(shí)域波形取值的大小相位的變化關(guān)系到波形在時(shí)域出現(xiàn)的不同時(shí)刻周期信號(hào)的頻域分析

連續(xù)周期信號(hào)頻譜的特點(diǎn)頻譜是由頻率離散的非周期性譜線組成，每根譜線代表一個(gè)諧波分量，即離散性

頻譜中的譜線只在基波頻率的整數(shù)倍處出現(xiàn)，即諧波性

頻譜中各譜線的幅度隨著諧波次數(shù)的增加而逐漸衰減，即收斂性

(b)相頻特性…Ω0-Ω00-2Ω0-3Ω0…2Ω03Ω0(nΩ0)nΩ0(a)幅頻特性…Ω0-Ω00-2Ω0-3Ω02Ω03Ω0|X(nΩ0)|nΩ0…周期鋸齒波信號(hào)離散頻譜傅里葉級(jí)數(shù)的性質(zhì)

線性性質(zhì)時(shí)移性質(zhì)尺度變換性質(zhì)傅里葉級(jí)數(shù)的性質(zhì)

對(duì)稱性質(zhì)信號(hào)為實(shí)函數(shù)實(shí)周期信號(hào)的幅度頻譜關(guān)于nΩ0偶對(duì)稱，相位譜關(guān)于nΩ0奇對(duì)稱，即

信號(hào)為實(shí)偶函數(shù)（偶對(duì)稱）實(shí)偶周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)展開式只含有直流分量和余弦項(xiàng)，但不存在正弦項(xiàng)，即信號(hào)為實(shí)奇函數(shù)（奇對(duì)稱）

實(shí)奇周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)展開式只含有正弦項(xiàng)，而沒有直流分量和余弦項(xiàng)，即傅里葉級(jí)數(shù)的性質(zhì)

對(duì)稱性質(zhì)半周期對(duì)稱半周期偶對(duì)稱（半周期重疊）

半周期偶對(duì)稱信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)展開式除了直流分量外，只有余弦偶次諧波分量半周期奇對(duì)稱（半周期鏡像）半周期奇對(duì)稱信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)展開式只有正弦奇次諧波分量雙重對(duì)稱

若信號(hào)除了具有半周期鏡像對(duì)稱外，同時(shí)還是時(shí)間的偶函數(shù)或奇函數(shù)，則前者的傅里葉級(jí)數(shù)展開式只有余弦奇次諧波分量；后者只有正弦奇次諧波分量。傅里葉級(jí)數(shù)的性質(zhì)

時(shí)域微積分性質(zhì)本章內(nèi)容提要

連續(xù)時(shí)間信號(hào)的時(shí)域分析

周期信號(hào)的頻率分解

非周期信號(hào)的頻譜連續(xù)時(shí)間信號(hào)的復(fù)頻域分析連續(xù)信號(hào)的相關(guān)分析與本章內(nèi)容有關(guān)的MATLAB函數(shù)從傅里葉級(jí)數(shù)到傅里葉變換t0x(t)At0xT(t)AT周期信號(hào)與非周期信號(hào)的關(guān)系：傅里葉變換對(duì)非周期（時(shí)域）連續(xù)（頻域）連續(xù)（時(shí)域）非周期（頻率）例題：例1.3.1傅里葉變換的性質(zhì)

奇偶性偶信號(hào)的頻譜為偶函數(shù)，奇信號(hào)的頻譜為奇函數(shù)實(shí)信號(hào)的頻譜是共軛對(duì)稱函數(shù)，即其幅度頻譜和實(shí)部為偶函數(shù)，相位頻譜和虛部為奇函數(shù)線性對(duì)偶性（互易性）尺度變換特性傅里葉變換的性質(zhì)

時(shí)移特性頻移特性（調(diào)制特性）

時(shí)域卷積定理

頻域卷積定理傅里葉變換的性質(zhì)

微分特性積分特性本章內(nèi)容提要

連續(xù)時(shí)間信號(hào)的時(shí)域分析周期信號(hào)的頻率分解非周期信號(hào)的頻譜

連續(xù)時(shí)間信號(hào)的復(fù)頻域分析連續(xù)信號(hào)的相關(guān)分析與本章內(nèi)容有關(guān)的MATLAB函數(shù)拉普拉斯變換

從傅里葉變換到拉普拉斯變換對(duì)于多數(shù)實(shí)際因果信號(hào)，即t<0時(shí)x(t)=0，則有單邊拉氏變換拉氏變換對(duì)拉普拉斯變換已知信號(hào)x(t)=u(t)-u(t-2)，試用MATLAB繪制該信號(hào)拉普拉斯變換的曲面圖和傅里葉變換的頻譜。信號(hào)x(t)的拉普拉斯變換和傅里葉變換分別為

