高中數(shù)學(xué)蘇教版第一章解三角形余弦定理 蘇教版 余弦定理2 學(xué)案

1．2余弦定理(2)1.掌握余弦定理在幾何問題、實際問題中的運用．2.初步體會正弦定理和余弦定理的綜合運用．學(xué)生用書P81．正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R.2．正弦定理的幾個變形(1)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC．(2)sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R)．(3)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC．(4)asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA，eq\f(a,b)＝eq\f(sinA,sinB)，eq\f(a,c)＝eq\f(sinA,sinC)，eq\f(b,c)＝eq\f(sinB,sinC)．3．余弦定理及其變形a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC．cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)，cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)，cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)．1．判斷下列命題是否正確．(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)公式S＝eq\f(1,2)absinC適合求任意三角形的面積．()(2)三角形中已知三邊無法求其面積．()(3)在三角形中已知兩邊和一角就能求三角形的面積．()解析：(1)正確，S＝eq\f(1,2)absinC適合求任意三角形的面積．(2)錯誤．已知三邊可利用余弦定理求角的余弦值，再求得正弦值，進而求面積．(3)正確，已知兩邊和兩邊的夾角可直接求得面積，已知兩邊和一邊的對角，可求得第三邊和兩個角，再求面積．答案：(1)√(2)×(3)√2．在△ABC中，已知a＝9，b＝2eq\r(3)，C＝150°，則c＝______．解析：由余弦定理得：c＝eq\r(92＋（2\r(3)）2－2×9×2\r(3)×cos150°)＝eq\r(3×72)＝7eq\r(3).答案：7eq\r(3)3．在△ABC中，已知BC＝1，B＝eq\f(π,3)，則△ABC的面積為eq\r(3)，則AC的長為________．解析：由三角形面積公式得eq\f(1,2)acsinB＝eq\r(3)，解得c＝4，再由余弦定理得b2＝1＋16－2×1×4×eq\f(1,2)＝13，所以AC的長為eq\r(13).答案：eq\r(13)余弦定理在幾何圖形中的運用[學(xué)生用書P8]如圖所示，已知在四邊形ABCD中，AD⊥CD，AD＝10，AB＝14，∠BDA＝60°，∠BCD＝135°，求BC的長．【解】設(shè)BD＝x，在△ABD中，由余弦定理有AB2＝AD2＋BD2－2AD·BD·cos∠ADB，即142＝x2＋102－20xcos60°，所以x2－10x－96＝0，所以x＝16(x＝－6舍去)，即BD＝16.在△BCD中，由正弦定理eq\f(BC,sin∠CDB)＝eq\f(BD,sin∠BCD)，所以BC＝eq\f(16sin30°,sin135°)＝8eq\r(2).eq\a\vs4\al()余弦定理在幾何圖形中的應(yīng)用，要注意結(jié)合圖形，有時要利用圖形性質(zhì)求解．1.如圖，在△ABC中，D是邊AC上的點，且AB＝AD，2AB＝eq\r(3)BD，BC＝2BD，則sinC的值為________．解析：設(shè)AB＝c，則AD＝c，BD＝eq\f(2c,\r(3))，BC＝eq\f(4c,\r(3))，在△ABD中，由余弦定理得cosA＝eq\f(c2＋c2－\f(4,3)c2,2c2)＝eq\f(1,3)，則sinA＝eq\f(2\r(2),3).在△ABC中，由正弦定理得eq\f(c,sinC)＝eq\f(BC,sinA)＝eq\f(\f(4c,\r(3)),\f(2\r(2),3))，解得sinC＝eq\f(\r(6),6).答案：eq\f(\r(6),6)余弦定理的實際應(yīng)用[學(xué)生用書P9]在某次軍事演習(xí)中，紅方為了準(zhǔn)確分析戰(zhàn)場形勢，在兩個相距為eq\f(\r(3)a,2)的軍事基地C和D測得藍(lán)方兩支精銳部隊分別在A處和B處，且∠ADB＝30°，∠BDC＝30°，∠DCA＝60°，∠ACB＝45°，如圖所示，求藍(lán)方這兩支精銳部隊的距離．