第二章分子動理學(xué)理論的平衡態(tài)理論習(xí)題解答

第二章習(xí)題解答2.2.1圖中列出了某量x的值的概率分布函數(shù)的圖線。求常量A的值，使在此值下該函數(shù)成為歸一化函數(shù)，然后計算x、x2和的平均值解：按照歸一化條件，概率分布曲線下的面積為1，則因而概率分布函數(shù)為：2.2.2量x的概率分布函數(shù)具有形式，式中A和a是常數(shù)，是寫出x的值出現(xiàn)在7.9999到8.0001范圍內(nèi)的概率P的近似表示式解：由歸一化，有：其中f(x)是偶函數(shù)，因而有因而處于7.9999到8.0001范圍內(nèi)的概率為：2.3.6試將麥克斯韋速率分布化為按平動動能的分布，并求出最概然動能。它是否等于？為什么？分析：對于理想氣體來說，麥克斯韋速率分布和按照平動動能的分布式完全等價的。也就是說，，所以只要將中的v以平動動能來表示，就得到按平動動能的分布。解：麥克斯韋速率分布為：設(shè)最概然動能為p，有：

可得最概然動能為：

由最概然速率所表示的動能為：顯然與最概然動能不相等。這個差異來自于數(shù)學(xué)而不是物理：函數(shù)形式：且其導(dǎo)數(shù)的函數(shù)形式也不相等2.4.1因為固體的原子和氣體分子之間有力的作用,所以在真空系統(tǒng)中的固體表面上會形成厚度為一個分子直徑的那樣一個單分子層.設(shè)這層分子仍可十分自由地在固體表面上滑動,這些分子十分近似地形成二維理想氣體.如果這些分子是單原子分子,吸附層的溫度為T,試給出表示分子處于速率為v到v+dv范圍內(nèi)的概率f(v)dv的表達(dá)式解：在xy平面上運動的二維理想氣體的麥?zhǔn)纤俣确植紤?yīng)當(dāng)為：設(shè)在二維速度空間中位置在vx~vx+dvx,vy~vy+dvy范圍內(nèi)的分子代表點數(shù)為dNvx,vy,顯然二維速度空間中的分子代表點的數(shù)密度為:二維理想氣體的麥?zhǔn)纤俾史植急硎玖朔肿犹幵诙S速度空間中，半徑v~v+dv的圓環(huán)內(nèi)的概率二維理想氣體的麥?zhǔn)纤俾史植急硎玖朔肿犹幵诙S速度空間中，半徑v~v+dv的圓環(huán)內(nèi)的概率，dNv是半徑為v~v+dv的圓環(huán)內(nèi)的分子代表點數(shù)，它等于圓環(huán)面積乘上分子代表點的數(shù)密度D，由A式可有：所以分子處于速率為v~v+dv范圍內(nèi)的概率表達(dá)式為：此即二維理想氣體的麥克斯韋速率分布2.4.4設(shè)氣體分子的總數(shù)為N,試證明速度的x分量大于某一給定值vx的分子數(shù)為,其中證明：速度的x分量分布為:速度的x分量分布在0~vx的分子數(shù)為:則有:速度的x分量在0~∞之間的分子數(shù)為N/2,所以:2.5.2一容器被一隔板分成兩部分,其中氣體的壓強(qiáng)分別為P1、P2。兩部分氣體的溫度均為T，摩爾質(zhì)量均為Mm。試證明：如果隔板上有一面積為A的小孔，則每秒通過小孔的氣體質(zhì)量為證明：利用平均速率公式可以把氣體分子碰壁數(shù)公式變換為：在單位時間內(nèi)通過單位面積小孔，隔板左邊凈增加的分子數(shù)為：在dt時間內(nèi)通過小孔的氣體質(zhì)量為：2.5.5若使氫分子和氧分子的vrms等于它們在地球表面上的逃逸速率，各需多高的溫度？若使氫分子和氧分子的vrms等于月球表面上的逃逸速率，各需多高的溫度？已知月球的半徑為地球半徑的0.27倍，月球的重力加速度為地球的0.165倍解：在離地球中心距離為R的高層大氣中,必有某些氣體分子的速率大于從該處脫離地球引力而逃逸的最小速率vmin,E（它稱為逃逸速率）。這些分子向上運動時，只要不和其他分子碰撞就可以逃逸出大氣層。氣體分子克服地球引力做功=氣體分子逃逸時的初動能，故：在忽略重力加速度隨高度變化的情況下，可以用地球表面的數(shù)據(jù)替代，則：利用近似關(guān)系：其中g(shù)E、ME、RE是地球表面的重力加速度、地球質(zhì)量、地球半徑同理可得月球表面的各關(guān)系式。代入數(shù)據(jù)有：氫分子和氧分子的vrms分別等于地球表面上的逃逸速率時對應(yīng)的溫度：氫分子和氧分子的vrms分別等于月球表面上的逃逸速率時對應(yīng)的溫度：2.5.11從一容器壁的狹縫射出一分子束，⑴試求該分子數(shù)中分子的最概然速率vP和最概然能量eP；⑵求得的vP和eP與容器內(nèi)的vP和eP是否相同？為什么？⑶eP是否等于

