第七章分子動(dòng)理論

第三篇熱物理學(xué)

研究對(duì)象：熱現(xiàn)象及其規(guī)律。1、宏觀理論：以熱力學(xué)實(shí)驗(yàn)定律為基礎(chǔ)的熱力學(xué)理論。2、微觀理論：用統(tǒng)計(jì)方法，從微觀量入手，研究系統(tǒng)熱運(yùn)動(dòng)規(guī)律的理論。微觀量和宏觀量描寫微觀粒子特征的量。如分子質(zhì)量，速度，能量等。描寫宏觀物質(zhì)整體特征的量。如溫度，體積，內(nèi)能等。研究方法:導(dǎo)言熱力學(xué)統(tǒng)計(jì)物理學(xué)第八章氣體動(dòng)理論氣體動(dòng)理論研究對(duì)象為氣體，屬于統(tǒng)計(jì)物理學(xué)范疇。主要內(nèi)容：氣體的微觀圖象、氣體的宏觀描述、理想氣體模型、熱運(yùn)動(dòng)統(tǒng)計(jì)規(guī)律。重點(diǎn)：建立宏觀量T、P與微觀量之間的關(guān)系。§8-1氣體動(dòng)理論的基本概念一、統(tǒng)計(jì)規(guī)律的基本概念：2、研究方法：用統(tǒng)計(jì)平均的方法從微觀量求宏觀量。1、統(tǒng)計(jì)規(guī)律性：大量偶然事件的總體所具有的規(guī)律性。例：考試成績(jī)：90分，5人；80分，10人；70分，20人；

60分，10人；50分，5人。求平均分?！?-1氣體動(dòng)理論的基本概念-13、漲落：宏觀量的實(shí)際測(cè)量值與統(tǒng)計(jì)平均值的偏差稱漲落現(xiàn)象。漲落現(xiàn)象是統(tǒng)計(jì)規(guī)律的一種基本特征?！?/p>

歸一化條件系統(tǒng)處于一切可能狀態(tài)的概率總和等于1。§8-1氣體動(dòng)理論的基本概念-2二、物質(zhì)的微觀結(jié)構(gòu)模型：1、分子、原子觀點(diǎn):§8-1氣體動(dòng)理論的基本概念-3宏觀物體由大量粒子（分子、原子)組成。2、分子運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)：組成物質(zhì)的分子在永不停息地作無(wú)規(guī)則的熱運(yùn)動(dòng)。3、分子力觀點(diǎn)：分子間有相互作用力。此力為短程力,引力、斥力視距離而定。平衡位置三、理想氣體的微觀結(jié)構(gòu)模型與統(tǒng)計(jì)假設(shè)1)分子可視為質(zhì)點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)遵循牛頓運(yùn)動(dòng)定律。

2)分子間、分子與器壁間的碰撞是完全彈性的。

3)除碰撞瞬間，分子間無(wú)相互作用。1)平衡狀態(tài)下分子均勻分布(分子數(shù)密度均勻)。2)分子沿各方向運(yùn)動(dòng)的概率相同。四、狀態(tài)參量、平衡態(tài)與非平衡態(tài)1、狀態(tài)參量：表示系統(tǒng)有關(guān)特性的物理量（宏觀量）（P,T,V,E

