第五章假設(shè)檢驗(yàn)

第一節(jié)假設(shè)檢驗(yàn)的基本問題第二節(jié)幾種常見的假設(shè)檢驗(yàn)第三節(jié)假設(shè)檢驗(yàn)的兩類錯(cuò)誤與功效

第七章假設(shè)檢驗(yàn)第一節(jié)假設(shè)檢驗(yàn)的基本問題一、假設(shè)檢驗(yàn)的概念與種類二、原假設(shè)和備擇假設(shè)三、顯著性水平和拒絕域四、假設(shè)檢驗(yàn)的基本步驟所謂假設(shè)檢驗(yàn)，就是事先對(duì)總體參數(shù)或總體分布形態(tài)做出一個(gè)規(guī)定或假設(shè)，然后利用樣本提供的信息，以一定的概率來檢驗(yàn)假設(shè)是否成立（或是否合理），或者說判斷總體的真實(shí)情況是否與原假設(shè)存在顯著的系統(tǒng)性差異。

在統(tǒng)計(jì)中，常見的統(tǒng)計(jì)假設(shè)有：總體均值（或總體成數(shù)、總體方差等）等于（或大于、小于）某一數(shù)值，總體相關(guān)系數(shù)等于0，兩總體均值（或兩總體成數(shù)、兩總體方差）相等，總體分布服從正態(tài)分布等。

根據(jù)檢驗(yàn)的目的不同，假設(shè)檢驗(yàn)可以分為雙側(cè)檢驗(yàn)和單側(cè)檢驗(yàn)兩類。雙側(cè)檢驗(yàn)是指同時(shí)注意總體參數(shù)估計(jì)值與其假設(shè)值相比的偏高和偏低傾向的檢驗(yàn)。單側(cè)檢驗(yàn)是指只注意總體參數(shù)估計(jì)值比其假設(shè)值偏高或偏低傾向的檢驗(yàn),它是單方向的。要進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)，必須設(shè)立原假設(shè)和備擇假設(shè)。原假設(shè)也稱零假設(shè)或虛無假設(shè)，是研究者對(duì)總體參數(shù)值事先提出的假設(shè)，是被檢驗(yàn)的假設(shè)。備擇假設(shè)也稱對(duì)立假設(shè)，是研究者通過檢驗(yàn)希望能夠成立的假設(shè)，是當(dāng)原假設(shè)不成立時(shí)供選擇的假設(shè)。

設(shè)總體參數(shù)的假設(shè)值為，那么原假設(shè)記為：它表示總體參數(shù)值與其假設(shè)值之間沒有顯著差異。備擇假設(shè)記為：（雙側(cè)檢驗(yàn)時(shí)）或（右單側(cè)檢驗(yàn)時(shí)）或（左單側(cè)檢驗(yàn)時(shí)）假設(shè)檢驗(yàn)的實(shí)質(zhì)就是樣本信息是否有充分的理由來否定原假設(shè)。一方面原假設(shè)H0受到保護(hù)而不被輕易否定，使它處于有利地位；另一方面當(dāng)原假設(shè)H0被接收時(shí)，又認(rèn)為它不一定正確。還須指出，備擇假設(shè)的表達(dá)式中是不含有等號(hào)的，即等號(hào)一定存在于原假設(shè)中。進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)，概率論中關(guān)于小概率事件在一次試驗(yàn)中是不可能事件的原則是其所要遵循的基本原則。由抽樣分布理論可知，若原假設(shè)成立，則樣本統(tǒng)計(jì)值與總體參數(shù)假設(shè)值偏差很大的事件是一個(gè)小概率事件。倘若在一次抽樣中，樣本統(tǒng)計(jì)值與總體參數(shù)假設(shè)值相差很大，那么在原假設(shè)成立的條件下，就是出現(xiàn)了一個(gè)小概率事件。一旦出現(xiàn)小概率事件，就要懷疑原假設(shè)的正確性，從而否定原假設(shè)。若一次抽樣的樣本統(tǒng)計(jì)值與總體參數(shù)假設(shè)值相差不大，那么就沒有理由拒絕原假設(shè)，也就只好接受原假設(shè)?，F(xiàn)在的問題是，概率小到多少的事件為小概率事件？這個(gè)概率是在假設(shè)檢驗(yàn)之前由人們事先主觀選定的，用表示。究竟取多大為宜，應(yīng)視具體情況而定，通常取0.05或0.01，有時(shí)也取0.10，而把概率小于上述值的事件稱為小概率事件。越大，樣本統(tǒng)計(jì)值與總體參數(shù)假設(shè)值之間的差異成為顯著性差異的可能性越大；越小，這種差異成為顯著性差異的可能性越小。因此的大小就成了判定這種差異是否顯著的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，故稱為顯著性水平。1-，則是樣本統(tǒng)計(jì)值與總體參數(shù)假設(shè)值之差不超過一定范圍的概率。接受或拒絕原假設(shè)，最終要以顯著性水平為依據(jù)確定評(píng)判的規(guī)則。評(píng)判規(guī)則有兩種；臨界值規(guī)則和P-值規(guī)則。所謂臨界值規(guī)則，就是先把值轉(zhuǎn)化為一定分布下的臨界值，然后計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)值，最后把檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)值與臨界值相比較來判斷是否拒絕原假設(shè)。所謂P-值規(guī)則，就是先計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)值，然后求出統(tǒng)計(jì)量分布曲線圖中與檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)值相對(duì)應(yīng)的、稱之為觀測(cè)到的顯著性水平P-值，最后把P-值與事先給定的顯著性水平值相比較來判斷是否拒絕原假設(shè)。檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量是樣本統(tǒng)計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)化形式，其構(gòu)造公式為或。凡是檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量之值的絕對(duì)值小于臨界值的絕對(duì)值，那么就接受原假設(shè)；若檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量之值的絕對(duì)值大于或等于臨界值的絕對(duì)值，那么就拒絕原假設(shè)。這樣，臨界值就把樣本統(tǒng)計(jì)量的概率分布區(qū)域分成了兩部分（即把檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的取值分成了兩個(gè)區(qū)域）：不超過臨界值的區(qū)域和超過臨界值的區(qū)域。我們把不超過臨界值的區(qū)域稱為接受域，把超過臨界值的區(qū)域（含臨界值點(diǎn)）稱為拒絕域。標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的拒絕域如圖5-1、圖5-2所示。接受域拒絕域拒絕域