【解】法一：因為∠ADC＝∠ADB＋∠CDB＝60°，又因為∠ACD＝60°，所以∠DAC＝60°.所以AD＝CD＝AC＝eq\f(\r(3),2)a.在△BCD中，∠DBC＝180°－30°－105°＝45°，由正弦定理得eq\f(DB,sin∠BCD)＝eq\f(CD,sin∠DBC)，所以BD＝CD·eq\f(sin∠BCD,sin∠DBC)＝eq\f(\r(3),2)a·eq\f(\f(\r(6)＋\r(2),4),\f(\r(2),2))＝eq\f(3＋\r(3),4)a.在△ADB中，由余弦定理得AB2＝AD2＋BD2－2·AD·BD·cos∠ADB＝eq\f(3,4)a2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3＋\r(3),4)a))eq\s\up12(2)－2×eq\f(\r(3),2)a·eq\f(3＋\r(3),4)a·eq\f(\r(3),2)＝eq\f(3,8)a2，所以AB＝eq\f(\r(6),4)a.所以藍(lán)方這兩支精銳部隊的距離為eq\f(\r(6),4)a.法二：同法一，得AD＝DC＝AC＝eq\f(\r(3),2)a.在△BCD中，∠DBC＝45°，由正弦定理得eq\f(BC,sin30°)＝eq\f(CD,sin45°)，所以BC＝eq\f(\r(6),4)a，在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos45°＝eq\f(3,4)a2＋eq\f(3,8)a2－2×eq\f(\r(3),2)a·eq\f(\r(6),4)a·eq\f(\r(2),2)＝eq\f(3,8)a2，所以AB＝eq\f(\r(6),4)a.所以藍(lán)方這兩支精銳部隊的距離為eq\f(\r(6),4)a.eq\a\vs4\al()日常生活中，測量距離問題通常有兩種情況種類圖示解決方法一點不可到達(dá)可測出三角形兩個角(A、C)和一邊(AC)，直接運用正弦定理求AB兩點均不可到達(dá)可測α、β、θ、φ及CD.首先把求不可到達(dá)的兩點A，B之間的距離轉(zhuǎn)化為應(yīng)用正弦定理求三角形的邊長問題，先把求未知的BC和AC的問題轉(zhuǎn)化為測量可到達(dá)的一點與不可到達(dá)的一點之間距離的問題(如圖所示)，然后在△ABC中求解AB2.如圖，某海輪以60海里/小時的速度航行，在A點測得海面上油井P在南偏東60°方向，向北航行40分鐘后到達(dá)B點，測得油井P在南偏東30°方向，海輪改為北偏東60°的航向再行駛80分鐘到達(dá)C點，求P，C間的距離．解：因為AB＝40，∠BAP＝120°，∠ABP＝30°，所以∠APB＝30°，所以AP＝40，所以BP2＝AB2＋AP2－2AP·AB·cos120°＝402＋402－2×40×40×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝402×3，所以BP＝40eq\r(3).又∠PBC＝90°，BC＝80，所以PC2＝BP2＋BC2＝(40eq\r(3))2＋802＝11200，所以PC＝40eq\r(7)海里．證明三角恒等式[學(xué)生用書P9]在△ABC中，求證：eq\f(a2－b2,c2)＝eq\f(sin（A－B）,sinC).【證明】右邊＝eq\f(sinAcosB－cosAsinB,sinC)＝eq\f(sinA,sinC)·cosB－eq\f(sinB,sinC)·cosA＝eq\f(a,c)·eq\f(a2＋c2－b2,2ac)－eq\f(b,c)·eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(a2＋c2－b2,2c2)－eq\f(b2＋c2－a2,2c2)＝eq\f(a2－b2,c2)＝左邊．所以eq\f(a2－b2,c2)＝eq\f(sin（A－B）,sinC).eq\a\vs4\al()在三角形中，涉及邊角關(guān)系的恒等式，可以考慮用正、余弦定理把角的關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系或統(tǒng)一由邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系．3.在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，求證：acos2eq\f(C,2)＋ccos2eq\f(A,2)＝eq\f(1,2)(a＋b＋c)．