第二章隨機(jī)信號(hào)分析

第二章隨機(jī)信號(hào)分析12.1引言通信系統(tǒng)最根本的問題是研究信號(hào)在系統(tǒng)中的傳輸和交換的全過程。通信過程實(shí)際是信號(hào)和噪聲過通信系統(tǒng)的過程。信號(hào)和噪聲都是隨機(jī)信號(hào)隨機(jī)信號(hào)：具有隨機(jī)性的信號(hào)，即“事先不可預(yù)知”。確知信號(hào)：確定的信號(hào)，“事先可預(yù)知”。信息源所發(fā)的消息“事先不可預(yù)知”，因此通信系統(tǒng)中遇到的信號(hào)通?？値в心撤N隨機(jī)性，是隨機(jī)信號(hào)。各種噪聲和干擾是“不確定的”，因此隨機(jī)噪聲。用概率和統(tǒng)計(jì)的方法來研究隨機(jī)信號(hào)。本章主要介紹隨機(jī)信號(hào)和噪聲的特性表述，以及它們通過線性系統(tǒng)的基本分析方法。2001Copyright2SCUTDT&PLabs2.2隨機(jī)過程的一般表述通信過程是一種隨機(jī)過程。通信過程是信號(hào)和噪聲過通信系統(tǒng)的過程，而信號(hào)和噪聲都是隨機(jī)信號(hào)，因此通信過程是一種隨機(jī)過程。隨機(jī)過程:隨即過程是時(shí)間t的函數(shù)，但在任一時(shí)刻上觀察到的值是不確定的。即隨機(jī)過程不能用一個(gè)或幾個(gè)時(shí)間的確定函數(shù)來描述?？梢杂秒S機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)特征描述隨機(jī)過程。概率分布函數(shù)及概率密度函數(shù)數(shù)字特征，如數(shù)學(xué)期望、方差、相關(guān)函數(shù)2001Copyright3SCUTDT&PLabs2.2隨機(jī)過程的一般表述概率分布函數(shù)及概率密度函數(shù)一維概率分布函數(shù)F1(x1,t1)

x(t)表示一隨機(jī)過程，其一維概率分布函數(shù)F1(x1,t1)表示在t1時(shí)刻，x(t)的值比給定值x1小的可能性是多少。一維概率密度分布函數(shù)f1(x1,t1)一維只表示一個(gè)時(shí)刻點(diǎn)

t1的概率分布，對(duì)隨即過程的統(tǒng)計(jì)描述是極不充分的，因此一般用多維概率分布函數(shù)和多維概率密度分布函數(shù)表示。2001Copyright4SCUTDT&PLabs2.2隨機(jī)過程的一般表述數(shù)字特征數(shù)學(xué)期望E[x(t)],表示平均值。方差D[x(t)],表示偏移量(距離平均值)。2001Copyright5SCUTDT&PLabs2.2隨機(jī)過程的一般表述自相關(guān)函數(shù)R(t1,t2),衡量同一個(gè)過程的相關(guān)程度。自協(xié)方差B(t1,t2),衡量同一個(gè)過程的相關(guān)程度。1)]([tE21),(ttB(t1,t2)=R2)](t-×E[xx2001Copyright6SCUTDT&PLabs2.2隨機(jī)過程的一般表述互相關(guān)函數(shù)Rxh(t1,t2),衡量?jī)蓚€(gè)過程x(t)

和h(t)

的相關(guān)程度?；f(xié)方差Bxh(t1,t2)：1)]([tE21),(ttBxh(t1,t2)=Rxh2)](t-×E[h

x數(shù)學(xué)期望E[x(t)]和自相關(guān)函數(shù)R(t1,t2)

是最重要的兩個(gè)數(shù)字特征。2001Copyright7SCUTDT&PLabs2.3平穩(wěn)隨機(jī)過程定義:(1)若隨機(jī)過程的所有n維分布函數(shù)或n維概率密度函數(shù)都與時(shí)間起點(diǎn)無關(guān)，則稱之為平穩(wěn)隨機(jī)過程。(嚴(yán)平穩(wěn)，狹義平穩(wěn))(2)若隨機(jī)過程的數(shù)學(xué)期望與時(shí)間t無關(guān)，為a，而其相關(guān)函數(shù)僅與時(shí)間間隔有關(guān)，則稱之為廣義平穩(wěn)過程。即：E[x(t)]＝a,

