第一章靜電場

EnteringtheworldofEM一、關(guān)于教材1)著者北大物理系教授，國家物理教學(xué)委員會主任，《大學(xué)物理》雜志主編。2)教材特點

內(nèi)容豐富、廣泛，課后習(xí)題量大，備有答案。課程介紹3)獲獎

1986年獲首屆國家優(yōu)秀教材獎4)應(yīng)用

被廣泛選為教材，是各院校考研的指定參考書二、講授安排①帶星號的章節(jié)原則上不講②簡單電路、復(fù)雜電路、交流電路（不講）③部分次要內(nèi)容（不講）

緒論

1)電磁學(xué)的研究內(nèi)容

電磁學(xué)是經(jīng)典物理學(xué)的一部分。主要研究電荷、運動電荷產(chǎn)生電場、磁場的規(guī)律，電場、磁場的相互關(guān)系，電場對電荷、電流的作用、電磁場對物質(zhì)的各種相互作用。

（建議：學(xué)前、課程結(jié)束后各讀一遍）應(yīng)用

應(yīng)用范圍已擴展到人類生活的方方面面。3）電磁現(xiàn)象的普遍性

四種基本相互作用之一電磁引力強弱是各種宏觀接觸力的成因無線電、熱、光、X射線、伽馬射線都是電磁輻射第一章靜電場

相對于觀察者靜止的電荷所激發(fā)的電場。本章目的：研究真空中的靜電場的性質(zhì)和分布規(guī)律，以及帶電粒子在電場作用下的運動等問題。§1靜電的基本現(xiàn)象和基本規(guī)律§2電場電場強度

§3高斯定理§4電位及其梯度

§1靜電的基本現(xiàn)象和基本規(guī)律1、摩擦起電一、電荷物體由于摩擦有了吸引輕小物體的性質(zhì)，它就帶了電，這種帶電叫摩擦起電。2、兩種電荷實驗表明，自然界中只存在兩類電荷：正電和負(fù)電，且同性電荷相斥、異性電荷相吸引。規(guī)定：絲綢摩擦過的玻璃棒，棒上帶電為正；毛皮摩擦過的硬橡膠棒，棒上帶電為負(fù)。3、電荷測量

（1）電量的測量驗電器靜電計（金屬球）（金屬箔）(a)驗電器：張開情況可定性(b)靜電計：弧度刻尺上讀數(shù)，說明電量多少?？捎糜跍y量電量。

（2）電荷正負(fù)判定已帶某種已知電荷張角變大張角變小同性異性（3）電荷中和

自由的等量異號電荷相遇，它們恰好抵消的現(xiàn)象叫電荷中和。

二、靜電感應(yīng)電荷守恒定律

1、靜電感應(yīng)靜電感應(yīng)實質(zhì)上為電荷轉(zhuǎn)移的過程。(a)(b)

(c)(d)ABAB

2、電荷守恒定律

在一個與外界無電荷交換的封閉系統(tǒng)中，無論進(jìn)行什么過程，該系統(tǒng)的正負(fù)電荷之代數(shù)和始終保持不變。[說明]：(1)

電荷守恒是一切宏觀、微觀過程均遵守的規(guī)律。（物理學(xué)基本定律之一）(2)

電荷的量子化。電子電量大小庫侖,是電荷的最小單元，物體帶電是基本電子電量的整數(shù)倍（不連續(xù)）。三、物質(zhì)的電結(jié)構(gòu)導(dǎo)體與絕緣體1、物質(zhì)組成與原子結(jié)構(gòu)

2、起電的物理解釋

摩擦起電——用原子的玻爾模型說明：摩擦引起核外電子運動速度V變大，克服原子核的束縛而發(fā)生轉(zhuǎn)移。

感應(yīng)起電——導(dǎo)體中自由電子在外電場力作用下從物體的一部分轉(zhuǎn)移至另一部分。3、物質(zhì)按導(dǎo)電性能分類

按照傳導(dǎo)轉(zhuǎn)移電荷的能力，將物體進(jìn)行分類導(dǎo)體：能把電荷從產(chǎn)生地方迅速地轉(zhuǎn)移或傳導(dǎo)到其它地方。金屬、石墨、電解液、等離子體絕緣體：電荷幾乎停留在產(chǎn)生的地方，不易轉(zhuǎn)移半導(dǎo)體：轉(zhuǎn)移電荷的能力介于上述兩種物質(zhì)之間四、庫侖定律

