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文檔簡介
2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項:1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫,字體工整、筆跡清楚。3.請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試題卷上答題無效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知雙曲線的左、右頂點分別為,點是雙曲線上與不重合的動點,若,則雙曲線的離心率為()A. B. C.4 D.22.已知向量,(其中為實數(shù)),則“”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件3.小王因上班繁忙,來不及做午飯,所以叫了外賣.假設(shè)小王和外賣小哥都在12:00~12:10之間隨機到達小王所居住的樓下,則小王在樓下等候外賣小哥的時間不超過5分鐘的概率是()A. B. C. D.4.設(shè)函數(shù),當(dāng)時,,則()A. B. C.1 D.5.已知,則的取值范圍是()A.[0,1] B. C.[1,2] D.[0,2]6.蒙特卡洛算法是以概率和統(tǒng)計的理論、方法為基礎(chǔ)的一種計算方法,將所求解的問題同一定的概率模型相聯(lián)系;用均勻投點實現(xiàn)統(tǒng)計模擬和抽樣,以獲得問題的近似解,故又稱統(tǒng)計模擬法或統(tǒng)計實驗法.現(xiàn)向一邊長為的正方形模型內(nèi)均勻投點,落入陰影部分的概率為,則圓周率()A. B.C. D.7.“紋樣”是中國藝術(shù)寶庫的瑰寶,“火紋”是常見的一種傳統(tǒng)紋樣.為了測算某火紋紋樣(如圖陰影部分所示)的面積,作一個邊長為3的正方形將其包含在內(nèi),并向該正方形內(nèi)隨機投擲200個點,己知恰有80個點落在陰影部分據(jù)此可估計陰影部分的面積是()A. B. C.10 D.8.已知等比數(shù)列滿足,,等差數(shù)列中,為數(shù)列的前項和,則()A.36 B.72 C. D.9.設(shè),均為非零的平面向量,則“存在負數(shù),使得”是“”的A.充要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件10.若實數(shù)滿足不等式組,則的最大值為()A. B. C.3 D.211.若數(shù)列滿足且,則使的的值為()A. B. C. D.12.函數(shù)在上單調(diào)遞增,則實數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.的展開式中的常數(shù)項為______.14.等腰直角三角形內(nèi)有一點P,,,,,則面積為______.15.如圖,在矩形中,為邊的中點,,,分別以、為圓心,為半徑作圓弧、(在線段上).由兩圓弧、及邊所圍成的平面圖形繞直線旋轉(zhuǎn)一周,則所形成的幾何體的體積為.16.曲線y=e-5x+2在點(0,3)處的切線方程為________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)平面直角坐標(biāo)系中,曲線:.直線經(jīng)過點,且傾斜角為,以為極點,軸正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系.(1)寫出曲線的極坐標(biāo)方程與直線的參數(shù)方程;(2)若直線與曲線相交于,兩點,且,求實數(shù)的值.18.(12分)設(shè)函數(shù),,(Ⅰ)求曲線在點(1,0)處的切線方程;(Ⅱ)求函數(shù)在區(qū)間上的取值范圍.19.(12分)設(shè)函數(shù).(1)若恒成立,求整數(shù)的最大值;(2)求證:.20.(12分)已知函數(shù)f(x)=x-lnx,g(x)=x2-ax.