證明：因為sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC，由正弦定理可得acosC＋ccosA＝b，所以acos2eq\f(C,2)＋ccos2eq\f(A,2)＝eq\f(1,2)(a＋c＋acosC＋ccosA)＝eq\f(1,2)(a＋b＋c)．三角形中的綜合問題[學(xué)生用書P10]△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知2cosC(acosB＋bcosA)＝c.(1)求C；(2)若c＝eq\r(7)，△ABC的面積為eq\f(3\r(3),2)，求△ABC的周長．【解】(1)由已知及正弦定理得，2cosC(sinAcosB＋sinBcosA)＝sinC，即2cosCsin(A＋B)＝sinC，故2sinCcosC＝sinC.可得cosC＝eq\f(1,2)，所以C＝eq\f(π,3).(2)由已知，eq\f(1,2)absinC＝eq\f(3\r(3),2).又C＝eq\f(π,3)，所以ab＝6.由已知及余弦定理得，a2＋b2－2abcosC＝7，故a2＋b2＝13，從而(a＋b)2＝25.所以△ABC的周長為5＋eq\r(7).eq\a\vs4\al()解三角形綜合問題的方法(1)三角形中的綜合應(yīng)用問題常常把正弦定理、余弦定理、三角形面積公式、三角恒等變換等知識聯(lián)系在一起，要注意選擇合適的方法、知識進行求解．(2)解三角形還常與向量、三角函數(shù)及三角恒等變換知識綜合考查，解答此類題目，首先要正確應(yīng)用所學(xué)知識“翻譯”題目條件，然后根據(jù)題目條件和要求選擇正弦或余弦定理求解．4.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知sinB(tanA＋tanC)＝tanAtanC.(1)求證：b2＝ac；(2)若a＝1，c＝2，求△ABC的面積S.解：(1)證明：在△ABC中，由于sinB(tanA＋tanC)＝tanAtanC，所以sinBeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(sinA,cosA)＋\f(sinC,cosC)))＝eq\f(sinA,cosA)·eq\f(sinC,cosC)，因此sinB(sinAcosC＋cosAsinC)＝sinAsinC，所以sinBsin(A＋C)＝sinAsinC.又A＋B＋C＝π，所以sin(A＋C)＝sinB，因此sin2B＝sinAsinC.由正弦定理得b2＝ac.(2)因為a＝1，c＝2，所以b＝eq\r(2)，由余弦定理得cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(12＋22－2,2×1×2)＝eq\f(3,4)，因為0<B<π，所以sinB＝eq\r(1－cos2B)＝eq\f(\r(7),4)，故△ABC的面積S＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)×1×2×eq\f(\r(7),4)＝eq\f(\r(7),4).1．余弦定理指出了三角形的三條邊與其中的一個角之間的關(guān)系，每一個等式中都包含四個不同的量，它們分別是三角形的三邊和一個角，知道其中的三個量，就可以求得第四個量．2．在已知兩邊與其中一邊的對角時，即可先用余弦定理求邊，再繼續(xù)求解；也可以先用正弦定理求另一邊的對角，再繼續(xù)求解．而用余弦定理先求第三邊的好處是只需保證邊為正來判斷解的個數(shù)．3．因為余弦定理給出的是三邊與一個角的余弦值之間的關(guān)系，而余弦值的正負(fù)可以決定該角是銳角還是鈍角，因此利用余弦定理及其推論來判定三角形的形狀時，我們一般是通過計算最大邊所對應(yīng)的最大角的余弦值，即兩個小邊的平方和與最大邊的平方的差的正負(fù)，來判斷該角是銳角還是鈍角．即在△ABC中，c2＝a2＋b2?C為直角；c2＜a2＋b2?C為銳角；c2＞a2＋b2?C為鈍角．有時也會和正弦定理結(jié)合同化為邊或同化為角觀察．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知cosC＋(cosA－eq\r(3)sinA)cosB＝0.(1)求角B的大??；(2)若a＋c＝1，求b的取值范圍．[解](1)由已知得－cos(A＋B)＋cosAcosB－eq\r(3)sinA·cosB＝0，即有sinAsinB－eq\r(3)sinAcosB＝0.①因為sinA≠0，所以sinB－eq\r(3)cosB＝0.又cosB≠0，所以tanB＝eq\r(3).