R

(t1,t1+)=R

()2001Copyright8SCUTDT&PLabs平穩(wěn)隨機(jī)過程的各態(tài)經(jīng)歷性(重點(diǎn))隨機(jī)過程的任一實(shí)現(xiàn),都經(jīng)歷了隨機(jī)過程的所有可能狀態(tài).因此,可以用一個(gè)實(shí)現(xiàn)的統(tǒng)計(jì)特性來了解整個(gè)過程的統(tǒng)計(jì)特性,通過“時(shí)間平均”獲得“統(tǒng)計(jì)平均”。2001Copyright9SCUTDT&PLabs課堂練習(xí)求x(t)=sin(0

t+)的數(shù)學(xué)期望和自相關(guān)函數(shù)求數(shù)學(xué)期望：E

[x(t)]＝E

[sin(0

t+)]＝E

[sin0

t*cos+cos0

t*sin

]＝sin0

t*

E

[cos]+cos0

t*

E

[sin]

-∞∞E

[sin]=sind＝0-∞∞記?。篍

[cos]=cosd=0，E

[x(t)]＝sin0

t*

E

[cos]+cos0

t*

E

[sin]＝0

記住：E[sinn*

(0

t+)]＝E[cosn*

(0

t+)]

=0(對(duì)積分)★注意：對(duì)誰積分？

是對(duì)非時(shí)間t的變量x積分。對(duì)x(t)而言，0

常量，t為時(shí)間變量，只有為非時(shí)間變量。因此對(duì)積分。2001Copyright10SCUTDT&PLabs求自相關(guān)函數(shù)：R(t1,t2)＝E[x

(t1)×x(t2)]

通常令t2＝t1+，得R

(t1,t1+)=E[x

(t1)×x(t1+)]＝E[sin(0

t1+)×sin(0

(t1+)+)]＝E[sin(0

t1+)×sin(0

t1++0)]＝E{sin(0

t1+)×[sin(0

t1+)*cos0+cos(0

t1+)*sin0]}＝E[sin2(0

t1+)

*cos0+sin(0

t1+)*cos(0

t1+)*sin0]＝E[sin2(0

t1+)]

*E[cos0]+E[sin(0

t1+)]*E[cos(0

t1+)]*E[sin0]

注意，對(duì)積分，因此

E[cos0]＝cos0，而E[sin(0

t1+)]＝0＝E[sin2(0

t1+)]

*cos0E[sin2(0

t1+)]＝E[0.5(1-cos2(0

t+)]＝0.5{E[1]－

E[cos2(0

t+)]

＝0.5[1－

0]＝0.5

Rsin(0t+)

(t1,t1+)=0.5cos0

2001Copyright11SCUTDT&PLabs重要結(jié)論：對(duì)x(t)=sin(0

t+)，數(shù)學(xué)期望為

0，自相關(guān)函數(shù)為0.5cos0，因此為平穩(wěn)隨機(jī)過程。對(duì)x(t)=cos(0

t+)

，數(shù)學(xué)期望為

0，自相關(guān)函數(shù)為0.5cos0，它的統(tǒng)計(jì)特性與sin(0

t+)的一樣，也為平穩(wěn)隨機(jī)過程。對(duì)x(t)=sinn*

(0

t+)

，數(shù)學(xué)期望為

0，自相關(guān)函數(shù)為0.5cosn

0，與sin(0

t+)相比，其統(tǒng)計(jì)特性只是相應(yīng)的在三角函數(shù)中×

n，也為平穩(wěn)隨機(jī)過程。對(duì)x(t)=cosn*

(0

t+)

，數(shù)學(xué)期望為

0，自相關(guān)函數(shù)為0.5cosn

0，同樣與sinn*

(0

t+)的統(tǒng)計(jì)特性一樣，也為平穩(wěn)隨機(jī)過程。2001Copyright12SCUTDT&PLabs2.4平穩(wěn)隨機(jī)過程的相關(guān)函數(shù)及功率譜平穩(wěn)隨機(jī)過程的相關(guān)函數(shù)的重要性其它統(tǒng)計(jì)特性可以通過相關(guān)函數(shù)求得。平穩(wěn)隨即過程的自相關(guān)函數(shù)與其功率譜密度之間互為傅立葉變換關(guān)系。2001Copyright13SCUTDT&PLabs2.4平穩(wěn)隨機(jī)過程的相關(guān)函數(shù)及功率譜平穩(wěn)隨機(jī)過程的相關(guān)函數(shù)的性質(zhì):(1)R