M文件如下：

%繪制拉普拉斯變換曲面圖

clf;a=0.001:0.1:5;b=-20:0.1:20;[a,b]=meshgrid(a,b);s=a+i*b;xs=(1-exp(-2*s))./s;xs=abs(xs);mesh(a,b,xs);surf(a,b,xs);view(-60,20);axis([-0,5,-20,20,0,2]);title('信號(hào)的拉普拉斯變換');colormap(hsv);%繪制傅里葉變換頻譜圖figure(2)w=-20:0.1:20;xw=2*sinc(w/pi).*exp(-i*w);plot(w,abs(xw));title('信號(hào)的傅里葉變換');信號(hào)拉普拉斯變換的曲面圖在截面Re[s]=0上的曲線就是該信號(hào)傅里葉變換的頻譜拉普拉斯變換

拉普拉斯變換的收斂域收斂域的概念使拉普拉斯變換式積分收斂，即滿足絕對(duì)可積條件

的σ取值范圍，稱為拉普拉斯變換的收斂域。收斂域的基本特點(diǎn)因果信號(hào)x(t)u(t)以及右邊信號(hào)x(t)u(t+t0)的收斂域常位于右半s平面Re[s]>σ0

左邊信號(hào)x(t)u(-t)以及x(t)u(-t+t0)的收斂域常位于左半s平面Re[s]<σ0

雙邊信號(hào)x(t)或e-a|t|的收斂域常位于左半s平面σ1<Re[s]<σ2

對(duì)于有些函數(shù)，如等，不滿足上述絕對(duì)可積的條件，其拉氏變換不存在，但這些函數(shù)在實(shí)際工程中很少遇到，因此，并不影響拉氏變換的實(shí)際意義。拉普拉斯變換反變換拉普拉斯變換的性質(zhì)

系統(tǒng)函數(shù)的定義

連續(xù)信號(hào)的系統(tǒng)函數(shù)H(s)，又稱轉(zhuǎn)移函數(shù)或傳遞函數(shù)，可定義為在零狀態(tài)條件下系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)的單邊拉氏變換Y(s)與系統(tǒng)輸入的單邊拉氏變換X(s)之比，即

說明系統(tǒng)函數(shù)描述了連續(xù)系統(tǒng)的復(fù)頻域特性，它僅取決于系統(tǒng)本身的特性，而與系統(tǒng)的輸入無關(guān)

系統(tǒng)函數(shù)H(s)與單位沖激響應(yīng)h(t)是一對(duì)單邊拉氏變換對(duì)，即系統(tǒng)函數(shù)H(s)與頻率特性H(jΩ)的關(guān)系系統(tǒng)函數(shù)本章內(nèi)容提要

連續(xù)時(shí)間信號(hào)的時(shí)域分析周期信號(hào)的頻率分解非周期信號(hào)的頻譜連續(xù)時(shí)間信號(hào)的復(fù)頻域分析

連續(xù)信號(hào)的相關(guān)分析與本章內(nèi)容有關(guān)的MATLAB函數(shù)相關(guān)函數(shù)

相關(guān)函數(shù)的概念

定義

上述定義式中，x與y的次序不能顛倒，即，且說明相關(guān)函數(shù)是兩個(gè)信號(hào)之間時(shí)移τ的函數(shù)若x(t)和y(t)不是同一信號(hào)，則Rxy(τ)和Ryx(τ)為互相關(guān)函數(shù)若x(t)和y(t)是同一信號(hào)，即x(t)=y(t)，則Rxx(τ)為自相關(guān)函數(shù)，且實(shí)信號(hào)x(t)的自相關(guān)函數(shù)是時(shí)移τ的偶函數(shù)，即相關(guān)函數(shù)

說明若x(t)和y(t)是實(shí)信號(hào)，則若x(t)和y(t)是功率有限信號(hào)，則

若x(t)和y(t)是實(shí)信號(hào)，則將上述公式中的共軛符號(hào)*去掉相關(guān)與卷積的關(guān)系

說明卷積需要進(jìn)行翻褶運(yùn)算，而相關(guān)則不需要若x(t)或y(t)是實(shí)偶函數(shù)，則相關(guān)和卷積完全相同相關(guān)定理

證明

說明若y(t)是實(shí)偶函數(shù)，則相關(guān)定理和卷積定理完全相同

相關(guān)定理

證明

說明若y(t)是實(shí)偶函數(shù)，則相關(guān)定理和卷積定理完全相同

本章內(nèi)容提要

連續(xù)時(shí)間信號(hào)的時(shí)域分析周期信號(hào)的頻率分解非周期信號(hào)的頻譜連續(xù)時(shí)間信號(hào)的復(fù)頻域分析連續(xù)信號(hào)的相關(guān)分析

與本章內(nèi)容有關(guān)的MATLAB函數(shù)連續(xù)信號(hào)分析中常用MATLAB函數(shù)squaresawtooth連續(xù)信號(hào)分析中常用MATLAB函數(shù)sinc

單位沖激信號(hào)diric

單位階躍信號(hào)

某些函數(shù)在MATLAB函數(shù)庫中沒有定義，如階躍函數(shù)、沖激函數(shù)等，需要用戶自行創(chuàng)建函數(shù)文件來實(shí)現(xiàn)。連續(xù)信號(hào)分析中常用