又0<B<π，所以B＝eq\f(π,3).(2)由余弦定理，有b2＝a2＋c2－2accosB.因為a＋c＝1，cosB＝eq\f(1,2)， 有b2＝3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(1,4).②又0<a<1，于是有eq\f(1,4)≤b2<1，即有eq\f(1,2)≤b<1.(1)①根據(jù)三角形內(nèi)角和定理把已知條件轉(zhuǎn)化為角B的一個三角函數(shù)是求B的關(guān)鍵．②結(jié)合(1)的結(jié)果，應(yīng)用余弦定理把b2表示成a的函數(shù)，根據(jù)a的范圍求出b的范圍是本題的難點也是易錯點．(2)在解決三角形問題時，注意挖掘題目中隱含的條件及邊、角范圍．同時要熟練掌握正、余弦定理的幾種變形和三角恒等變形．1．在△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝3∶2∶3，則cosC的值為________．解析：由正弦定理得：a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC＝3∶2∶3.設(shè)a＝3x，b＝2x，c＝3x，則cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(9x2＋4x2－9x2,2×3x×2x)＝eq\f(1,3).答案：eq\f(1,3)2．在△ABC中，若a2＝bc，則角A是________．(填“銳角”“直角”或“鈍角”)解析：cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(b2＋c2－bc,2bc)＝eq\f(（b－c）2＋bc,2bc)>0.答案：銳角3．在△ABC中，已知A＝30°，且3a＝eq\r(3)b＝12，則c＝________.解析：a＝4，b＝4eq\r(3)，cosA＝eq\f(48＋c2－16,2×4\r(3)c)＝eq\f(\r(3),2)，解得c＝4或c＝8.答案：4或8,[學(xué)生用書P75(單獨成冊)])[A基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]1．△ABC為鈍角三角形，且∠C為鈍角，則a2＋b2與c2的大小關(guān)系為________．解析：cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)，因為∠C為鈍角，所以cosC<0，所以a2＋b2－c2<0，故a2＋b2<c2.答案：a2＋b2<c22．一質(zhì)點受到平面上的三個力F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3(單位：牛頓)的作用而處于平衡狀態(tài)．已知F1，F(xiàn)2成60°角，且F1，F(xiàn)2的大小分別為2和4，則F3的大小為________．解析：因為力F是一個向量，由向量加法的平行四邊形法則知F3的大小等于以F1、F2為鄰邊的平行四邊形的對角線的長，故|F3|2＝|F1|2＋|F2|2＋2|F1|·|F2|·cos60°＝4＋16＋8＝28，所以|F3|＝2eq\r(7).答案：2eq\r(7)3．若△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊a，b，c滿足(a＋b)2－c2＝4，且C＝60°，則ab的值為______．解析：由(a＋b)2－c2＝4，得a2＋b2－c2＋2ab＝4，①由余弦定理得a2＋b2－c2＝2abcosC＝2abcos60°＝ab，②將②代入①得，ab＋2ab＝4，即ab＝eq\f(4,3).答案：eq\f(4,3)4．已知△ABC的三個內(nèi)角滿足2B＝A＋C，且AB＝1，BC＝4，則邊BC上的中線AD的長為________．解析：由2B＝A＋C，及A＋B＋C＝π知，B＝eq\f(π,3).在△ABD中，AB＝1，BD＝eq\f(BC,2)＝2，所以AD2＝AB2＋BD2－2AB·BDcoseq\f(π,3)＝3.因此AD＝eq\r(3).答案：eq\r(3)5．已知向量a和b的模分別為2和3，且|a－b|＝eq\r(19)，則a，b的夾角為________．解析：a，b，a－b可構(gòu)成三角形，由余弦定理，得cos〈a，b〉＝eq\f(4＋9－19,2×2×3)＝－eq\f(1,2).所以〈a，b〉＝eq\f(2,3)π.答案：eq\f(2,3)π6．平行四邊形ABCD中，AC＝eq\r(65)，BD＝eq\r(17)，周長為18，則平行四邊形的面積是________．