法國物理學(xué)家查利·奧古斯丁·庫侖(1736-1806)，扭稱發(fā)明人，法國科學(xué)院院士。1、內(nèi)容

真空中兩個靜止點電荷之間的相互作用力，其大小與兩者電量成正比、與它們之間的距離平方成反比，方向沿兩電荷連線，且同性相斥、異性相吸。電學(xué)發(fā)展史上的第一個定量規(guī)律，使電學(xué)的研究從定性進(jìn)入定量階段。庫侖定律的數(shù)學(xué)表達(dá)形式其中:q1指向q2的單位矢量:q1給q2的作用力若將比例系數(shù)取為k，則有q1、q2本身可正可負(fù)，故上式包含力的排斥（正）、吸引（負(fù)）。同理，有:其中。推廣至一般，有:以后常略去下標(biāo)。很容易得到：（滿足牛頓第三定律）2、電量的單位及k（或0）的數(shù)值

在國際單位制（SI）中，常用的基本物理量及其基本單位為：長度L（m）、質(zhì)量m（kg）、時間t（S）、電流I（A）。依據(jù)物理公式導(dǎo)出的其它物理量的單位稱為導(dǎo)出單位，

k的大小—在庫侖定律中，q的單位由上述導(dǎo)出、r及力F的單位分別為米和牛頓（導(dǎo)出），k的大小則由實驗測定：由可得電量單位：設(shè)兩點電荷q1

=q2

=1C、真空中相距r=1m，用N作為F的單位，所得數(shù)值為：?。▎挝恢频挠欣砘瑒t稱為真空介電常數(shù)，是電學(xué)中的重要常數(shù)。至此，庫侖定律可表述為：3、關(guān)于庫侖定律的幾點說明

(1)只適用于真空、點電荷間作用力。

真空——物理上指沒有原子或分子存在的空間，但并非一無所有；點電荷——指帶電體幾何線度遠(yuǎn)小于它們之間的距離（），是理想模型。(2)只適用于靜止電荷，不適用于運動電荷。五、靜電力的疊加原理兩點電荷之間的作用力不因為第三個電荷的存在而改變，不管一個體系中存在多少個點電荷，每一對電荷之間的作用力都服從庫侖定律，而任一點電荷所受的合力則等于所有其它點電荷單獨作用于該電荷的庫侖力之矢量和。1、電荷分立分布設(shè)體系有N個點電荷，第j個點電荷所受合力為例如：邊長為a的正方形頂點置四個等量異號的點電荷，如圖所示，求任一點電荷q所受的合力。經(jīng)分析可知，q所受合力為圖示中三力之矢量和。-qqaa-qqdqq0

2、電荷連續(xù)分布

推廣至真空中連續(xù)體電荷分布對q0之作用力，有§2電場和電場強度

一、電場

庫侖定律給出了兩點電荷之間相互作用的定量關(guān)系，但并未說明作用的傳遞途徑。1、兩種觀點超距作用觀點：無需經(jīng)中間物體傳遞，而是超越空間直接地、瞬時地發(fā)生。(2)近距作用觀點：通過空間某種中間物為媒介，以一定的有限速度傳遞過去。現(xiàn)代物理學(xué)的觀點：不存在超距作用。即所有的作用都需要時間，均需要物質(zhì)傳遞。2、場的概念

彈性以太？——不存在電磁場觀點：電荷在周圍激發(fā)電場，電場具有物質(zhì)性。電荷電荷？

電荷——電場——電荷

[說明](1)電磁場與實物一樣具有能量、動量等，可以脫離場源而單獨存在，即電磁場是物質(zhì)的一種形態(tài)。(2)電場對其中的電荷會施加作用力。二、電場強度

3.討論

（1）場強是矢量物理量。既有大小，又有方向，且是空間位置矢量的函數(shù)，形成一個空間場分布，即電場構(gòu)成空間矢量場：(2)場強的單位或(3)場強定義式的變形此式不僅適用于靜電場，還適用于時變場。-由對稱性分析知垂直x

軸的場強為0例3均勻帶電圓環(huán)軸線上的場強解：在圓環(huán)上任取兩對稱電荷元,對應(yīng)元電場為>>若點電荷電場若

x=0（圓心處）,E=0,帶電體系電場解題小結(jié):對稱性分析：

簡化計算選擇坐標(biāo)系連續(xù)電荷(a)元電荷分割,(b)元電場分量分析,(c)分量積分五、帶電體在電場中受的力及其運動受力分析公式：，給定或者由電荷分布計算得到。帶電粒子受到作用力時，做變速運動。加速度。如果電場是均勻的，帶電體作均加速運動，如果電場是非均勻的，帶電體作變加速運動。

