中考一輪復(fù)習(xí)與圓有關(guān)的位置關(guān)系課件

第22講與圓有關(guān)的位置關(guān)系泰安考情分析基礎(chǔ)知識過關(guān)泰安考點聚焦總綱目錄隨堂鞏固練習(xí)泰安考情分析基礎(chǔ)知識過關(guān)知識點一與圓有關(guān)的位置關(guān)系知識點二切線的判定和性質(zhì)知識點三切線長理性知識點四三角形的外接圓和內(nèi)切圓知識點五正多邊形與圓知識點一

與圓有關(guān)的位置關(guān)系1.與圓有關(guān)的位置關(guān)系類別位置關(guān)系圖示數(shù)量關(guān)系點與圓的位置關(guān)系點在圓外

d①

>

r點在圓上

d②

=

r點在圓內(nèi)

d③

<

r直線與圓的位置關(guān)系相離

d④

>

r相切

d⑤

=

r相交

d⑥

<

r溫馨提示

點與圓的位置關(guān)系可通過d(點到圓心的距離)和r(圓

的半徑)之間的大小關(guān)系進(jìn)行判斷;直線與圓的位置關(guān)系可通過d

(圓心到直線的距離)和r(圓的半徑)之間的大小關(guān)系進(jìn)行判斷.2.過同一直線上的三點不能作圓,不在同一直線上的三點確定一個圓.知識點二

切線的判定和性質(zhì)1.切線的判定(1)和圓⑦

只有一個

公共點的直線是圓的切線;(2)到圓心的距離等于⑧

半徑

的直線是圓的切線;(3)經(jīng)過半徑的外端并且⑨

垂直于

這條半徑的直線是圓的切線.2.切線的性質(zhì)(1)切線的性質(zhì)定理:圓的切線⑩

垂直于經(jīng)過切點

的半徑.(2)推論1:經(jīng)過切點且垂直于切線的直線必經(jīng)過

圓心

.(3)推論2:經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過

切點

.溫馨提示

(1)要證的直線與圓有公共點,且存在連接公共點的半徑,此時可直接根據(jù)“經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直

線是圓的切線”來證明.口訣“見半徑、證垂直”.(2)給出了直線與圓的公共點,但未給出過這點的半徑,則連接公

共點和圓心,根據(jù)“經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線

是圓的切線”來證明.口訣“連半徑、證垂直”.(3)當(dāng)直線與圓的公共點不明確時,則過圓心作該直線的垂線,然

后根據(jù)“圓心到直線的距離等于圓的半徑,則該直線是圓的切

線”來證明.口訣是“作垂直、證相等”.知識點三

切線長定理1.切線長的定義:過圓外一點引圓的切線,這一點到切點之間線段

的長叫做這點到圓的

切線長

.2.切線長定理:從圓外一點引圓的兩條切線,它們的長

相等

,圓心和這一點的連線

平分

這兩條切線的夾角.知識點四

三角形的外接圓和內(nèi)切圓溫馨提示

銳角三角形的外心在三角形的內(nèi)部;直角三角形的外

心在斜邊的中點處;鈍角三角形的外心在三角形的外部.所有三角

形的內(nèi)心都在三角形的內(nèi)部.類別三角形的外接圓三角形的內(nèi)切圓名稱三角形的外心三角形的內(nèi)心圖示

描述經(jīng)過三角形三個頂點的圓,外心是三角形三邊

垂直平分線的交點與三角形三邊都相切的圓,內(nèi)心是三角形三條

角平分線的交點性質(zhì)三角形的外心到三角形三個頂點的距離相等三角形的內(nèi)心到三角形三邊的距離相等知識點五

正多邊形與圓1.正多邊形的相關(guān)概念(1)正多邊形:各邊相等,各角也相等的多邊形叫做正多邊形.(2)正多邊形的中心:一個正多邊形

外接圓的圓心

叫做這個正多邊形的中心.(3)正多邊形的半徑:正多邊形外接圓的

半徑

叫做正多邊形的半徑.(4)正多邊形的中心角:正多邊形的每一邊所對的

圓心角

叫做正多邊形的中心角.(5)正多邊形的邊心距:正多邊形的中心到正多邊形的一邊的距離

叫做正多邊形的

邊心距

.2.正多邊形和圓的有關(guān)計算如果把正n邊形的有關(guān)元素:中心角、半徑、邊長、邊心距、周

長、面積分別用αn、R、an、rn、Pn、Sn表示,那么:(1)αn=

;(2)R2=

+

;(3)Pn=nan;(4)Sn=

n·rn·an=

rnPn.泰安考點聚焦考點一點與圓的位置關(guān)系考點二直線與圓的位置關(guān)系考點三切線的位置考點四切線的判定考點一

點與圓的位置關(guān)系例1如圖,在網(wǎng)格中(每個小正方形的邊長均為1個單位)選取9個

格點(格線的交點稱為格點).如果以A為圓心,r為半徑畫圓,選取的

格點中

恰好有3個在圓內(nèi),則r的取值范圍為(B)A.2

<r<

B.

