中考數(shù)學不等式與不等式組復習全面版

第9課不等式與不等式組1．定義：(1)用

連接起來的式子叫做不等式；(2)使不等式成立的未知數(shù)的值叫做

；(3)一個含有未知數(shù)的不等式的解的全體，叫做

；(4)求不等式的解集的過程或證明不等式無解的過程，叫做解不等式．要點梳理不等號不等式的解不等式的解集2．不等式的基本性質(zhì)：

(1)不等式兩邊都

同一個數(shù)或同一個整式，不等式仍然成立；若a>b，則a±c>b±c.(2)不等式兩邊都

同一個正數(shù)，不等式仍然成立；若a>b，c>0，則ac>bc，>.(3)不等式兩邊都

同一個負數(shù)，改變不等號的方向，改變后不等式仍能成立；若a>b，c<0，則

ac<bc，<.加上(或減去)乘以(或除以)乘以(或除以)3．解一元一次不等式的步驟及程序：除了“當用一個負數(shù)去乘或除不等式的兩邊時，必須改變不等號的方向”這個要求之外，與解一元一次方程相同．4．解不等式組：一般先分別求出不等式組中各個不等式的解集并表示在數(shù)軸上，再求出它們的公共部分，就得到不等式組的解集．由兩個一元一次不等式組成的一元一次不等式組的解集有四種情況，其口訣為“兩大取其大、兩小取其小、大小小大中間找、大大小小無處找(無解)”．1.正確理解不等式與不等式組的解與解集與方程的解一樣，不等式的一個解也是滿足不等式的一個未知數(shù)的值，但不等式的解常常會有無數(shù)個，所以只有一個解的意義不大，要找的是不等式的所有解，也就是要找不等式的解集．如果對不等式的解、解集的意義理解不透徹，兩者容易混淆．所謂不等式的解是指使不等式成立的每一個數(shù)，而不等式的解集是指由全體不等式的解組成一個集合．因此，不等式的解可以是一個或多個值，而不等式的解集應包含滿足不等式的所有解.[難點正本疑點清源]

不等式的解與不等式的解集的區(qū)別：解集是能使不等式成立的未知數(shù)的取值范圍，是所有解的集合，而不等式的解則是使不等式成立的未知數(shù)的值，二者的關(guān)系是：解集包括解，所有的解組成了解集．求不等式組的解集，不管組成這個不等式組的不等式有幾個，都要先分別求解每一個不等式，再利用口訣或數(shù)軸求出它們的公共解集．利用數(shù)軸可以直觀地求出幾個不等式解集的公共部分，從而求得不等式組的解集，這既是一種準確、快捷的做法，又體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想方法．2.正確理解不等式的基本性質(zhì)，熟練掌握不等式的基本性質(zhì)不等式的三條性質(zhì)是不等式變形的重要依據(jù)，也是解一元一次不等式的理論依據(jù)．性質(zhì)3是重點，也是難點，在運用不等式性質(zhì)對不等式變形時要特別注意，不等式兩邊同乘以或除以同一個負數(shù)時，不等號的方向要改變．將一個不等式兩邊同時加上(或減去)同一個數(shù)，不等號方向肯定不變；將一個不等式兩邊同時乘(或除以)同一個不確定的數(shù)，則需要進行分類討論．1．(2011·涼山)下列不等式變形正確的是(

)A．由a>b，得ac>bcB．由a>b，得－2a<－2bC．由a>b，得－a>－bD．由a>b，得a－2<b－2

解析：由a>b，又－2<0，得－2a<－2b，不等式的兩邊同乘以一個負數(shù)，不等號必須改變方向．基礎自測B2．(2011·寧波)不等式x>1在數(shù)軸上表示正確的是(

)

解析：x>1不包括1，可排除B、D，而A表示x<1，故選C.C3．(2011·潛江)某不等式組的解集在數(shù)軸上表示如圖，則這個不等式組可能是(

)A.B.C.D.

解析：觀察解集在數(shù)軸上的表示，可知x≥－2且x<3.B4．(2011·蘇州)不等式組的所有整數(shù)解之和是(

)

A．9B．12C．13D．15

解析：解之，得3≤x<6，整數(shù)x＝3或4或5，其和為3＋4＋5＝12.B5．(2011·日照)若不等式2x＜4的解都能使關(guān)于x的一次不等式(a－1)x＜a＋5成立，則a的取值范圍是(

)A．1＜a≤7B．a(chǎn)≤7C．a(chǎn)＜1或a≥7D．a(chǎn)＝7

解析：由2x<4得x<2；由(a－1)x<a＋5，得，x<，其中a－1>0，a>1.

