第十六章多元函數(shù)的極限與連續(xù)

級

數(shù)

與

多

元

微

積

分

SeriesandCalculousinSeveralVariables授課教師：胡鵬彥授課對象：05本科第十六章多元函數(shù)的極限與連續(xù)本章主要介紹多元函數(shù)的極限與連續(xù)性,要求對平面點(diǎn)集,多元函數(shù),極限及連續(xù)性的概念有足夠的了解,理解平面的完備性定理以及連續(xù)函數(shù)的性質(zhì),掌握兩種極限的關(guān)系,會求多元函數(shù)的極限,會用多元函數(shù)連續(xù)性的定義討論一些多元函數(shù)的連續(xù)性.第十六章多元函數(shù)的極限與連續(xù)§1平面點(diǎn)集與多元函數(shù)§2二元函數(shù)的極限§3二元函數(shù)的連續(xù)性§1平面點(diǎn)集與多元函數(shù)一平面點(diǎn)集二2上的完備性定理三二元函數(shù)四n元函數(shù)§2二元函數(shù)的極限一二元函數(shù)的極限二累次極限§3二元函數(shù)的連續(xù)性一二元函數(shù)的連續(xù)性概念二有界閉域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)§1平面點(diǎn)集與多元函數(shù)理解平面點(diǎn)集和多元函數(shù)的概念.理解平面完備性定理.§1平面點(diǎn)集與多元函數(shù)坐標(biāo)平面坐標(biāo)平面上滿足某種條件P的點(diǎn)的集合稱為平面點(diǎn)集,一平面點(diǎn)集并記作E{(x,y)|(x,y)滿足條件P}.點(diǎn)集一般用大寫的英文字母表示.平面點(diǎn)集與分別稱為以點(diǎn)A(x0,y0)為中心的

圓鄰域與

方鄰域.§1平面點(diǎn)集與多元函數(shù)§1平面點(diǎn)集與多元函數(shù)由于點(diǎn)A的任一圓鄰域可以包含在點(diǎn)A的某一方鄰域之內(nèi),反之亦然,因此通常用“點(diǎn)A的

鄰域”或“點(diǎn)A的鄰域”泛指這兩種形狀的鄰域,并以記號U(A;

)或U(A)來表示.點(diǎn)A的空心鄰域是指或并用符號U

o(A;

)或U

o(A)來表示.§1平面點(diǎn)集與多元函數(shù)§1平面點(diǎn)集與多元函數(shù)點(diǎn)A2與點(diǎn)集E2之間的關(guān)系:內(nèi)點(diǎn),外點(diǎn),界點(diǎn).(i)內(nèi)點(diǎn)—若存在點(diǎn)A的某鄰域U(A),使得U(A)

E,則稱點(diǎn)A是點(diǎn)集E的內(nèi)點(diǎn);E的全體內(nèi)點(diǎn)構(gòu)成的集合稱為E的內(nèi)部,記作int

E.(ii)外點(diǎn)—若存在點(diǎn)A的某鄰域U(A),使得U(A)

E,則稱點(diǎn)A是點(diǎn)集E的外點(diǎn).§1平面點(diǎn)集與多元函數(shù)(iii)界點(diǎn)—若在點(diǎn)

A的任何鄰域內(nèi)既有屬于

E的點(diǎn),有含有不屬于

E的點(diǎn),則稱

A是集合

E的界點(diǎn),即對任何正數(shù)

,恒有U(A;

)

E且U(A;

)C

E,其中C

E2\E是E關(guān)于全平面的余集,E的全體界點(diǎn)構(gòu)成E的邊界,記作

E.以上是按“點(diǎn)A在E內(nèi)或在E外”來區(qū)分§1平面點(diǎn)集與多元函數(shù)按點(diǎn)A近旁是否有E中無窮多個(gè)點(diǎn)來分:聚點(diǎn),孤立點(diǎn).(i)聚點(diǎn)—若在點(diǎn)A的任何空心鄰域U

o(A)內(nèi)都含有E中的點(diǎn),則稱A是E的聚點(diǎn).(ii)孤立點(diǎn)—若點(diǎn)AE,但不是E的聚點(diǎn),即存在某一正數(shù)