0

圖5-1正態(tài)分布雙側(cè)檢驗(yàn)接受域與拒絕域示意圖

（a）左單側(cè)檢驗(yàn)（b）右單側(cè)檢驗(yàn)

圖5-2正態(tài)分布單側(cè)檢驗(yàn)接受域與拒絕域示意圖接受域拒絕域

0接受域拒絕域

0假設(shè)檢驗(yàn)的基本原理

（一）提出原假設(shè)和備擇假設(shè)；（二）確定檢驗(yàn)的顯著性水平；（三）根據(jù)樣本統(tǒng)計(jì)量的概率分布確定出與相對(duì)應(yīng)的臨界值，即確定接受域和拒絕域；（四）構(gòu)造檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，并根據(jù)樣本觀測(cè)數(shù)據(jù)計(jì)算出檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)值；（五）比較檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)值與臨界值，做出接受或拒絕原假設(shè)的判斷。

第二節(jié)幾種常見的假設(shè)檢驗(yàn)一、總體均值的檢驗(yàn)二、兩個(gè)總體均值之差的檢驗(yàn)三、總體成數(shù)的檢驗(yàn)四、兩總體成數(shù)之差的檢驗(yàn)五、總體方差的檢驗(yàn)六、兩總體方差之比的檢驗(yàn)總體均值檢驗(yàn)的目的是總體均值是否等于（或大于，或小于）。我們可以建立假設(shè)如下：（雙側(cè)檢驗(yàn)）或（左單側(cè)檢驗(yàn)）或（右單側(cè)檢驗(yàn)）下面我們分幾種情況加以介紹。（一）總體服從正態(tài)分布且方差已知根據(jù)抽樣分布原理，當(dāng)總體服從正態(tài)分布時(shí)，那么從中抽取容量為n的樣本，其樣本均值服從正態(tài)分布（為了簡(jiǎn)便，只討論重復(fù)抽樣情況），而統(tǒng)計(jì)量服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。所以，當(dāng)原假設(shè)為真時(shí)，我們可以構(gòu)造檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為：

對(duì)于雙側(cè)檢驗(yàn)，針對(duì)給定的顯著性水平，當(dāng)時(shí)，要接受H0；當(dāng)時(shí)，則要拒絕H0而接受H1。（二）總體分布及其方差均未知但大樣本根據(jù)中心極限定理，當(dāng)樣本容量足夠大時(shí)（n>30），樣本均值也趨于服從數(shù)學(xué)期望為，方差為的正態(tài)分布。但由于未知，要以樣本方差來估計(jì)，這時(shí)統(tǒng)計(jì)量趨于服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。所以，如果原假設(shè)成立，我們也可以構(gòu)造檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為：根據(jù)與（一）相同的規(guī)則，通過比較值與臨界值或，可以做出接受H0或拒絕H1的判斷，唯一不同之處，就是以代替了。（三）總體為正態(tài)分布，但方差未知且小樣本若總體服從正態(tài)分布，但未知而要用樣本方差估計(jì)，那么當(dāng)時(shí)，統(tǒng)計(jì)量服從自由度為n-1的t分布。如果原假設(shè)成立，則檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為：根據(jù)規(guī)定的顯著性水平來確定臨界值或，通過比較t和（或），來做出接受或拒絕原假設(shè)的判斷。這種檢驗(yàn)稱為小樣本t檢驗(yàn)。對(duì)于雙側(cè)檢驗(yàn)，當(dāng)，接受原假設(shè)而拒絕備擇假設(shè)；若，則要拒絕H0而接受H1。同理，對(duì)于左單側(cè)檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)，拒絕而接受；若。則接受H0。對(duì)于右單側(cè)檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)，拒絕而接受若，則接受H0。