等)?！?-1氣體動(dòng)理論的基本概念-41、理想氣體的微觀結(jié)構(gòu)模型2、統(tǒng)計(jì)假設(shè)））和立方米（），開（的單位分別為帕（，，中：3mkPVTPSIa2、平衡態(tài)：孤立系統(tǒng)中狀態(tài)參量處處相等且不隨時(shí)間變化的狀態(tài)。1）是理想的。2）是熱動(dòng)平衡。3）平衡態(tài)可用一組狀態(tài)參量表示，在P-V圖上用一點(diǎn)表示。3、平衡過(guò)程：若從一個(gè)平衡態(tài)到另一個(gè)平衡態(tài)的過(guò)程中所有狀態(tài)都無(wú)限接近平衡態(tài)，則此過(guò)程為平衡過(guò)程或稱準(zhǔn)靜態(tài)過(guò)程?？梢杂肞—V圖上的一條線來(lái)表示一個(gè)準(zhǔn)靜態(tài)過(guò)程。過(guò)程進(jìn)行的方向應(yīng)標(biāo)明?！?-1氣體動(dòng)理論的基本概念-5§8-2理想氣體的壓強(qiáng)公式和溫度公式一、理想氣體的壓強(qiáng)公式:1、微觀實(shí)質(zhì)：大量分子不斷對(duì)器壁碰撞，單位器壁面積上所受到的平均沖力。2、公式推導(dǎo)：1)考慮第i個(gè)分子碰撞Ai

面一次給器壁的沖量為2mvix2)該分子單位時(shí)間內(nèi)碰撞次數(shù)：3)該分子施予A1

的作用力:§8-2理想氣體的壓強(qiáng)公式和溫度公式-1若考慮分子間有碰撞，仍為此結(jié)果。(i、j交換，分子全同，不可分辨)。4)N個(gè)分子給A1

的作用力：5)壓強(qiáng)：又因?yàn)椋骸?-2理想氣體的壓強(qiáng)公式和溫度公式-2在平衡態(tài)下，有：故：—

氣體分子的平均平動(dòng)動(dòng)能討論：2)P是大量分子碰撞器壁的結(jié)果，對(duì)單個(gè)分子或少數(shù)分子，無(wú)壓強(qiáng)可言。

揭示了壓強(qiáng)的微觀本質(zhì)。§8-2理想氣體的壓強(qiáng)公式和溫度公式-33）推導(dǎo)過(guò)程中1）—4）利用了氣體的微觀模型；

5）利用了統(tǒng)計(jì)假設(shè)（平衡態(tài)下）。二、理想氣體的狀態(tài)方程：1mol,

NA=6.023×1023/mol

─阿佛加德羅常數(shù)描述理想氣體在任一平衡態(tài)下各宏觀狀態(tài)量之間的關(guān)系?！?-2理想氣體的壓強(qiáng)公式和溫度公式-4玻爾茲曼常量三、理想氣體的溫度公式：知?jiǎng)t§8-2理想氣體的壓強(qiáng)公式和溫度公式-51）把宏觀量T和微觀量的統(tǒng)計(jì)平均值聯(lián)系起來(lái)。2）溫度的微觀本質(zhì)是分子平均平動(dòng)動(dòng)能的量度；是表示氣體內(nèi)分子無(wú)規(guī)則熱運(yùn)動(dòng)激烈程度的物理量。3）溫度是大量分子熱運(yùn)動(dòng)的集體表現(xiàn)，因而溫度對(duì)個(gè)別分子毫無(wú)意義。討論：由狀態(tài)方程和壓強(qiáng)公式：四、理想氣體分子的方均根速率：故有§8-2理想氣體的壓強(qiáng)公式和溫度公式-6是大量分子的速率平方平均值的平方根，稱為方均根速率。解：§8-2理想氣體的壓強(qiáng)公式和溫度公式-7[例1]一容器內(nèi)有氫分子，問在標(biāo)準(zhǔn)狀況下單位體積內(nèi)的分子數(shù)是多少？分子方均根速率多大？若為氧氣，方均根速率多大？由P=nkT

得：n=p/kT=2.69×1025/m3[例2]試求氮?dú)夥肿拥钠骄絼?dòng)動(dòng)能和方均根速率?