又x<2使(a－1)x<a＋5成立，所以2≤，2(a－1)≤a＋5，a≤7，故1<a≤7.A題型一不等式的性質(zhì)

【例1】若a<b<0，則下列式子：①a＋1<b＋2；②>1；③a＋b<ab；④<中，正確的有(

)A．1個B．2個C．3個D．4個

解析：∵a<b<0，∴a＋1<b＋1<b＋2.∴>1.

而a＋b<0，ab>0，∴a＋b<ab.∴<<0.

正確的有①、②、③，應選C.題型分類深度剖析C探究提高

將一個不等式兩邊同時加上(或減去)同一個數(shù)，不等號方向肯定不變；將一個不等式兩邊同時乘以(或除以)同一個不確定的數(shù)，則需要進行分類討論．知能遷移1

(1)若a<b，則下列各式中一定成立的是(

)A．a(chǎn)－1<b－1B.>C．－a<－bD．a(chǎn)c<bc

解析：∵a<b，∴a－1<b－1一定成立，應選A.A(2)如圖，數(shù)軸上A、B兩點分別對應實數(shù)a、b，則下列結(jié)論正確的是(

)A．a(chǎn)＋b>0B．a(chǎn)b>0C．a(chǎn)－b>0D．|a|－|b|>0

解析：∵b<0<a，且|b|>|a|，∴a－b>0正確，應選C.C題型二一元一次不等式解法【例2】解不等式5x－12≤2(4x－3)，并把它的解集在數(shù)軸上表示出．

解：5x－12≤2(4x－3)，

5x－12≤8x－6,5x－8x≤－6＋12，－3x≤6，∴x≥－2.

在數(shù)軸表示如下：探究提高

整個解一元一次不等式的過程與解一元一次方程極為相似，只是最后一步把系數(shù)化為1時，需要看清未知數(shù)的系數(shù)是正數(shù)還是負數(shù)，如果是正數(shù)，不等號方向不變；如果是負數(shù)，不等號方向改變．知能遷移2解不等式，并把解集在數(shù)軸上表示出來：－1≤＋2x＋5.

解：－1≤＋2x＋5，

3(x＋1)－2≤x＋1＋4x＋10，

3x＋3－2≤x＋1＋4x＋10，

3x－x－4x≤1＋10－3＋2，－2x≤10，∴x≥－5.題型三一元一次不等式組的解法【例3】解不等式組并寫出該不等式組的整數(shù)解．解題示范——規(guī)范步驟，該得的分，一分不丟！

解：由①得x≤1，[2分]

由②得x>－2，[4分]∴－2<x≤1，整數(shù)x＝－1或0或1.[5分]

答：原不等式組的整數(shù)解是－1,0,1.[6分]探究提高求不等式組的解集，不管組成這個不等式組的不等式有幾個，都要先分別求解每一個不等式，再利用口訣“兩大取其大，兩小取其小，大小取其中，無中不相容”或利用數(shù)軸求出它們的公共解集，還要確定其中的特殊解．知能遷移3(1)解不等式組并把它的解表示在數(shù)軸集上．解：∴－3<x<2.(2)解不等式：－1≤<6.

解：∵－1≤<6，∴－3≤2x－1<18，－2≤2x<19，－1≤x<9.5.(3)已知關(guān)于x的不等式組只有四個整數(shù)解，求實數(shù)a的取值范圍．

解：原不等式組的解集是a≤x<2，四個整數(shù)解指1,0,－1,－2,∴－3<a≤－2.題型四利用不等式組解一元二次不等式、分式不等式【例4】先閱讀理解下面的例題，再按要求解答：例題：解一元二次不等式x2－9>0.

解：∵x2－9＝(x＋3)(x－3)，∴(x＋3)(x－3)>0.

由有理數(shù)的乘法法則“兩數(shù)相乘，同號得正”，得

(1)(2)

解不等式組(1)，得x>3，解不等式組(2)，得x<－3，故(x＋3)(x－3)>0的解集為x>3或x<－3，即一元二次不等式x2－9>0的解集為x>3或x<－3.

問題：求分式不等式<0的解集．解：∵<0，∴①或②解不等式組①，無解；解不等式組②得－<x<.