,使得U

o(A)

E,則稱點(diǎn)A是E的孤立點(diǎn).聚點(diǎn)可能屬于E,也可能不屬于E.孤立點(diǎn)一定是界點(diǎn);內(nèi)點(diǎn)和非孤立的界點(diǎn)一定是聚點(diǎn);既不是聚點(diǎn),又不是孤立點(diǎn),則必為外點(diǎn).§1平面點(diǎn)集與多元函數(shù)平面點(diǎn)集開集—若平面點(diǎn)集所屬的每一點(diǎn)都是E的內(nèi)點(diǎn),則稱E為開集.閉集—若平面點(diǎn)集E的所有聚點(diǎn)都屬于E,則稱E為閉集.若點(diǎn)集E沒有聚點(diǎn),這時(shí)也稱E為閉集.§1平面點(diǎn)集與多元函數(shù)開域—若非空開集E具有連通性,即E中任意兩點(diǎn)之間都可用一條完全含于E的有限折線相連接,則稱E閉域—開域連同其邊界所成的點(diǎn)集稱為閉域.的點(diǎn)集,統(tǒng)稱為區(qū)域.為開域(或稱連通開集).區(qū)域—開域,閉域,或者開域連同其一部分界點(diǎn)所成有界點(diǎn)集—對于平面點(diǎn)集E,若存在某正數(shù)r,使得其中O是坐標(biāo)原點(diǎn),則稱E是有界點(diǎn)集.否則就是無界點(diǎn)集.§1平面點(diǎn)集與多元函數(shù)點(diǎn)集E的直徑—點(diǎn)集E的直徑就是其中

(P1,P2)表示P1與P2兩點(diǎn)之間的距離,當(dāng)P1,P2的坐標(biāo)分別為(x1,y1)和(x2,y2)時(shí),有E為有界集的充分必要條件是d

(E)是有限值.§1平面點(diǎn)集與多元函數(shù)距離的三角形不等式,即對2上任何三點(diǎn)P1,P2和P3,皆有§1平面點(diǎn)集與多元函數(shù)定義1設(shè){Pn}2為平面點(diǎn)列,P02為一固定點(diǎn).若對任給的正數(shù),存在正整數(shù)N,使得當(dāng)nN時(shí),有PnU(P0;),二2上的完備性定理則稱點(diǎn)列{Pn}收斂于點(diǎn)P0,記作或等價(jià)于也等價(jià)于收斂點(diǎn)列定理16.1(柯西準(zhǔn)則)§1平面點(diǎn)集與多元函數(shù)平面點(diǎn)列{Pn}收斂的充要條件是:任給正數(shù),存在正整數(shù)N,使得當(dāng)nN時(shí),對一切正整數(shù)p,都有(6)定理16.2(閉域套定理)§1平面點(diǎn)集與多元函數(shù)設(shè){Dn}是2中的閉域套,它滿足:(i)(ii)則存在唯一的點(diǎn)P0Dn,n1,2,.定理16.3(聚點(diǎn)定理)§1平面點(diǎn)集與多元函數(shù)設(shè)E2為有界無限點(diǎn)集,則E在2中至少有一個(gè)聚點(diǎn).推論有界無限點(diǎn)列{Pn}2必存在收斂子列{Pnk}.定理16.4(有限覆蓋定理)§1平面點(diǎn)集與多元函數(shù)設(shè)D2為一有界閉域,{}為一開域族,它覆蓋了D,則在{}中必存在有限個(gè)開域1,2,,n,它們同樣覆蓋了D.§1平面點(diǎn)集與多元函數(shù)定義2設(shè)平面點(diǎn)集D2,若按照某對應(yīng)法則