設(shè)兩個(gè)總體的均值分別為和，兩個(gè)總體的方差分別為和，來自兩個(gè)總體的樣本容量分別為n1和n2，樣本均值分別為和。檢驗(yàn)的目的是兩個(gè)總體的均值是否相等，或兩個(gè)總體的均值之差是否為零。我們可以建立假設(shè)如下：（雙側(cè)檢驗(yàn)）或（左單側(cè)檢驗(yàn)）

或（右單側(cè)檢驗(yàn)）下面分幾種情況加以介紹。

（一）兩個(gè)總體服從正態(tài)分布且方差已知根據(jù)抽樣分布原理，統(tǒng)計(jì)量服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。如果原假設(shè)成立，我們可構(gòu)造檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為：對(duì)于雙側(cè)檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)拒絕H0，當(dāng)時(shí)接受H0。對(duì)于左單側(cè)檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)拒絕H0，當(dāng)時(shí)接受H0。對(duì)于右單側(cè)檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)拒絕H0，當(dāng)時(shí)接受H0。

（二）兩個(gè)總體方差未知但大樣本若兩個(gè)總體方差和未知且不相等，要分別以樣本方差和來估計(jì)，那么當(dāng)n1和n2都足夠大時(shí)，統(tǒng)計(jì)量

趨于服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。當(dāng)原假設(shè)成立時(shí)，我們可構(gòu)造檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為：

（三）兩個(gè)總體服從正態(tài)分布，但方差未知且小樣本若兩個(gè)總體服從正態(tài)分布，方差未知且相等，那么當(dāng)n1和n2都不夠大時(shí)，那么下列統(tǒng)計(jì)量服從自由度為n1+n2-2的t分布，即：

其中為合并標(biāo)準(zhǔn)差。

當(dāng)原假設(shè)成立時(shí)，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為：對(duì)于雙側(cè)檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)要拒絕H0，當(dāng)要接受H0。對(duì)于左單側(cè)檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)要拒絕H0，當(dāng)時(shí)要接受H0。對(duì)于右單側(cè)檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)要拒絕H0，當(dāng)要接受H0。

檢驗(yàn)的目的是判斷總體成數(shù)P是否等于P0，我們可以建立假設(shè)如下：（雙側(cè)檢驗(yàn)）

或（左單側(cè)檢驗(yàn)）或（右單側(cè)檢驗(yàn)）根據(jù)抽樣分布定理可知，當(dāng)樣本容量足夠大，即nP和n（1-P）都大于5時(shí)，樣本成數(shù)p的抽樣分布近似服從正態(tài)分布，而統(tǒng)計(jì)量服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。其中，由于N一般都很大，因此總體方差簡(jiǎn)化為。因此，當(dāng)原假設(shè)為真時(shí)，我們可以構(gòu)造檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為：

對(duì)于給定的顯著性水平，可查得臨界值或。通過比較與或，可做出拒絕原假設(shè)H0或接受原假設(shè)H0的判斷。判斷規(guī)則與總體均值檢驗(yàn)相同。設(shè)兩個(gè)總體成數(shù)分別為P1和P2，來自兩個(gè)總體的樣本容量分別為n1和n2，樣本成數(shù)分別為p1和p2。檢驗(yàn)兩個(gè)總體成數(shù)是否相等，或兩個(gè)總體成數(shù)之差是否為零，我們可以建立假設(shè)如下：（雙側(cè)檢驗(yàn)）或（左單側(cè)檢驗(yàn)）或（右單側(cè)檢驗(yàn)）

當(dāng)n1和n2都足夠大時(shí)（即n1P1、n1P1

(1-P1)、n2P2、n2P2(1-P2)均大于5），兩個(gè)樣本成數(shù)之差的抽樣分布漸近服從正態(tài)分布，即：由于P1、P2未知，要以p1和p2來估計(jì)，因此在原假設(shè)H0為真時(shí)，我們要以兩個(gè)樣本的合并成數(shù)作為兩個(gè)總體成數(shù)的共同的估計(jì)值，即：

這樣，當(dāng)原假設(shè)成立時(shí)，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量就成為：

