《為什么要證明》參考課件1

7.1

為什么要證明

古人云：“耳聽(tīng)為虛，眼見(jiàn)為實(shí)”。但眼見(jiàn)一定是真實(shí)的嗎？是靜還是動(dòng)？能看到很多同心圓嗎~~其實(shí)里面沒(méi)有~~

線段AB和CD長(zhǎng)度完全相等,雖然它們看起來(lái)相差很大!

平行線:不敢相信圖中的橫線是平行的,不過(guò)它們就是平行線!

你覺(jué)得觀察得到的結(jié)論正確嗎？實(shí)踐出真知！眼見(jiàn)未必為實(shí)！ab考考你的眼力

線段a與線段b哪個(gè)比較長(zhǎng)？abcd

誰(shuí)與線段d在一條直線上？ababcd檢驗(yàn)?zāi)愕慕Y(jié)論a=b你的眼睛欺騙你了嗎？猜猜看

假如用一根比地球赤道長(zhǎng)1米的鐵絲將地球赤道圍起來(lái)，那么鐵絲與赤道之間的間隙能有多大（把地球看成球形）？

能放進(jìn)一粒草莓嗎？

能放進(jìn)一個(gè)拳頭嗎？猜猜看

假如用一根比地球赤道長(zhǎng)1米的鐵絲將地球赤道圍起來(lái)，那么鐵絲與赤道之間的間隙能有多大（把地球看成球形）？有理有據(jù)地推理解：設(shè)赤道的周長(zhǎng)為C，則鐵絲與地球赤道的間隙為π-π+221CC費(fèi)馬大數(shù)學(xué)家也有失誤

對(duì)于所有自然數(shù)n，的值都是質(zhì)數(shù).當(dāng)n=0，1，2，3，4時(shí)，=3，5，17，257，65537都是質(zhì)數(shù)歐拉當(dāng)n=5時(shí)，=4294967297=641×6700417舉出反例是檢驗(yàn)錯(cuò)誤數(shù)學(xué)結(jié)論的有效方法.

這個(gè)故事告訴我們：1、學(xué)習(xí)歐拉的求實(shí)精神與嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度.2、沒(méi)有嚴(yán)格的推理，僅由若干特例歸納、猜測(cè)的結(jié)論可能潛藏著錯(cuò)誤，未必正確.3、要證明一個(gè)結(jié)論是錯(cuò)誤的，舉反例就是一種常用方法.尋找質(zhì)數(shù)

有人認(rèn)為，對(duì)于所有自然數(shù)n，代數(shù)式n2-n+11的值都是質(zhì)數(shù).你怎么看待這個(gè)結(jié)論？例：做一做

當(dāng)n=0，1，2，3，4，5時(shí)，代數(shù)式n2-n+11的值是質(zhì)數(shù)還是和數(shù)？

對(duì)于所有自然數(shù)n，代數(shù)式n2-n+11的值都是質(zhì)數(shù)嗎？解:結(jié)論錯(cuò)誤.

當(dāng)n=6時(shí)

n2+3n+1=36+18+1=55∵55為合數(shù)∴當(dāng)n為正整數(shù)時(shí)，n2+3n+1的值一定是質(zhì)數(shù)錯(cuò)誤.僅僅依靠經(jīng)驗(yàn)、觀察或?qū)嶒?yàn)是不夠的，必須一步一步、有根有據(jù)地進(jìn)行推理.議一議實(shí)驗(yàn)、觀察、歸納是人們認(rèn)識(shí)事物的重要手段.通過(guò)實(shí)驗(yàn)、觀察、歸納得到的結(jié)論都正確嗎？總結(jié)1、實(shí)驗(yàn)、觀察、歸納得到的結(jié)論不一定正確.因此，要判斷一個(gè)結(jié)論是否正確，僅靠實(shí)驗(yàn)，觀察，歸納是不夠的，必須進(jìn)行有根有據(jù)的證明.2、檢驗(yàn)一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論是否正確的常用方法：實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證、舉出反例、推理.7.2定義與命題小明：不好了，不好了，我家電腦中毒了！小亮：急什么急，不就是中毒了嗎？很簡(jiǎn)單就解決了！小明：什么辦法？小亮：用殺毒水啊！我媽說(shuō)了，一殺就靈！

中毒了?

電視機(jī)里正在播放精彩的乒乓球比賽，奶奶邊看比賽邊說(shuō)：打得好！打得好！可惜播音員不識(shí)數(shù)……孫子聽(tīng)了不解地問(wèn)：人家咋不識(shí)數(shù)？奶奶說(shuō)：明明兩個(gè)人在打球，他卻說(shuō)單打，明明是四個(gè)人在打球，他卻說(shuō)雙打，你說(shuō)他識(shí)數(shù)不識(shí)數(shù)？

識(shí)數(shù)?

小華與小剛正在津津有味地閱讀

《我們愛(ài)科學(xué)》.“哈！這個(gè)黑客終于被逮住了”。黑客小剛說(shuō)：

“可能是穿著黑色衣服的俠客!”小華說(shuō)：“這黑客是小偷!”