f

,D中每一點(diǎn)P(x,y)都有唯一確定的實(shí)數(shù)z與之對應(yīng),則稱f

三二元函數(shù)為定義在D上的二元函數(shù)(或稱

f

為D到的一個(gè)映射),記作稱D為

f

的定義域;稱PD所對應(yīng)的z為

f

在點(diǎn)P的函數(shù)值,記作zf

(P)或zf

(x,y);全體函數(shù)值的集合稱為

f的值域,記作f(D).§1平面點(diǎn)集與多元函數(shù)把P的坐標(biāo)x與y稱f

的自變量,而把z稱為因變量.在影射意義下,zf

(P)稱為P的象,P稱為z的原象.當(dāng)把(x,y)D和它所對應(yīng)的zf

(x,y)一起組成三維就是二元函數(shù)

f

的圖象.通常zf

(x,y)的圖象是一空間曲面,f

的定義域D便是該曲面在xOy平面上的投影.數(shù)組(x,y,z)時(shí),三維歐氏空間3中的點(diǎn)集§1平面點(diǎn)集與多元函數(shù)二元函數(shù)有時(shí)也記為或而當(dāng)定義域D不被誤解的時(shí)候,也簡單地說“函數(shù)zf

(x,y)”或“函數(shù)

f”.§2二元函數(shù)的極限例2函數(shù)例3函數(shù)例4函數(shù)若二元函數(shù)的值域是有界數(shù)集，則稱該函數(shù)為有界函數(shù),若值域是無界數(shù)集，則稱該函數(shù)為無界函數(shù).§1平面點(diǎn)集與多元函數(shù)n維向量空間,簡稱n維空間,記作n.其中每個(gè)有所有n個(gè)有序?qū)崝?shù)組(x1,x2,,xn)構(gòu)成的集合稱為四n元函數(shù)序?qū)崝?shù)組(x1,x2,,xn)稱為n中的一個(gè)點(diǎn);n個(gè)實(shí)數(shù)x1,x2,,xn是這個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo).§1平面點(diǎn)集與多元函數(shù)稱f為定義在E上的n元函數(shù)(或稱f為En到的一設(shè)E為n中的點(diǎn)集,若有某個(gè)對應(yīng)法則f,使E中每一點(diǎn)P(x1,x2,,xn)都有唯一的一個(gè)實(shí)數(shù)y與之對應(yīng),則個(gè)映射),記作(8)§1平面點(diǎn)集與多元函數(shù)有時(shí)也把n元函數(shù)簡寫成或(9)§2二元函數(shù)的極限定義1設(shè)f為定義在D2上的二元函數(shù),P0為D的一點(diǎn)聚點(diǎn),A是一個(gè)確定的實(shí)數(shù).若對任給正數(shù),總一二元函數(shù)的極限存在某正數(shù)

,使得當(dāng)PU

o(P0;

)

D時(shí),都有則稱f在D上當(dāng)P

P0時(shí)以A為極限,記作(1)§2二元函數(shù)的極限當(dāng)P和P0分別用坐標(biāo)(x,y)和(x0,y0)表示時(shí),(1')也寫作(1'')在對于PD不致產(chǎn)生誤解時(shí),也可簡單地寫作(1')§2二元函數(shù)的極限例1依定義驗(yàn)證例2設(shè)證明定理16.5一子集E,只要P0是E的聚點(diǎn),就有§2二元函數(shù)的極限的充要條件是:對于D的任推論1設(shè)E1D,P0是E1的聚點(diǎn).若不存在,則也不存在.§2二元函數(shù)的極限推論2設(shè),E1,E2D,P0是它們的聚點(diǎn),若存在極限但E1