檢驗(yàn)?zāi)康氖桥袛嗾龖B(tài)總體方差S2是否S02等于，我們可建立假設(shè)為：（雙側(cè)檢驗(yàn)）或（左單側(cè)檢驗(yàn)）或（右單側(cè)檢驗(yàn)）當(dāng)原假設(shè)為真時(shí)，我們可構(gòu)造服從自由度為n-1的分布的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：

對(duì)于給定的顯著性水平，在雙側(cè)檢驗(yàn)時(shí)，分布的左臨界值為，右臨界值為。當(dāng)，就接受原假設(shè)H0；若或，就要拒絕原假設(shè)H0。在左單側(cè)檢驗(yàn)時(shí)，臨界值為，當(dāng)時(shí)，就接受原假設(shè)H0；若，就拒絕原假設(shè)H0。在右單側(cè)檢驗(yàn)時(shí)，臨界值為，當(dāng)，就接受原假設(shè)H0；若，就拒絕原假設(shè)H0。分布檢驗(yàn)的拒絕域如圖5-3、圖5-4所示。

拒絕域接受域

拒絕域圖5-3分布雙側(cè)檢驗(yàn)接受域與拒絕域示意圖拒絕域接受域接受域拒絕域（a）左單側(cè)檢驗(yàn)

（b）右單側(cè)檢驗(yàn)圖5-4分布單側(cè)檢驗(yàn)接受域與拒絕域示意圖設(shè)兩個(gè)總體方差分別為S12和S22，相應(yīng)的樣本方差分別s12為和s22，檢驗(yàn)?zāi)康氖桥袛鄡蓚€(gè)總體方差是否相等，我們可建立假設(shè)為：（雙側(cè)檢驗(yàn)）或（左單側(cè)檢驗(yàn)）或（右單側(cè)檢驗(yàn)）

如果原假設(shè)成立，那么來自兩個(gè)總體的兩個(gè)樣本方差之比應(yīng)接近于1。因此當(dāng)兩個(gè)總體為正態(tài)總體時(shí)，我們可構(gòu)造檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為：它服從分子自由度為n1-1，分母自由度為n2-1的F分布。對(duì)于給定的顯著性水平，在雙側(cè)檢驗(yàn)時(shí)，分布的左臨界值為右臨界值為。當(dāng)時(shí)，接受原假設(shè)H0；若或，則要拒絕原假設(shè)H0而接受H1。在左單側(cè)檢驗(yàn)時(shí)，臨界值為，若，要接受原假設(shè)H0；若，則拒絕原假設(shè)H0而接受H1。在右單側(cè)檢驗(yàn)時(shí)，臨界值為，若，要接受H0；若，要拒絕H0而接受H1。分布檢驗(yàn)的拒絕域于圖5-3、圖5-4相似。第三節(jié)假設(shè)檢驗(yàn)的兩類錯(cuò)誤與功效一、假設(shè)檢驗(yàn)的兩類錯(cuò)誤二、犯第二類錯(cuò)誤的概率的計(jì)算三、假設(shè)檢驗(yàn)的功效第一類錯(cuò)誤是“以真為假”的錯(cuò)誤，即原假設(shè)正確但卻被拒絕的錯(cuò)誤，也稱為“棄真”錯(cuò)誤。產(chǎn)生第一類錯(cuò)誤的概率是由假設(shè)檢驗(yàn)的顯著性水平給出的，即是，因此它又稱為錯(cuò)誤。

第二類錯(cuò)誤是“以假為真”的錯(cuò)誤，即原假設(shè)不正確卻被接受的錯(cuò)誤，也稱為“納偽”錯(cuò)誤。犯第二類錯(cuò)誤的概率是當(dāng)備擇假設(shè)成立時(shí)，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)值落入接受域的概率，一般用表示，因此它又稱為錯(cuò)誤。

假設(shè)檢驗(yàn)的兩類錯(cuò)誤

接受域

圖5-5雙側(cè)檢驗(yàn)兩類錯(cuò)誤的關(guān)系

接受域

圖5-6單側(cè)檢驗(yàn)兩類錯(cuò)誤的關(guān)系

（一）在雙側(cè)檢驗(yàn)中的計(jì)算先求出當(dāng)原假設(shè)為真時(shí)的兩個(gè)臨界值：和其中抽樣標(biāo)準(zhǔn)誤通常要以來估計(jì)。然后求出當(dāng)備擇假設(shè)

為真時(shí)，樣本均值落入?yún)^(qū)間內(nèi)的概率，此即為，計(jì)算公式為：

（二）在單側(cè)檢驗(yàn)中的計(jì)算對(duì)于左單側(cè)檢測(cè)，先求出原假設(shè)為真時(shí)的臨界值，然后求出當(dāng)備擇假設(shè)為真時(shí)，樣本均值落入?yún)^(qū)間