即不等式<0的解集是－<x<.探究提高

本題應用有理數(shù)的乘除法法則“兩數(shù)相乘除，同號得正，異號得負．”分類討論因式、分子、分母的正負，列出不等式組，解出不等式組，即得原不等式的解集．這里也體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想．知能遷移4

(1)已知方程組的解滿足不等式4x－5y＜9，求a的取值范圍．

解：∵∴又∵4x－5y<9，∴4(5a)－5(－a＋5)<9，∴20a＋5a－25<9,25a<34，a<.(2)設關(guān)于x的不等式組無解，求m的取值范圍．

解：∵∴∵不等式組無解，∴≥，3(m＋2)≥2(2m－1)，

3m＋6≥4m－2,3m－4m≥－2－6，－m≥－8，m≤8.5．明確不等式組解集的意義試題已知關(guān)于x的不等式組的整數(shù)解共有5個，求a的取值范圍．學生答案展示

解：由不等式組得又因為不等式組有5個整數(shù)解，所以a≤x<2，這5個整數(shù)解應是－3,－2,－1,0,1，所以a≥－3.易錯警示剖析本題主要考查學生是否會利用逆向思維法解決含有待定字母的一元一次不等式組的特解，此例錯在忽視了在a≤x<2中有5個整數(shù)解時，a雖不唯一，但也有一定限制，a的取值范圍在－3與－4之間的任一處，其中包括－3但不包括－4，所以在確定a的取值范圍時擴大了解的范圍．正解由得又因不等式組有5個整數(shù)解，所以a≤x<2.則知這5個整數(shù)解應是－3,－2,－1,0,1，所以a的取值范圍是－4<a≤－3.批閱筆記