E2,則不存在.推論3存在的充要條件是:對于D極限中任一滿足條件Pn

P0,且的點(diǎn)列{Pn}所對應(yīng)的函數(shù)值列{f(Pn)}都收斂.§2二元函數(shù)的極限例3例4二元函數(shù)存在極限.討論當(dāng)(x,y)(0,0)時(shí)是否§2二元函數(shù)的極限定義2設(shè)D為二元函數(shù)f的定義域,P0(x0,y0)是D的一點(diǎn)聚點(diǎn).若對任給正數(shù)M,總存在一個(gè)

鄰域,使得當(dāng)P(x,y)U

o(P0;

)

D時(shí),都有f(P)M,則稱f在D上當(dāng)P

P0時(shí)存在非正常極限,記作或仿此可類似地定義:與§2二元函數(shù)的極限例5設(shè)證明二元函數(shù)極限有與一元函數(shù)極限相仿的四則運(yùn)算法則.§2二元函數(shù)的極限定義3設(shè)Ex,Ey,x0是Ex的聚點(diǎn),y0是Ey的聚點(diǎn),二元函數(shù)f在集合D

ExEy上有定義.若對每一個(gè)二累次極限y0yEy,存在極限而且進(jìn)一步存在極限重極限§2二元函數(shù)的極限或簡記作類似地可以定義先對y后對x的累次極限則稱此極限為二元函數(shù)f先對x(

x0)后對y(

y0)的累次極限,并記作§2二元函數(shù)的極限§2二元函數(shù)的極限重極限與累次極限的關(guān)系:則它們必相等.定理16.6若f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)存在重極限與累次極限§2二元函數(shù)的極限都存在,則三者相等.推論1若累次極限和重極限推論2若累次極限必不存在.存在但不相等,則重極限與§3二元函數(shù)的連續(xù)性定義設(shè)f為定義在點(diǎn)集D2上的二元函數(shù),P0D(它或者是D的聚點(diǎn),或者是D的孤立點(diǎn)).對于任給的一二元函數(shù)的連續(xù)性概念正數(shù),總存在相應(yīng)的正數(shù)

,只要PU

(P0;

)

D時(shí),則稱f

關(guān)于集合D在點(diǎn)

P0連續(xù).在不致誤解的情況下,(1)就有也稱f在點(diǎn)

P0連續(xù).若

f

在D上任何點(diǎn)都連續(xù),則稱

f

為D上的連續(xù)函數(shù).§3二元函數(shù)的連續(xù)性由定義可知若P0是D的孤立點(diǎn),則P0必定是f關(guān)于D的連續(xù)點(diǎn).若P0是D的聚點(diǎn),則

f關(guān)于D在

P0連續(xù)等價(jià)于如果P0是D的聚點(diǎn),而(2)式不成立,則稱P0是f的不(2)連續(xù)點(diǎn)(或稱間斷點(diǎn)).特別當(dāng)(2)式左邊極限存在但不等于

f

(P0)時(shí),P0是

f

的可去間斷點(diǎn).二元連續(xù)函數(shù)具有局部有界性,局部保號性以及相應(yīng)的有理運(yùn)算的各個(gè)法則.§3二元函數(shù)的連續(xù)性設(shè)P0(x0,y0),P(x,y

)D,x

x

x0,y

y

y0,則稱為函數(shù)f在點(diǎn)P0的全增量.用增量形式描述連續(xù)性:當(dāng)時(shí),

f

在點(diǎn)P0連續(xù).§3二元函數(shù)的連續(xù)性若在全增量中取x

0或y

0,則相應(yīng)的函數(shù)增量函數(shù)的全增量不一定等于相應(yīng)的兩個(gè)偏增量之和.稱為偏增量,記作§3二元函數(shù)的連續(xù)性可以證明:當(dāng)f在其定義域的內(nèi)點(diǎn)(x0,y0)連續(xù)時(shí),

f(x0,y)在y0和f(x0,y0)在x0都連續(xù).但反之不真.§3二元函數(shù)的連續(xù)性定理16.7(復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性)(i)設(shè)函數(shù)u

(x,y)和u

(x,y)在x