<r≤3

C.

<r<5

D.5<r<

解析

如圖,連接P1A,P2A,…,P8A.

根據(jù)勾股定理得P1A=5,P2A=3?,P3A=?,P4A=5,P5A=?,P6A=?,P7A=5,P8A=2?,∴P8A<P3A=P6A<P2A<P1A=P4A=P7A<P5A,∵除點A外恰好有三個格點在圓內(nèi),∴這三個格點為P3,P6,P8,∴?<r≤3?變式1-1☉O的半徑為5,圓心O的坐標(biāo)為(0,0),點P的坐標(biāo)為(4,2),則點P與☉O的位置關(guān)系是

(A)A.點P在☉O內(nèi)

B.點P的☉O上C.點P在☉O外

D.點P在☉O上或☉O外解析圓心O的坐標(biāo)為(0,0),點P的坐標(biāo)為(4,2),∴OP=

=

<5,∴點P在☉O內(nèi),故選A.方法技巧

d(點到圓心的距離)<r(圓的半徑)時,點在圓內(nèi);d=r

時,點在圓上;d>r時,點在圓外.考點二

直線與圓的位置關(guān)系中考解題指導(dǎo)直線與圓的位置關(guān)系有三種:相離、相切、相交,

判斷位置關(guān)系的主要方法:①直線與圓公共點的個數(shù);②比較d(圓

心到直線的距離)和r(圓的半徑)的大小關(guān)系.例2如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,BC=4cm,以點C為圓

心,以2cm的長為半徑作圓,則☉C與直線AB的位置關(guān)系是(B)A.相離

B.相切C.相交

D.相切或相交解析作CD⊥AB于點D.∵∠B=30°,BC=4cm,∴CD=

BC=2cm,即CD等于圓的半徑.∵CD⊥AB,∴直線AB與☉C相切.故選B.變式2-1

已知☉O的半徑r=3,設(shè)圓心O到一條直線的距離為d,圓

上到這條直線的距離為2的點的個數(shù)為m,給出下列命題:①若d>5,

則m=0;②若d=5,則m=1;③若1<d<5,則m=3;④若d=1,則m=2;⑤若d

<1,則m=4.其中正確命題的個數(shù)是

(C)A.1

B.2

C.3

D.5解析①當(dāng)d>5時,m=0,故正確;②當(dāng)d=5時,m=1,故正確;③當(dāng)1<d<5時,m=2,故錯誤;④當(dāng)d=1時,m=3,故錯誤;⑤當(dāng)d<1時,m=4,故正確.所以正確的有3個.故選C.變式2-2

如圖,☉O的半徑為7cm,直線l⊥OA,垂足為B,OB=4cm,

則直線l沿OA所在直線平移

3或11

cm時與☉O相切.解析延長AO交☉O于點C,當(dāng)直線l平移至過A點或過C點時,直

線l與圓相切,AB=OA-OB=7-4=3(cm),BC=OC+OB=7+4=11(cm).方法技巧

d(圓心到直線的距離)>r(圓的半徑)時,相離;d=r時,

相切;d<r時,相交.考點三

切線的性質(zhì)中考解題指導(dǎo)熟練掌握切線的性質(zhì)定理及兩個推論,以及常用

輔助線的作法.例3

如圖,☉I是△ABC的內(nèi)切圓,與AB,BC,CA分別相切于點D,E,

F,∠DEF=50°,則∠A=

80°

.解析

連接DI,FI,如圖所示.∵∠DEF=50°,∴∠DIF=2∠DEF=100°,∵☉I是△ABC的內(nèi)切圓,∴∠ADI=∠AFI=90°,∴∠A=360°-∠ADI-∠AFI-∠DIF=80°.

變式3-1

(2018泰安)如圖,BM與☉O相切于點B,若∠MBA=140°,

則∠ACB的度數(shù)為?(A)

A.40°

B.50°

C.60°

D.70°解析

連接OA,OB,

∵BM與☉O相切于點B,∴∠OBM=90°.∵∠MBA=140°,∴∠OBA=50°.∵OA=OB,∴∠OAB=∠OBA=50°,∴∠AOB=80°,∴∠ACB=40°,故選A.方法技巧

已知圓的切線,若圖中沒有連接切點的半徑,則需要

連接切點與圓心構(gòu)造直角三角形,利用勾股定理、銳角三角函數(shù)

等知識進(jìn)行解答.考點四

切線的判定例4

(2017濟(jì)寧)如圖,已知☉O的直徑AB=12,弦AC=10,D是?的中點,過點D作DE⊥AC,交AC的延長線于點E.(1)求證:DE是☉O的切線;(2)求AE的長.解析

