第五章線性系統(tǒng)的頻域分析法第3講

5.3頻率域穩(wěn)定判據(jù)第五章線性系統(tǒng)的頻域分析法使用Nyquist圖和Bode圖判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。一、Nyquist判據(jù)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)——幅角定理設(shè)復(fù)變函數(shù)①對s平面上的每一個點s(復(fù)數(shù)變量)，在F(s)平面上必有一點通過映射關(guān)系F(s)與之對應(yīng)。②對s平面上的任一個不通過極點的封閉曲線，在F(s)平面上必有一連續(xù)封閉曲線ΓF通過映射關(guān)系F(s)與之對應(yīng)。一、Nyquist判據(jù)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)——幅角定理設(shè)復(fù)變函數(shù)①對s平面上的每一個點s(復(fù)數(shù)變量)，在F(s)平面上必有一點通過映射關(guān)系F(s)與之對應(yīng)。②對s平面上的任一個不通過極點的封閉曲線，在F(s)平面上必有一連續(xù)封閉曲線ΓF通過映射關(guān)系F(s)與之對應(yīng)。取簡單的復(fù)變函數(shù)幅角定理：設(shè)s平面閉合曲線包圍F(s)的Z個零點和P個極點，則s沿順時針運動一周時，F(xiàn)(s)平面內(nèi)的閉合曲線ΓF繞原點運動的圈數(shù)為：R=P-Z說明：當R>0時，曲線Γ逆時針包圍原點；

當R<0時，曲線Γ順時針包圍原點；當R=0時，曲線Γ不包圍原點。若R=P，即F平面內(nèi)曲線ΓF逆時針繞原點的圈數(shù)等于F(s)的極點被曲線包圍的個數(shù)，則內(nèi)沒有包含F(xiàn)(s)的零點。由幅角定理推導(dǎo)出的重要結(jié)論：1.復(fù)變函數(shù)F(s)的選擇二、如何引入幅角定理

判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定要看閉環(huán)特征方程的特征根在s平面上的分布情況，所以初步選擇為研究對象。

F(s)的極點=開環(huán)傳函的極點；F(s)的零點=閉環(huán)傳函的極點特點：s沿閉合曲線Г運動一周產(chǎn)生2條曲線，ГF

和ГGH，兩個曲線相差1。將ГGH曲線沿正實軸方向移一個單位，可得ГF。ГF包圍F(s)平面坐標原點的圈數(shù)=ГGH包圍(-1，j0)點的圈數(shù)。系統(tǒng)穩(wěn)定←→s平面的右半平面沒有Φ(s)的極點

←→s平面的右半平面沒有F(s)的零點

選擇曲線Γ順時針包圍s的右半平面，由幅角定理推導(dǎo)出的結(jié)論，知：若R=P，即F平面內(nèi)曲線Γ繞原點的逆時針圈數(shù)等于F(s)的在右半平面的極點數(shù)，則s右半平面內(nèi)沒有包含F(xiàn)(s)的零點，系統(tǒng)穩(wěn)定。

對于開環(huán)傳函G(s)H(s)，選擇合適的封閉曲線Γ順時針包圍s的右半平面，如果ГGH在F(s)平面逆時針包圍(-1，j0)點的圈數(shù)R等于G(s)H(s)的在s平面右半平面極點數(shù)P，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。2.S平面內(nèi)閉合曲線Γ的選擇由于ΓF不能通過F(s)=1+G(s)H(s)的極點，分兩種情況討論。G(s)H(s)無虛軸上的極點

S平面上的Г由兩部分組成，C1：半徑為∞的右半圓s=Rejq(R→∞，-900≤q≤+900)

；C2：

s平面的整個虛軸s=j(-∞<<+∞)。C2C1R=∞=C1+C2[s]G(s)H(s)有虛軸上的極點Г在第一種情況的基礎(chǔ)上加上開環(huán)虛軸極點：①開環(huán)系統(tǒng)含有積分環(huán)節(jié)對應(yīng)的極點0在原點附近，取s=εejθ(ε→0+,-900≤θ≤+900)(修正圍線C3)C2C1R=∞=C1+C2+C3C3[s]②開環(huán)系統(tǒng)含有等幅振蕩環(huán)節(jié)對應(yīng)的極點在附近，取(e→0+,-900≤q≤+900)