(0)＝E[x2(t)]＝s…R

(0)為x(t)的平均功率(2)R

()＝R

(-)…R

()是偶函數(shù)(3)R

()≤R

(0)…R

(0)是R

()的上界(4)R

(∞)＝E2[x(t)]…R

(∞)為x(t)的直流功率(5)R

(0)－R

(∞)＝s2…s2是方差，為x(t)的交流功率R

(0)R

()R

(∞)a2直流功率ts2交流功率平均功率s2001Copyright14SCUTDT&PLabs課堂練習(xí)平穩(wěn)隨機(jī)過程x(t)=sin(0

t+)，求x(t)的數(shù)學(xué)期望、方差、直流功率、交流功率、平均功率。自相關(guān)函數(shù)：R

()=0.5cos0數(shù)學(xué)期望：E[x(t)]=0因此x(t)為平穩(wěn)隨機(jī)過程，因此平均功率：s=E[x2(t)]=

R

(0)=0.5cos0=0.5數(shù)學(xué)期望：E[x(t)]=0，直流功率：E2[x(t)]=0交流功率=平均功率－直流功率=

0.5－0=0.5方差：s2=交流功率=

0.52001Copyright15SCUTDT&PLabs2.自相關(guān)函數(shù)與功率譜密度的關(guān)系定義:為確定性過程或隨機(jī)過程某實(shí)現(xiàn)的功率譜密度，其中FT()是過程變量在截?cái)鄥^(qū)間[-T/2,T/2]上的Fourier變換。對(duì)于隨機(jī)過程，稱Ps()的數(shù)學(xué)期望為該過程的功率譜密度，即2001Copyright16SCUTDT&PLabs可以證明：平穩(wěn)隨機(jī)過程的功率譜密度等于該過程的自相關(guān)函數(shù)的富里葉變換。表示富里葉變換復(fù)習(xí)：富里葉變換。

Ps()＝R

()e-j

d-∞∞-∞∞R

()＝(1/2)

Ps()ej

d(逆變換)2001Copyright17SCUTDT&PLabs課堂練習(xí)例2.4.1x(t)=sin(0

t+)，求x(t)的功率譜密度函數(shù)。思路：首先證明x(t)是平穩(wěn)隨機(jī)過程，然后對(duì)自相關(guān)函數(shù)R

()進(jìn)行傅立葉變換，求得功率譜密度函數(shù)Ps()。其步驟為：1，求數(shù)學(xué)期望E[x(t)]＝0，自相關(guān)函數(shù)R

(t1,t2)＝0.5cos0，因此數(shù)學(xué)期望與時(shí)間無關(guān)，相關(guān)函數(shù)僅與時(shí)間間隔有關(guān)，因此x(t)是平穩(wěn)隨機(jī)過程。2，對(duì)R

()進(jìn)行傅立葉變換，求得Ps()

-∞∞-∞∞-∞∞Ps()＝0.5cos0

×e

-j

d=(1/4)(ej0+e-j0

)×e-j

d=(1/4)(ej(0

-)+e-j(0

+))d=(2/4)[(0

-)+(0

+)]2001Copyright18SCUTDT&PLabs2.5高斯過程高斯過程的定義：其一維概率密度函數(shù)為正態(tài)分布a為均值(數(shù)學(xué)期望)，為方差。2001Copyright19SCUTDT&PLabs2.5高斯過程高斯過程的重要性質(zhì)：n維概率密度函數(shù)為n維正態(tài)分布，它完全由n個(gè)隨機(jī)變量X(t1)...X(tn)的數(shù)學(xué)期望(aj)、方差(j)及兩兩之間的相關(guān)函數(shù)（協(xié)方差bij）決定。因此,對(duì)高斯過程來說,只研究它的數(shù)字特征就可以了。廣義平穩(wěn)的高斯過程也是嚴(yán)格平穩(wěn)的。若高斯過程隨機(jī)變量在不同時(shí)刻取值互不相關(guān)bij=0,(i<>j)，則它們彼此獨(dú)立，即fn(x1…xn,t1…tn)=f(x1,t1)×f(x2,t2)…×f(xn,tn)如果一個(gè)線性系統(tǒng)的輸入隨機(jī)過程是高斯的,那么線性系統(tǒng)的輸出過程仍然是高斯的。2001Copyright20SCUTDT&PLabs噪聲通常是一種高斯過程，又稱為高斯噪聲。誤差函數(shù)與補(bǔ)誤差函數(shù)：正態(tài)分布函數(shù)經(jīng)常表示為與誤差函數(shù)相聯(lián)系的形式erf(x)=dz20x-z2e誤差函數(shù)：dz2