設(shè):1)在溫度t=1000℃時(shí);2)在溫度t=0℃時(shí);2)同理在溫度t=0

℃時(shí)解:1)在溫度t=1000℃時(shí)§8-2理想氣體的壓強(qiáng)公式和溫度公式-8§8-3能量按自由度均分原理理想氣體的內(nèi)能一、自由度：(degreeoffreedom)1、定義：確定一物體空間的位置所需要的獨(dú)立坐標(biāo)的數(shù)目。用i表示.自由運(yùn)動(dòng)剛體的自由度：質(zhì)心：3（x,y,z)t=3繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)：1（θ）r

=3§8-3能量按自由度均分原理-1質(zhì)點(diǎn)的自由度：空間：3個(gè)獨(dú)立坐標(biāo)平面：2直線：1pzxy轉(zhuǎn)軸：2(α,β,γ)二、能量按自由度均分原理:2.氣體分子運(yùn)動(dòng)自由度：?jiǎn)卧臃肿樱憾嘣臃肿樱簞傂?i=6雙原子分子：3個(gè)平動(dòng)自由度,2個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度,1個(gè)振動(dòng)自由度,i=t+r+s=6

剛性雙原子分子,i=t+r=5§8-3能量按自由度均分原理-23個(gè)平動(dòng)自由度,i=31)對(duì)i個(gè)自由度的分子每個(gè)分子的平均總動(dòng)能應(yīng)為：(2)分子可看成諧振子，平均振動(dòng)的動(dòng)能和勢(shì)能相等平均總能量：轉(zhuǎn)平振在溫度為T的平衡態(tài)下,物質(zhì)分子的任何一個(gè)能量自由度上均分配有kT/2的平均動(dòng)能。§8-3能量按自由度均分原理-3推廣：能量按自由度均分原理：平動(dòng):分子在每個(gè)平動(dòng)自由度上的平均動(dòng)能相等,都等于kT/2討論：說(shuō)明：1)室溫下只有平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)，高溫下才有振動(dòng)。

一般不說(shuō)明，都按剛性分子處理，即無(wú)振動(dòng)。2)能量按自由度均分原理是統(tǒng)計(jì)規(guī)律，對(duì)單個(gè)分子無(wú)意義。3)該原理也適用于液體和固體。三、理想氣體內(nèi)能E

：1、一般熱力學(xué)系統(tǒng)的內(nèi)能：系統(tǒng)內(nèi)部各種能量總和?！?-3能量按自由度均分原理-42、理想氣體內(nèi)能：若無(wú)化學(xué)反應(yīng)、無(wú)核反應(yīng)，系統(tǒng)內(nèi)能指所有分子動(dòng)能和分子間勢(shì)能與分子內(nèi)原子間勢(shì)能的總和；理想氣體(剛性分子)的內(nèi)能,是系統(tǒng)內(nèi)全部分子的平動(dòng)動(dòng)能和轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能之和。每個(gè)分子的平均動(dòng)能：§8-3能量按自由度均分原理-51mol理想氣體的內(nèi)能：νmol理想氣體的內(nèi)能：1mol理想氣體的內(nèi)能i=6i=5i=3自由度剛性多原子剛性雙原子單原子當(dāng)溫度發(fā)生微小變化時(shí)，內(nèi)能的變化為：當(dāng)溫度由T變到T+△T，則2)T是狀態(tài)量，與過(guò)程無(wú)關(guān)，因而內(nèi)能也是狀態(tài)量與過(guò)程無(wú)關(guān)。一個(gè)過(guò)程中理想氣體內(nèi)能的變化僅與初末態(tài)溫度變化有關(guān)，與過(guò)程無(wú)關(guān)。說(shuō)明：§8-3能量按自由度均分原理-61)一定量的理想氣體，內(nèi)能只是溫度的單值函數(shù),

E∝T.3）公式變化：[例1]1mol氦氣與2mol氧氣在室溫下混合，試求當(dāng)溫度由27℃升為30℃時(shí)，該系統(tǒng)的內(nèi)能增量。解：由對(duì)氦氣i=3,對(duì)氧氣i=5