運動方程復(fù)雜，需要解微分方程。

簡單重要例子--->電偶極子在電場中的受力分析

介質(zhì)極化的機理解釋(a)[受力](b)[力矩]--->合力為零[例]電偶極子在均勻電場中所受的力矩

以中心O為參考點，由力矩定義可見，力矩的作用總是使電偶極子轉(zhuǎn)向電場的方向?！?高斯定理

一.電力線

用一系列空間曲線形象地描述場強分布，通常把這些曲線稱為電力線或電場線1.規(guī)定

方向：電力線上每一點的切線方向代表該點電場強度方向；

大小：在電場中任一點，取一垂直于該點場強方向的面積元，使通過單位面積的電力線數(shù)目，即電力線數(shù)密度，等于該點場強的量值。若面積元不垂直電場強度，電場強度與電力線條數(shù)、面積元的關(guān)系如何？由圖可知通過和電力線條數(shù)相同均勻電場分析電力線數(shù)密度電力線密集，E高；電力線稀疏，E低。推論：2.典型帶電體系的電力線+++-+-3.電力線的性質(zhì)1)始于正電荷，止于負(fù)電荷（或來自無窮遠(yuǎn)，去向無窮遠(yuǎn)），不會在沒有電荷處中斷；2)帶電體系中正負(fù)電荷相等時，正電荷發(fā)出的電力線全部集中到負(fù)電荷上去。3)電力線不會相交；4)靜電場中的電力線不會形成閉合曲線二.電通量勻強電場通過任意面積元的電通量通過任意曲面的電通量怎么計算？方法:把曲面分成許多個面積元每一面元處視為勻強電場電通量--->通過某一面的電力線的條數(shù)積分可得：通過閉合面的電通量正與負(fù)取決于面元的法線方向的選取如圖知：>0若面元法線方向如虛線箭頭所示S討論<0

閉合曲面面元方向規(guī)定：

由閉合面內(nèi)指向面外。

不同于一般曲面（面元法線方向沒有區(qū)別、沒有明確規(guī)定）S>0<0夾角為鈍角電力線穿入穿越閉合曲面的總電通量：夾角為銳角電力線穿出三.靜電場的高斯定理

1.表述(a)文字表述:在真空中的靜電場內(nèi)，通過任一閉合面的電通量等于這閉合面所包圍的所有電量的代數(shù)和除以0。(b)數(shù)學(xué)表述:平面角：由一點發(fā)出的兩條射線之間的夾角2.證明高斯定理的知識補充：立體角的概念為半徑的弧長取一般的定義：線段元與某點的距離為，則線段元對該點所張的平面角單位：弧度定義：同理：立體角面元對某點所張的立體角：錐體的“頂角”單位：球面度對比平面角，取半徑為，球面面元。定義同理計算球面對球心所張的立體角dS0Or0d可證得：任意閉合曲面對面內(nèi)一點所張立體角也為4球面度。庫侖定律電場強度疊加原理思路：先證明點電荷的電場遵守高斯定理，然后推廣至一般電荷分布的場3.高斯定理的證明

高斯定理（1）點電荷q位于球面S的中心rqS與半徑r無關(guān)（2）點電荷q在任意閉合曲面S內(nèi)以q

為球心作球面S"

由對稱性，在4立體角內(nèi)電通量均勻分布取立體角d

d在S、S"面上分別截出面元dS、dS"

qSS"rqSS"r穿過面元dS的電通量為：穿過面元dS"的電通量為：結(jié)論（3）點電荷q在閉合曲面S之外qS對q所張的立體角大小相等（4）多個點電荷產(chǎn)生的電場q1q2Sqi=0得證1.閉合面內(nèi)、外電荷的貢獻(xiàn)3.源于庫侖定律，高于庫侖定律討論都有貢獻(xiàn)

對

對電通量的貢獻(xiàn)有差別只有閉合面內(nèi)的電量對電通量有貢獻(xiàn)2.是靜電場性質(zhì)的基本方程有源場四、由高斯定理分析電力線性質(zhì)1.電力線的起點、終點（a)起點、夾角為銳角，電通量，由高斯定理：電力線起點處存在正電荷（b)終點同樣分析：電力線終點處存在負(fù)電荷(c)高斯定理的形象理解單一點電荷情形:正電荷：正電荷發(fā)出根電力線。負(fù)電荷：來自無窮遠(yuǎn)的根電力線終止于負(fù)電荷

由正電荷發(fā)出的電力線部分終止于負(fù)電荷，其余的電力線終止于無窮遠(yuǎn)終止負(fù)電荷的部分電力線來自于無窮遠(yuǎn)正負(fù)電荷同時存在時:由正電荷發(fā)出的電力線全部終止于負(fù)電荷(b)電力管的高斯面及電通量：高斯面：

側(cè)面+兩個截面2.電力線的疏密與場強(a)電力管的概念：由一束電力線圍成的管狀區(qū)域。

性質(zhì)：電力線在側(cè)面上，即沒有電力線穿過側(cè)壁。(c)結(jié)論電力線稀疏處，電場弱；電力線密集處，電場強。五.高斯定理的應(yīng)用利用高斯定理解較為方便的分布具有某種對稱性的情況下在