定義?可見(jiàn)交流必須對(duì)某些名稱和術(shù)語(yǔ)有共同的認(rèn)識(shí)才能進(jìn)行，為此，就要對(duì)名稱和術(shù)語(yǔ)的含義加描述，作出明確的規(guī)定，也就是給出他們的

。例如：1、“具有中華人民共和國(guó)國(guó)籍的人，叫做中華人民共和國(guó)公民”，是

的定義。2、“兩點(diǎn)之間線段的長(zhǎng)度，叫做這兩點(diǎn)之間的距離”是

的定義。3、

是“等腰三角形”的定義。中華人民共和國(guó)公民定義兩點(diǎn)之間的距離有兩條邊相等的三角形是等腰三角形下圖表示某地的一個(gè)灌溉系統(tǒng).上面“如果……,那么……”都是對(duì)事情進(jìn)行判斷的語(yǔ)句.判斷一件事情的句子,叫做命題.如果B處水流受到污染,那么

處水流便受到污染;如果C處水流受到污染,那么

處水流便受到污染;如果D處水流受到污染,那么

處水流便受到污染;……ABCE·FH·GDKJ··IC,E,F,GEK做一做·······例如，下列句子都是命題(4)無(wú)論n為怎樣的自然數(shù)，式子n2-n+11的值都是質(zhì)數(shù)；(2)任何一個(gè)三角形一定有直角；(1)熊貓沒(méi)有翅膀；(3)對(duì)頂角相等；反之,如果一個(gè)句子沒(méi)有對(duì)某一事情作出任何判斷,那么它就不是命題.例如,下列句子都不是命題:(1)你喜歡數(shù)學(xué)嗎?(2)作線段AB=CD.(5)如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行.判斷一件事情的句子,叫做命題.1.下列句子中哪些是命題?(1)動(dòng)物都需要水;(2)猴子是動(dòng)物的一種;(3)玫瑰花是動(dòng)物;(4)美麗的天空;(5)三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形一定全等;(6)負(fù)數(shù)都小于零;(7)你的作業(yè)做完了嗎?(8)所有的質(zhì)數(shù)都是奇數(shù);(9)過(guò)直線外l一點(diǎn)作直線l的平行線;(10)如果a>b,a>c,那么b=c.是是是不是是是不是是不是是觀察下列命題,猜測(cè)這些命題的共同的結(jié)構(gòu)特征.與你的同伴交流(1)如果兩個(gè)三角形的三條邊對(duì)應(yīng)相等,那么這兩個(gè)三角形全等;(2)如果一個(gè)四邊形的一組對(duì)邊平行且相等,那么這個(gè)四邊形是平行四邊形;(3)如果一個(gè)三角形是等腰三角形,那么這個(gè)三角形的兩個(gè)底角相等;(4)如果一個(gè)四邊形的對(duì)角線相等,那么這個(gè)四邊形是矩形;(5)如果一個(gè)四邊形的兩條對(duì)角線互相垂直,那么這個(gè)四邊形是菱形.命題的結(jié)構(gòu)特征：命題都可以寫(xiě)成“如果……那么……”的形式。

“如果……”是已知的事項(xiàng)即條件，“那么……”是由已知事項(xiàng)推斷出的結(jié)論。

每個(gè)命題都是有條件和結(jié)論兩部分組成。如“同角的余角相等”可以寫(xiě)成如果兩個(gè)角是同一個(gè)角的余角，那么這兩個(gè)角相等。1、下列命題的條件是什么？結(jié)論是什么？（1）如果兩個(gè)角相等，那么它們是對(duì)頂角；（2）如果a＞b,b＞c,那么a=c；（3）兩角和其中一角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等；（4）菱形的四條邊都相等；（5）全等三角形的面積相等。解：（1）條件：兩個(gè)角相等，結(jié)論：它們是對(duì)頂角解：（2）條件：a＞b,b＞c