則內(nèi)能為：內(nèi)能的增量為：§8-3能量按自由度均分原理-7[例2]儲(chǔ)有1mol氧氣、體積為1m3

的容器以10m/s

的速度運(yùn)動(dòng)，該容器突然停止運(yùn)動(dòng)，80%

的定向運(yùn)動(dòng)動(dòng)能轉(zhuǎn)化為氣體的內(nèi)能，問氣體溫度及壓強(qiáng)的增量是多少？解：§8-3能量按自由度均分原理-8作業(yè)：8-38-58-8復(fù)習(xí)2、理想氣體的溫度和平均平動(dòng)動(dòng)能的關(guān)系：3、能量均分原理：每一個(gè)自由度的平均動(dòng)能為：一個(gè)分子的總平均動(dòng)能為：mol理想氣體的內(nèi)能：1、理想氣體的壓強(qiáng)：§8-3能量按自由度均分原理-9§8-4麥克斯韋分布律一、麥克斯韋速率分布律:單個(gè)分子速率取值是任意偶然的。溫度T一定時(shí),大量分子的方均根速率是確定的。說(shuō)明：平衡態(tài)時(shí)，雖然單個(gè)分子的速率偶然，但大量分子的速率滿足一定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律?！?-4麥克斯韋分布律-11、速率分布的概念：

分子可能的速率值:

速率區(qū)間:使:Ni/N表示第i個(gè)速率間隔中的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比或表示單個(gè)分子速率值落在區(qū)間內(nèi)的概率。兩種說(shuō)法是等價(jià)的。0vf(v)2、速率分布函數(shù)：§8-4麥克斯韋分布律-3由實(shí)驗(yàn)知:Ni/N與速率區(qū)間有關(guān)。

當(dāng)v0時(shí),Ni/(Nv)與v無(wú)關(guān),僅是v

的連續(xù)函數(shù),即速率分布函數(shù)物理意義：

速率在v附近單位速率間隔內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比,或某分子速率出現(xiàn)在v附近的單位速率間隔內(nèi)的概率。3、麥克斯韋速率分布函數(shù)速率分布函數(shù)定義式

在平衡態(tài)下，當(dāng)氣體分子間的相互作用可以忽略時(shí)，分布在任一速率區(qū)間v~v+dv

的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率為：速率分布函數(shù)定義式討論：為速率分布曲線，為曲線上任一點(diǎn)的值。§8-4

麥克斯韋分布律-5

表示速率在v附近，單位速率區(qū)間的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率。1)面積=2）表示在速率間隔v-v+dv

內(nèi)分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比；或?qū)θ我环肿?，速率處在v-v+dv

速率間隔的幾率。速率分布曲線下窄條面積。表示在v1

—v2

速率間隔內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比。v1—v2

內(nèi)曲線下面積?！?-4

麥克斯韋分布律-6vv+dv0vf(v)3）總面積：§8-4

麥克斯韋分布律-7歸一化條件：4）三種速率：①最概然速率(最可幾速率)vp：②平均速率：與分子速率分布曲線的極大值對(duì)應(yīng)的速率大量氣體分子的速率的平均值。（與前面一致）§8-4

麥克斯韋分布律-8③方均根速率三種速率的比較：f(v)0v

當(dāng)T升高時(shí),速率分布曲線的峰值點(diǎn)向右下移,分布變平坦.5）f(v)與T，m

的關(guān)系f(v)f(vp3)vvp3f(vp1)f(vp2)T1T3T2溫度越高,速率大的分子數(shù)越多vp2vp1AT1<T2<T3§8-4

麥克斯韋分布律-10§8-4

麥克斯韋分布律-11f(v)f(vp3)vvp3f(vp1)f(vp2)m1m3m2粒子質(zhì)量越大,速率大的分子數(shù)越少。vp2vp1Am1>m2>m3

當(dāng)m增大時(shí),速率分布曲線的峰值點(diǎn)向左上移,分布變陡峭.§8-5玻爾茲曼分布律麥?zhǔn)纤俣确植悸蔀橄鄳?yīng)于分子不受外力場(chǎng)的影響，只考慮分子在速度空間體積元dvxdvydvz