，為什么？解：分子束速率分布函數(shù)：因而分子束中分子的最概然速率vP有：把分子束的速率分布函數(shù)化為分子束按照能量分布的函數(shù):則由可得最概然能量:⑵求得的分子束的vP1和eP1與容器內(nèi)氣體分子的的vP2和eP2不同。這是因為容器內(nèi)氣體是處于靜態(tài)的，而分子束中的氣體分子是處于動態(tài)的，所以容器內(nèi)氣體速率分布不同于分子束中分子的速率分布。⑶這也是因為分子束中的氣體分子是處于動態(tài)的，而容器內(nèi)氣體是處于靜態(tài)的2.6.3若認(rèn)為大氣是溫度為273K的等溫大氣，試估計地球大氣的總分子數(shù)及總質(zhì)量.解:由于大氣分子數(shù)密度是按指數(shù)曲線衰減的,地球大氣標(biāo)高,說明從海平面到高度h=H處,大氣分子數(shù)密度已經(jīng)減少為若把整個大氣分子壓縮為一層覆蓋在地球表面的、其密度與海平面處大氣密度相等的均勻大氣層，則其厚度也是H。因而大氣總分子數(shù)大約可估計為：其中n(0)為標(biāo)況下理想氣體分子數(shù)密度地球表面的大氣壓強(qiáng)是因為地球?qū)Φ孛嬉陨纤械拇髿夥肿拥闹亓ψ饔枚a(chǎn)生的。海平面上的大氣壓強(qiáng)是標(biāo)準(zhǔn)大氣壓強(qiáng)P0，地球的表面積是,故地球大氣分子的總質(zhì)量約為：2.6.9已知溫度為T的理想氣體在重力場中處于平衡狀態(tài)時的分布函數(shù)為，其中z為由地面算起的高度。(1)試求出系數(shù)A；(2)試寫出一個分子其x,y坐標(biāo)可任意取，其z軸坐標(biāo)處于z~z+dz,而其速度矢量處于，，間的概率；(3)寫出一個分子其x,y,z坐標(biāo)及均可任意取，但處于間的概率；(4)一個分子的x,y坐標(biāo)及均可任意取，其高度處于z~z+dz的概率解:(1)式中第一個因子是麥克斯韋速度分布，本身歸一化；第二個因子是沿z方向的重力場分布，也應(yīng)歸一化，因而有：則：(2)題中的分布可寫為：在(A)式中對x，y（即地球表面）積分（即地球表面積），即得一個分子其x，y坐標(biāo)可任意取，其z軸坐標(biāo)處于z~z+dz,而其速度矢量處于、、間的概率，其值為：

(3)要求一個分子其x,y,z坐標(biāo)及均可任意取，但處于間的概率，則只需對(A)式中的x,y,z及進(jìn)行積分，結(jié)果即為麥克斯韋速度分量的分布：(3)要求一個分子其x,y,z坐標(biāo)及均可任意取，但處于(4)同理可得一個分子的x，y坐標(biāo)及均可任意取，其高度處于z~z+dz的概率為：

2.6.10在高層大氣中的重力加速度是大氣高度h的函數(shù).設(shè)地球表面大氣壓強(qiáng)為P0，大氣層的溫度處處均勻，地球半徑為RE，試求在h高度處的大氣壓強(qiáng)P(h)解:由于在離開地球表面處的萬有引力勢能為:其中RE為地球半徑，ME為地球質(zhì)量.按照玻爾茲曼分布，在h高度處的大氣壓強(qiáng)P(h)與在地面處的大氣壓強(qiáng)P0分別為:其中P(0)為一常量.將上面兩式相除,可得:討論:從這一結(jié)果可以知道:當(dāng)h=0時，P=P0，這是符合前面的假定的。當(dāng)時，有：，這好像有問題。當(dāng)時，大氣壓強(qiáng)應(yīng)該等于零，好像不符合實際情況。但應(yīng)當(dāng)注意到，在273K時的地球大氣標(biāo)高是，它遠(yuǎn)小于地球半徑RE，所以2.7.1求常溫下質(zhì)量m1=3.00g的水蒸氣與m2=3.00g的氫氣組成的混合理想氣體的摩爾定體熱容解:3.00g的水蒸氣的物質(zhì)的量是,3.00g的氫氣的物質(zhì)的量是.由于氫氣有5個自由度，水蒸氣有6個自由度，根據(jù)能量均分定理，1mol氫氣的內(nèi)能為，1mol水蒸氣的內(nèi)能為m1=3.00g的水蒸氣與m2=3.00g的氫氣組成的混合理想氣體的內(nèi)能為?；旌侠硐霘怏w的物質(zhì)的量為