(1)證明:連接OD.∵D為

的中點,∴

的長=

的長.∴∠BOD=∠BAE,∴OD∥AE.∵DE⊥AC,交AC的延長線于點E,∴OD⊥DE,則DE為☉O的切線.(2)過點O作OF⊥AC,∵AC=10,∴AF=CF=

AC=5,∵∠OFE=∠DEF=∠ODE=90°,∴四邊形OFED為矩形,∴FE=OD=?AB,∵AB=12,∴FE=6,則AE=AF+FE=5+6=11.變式4-1

(2018濰坊)如圖,BD為△ABC外接圓☉O的直徑,且∠

BAE=∠C.(1)求證:AE與☉O相切于點A;(2)若AE∥BC,BC=2?,AC=2?,求AD的長.解析

(1)證明:連接OA交BC于點F,

則OA=OD,∴∠D=∠DAO,∵∠D=∠C,∴∠C=∠DAO,∵∠BAE=∠C,∴∠BAE=∠DAO,∵BD是☉O的直徑,∴∠DAB=90°,即∠DAO+∠OAB=90°,∴∠BAE+∠OAB=90°,即∠OAE=90°,∴AE⊥OA,∴AE與☉O相切于點A.(2)∵AE∥BC,AE⊥OA,∴OA⊥BC,∴?的長=?的長,FB=?BC,∴AB=AC,∵BC=2?,AC=2?,∴BF=?,AB=2?.在Rt△ABF中,AF=?=1,在Rt△OFB中,OB2=BF2+(OA-AF)2,即OB2=BF2+(OB-AF)2,∴OB=4,∴BD=8,∴在Rt△ABD中,AD=?=?=?=2?.方法技巧

證明圓的切線有三種思路:有過切點的半徑,證明垂

直;有切點,無半徑,連半徑,證明垂直;無切點,作垂直,證明相等.一、選擇題1.若☉A的半徑為5,點A的坐標(biāo)為(3,4),點P的坐標(biāo)為(5,8),則點P的位置為

(A)A.在☉A內(nèi)

B.在☉A上C.在☉A外

D.不確定隨堂鞏固訓(xùn)練2.如圖,兩個圓的圓心都是點O,AB是大圓的直徑,大圓的弦BC所

在直線與小圓相切于點D.則下列結(jié)論不一定成立的是?(C)

A.BD=CD

B.AC⊥BCC.AB=2AC

D.AC=2OD3.(2017日照)如圖,AB是☉O的直徑,PA切☉O于點A,連接PO并延

長交☉O于點C,連接AC,AB=10,∠P=30°,則AC的長度是?(A)

A.5

B.5

C.5

D.

4.《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著,書中有下

列問題“今有勾八步,股十五步,問勾中容圓徑幾何?”其意思是

“今有直角三角形,勾(短直角邊)長為8步,股(長直角邊)長為15

步,問該直角三角形能容納的圓形(內(nèi)切圓)的直徑是多少?”

(C)A.3步

B.5步

C.6步

D.8步5.(2018煙臺)如圖,四邊形ABCD內(nèi)接于☉O,點I是△ABC的內(nèi)心,

∠AIC=124°,點E在AD的延長線上,則∠CDE的度數(shù)為

(C)

A.56°

B.62°

C.68°

D.78°6.如圖,☉O的半徑為2,點O到直線l的距離為3,點P是直線l上的一

個動點,PB切☉O于點B,則PB的最小值是

(B)

A.

B.

C.3

D.2二、填空題7.已知正六邊形的邊心距為

,則它的周長是

12

.解析如圖,連接OA,OB,作OH⊥AB于H.

∵六邊形ABCDEF是正六邊形,∴∠AOB=?×360°=60°,∵OA=OB,∴△OAB是等邊三角形,∴∠OAH=60°,∵OH⊥AB,OH=?,∴OA=?=2,∴AB=OA=2,∴該正方形的周長是2×6=12.8.如圖,PA,PB是☉O的切線,A,B為切點,AC是☉O的直徑,若∠P=4

6°,則∠BAC=

23

度.解析∵PA,PB是☉O的切線,∴PA=PB,又∠P=46°,∴∠PAB=∠PBA=

=67°,又PA是☉O是切線,AO為半徑,∴OA⊥AP,∴∠OAP=90°,∴∠BAC=∠OAP-∠PAB=90°-67°=23°.9.直角三角形的兩邊長分別為16和12,則此三角形外接圓的半徑

是

10或8

.解析當(dāng)直角三角形的斜邊長為16時,這個三角形外接圓的半徑

為8;當(dāng)兩條直角邊長分別為16和12,則直角三角形的斜邊長=

=20,因此這個三角形外接圓的半徑為10.綜上所述,這個三角形外接圓的半徑等于8或10.10.如圖,∠APB=30°,圓心在邊PB上的☉O半徑為1cm,OP=3cm,

若☉O沿BP方向移動,當(dāng)☉O