(1)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[t,t+1](t>0)上的最小值m(t);(2)令h(x)=g(x)-f(x),A(x1,h(x1)),B(x2,h(x2))(x1≠x2)是函數(shù)h(x)圖像上任意兩點,且滿足>1,求實數(shù)a的取值范圍;(3)若?x∈(0,1],使f(x)≥成立,求實數(shù)a的最大值.21.(12分)已知數(shù)列滿足,等差數(shù)列滿足,(1)分別求出,的通項公式;(2)設(shè)數(shù)列的前n項和為,數(shù)列的前n項和為證明:.22.(10分)如圖,在四棱錐中,底面是矩形,是的中點,平面,且,.()求與平面所成角的正弦.()求二面角的余弦值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】
設(shè),,,根據(jù)可得①,再根據(jù)又②,由①②可得,化簡可得,即可求出離心率.【詳解】解:設(shè),,,∵,∴,即,①又,②,由①②可得,∵,∴,∴,∴,即,故選:D.【點睛】本題考查雙曲線的方程和性質(zhì),考查了斜率的計算,離心率的求法,屬于基礎(chǔ)題和易錯題.2、A【解析】
結(jié)合向量垂直的坐標(biāo)表示,將兩個條件相互推導(dǎo),根據(jù)能否推導(dǎo)的情況判斷出充分、必要條件.【詳解】由,則,所以;而當(dāng),則,解得或.所以“”是“”的充分不必要條件.故選:A【點睛】本小題考查平面向量的運算,向量垂直,充要條件等基礎(chǔ)知識;考查運算求解能力,推理論證能力,應(yīng)用意識.3、C【解析】
設(shè)出兩人到達小王的時間,根據(jù)題意列出不等式組,利用幾何概型計算公式進行求解即可.【詳解】設(shè)小王和外賣小哥到達小王所居住的樓下的時間分別為,以12:00點為開始算起,則有,在平面直角坐標(biāo)系內(nèi),如圖所示:圖中陰影部分表示該不等式組的所表示的平面區(qū)域,所以小王在樓下等候外賣小哥的時間不超過5分鐘的概率為:.故選:C【點睛】本題考查了幾何概型中的面積型公式,考查了不等式組表示的平面區(qū)域,考查了數(shù)學(xué)運算能力.4、A【解析】
由降冪公式,兩角和的正弦公式化函數(shù)為一個角的一個三角函數(shù)形式,然后由正弦函數(shù)性質(zhì)求得參數(shù)值.【詳解】,時,,,∴,由題意,∴.故選:A.【點睛】本題考查二倍角公式,考查兩角和的正弦公式,考查正弦函數(shù)性質(zhì),掌握正弦函數(shù)性質(zhì)是解題關(guān)鍵.5、D【解析】
設(shè),可得,構(gòu)造()22,結(jié)合,可得,根據(jù)向量減法的模長不等式可得解.【詳解】設(shè),則,,∴()2?2||22=4,所以可得:,配方可得,所以,又則[0,2].故選:D.【點睛】本題考查了向量的運算綜合,考查了學(xué)生綜合分析,轉(zhuǎn)化劃歸,數(shù)學(xué)運算的能力,屬于中檔題.6、A【解析】
計算出黑色部分的面積與總面積的比,即可得解.【詳解】由,∴.故選:A【點睛】本題考查了面積型幾何概型的概率的計算,屬于基礎(chǔ)題.7、D【解析】
直接根據(jù)幾何概型公式計算得到答案.【詳解】根據(jù)幾何概型:,故.故選:.【點睛】本題考查了根據(jù)幾何概型求面積,意在考查學(xué)生的計算能力和應(yīng)用能力.8、A【解析】
根據(jù)是與的等比中項,可求得,再利用等差數(shù)列求和公式即可得到.【詳解】等比數(shù)列滿足,,所以,又,所以,由等差數(shù)列的性質(zhì)可得.故選:A【點睛】本題主要考查的是等比數(shù)列的性質(zhì),考查等差數(shù)列的求和公式,考查學(xué)生的計算能力,是中檔題.9、B【解析】
根據(jù)充分條件、必要條件的定義進行分析、判斷后可得結(jié)論.【詳解】因為,均為非零的平面向量,存在負數(shù),使得,所以向量,共線且方向相反,所以,即充分性成立;反之,當(dāng)向量,的夾角為鈍角時,滿足,但此時,不共線且反向,所以必要性不成立.所以“存在負數(shù),使得”是“”的充分不必要條件.故選B.【點睛】判斷p是q的什么條件,需要從兩方面分析:一是由條件p能否推得條件q;二是由條件q能否推得條件p,定義法是判斷充分條件、必要條件的基本的方法,解題時注意選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄅ袛嗝}是否正確.10、C【解析】