解析：設(shè)平行四邊形的兩鄰邊AD＝b，AB＝a，∠BAD＝α，則a＋b＝9，a2＋b2－2abcosα＝17，a2＋b2－2abcos(180°－α)＝65，解得a＝5，b＝4，cosα＝eq\f(3,5)，或a＝4，b＝5，cosα＝eq\f(3,5)，所以S平行四邊形ABCD＝absinα＝16.答案：167．在△ABC中，b＝8，c＝3，A＝60°，則此三角形外接圓面積是______．解析：在△ABC中，由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA＝64＋9－2×8×3×eq\f(1,2)＝49，所以a＝7.設(shè)三角形外接圓的半徑為R，由正弦定理得2R＝eq\f(a,sinA)＝eq\f(7,sin60°)＝eq\f(14\r(3),3)，所以R＝eq\f(7\r(3),3)，S＝π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7\r(3),3)))eq\s\up12(2)＝eq\f(49π,3).答案：eq\f(49π,3)8．在△ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對邊．若△ABC的面積為eq\f(a2,4)，A＝15°，則eq\f(b,c)＋eq\f(c,b)的值為________．解析：△ABC的面積S＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(a2,4)，所以2bc＝eq\f(a2,sinA).由余弦定理得cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(b2＋c2,2bc)－eq\f(a2,2bc)＝eq\f(b2＋c2,2bc)－eq\f(a2,\f(a2,sinA))＝eq\f(b2＋c2,2bc)－sinA，所以eq\f(b,c)＋eq\f(c,b)＝eq\f(b2＋c2,bc)＝2(sinA＋cosA)＝2eq\r(2)sin(A＋45°)＝2eq\r(2)sin60°＝eq\r(6).答案：eq\r(6)9．在△ABC中，a、b、c分別是角A、B、C的對邊，已知b2＝ac，且a2－c2＝ac－bc.求：(1)角A的大小；(2)eq\f(bsinB,c)的值．解：(1)因為b2＝ac，且a2－c2＝ac－bc，所以b2＋c2－a2＝bc.在△ABC中，由余弦定理，得cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(bc,2bc)＝eq\f(1,2)，所以A＝60°.(2)在△ABC中，由正弦定理得sinB＝eq\f(bsinA,a).因為b2＝ac，A＝60°，所以eq\f(bsinB,c)＝eq\f(b2sin60°,ac)＝sin60°＝eq\f(\r(3),2).10．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，并且a2＝b(b＋c)．(1)求證：A＝2B；(2)若a＝eq\r(3)b，判斷△ABC的形狀．解：(1)證明：因為a2＝b(b＋c)，即a2＝b2＋bc，所以在△ABC中，由余弦定理可得，cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(c2＋bc,2ac)＝eq\f(b＋c,2a)＝eq\f(a2,2ab)＝eq\f(a,2b)＝eq\f(sinA,2sinB)，所以sinA＝sin2B，故A＝2B.(2)因為a＝eq\r(3)b，所以eq\f(a,b)＝eq\r(3)，由a2＝b(b＋c)可得c＝2b，cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(3b2＋4b2－b2,4\r(3)b2)＝eq\f(\r(3),2)，所以B＝30°，A＝2B＝60°，C＝90°.所以△ABC為直角三角形．[B能力提升]1．在△ABC中，已知a＝7，b＝8，cosC＝eq\f(13,14)，則最大角的余弦值是________．解析：先由c2＝a2＋b2－2abcosC，求出c＝3，所以最大邊為b，最大角為B，所以cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝－eq\f(1,7).答案：－eq\f(1,7)2．在△ABC中，AB＝2，AC＝eq\r(6)，BC＝1＋eq\r(3)，AD為邊BC上的高，則AD的長為______．解析：因為cosC＝eq\f(BC2＋AC2－AB2,2×BC×AC)＝eq\f(\r(2),2)，所以sinC＝eq\f(\r(2),2).所以AD＝AC·sinC＝eq\r(3).答案：eq\r(3)3．如圖，在△AB