本題主要考查逆向思維，一定要明確不等式組解集的意義，可畫數(shù)軸直觀理解，如下圖：注意，包括－4則不等式組有6個整數(shù)解了．方法與技巧1.可以對照一元一次方程來學習一元一次不等式，比較它們之間的共同點和不同之處有助于準確掌握概念，有助于花較少的精力較好地掌握解題技能．2.解一元一次不等式的全部過程，與解一元一次方程相比，只是最后一個步驟上有所變化．所以，在熟練了解一元一次方程的基礎上，解好一元一次不等式的關(guān)鍵是集中精力，細心完成好最后一步——用未知數(shù)的系數(shù)去除不等式的兩邊．在這一步的思考上，應分三步：由(未知數(shù))系數(shù)的正負，確定原不等號的方向是否改變；由不等號兩邊的符號，確定商的符號；弄清誰除誰，而不弄錯商的絕對值．思想方法感悟提高3.對于解得的一元一次不等式(組)的解集是否正確，可以用以下方法檢驗：第一步，把解集的端點值分別代入原不等式的左邊和右邊，兩邊計算出來的數(shù)值應當相等；第二步，在所得解集中選一個，在代入原不等式的左邊或右邊后，計算比較簡便的數(shù)，代入原不等式，原不等式應當成立．失誤與防范1.解一元一次不等式的一般步驟是：(1)去分母；(2)去括號；(3)移項；(4)合并同類項；(5)系數(shù)化為1.首先在去分母時，容易漏乘了不含分母的項，其次是在最后一步利用不等式性質(zhì)將系數(shù)化為1時，不等式的兩邊同時乘以(或除以)了相同的負數(shù)，不等號的方向沒有改變，這些都是常見的錯誤．2.解不等式組，需要先解出每一個不等式的解，最后找出它們的公共部分．解不等式在作變形時，一定要使用同解變形，不然就會出錯．3.“≥”、“≤”分別表示“大于或等于”、“小于或等于”的意思，二者只要其中一項成立，則由“≥”、“≤”連接的不等式即成立，它們都包括后面連接的數(shù)．“非負整數(shù)”即“不是負整數(shù)”，包含了0和正整數(shù)，此時0易被忽略，從而造成漏解．完成考點跟蹤訓練9只要我們堅持了，就沒有克服不了的困難?；蛟S，為了將來，為了自己的發(fā)展，我們會把一件事情想得非常透徹，對自己越來越嚴，要求越來越高，對任何機會都不曾錯過，其目的也只不過是不讓自己隨時陷入逆境與失去那種面對困難不曾屈服的精神。但有時，“千里之行，始于足下?！蔽覀兏枰脮r間持久的用心去做一件事情，讓自己其中那小小的淺淺的進步，來擊破打破突破自己那本以為可以高枕無憂十分舒適的區(qū)域，強迫逼迫自己一刻不停的馬不停蹄的一直向前走，向前看，向前進。所有的未來，都是靠腳步去丈量。沒有走，怎么知道，不可能；沒有去努力，又怎么知道不能實現(xiàn)？幸福都是奮斗出來的。那不如，生活中、工作中，就讓這“幸福都是奮斗出來的”完完全全徹徹底底的滲入我們的心靈，著心、心平氣和的去體驗、去察覺這一種靈魂深處的安詳，側(cè)耳聆聽這僅屬于我們自己生命最原始最動人的節(jié)奏。但，這種聆聽，它絕不是僅限于、執(zhí)著于“我”，而是觀察一種生命狀態(tài)能夠擴展和超脫到什么程度，也就是那“幸福都是奮斗出來的”深處又會是如何？生命不止，奮斗不息！又或者，對于很多優(yōu)秀的人來說，我們奮斗了一輩子，拼搏了一輩子，也只是人家的起點?？墒?，這微不足道的進步，對于我們來說，卻是幸福的，也是知足的，因為我們清清楚楚的知道自己需要的是什么，隱隱約約的感覺到自己的人生正把握在自己手中，并且這一切還是通過我們自己勤勤懇懇努力，去積極爭取的!“寶劍鋒從磨礪出，梅花香自苦寒來?！碑斘覀兲谷唤邮苓@人生的終局，或許，這無所皈依的心靈就有了歸宿，這生命中覓尋處那真正的幸福、真正的清香也就從此真正的燦爛了我們的人生。一生有多少屬于我們的時光？陌上的花，落了又開了，開了又落了。無數(shù)個歲月就這樣在悄無聲息的時光里靜靜的流逝。童年的玩伴，曾經(jīng)的天真，只能在夢里回味，每回夢醒時分，總是多了很多傷感。不知不覺中，走過了青春年少，走過了人世間風風雨雨。愛過了，恨過了，哭過了，笑過了，才漸漸明白，酸甜苦辣咸才是人生的真味！生老病死是自然規(guī)律。所以，面對生活中經(jīng)歷的一切順境和逆境都學會了坦然承受，面對突然而至的災難多了一份從容和冷靜。這世上沒有什么不能承受的，只要你有足夠的堅強！這世上沒有什么不能放下的，只要你有足夠的胸襟！一生有多少屬于我們的時光？當你為今天的落日而感傷流淚的時候，你也將錯過了明日的旭日東升；當你為過去的遺憾郁郁寡歡，患得患失的時候，你也將忽略了沿途美麗的風景，淡漠了對未來美好生活的憧憬。沒有十全十美的生活，沒有一帆風順的旅途。波平浪靜的人生太乏味，抑郁憂傷的人生少歡樂，風雨過后的彩虹最絢麗，歷經(jīng)磨礪的生命才豐盈而深刻。見過了各樣的人生：有的輕浮，有的踏實；有的喧嘩，有的落寞；有的激揚，有的低回。肉體凡胎的我們之所以苦惱或喜悅，大都是緣于生活里的際遇沉浮，走不出個人心里的藩籬。也許我們能挺得過物質(zhì)生活的匱乏，卻不能抵擋住內(nèi)心的種種糾結(jié)。其實幸福和歡樂大多時候是對人對事對生活的一種態(tài)度，一花一世界，一樹一菩提，就是一粒小小的沙子，也有自己精彩的乾坤。如果想到我們終有一天會灰飛煙滅，一切象風一樣無影亦無蹤，還去爭個什么？還去抱怨什么？還要煩惱什么？未曾生我誰是我？生我之時我是誰？長大成人方是我，合眼朦朧又是誰？一生真的沒有多少時光，何必要和生活過不去，和自己過不去呢。你在與不在，太陽每天都會照常升起；你愁與不愁，生活都將要繼續(xù)。時光不會因你而停留，你卻會隨著光陰而老去。有些事情注定會發(fā)生，有的結(jié)局早已就預見，那么就改變你可以改變的，適應你必須去適應的。面對幸與不幸，換一個角度，改變一種思維，也許心空就不再布滿陰霾，頭上就是一片蔚藍的天。一生能有多少屬于我們的時光，很多事情，很多人已經(jīng)漸漸模糊。而能隨著歲月積淀下來，在心中無法忘卻的，一定是觸動心靈，甚至是刻骨銘心的，無論是傷痛是歡愉。人生無論是得意還是失意，都不要錯過了清早的晨曦，正午的驕陽，夕陽的絢爛，暮色中的朦朧。經(jīng)歷過很多世態(tài)炎涼之后，你終于能懂得：誰會在乎你？你又何必要別人去在乎？生于斯世，赤條條的來，也將身無長物的離開，你在世上得到的，失去的，最終都會化作塵埃。原本就不曾帶來什么，所以也談不到失去什么，因此，對自己經(jīng)歷的幸與不幸都應懷有一顆平常心有一顆平常心，面對人生小小的不如意或是飛來橫禍就能坦然接受，知道人有旦夕禍福，這和命運沒什么關(guān)系；有一顆平常心，面對臺下的鮮花掌聲和頭上的光環(huán)，身上的浮名都能清醒看待?；ú怀ｉ_，人不常在。再熱鬧華美的舞臺也有謝幕的時候；再奢華的宴席，悠揚的樂曲，總有曲