作出可行域,直線目標(biāo)函數(shù)對應(yīng)的直線,平移該直線可得最優(yōu)解.【詳解】作出可行域,如圖由射線,線段,射線圍成的陰影部分(含邊界),作直線,平移直線,當(dāng)過點時,取得最大值1.故選:C.【點睛】本題考查簡單的線性規(guī)劃問題,解題關(guān)鍵是作出可行域,本題要注意可行域不是一個封閉圖形.11、C【解析】因為,所以是等差數(shù)列,且公差,則,所以由題設(shè)可得,則,應(yīng)選答案C.12、B【解析】
對分類討論,當(dāng),函數(shù)在單調(diào)遞減,當(dāng),根據(jù)對勾函數(shù)的性質(zhì),求出單調(diào)遞增區(qū)間,即可求解.【詳解】當(dāng)時,函數(shù)在上單調(diào)遞減,所以,的遞增區(qū)間是,所以,即.故選:B.【點睛】本題考查函數(shù)單調(diào)性,熟練掌握簡單初等函數(shù)性質(zhì)是解題關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、160【解析】
先求的展開式中通項,令的指數(shù)為3即可求解結(jié)論.【詳解】解:因為的展開式的通項公式為:;令,可得;的展開式中的常數(shù)項為:.故答案為:160.【點睛】本題考查二項式系數(shù)的性質(zhì),關(guān)鍵是熟記二項展開式的通項,屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】
利用余弦定理計算,然后根據(jù)平方關(guān)系以及三角形面積公式,可得結(jié)果.【詳解】設(shè)由題可知:由,,,所以化簡可得:則或,即或由,所以所以故答案為:【點睛】本題主要考查余弦定理解三角形,仔細觀察,細心計算,屬基礎(chǔ)題.15、【解析】由題意,可得所得到的幾何體是由一個圓柱挖去兩個半球而成;其中,圓柱的底面半徑為1,母線長為2;體積為;兩個半球的半徑都為1,則兩個半球的體積為;則所求幾何體的體積為.考點:旋轉(zhuǎn)體的組合體.16、.【解析】
先利用導(dǎo)數(shù)求切線的斜率,再寫出切線方程.【詳解】因為y′=-5e-5x,所以切線的斜率k=-5e0=-5,所以切線方程是:y-3=-5(x-0),即y=-5x+3.故答案為y=-5x+3.【點睛】(1)本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義和函數(shù)的求導(dǎo),意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.(2)函數(shù)在點處的導(dǎo)數(shù)是曲線在處的切線的斜率,相應(yīng)的切線方程是三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(Ⅰ)(t為參數(shù));(Ⅱ)或或.【解析】
試題分析:本題主要考查極坐標(biāo)方程、參數(shù)方程與直角方程的相互轉(zhuǎn)化、直線與拋物線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識,考查學(xué)生的分析問題解決問題的能力、轉(zhuǎn)化能力、計算能力.第一問,用,化簡表達式,得到曲線的極坐標(biāo)方程,由已知點和傾斜角得到直線的參數(shù)方程;第二問,直線方程與曲線方程聯(lián)立,消參,解出的值.試題解析:(1)即,.(2),符合題意考點:本題主要考查:1.極坐標(biāo)方程,參數(shù)方程與直角方程的相互轉(zhuǎn)化;2.直線與拋物線的位置關(guān)系.18、(1)(2)【解析】分析:(1)先斷定在曲線上,從而需要求,令,求得結(jié)果,注意復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則,接著應(yīng)用點斜式寫出直線的方程;(2)先將函數(shù)解析式求出,之后借助于導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,從而求得函數(shù)在相應(yīng)區(qū)間上的最值.