中的分布情況。對(duì)于更一般的情形，如在外力場(chǎng)中的氣體分子的分布將如何呢？其指數(shù)僅包含分子運(yùn)動(dòng)動(dòng)能：一、玻爾茲曼分布律：§8-5玻爾茲曼分布律-1玻爾茲曼的推廣：

在外力場(chǎng)作用下，分子按速度的分布受力場(chǎng)的影響，按空間位置的分布是不均勻的，依賴于分子所在力場(chǎng)的性質(zhì)。用代替。用x、y、z、vx、vy、vz

為軸構(gòu)成的六維空間中的體積元dxdydzdvxdvydvz

代替速度空間的體積元dvxdvydvz

?！?-5玻爾茲曼分布律-2玻爾茲曼分布律（玻爾茲曼分子按能量分布定律）：

當(dāng)系統(tǒng)在力場(chǎng)中處于穩(wěn)定態(tài)時(shí)，其中坐標(biāo)介于區(qū)間x~x+dx、y~y+dy、z~z+dz內(nèi)，同時(shí)速度介于vx~vx+dvx，vy~vy+dvy，vz~vz+dvz內(nèi)的分子數(shù)為：討論：3、如不限制速度，則：1、dN為理想氣體在外場(chǎng)作用下,體元dV內(nèi)速度介于內(nèi)的分子數(shù)?！?-5玻爾茲曼分布律-3為在處，單位體積內(nèi)具有各種速度的分子總數(shù)。由歸一化條件積分等于1二、重力場(chǎng)中大氣密度與壓強(qiáng)按高度的分布Z=0

處，Ep=0,分子勢(shì)能為Ep=mgz

；則§8-5玻爾茲曼分布律-4它表示保守力場(chǎng)中勢(shì)能為EP的空間位置附近單位體積內(nèi)的分子數(shù)。3）等溫高度公式：（高度計(jì)原理）§8-5玻爾茲曼分布律-52）等溫氣壓公式：等溫氣壓公式（近似成立）表明:氣壓隨高度的增加按指數(shù)衰減.

n—單位體積內(nèi)的分子數(shù)（大氣分子數(shù)密度）。討論：1）分子數(shù)密度n隨高度的增加按指數(shù)衰減.§8-6分子的平均碰撞頻率與平均自由程分子的碰撞實(shí)質(zhì)二、分子的平均碰撞頻率：一個(gè)分子單位時(shí)間內(nèi)與其它分子碰撞的平均次數(shù)。一、分子的碰撞：§8-6分子的平均碰撞頻率與平均自由程-1平均碰撞頻率：采用理想模型:假定每個(gè)分子都是直徑為d的彈性球，特定分子A以平均相對(duì)速率運(yùn)動(dòng)；其它分子不動(dòng)，分子A與其它分子發(fā)生完全彈性碰撞，其球心的軌跡是一條折線。分子的有效直徑d(10-10m量級(jí))§8-6分子的平均碰撞頻率與平均自由程-2圓柱體的橫截面面積

就叫碰撞截面：=d2

單位時(shí)間內(nèi)分子A

走的距離,相應(yīng)的圓柱體體積為。則體積內(nèi)的分子數(shù)，即一秒內(nèi)分子發(fā)生碰撞的次數(shù)應(yīng)為：麥克斯韋考慮到其它分子在運(yùn)動(dòng),且速率不同，上式需要修正.sduddA二、分子的平均自由程：平均自由程：分子連續(xù)兩次碰撞之間自由運(yùn)動(dòng)路程的平均值。將代入得：故：§8-6分子的平均碰撞頻率與平均自由程-3[例1]求在標(biāo)準(zhǔn)狀況下，氫分子的平均碰撞頻率與平均自由程，氫分子的有效直徑為2×10-10m。解：分子的平均速率為：§8-6分子的平均碰撞頻率與平均自由程-3作業(yè)：8-128-138-148-198-21

用總分子數(shù)N、氣體分子速率v和速率分布