x∞-z2e補(bǔ)誤差函數(shù)：erfc(x)=1-erf(x)=查表求誤差函數(shù)與補(bǔ)誤差函數(shù)值：P473erf(1.28)=0.92973erfc(1.28)=1-erf(1.28)2001Copyright21SCUTDT&PLabs2.6窄帶隨機(jī)過程窄帶系統(tǒng)：頻譜寬度△f<<fc,且中心頻率fc>>0的系統(tǒng)。窄帶隨機(jī)過程的定義：隨機(jī)過程表示為：x(t)=a(t)cos[ct+(t)]，a(t)為包絡(luò)函數(shù)，(t)為相位函數(shù)，若a(t)和(t)

的變化均比cos

c

t慢得多，則稱x(t)為窄帶隨機(jī)過程。2001Copyright22SCUTDT&PLabs2.6窄帶隨機(jī)過程窄帶隨機(jī)過程的兩種表示：x(t)=

a(t)cos[ct+(t)]

a(t)為包絡(luò)函數(shù)，(t)為相位函數(shù)x(t)=

a(t)cos

(t)cosct-a(t)sin(t)sinct=

xc(t)cosct-xs(t)sinct

xc(t)=

a(t)cos

(t)為同相分量

xs(t)=

a(t)sin(t)為正交分量2001Copyright23SCUTDT&PLabs白噪聲定義：如果隨機(jī)過程n(t)的功率譜密度均勻分布在整個(gè)頻率范圍內(nèi)，即Pn(ω)=n0/2，則稱n

(t)為白噪聲。白噪聲是一個(gè)理想的寬帶過程。統(tǒng)計(jì)特性：均值為0，自相關(guān)函數(shù)Rn()=(n0/2)()，R

()僅在時(shí)間間隔為0時(shí)取非零。白噪聲是平穩(wěn)的隨機(jī)過程。P(2001Copyright24SCUTDT&PLabs本章重點(diǎn)重點(diǎn)章節(jié)2.4：P30例2.4.1，習(xí)題2.4（重點(diǎn)題型）

1，求隨機(jī)過程x(t)的數(shù)學(xué)期望E[x(t)]=a、自相關(guān)函數(shù)R

(t1,t1+)=E[x

(t1)×x(t1+)]=R()，證明x(t)是平穩(wěn)隨機(jī)過程。P()＝R

()e-j

d-∞∞2，對(duì)自相關(guān)函數(shù)R()進(jìn)行傅立葉變換求功率譜密度P()。3，由R()求x(t)的功率=R(0)，直流功率=R

(∞)，交流功率＝R(0)－R

(∞)＝2（方差）2001Copyright25SCUTDT&PLabs本章重點(diǎn)重點(diǎn)概念：2.3，寬平穩(wěn)與嚴(yán)平穩(wěn)的定義，平穩(wěn)隨機(jī)過程的“各態(tài)歷經(jīng)性”。2.5，高斯過程的4條重要性質(zhì)。2.6，窄帶系統(tǒng)的定義，窄帶隨機(jī)過程的兩種表示。2001Copyright26SCUTDT&PLabs習(xí)題講解3-2x(t)=2cos(2

t+)，是離散隨機(jī)變量，只分布在0和0.5處，P(=0)=P(=0.5)=0.5。E[x(1)]=E[2cos(2

+)]=2E[cos]=2[P(=0)cos0+P(=0.5)cos0.5)=2[0.5cos0+0.5cos0.5)=1而課堂練習(xí)中是連續(xù)隨機(jī)變量，因此-∞∞E

[cos