詳解:(Ⅰ)當(dāng),.,當(dāng),,所以切線方程為.(Ⅱ),,因為,所以.令,,則在單調(diào)遞減,因為,所以在上增,在單調(diào)遞增.,,因為,所以在區(qū)間上的值域為.點睛:該題考查的是有關(guān)應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的問題,涉及到的知識點有導(dǎo)數(shù)的幾何意義,曲線在某個點處的切線方程的求法,復(fù)合函數(shù)求導(dǎo),函數(shù)在給定區(qū)間上的最值等,在解題的過程中,需要對公式的正確使用.19、(1)整數(shù)的最大值為;(2)見解析.【解析】
(1)將不等式變形為,構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性并確定其最值,從而得到正整數(shù)的最大值;(2)根據(jù)(1)的結(jié)論得到,利用不等式的基本性質(zhì)可證得結(jié)論.【詳解】(1)由得,令,,令,對恒成立,所以,函數(shù)在上單調(diào)遞增,,,,,故存在使得,即,從而當(dāng)時,有,,所以,函數(shù)在上單調(diào)遞增;當(dāng)時,有,,所以,函數(shù)在上單調(diào)遞減.所以,,,因此,整數(shù)的最大值為;(2)由(1)知恒成立,,令則,,,,,上述等式全部相加得,所以,,因此,【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)單調(diào)性、最值中的應(yīng)用,以及放縮法證明不等式的技巧,屬于難題.20、(1)m(t)=(2)a≤2-2.(3)a≤2-2.【解析】
(1)是研究在動區(qū)間上的最值問題,這類問題的研究方法就是通過討論函數(shù)的極值點與所研究的區(qū)間的大小關(guān)系來進行求解.(2)注意到函數(shù)h(x)的圖像上任意不同兩點A,B連線的斜率總大于1,等價于h(x1)-h(huán)(x2)<x1-x2(x1<x2)恒成立,從而構(gòu)造函數(shù)F(x)=h(x)-x在(0,+∞)上單調(diào)遞增,進而等價于F′(x)≥0在(0,+∞)上恒成立來加以研究.(3)用處理恒成立問題來處理有解問題,先分離變量轉(zhuǎn)化為求對應(yīng)函數(shù)的最值,得到a≤,再利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)M(x)=的最大值,這要用到二次求導(dǎo),才可確定函數(shù)單調(diào)性,進而確定函數(shù)最值.【詳解】(1)f′(x)=1-,x>0,令f′(x)=0,則x=1.當(dāng)t≥1時,f(x)在[t,t+1]上單調(diào)遞增,f(x)的最小值為f(t)=t-lnt;當(dāng)0<t<1時,f(x)在區(qū)間(t,1)上為減函數(shù),在區(qū)間(1,t+1)上為增函數(shù),f(x)的最小值為f(1)=1.綜上,m(t)=(2)h(x)=x2-(a+1)x+lnx,不妨取0<x1<x2,則x1-x2<0,則由,可得h(x1)-h(huán)(x2)<x1-x2,變形得h(x1)-x1<h(x2)-x2恒成立.令F(x)=h(x)-x=x2-(a+2)x+lnx,x>0,則F(x)=x2-(a+2)x+lnx在(0,+∞)上單調(diào)遞增,故F′(x)=2x-(a+2)+≥0在(0,+∞)上恒成立,所以2x+≥a+2在(0,+∞)上恒成立.因為2x+≥2,當(dāng)且僅當(dāng)x=時取“=”,所以a≤2-2.(3)因為f(x)≥,所以a(x+1)≤2x2-xlnx.因為x∈(0,1],則x+1∈(1,2],所以?x∈(0,1],使得a≤成立.令M(x)=,則M′(x)=.令y=2x2+3x-lnx-1,則由y′==0可得x=或x=-1(舍).當(dāng)x∈時,y′<0,則函數(shù)y=2x2+3x-
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