(修正圍線C4、C5)C2C1R=∞C4C5=C1+C2+C4+C5[s]討論在s平面當s沿運動時，通過復(fù)變函數(shù)G(s)H(s)映射曲線ГGH的情況。3.閉合曲線ГGH的繪制C2C1R=∞=C1+C2[s]G(s)H(s)無虛軸上的極點(ν=0，0型系統(tǒng))當s沿C1順時針移動時nm時，上式=0。說明C1為FGH為一個點，對系統(tǒng)的穩(wěn)定性研究沒有意義。C2C1R=∞=C1+C2[s]當s沿C2移動，且ω∈[0,∞)時，ГGH對應(yīng)開環(huán)幅相曲線C2C1R=∞C=C1+C2+C3C3修正圍線C3的映射ГGH為①G(s)H(s)含有積分環(huán)節(jié)[s]G(s)H(s)有虛軸上的極點考慮到半閉合曲線，C3的一半（即θ∈[0,90°]，s∈[j0，j0+]）映射，是從GH(j0+)點逆時針作半徑無窮大、圓心角為ν×90°的圓弧。②

G(s)H(s)含有等幅振蕩環(huán)節(jié)4、ГGH包圍(-1,j0)圈數(shù)的計算三、奈氏判據(jù)奈氏判據(jù)的主要特點有1.根據(jù)系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性，來研究閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性，而不必求閉環(huán)特征根；2.能夠確定系統(tǒng)的穩(wěn)定程度（相對穩(wěn)定性）；3.可用于分析系統(tǒng)的瞬態(tài)性能，利于對系統(tǒng)的分析與設(shè)計；4.基于系統(tǒng)的開環(huán)奈氏圖，是一種圖解法。四、奈氏判據(jù)判穩(wěn)實用步驟1、做常規(guī)開環(huán)傳函極坐標圖(0+≤≤+∞)；2、從G(j0+)H(j0+)開始，逆時針補畫一條半徑為∞，圓心角為或的圓??；3、計算R(按照正負穿越情況計算)；4、從G(s)H(s)中找出不穩(wěn)定極點數(shù)P；5、按照奈氏判據(jù)Z=P-R=P-2N，判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。例：

一個系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

用奈氏穩(wěn)定判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性系統(tǒng)穩(wěn)定頻率特性沒有極點位于右半s平面，P=0。例：

系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為

五、對數(shù)坐標圖上的Nyquist穩(wěn)定性判據(jù)

奈氏圖與伯德圖的對應(yīng)關(guān)系

開環(huán)系統(tǒng)幅相頻率特性與對數(shù)頻率特性之間存在如下對應(yīng)關(guān)系:（1）在GH平面上,|GK(j)|=1的單位圓，對應(yīng)于對數(shù)幅頻特性的0分貝線；單位圓外部如(-，-1)區(qū)段，對應(yīng)L(ω)>0dB，單位圓內(nèi)部對應(yīng)L(ω)<0dB。（2）從對數(shù)相頻特性來看,GK(j)平面上的負實軸，對應(yīng)于對數(shù)相頻特性上的()=-180°。（3）(-1，j0)點的向量表達式為1∠-180°，對應(yīng)于伯德圖上穿過0分貝線，并同時穿過()=-180°的點。半對數(shù)坐標下的奈氏回線Г的確定

穿越在伯德圖上的含義系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)幅頻特性L()通過0分貝線，即L(c)=0或A(c)=1時的頻率c稱為截止頻率。截止頻率c

是分析與設(shè)計時的重要參數(shù)。相當于穿越負實軸上的一點（1）穿越：在L(ω)>0dB的頻率范圍內(nèi)，相頻特性曲線穿過-180°；在L(ω)<0dB的頻率范圍內(nèi)，相頻特性曲線穿過-180°不是穿越。正負（2）正穿越N+

：產(chǎn)生正的相位移，這時，相頻特性應(yīng)由下部向上穿越-180°線。（3）負穿越N-：產(chǎn)生負的相位移，這時，相頻特性應(yīng)由上部向下穿越-180°線。正、負穿越的定義和前面的定義實際上是一致的。正負奈氏判據(jù)在極坐標圖和對數(shù)坐標圖上的表現(xiàn)形式的對比極坐標圖負實軸(-∞,1)對數(shù)坐標圖j(w)=-1800

L(w)>00-1800

-3600

N-N+第三象限第二象限對數(shù)坐標圖上R的計算方法：在20lgA(w)>0的頻段內(nèi)，相頻特性j(w)穿越-1800次數(shù)的2倍。0-p

N-N+-1

j(w)從-p線出發(fā)時，計做半次穿越。s/rad0.11100.01s/rad0.11100.01-2700-3600-1800-900002040-20-40輔助線N-N+注意：當開環(huán)傳遞函數(shù)含有積分環(huán)節(jié)時，對應(yīng)的對數(shù)相頻特性曲線上w為0+處，用虛線向上增補n個900角。[例]設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)如下，系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)頻率特性曲線如圖所示，試判別閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

解：由系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)可知，開環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的，即P=0，在L(ω)>0dB的頻率范圍內(nèi)，相頻特性曲線(