常見的電量分布的對稱性：

球?qū)ΨQ

柱對稱

面對稱均勻帶電的球體球面(點電荷)無限長柱體柱面帶電線無限大平板平面123討論的電場疊加問題無限大帶電平面①分析場的對稱性，明確的方向；②選取合適的高斯面；③計算；④計算；⑤應(yīng)用定理求的大小，結(jié)合方向得出。解題步驟總結(jié)：§4電位及其梯度(1)是靜電場另一基本性質(zhì)(2)證明所能依據(jù)的已有知識:(a)庫侖定律;(b)電場疊加原理(3)證明:

①單個點電荷電場;

②任意帶電體系電場§4.1靜電場力所做的功與路徑無關(guān)①單個點電荷(正電荷情形)描述:正電荷q處于O點,將試探電荷q0由P點沿路徑L移至Q點，計算電場力做的功APQ。L由點電荷場強公式L由下式：結(jié)論：單個點電荷的電場對試探電荷所做的功與路徑無關(guān),只與起、始點位置有關(guān)。

②任何帶電體系的電場（將帶電體分成多個點電荷元）電場疊加原理點電荷電場：每項都與路徑無關(guān)

結(jié)論：在任何靜電場中移動時，電場力所做的功只與試探電荷電量大小，起點、終點位置有關(guān)，與路徑無關(guān)。③功與路徑無關(guān)的另一表達(dá)方式——環(huán)路定理(b)閉合環(huán)路的線積分[說明積分方向](a)閉合路徑（圖）(c)在環(huán)路上任意取P、Q點，將閉合路徑分為L1和L2

。靜電場的環(huán)路定理：靜電場中電場強度沿任意閉合環(huán)路的積分恒等于0。討論是靜電場的基本方程之一靜電場是保守力場功與路徑無關(guān)與等價靜電場中電力線不能閉合的證明反證法：假設(shè)電力線可以閉合，如圖積分路徑每一段上，違反環(huán)路定理。§4.2電位(勢）差與電位（勢）靜電場重力場保守力場引進(jìn)位（勢）能概念重力場：將質(zhì)點從P點移到Q點，重力作功等于勢能的減少。水流傾瀉而下，水的勢能減少靜電場：把電荷q0由P點移到Q點，電場力作功等于電位能的減少。電位能減少電場力作功只和P、Q位置及電量q0有關(guān)或者:WP稱為電荷在P點的電位能。與重力場一樣，只有選定一個電位能參考零點，才能確定電位能WP

的具體值。對有限大帶電體來說，通常選取無限遠(yuǎn)處的電位能為零，則電位能差

WPQ與電荷電量有關(guān)，若除以q0，則只與位置有關(guān)，描述的是靜電場的性質(zhì)。定義這一比值為P、Q兩點間的電位差（電勢差、電壓）物理意義：從P到Q移動單位正電荷時電場力所作的功。UPQ為兩點間的電位差，確定某點的電位需要電位參考零點。若選無窮遠(yuǎn)處的電位為零，則空間任一點P的電位為：同樣：對于任意兩點P和Q，電位差：作功與路徑無關(guān)U(P)U(Q)電位零點的選擇方法：有限大帶電體以無窮遠(yuǎn)為電位零點，實際中常以大地和儀器外殼為電位零點。無限大帶電體以有限遠(yuǎn)為電位零點。靜電場力所作的功：由式靜電場力作功與電位差有關(guān)，與路徑無關(guān)。例1.點電荷場電位公式球?qū)ΨQ標(biāo)量正負(fù)：由場強積分法計算電位選最容易的積分路徑：徑向取決于場電荷例2：均勻帶電q、半徑R的球殼的電位分布。由高斯定理可知空間的電場分布具有球?qū)ΨQ性O(shè)R?Prq（1）球殼外（rR）和點電荷相同（2）球殼內(nèi)（r

R）OR?Prq0常數(shù)rUO例3：求無限長均勻帶電直線的電場中的電位分布???PP'P0rr0e由高斯定理可知空間的電場分布具有柱對稱性若選無限遠(yuǎn)處電位為零，則無意義，不能選無限遠(yuǎn)為參考點???PP'P0rr0e

設(shè)取P0點為參考點，則§4.3電位疊加原理點電荷組形成的電場意義：點電荷組的電場中某點的電位，是各個點電荷單獨存在時的電場在該點電位的代數(shù)和。電荷連續(xù)分布qdq?Pr例：求距電偶極子相當(dāng)遠(yuǎn)處任一點的電位。當(dāng)r>>l時,?Pr+r-r+q-qr-r+§4.4等位面（電位圖示法）(一)等位面定義由電位相等的點組成的面叫等位面，并規(guī)定任意兩相鄰等位面間的電位差相等。(二）等位面與電力線1.電力線處處垂直等位面在等位面上任意移動元位移，等勢=0即任意處處有電力線與等位面處處垂直2.等位面密集處場強大，稀疏