，結(jié)論：a=c解：（3）改寫(xiě)：如果兩個(gè)三角形的兩角和其中一角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形全等。條件：兩個(gè)三角形的兩角和其中一角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等結(jié)論：這兩個(gè)三角形全等解：（4）改寫(xiě)：如果一個(gè)四邊形是菱形，那么這個(gè)四邊形的四條邊相等條件：一個(gè)四邊形是菱形，結(jié)論：這個(gè)四邊形的四條邊相等解：（5）改寫(xiě)：如果兩個(gè)三角形全等，那么這兩個(gè)三角形的面積相等。條件：兩個(gè)三角形全等結(jié)論：這兩個(gè)三角形的面積相等例：將下列命題改成“如果…那么…”的形式①兩直線平行，同位角相等④互為相反數(shù)的兩數(shù)絕對(duì)值相等③平行于同一條直線的兩直線平行②對(duì)頂角相等④如果兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)，那么這兩個(gè)數(shù)的絕對(duì)值相等③如果兩條直線平行于同一條直線，那么這兩條直線平行②如果兩個(gè)角是對(duì)頂角，那么這兩個(gè)角相等解：①如果兩直線平行，那么同位角相等2、這幾個(gè)命題哪些是正確的？哪些不正確？你是怎么知道它們是不正確的？（1）如果兩個(gè)角相等，那么它們是對(duì)頂角；（2）如果a＞b,b＞c,那么a=c；（3）兩角和其中一角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等；（4）菱形的四條邊都相等；（5）全等三角形的面積相等。不正確不正確正確正確正確正確的命題稱為真命題，不正確的命題稱為假命題3、這幾個(gè)命題哪些是真命題？哪些是假命題？（1）如果兩個(gè)角相等，那么它們是對(duì)頂角；（2）如果a＞b,b＞c,那么a=c；（3）兩角和其中一角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等；（4）菱形的四條邊都相等；（5）全等三角形的面積相等。假命題假命題真命題真命題真命題說(shuō)明假命題的方法：舉反例使之具有命題的條件，而不具有命題的結(jié)論如何證實(shí)一個(gè)命題是真命題呢用我們以前學(xué)過(guò)的觀察,實(shí)驗(yàn),驗(yàn)證特例等方法.這些方法往往并不可靠.能不能根據(jù)已經(jīng)知道的真命題證實(shí)呢?那已經(jīng)知道的真命題又是如何證實(shí)的?.哦……那可怎么辦想一想如何證實(shí)一個(gè)命題是真命題呢？

其實(shí)，在數(shù)學(xué)發(fā)展史上，數(shù)學(xué)家們也遇到類似的問(wèn)題，公元前3世紀(jì)，人們已經(jīng)積累了大量的數(shù)學(xué)知識(shí)，在此基礎(chǔ)上，古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得(公元前300前后)編寫(xiě)一本書(shū)，書(shū)名叫《原本》，為了說(shuō)明每一個(gè)結(jié)論的正確性，他在編寫(xiě)這本書(shū)時(shí)進(jìn)行了大膽創(chuàng)造：挑選了一部分?jǐn)?shù)學(xué)名詞和一部分公認(rèn)的真命題作為證實(shí)其他命題的起始依據(jù)，公認(rèn)的真命題稱為公理.某些數(shù)學(xué)名詞稱為原名.除了公理外,其它真命題的正確性都通過(guò)推理的方法證實(shí).推理的過(guò)程稱為證明.經(jīng)過(guò)證明的真命題稱為定理.其中他的方法是：確定一些公認(rèn)的命題作為公理用推理的方法證實(shí)其它命題的正確性推理的過(guò)程叫證明經(jīng)過(guò)證明的真命題叫定理本教材的公理

等式的有關(guān)性質(zhì)和不等式的有關(guān)性質(zhì)也作為公理1.兩點(diǎn)確定一條直線。2.兩點(diǎn)之間線段最短。3.同一平面內(nèi)，過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直。4.兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行．5.過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與這條直線平行.6.兩邊及其夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等．7.兩角及其夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等．8.三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等．等式的有關(guān)性質(zhì)和不等式的有關(guān)性質(zhì)都可以看作公理在等式或不等式中,一個(gè)量可以用它的等量來(lái)代替.例如,如果,那么,這一性質(zhì)也看作公理,稱為“等量代換”.其它公理例已知:如圖7—5，直線AB與直線CD相交于點(diǎn)O，∠AOC與∠BOD是對(duì)頂角。證明：∵直線AB與直線CD相交于點(diǎn)O∴∠AOB和∠COD都是平角（平角定義）∴∠AOC和∠ＢOD都是∠ＡOD的補(bǔ)角（補(bǔ)角的定義）∴∠AOC=∠BOD（同角的補(bǔ)角相等）達(dá)標(biāo)檢測(cè)1、下列命題屬于定義的是（）A、兩點(diǎn)確定一條直線B、同角或等角的余角相等C、點(diǎn)到直線的距離是該點(diǎn)到這條直線的垂線段的長(zhǎng)度D、兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等2、下列句子哪些是命題？哪些不是命題？（1）在三角形內(nèi)任取一點(diǎn)再作最短邊的平行線（）（2）四邊形都是正方形；（）（3）有限小數(shù)是有理數(shù)；（）（4）最大的負(fù)數(shù)不存在；（）（5）相反數(shù)等于它本身的實(shí)數(shù)只有零；（）（6）有三個(gè)角是直角的四邊形是長(zhǎng)方形。（）（7）2010年世博會(huì)在上海舉辦。（）（8）今天天氣真好?。。ǎ痢罜

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√3、你能舉出一些命題嗎?（至少寫(xiě)出兩個(gè)）4、把下列命題改寫(xiě)成“如果……,那么……”的形式，并指出下列命題的條件是什么？結(jié)論是什么？(1)兩條直線被第三條直線所截,同旁內(nèi)角互補(bǔ);[來(lái)(2)如果兩個(gè)三角形全等,那么它們對(duì)應(yīng)邊上的高也相等.（3）同角或等角的余角相等