數(shù)值分析第二章插值法

第二章插值法一、引言插值問(wèn)題的提出插值問(wèn)題提出原因一些基本概念一、引言插值問(wèn)題的提出插值問(wèn)題通俗來(lái)說(shuō)，對(duì)于平面（或空間）中給定一些離散點(diǎn)，構(gòu)造適當(dāng)?shù)倪B續(xù)函數(shù)使其通過(guò)這些離散點(diǎn)提出原因一些基本概念一、引言插值問(wèn)題的提出插值問(wèn)題提出原因一些基本概念一、引言插值問(wèn)題的提出插值問(wèn)題提出原因?qū)?fù)雜函數(shù)用簡(jiǎn)單函數(shù)近似曲線、曲面擬合一些基本概念一、引言插值問(wèn)題的提出插值問(wèn)題提出原因一些基本概念一、引言插值問(wèn)題的提出插值問(wèn)題提出原因一些基本概念插值節(jié)點(diǎn)插值區(qū)間插值函數(shù)一、引言插值問(wèn)題的提出插值問(wèn)題提出原因一些基本概念已知f(x)在點(diǎn)a≤x0<x1<…<xn≤b上的值y0=f(x0),…,

yn=f(xn)，若存在一簡(jiǎn)單函數(shù)P(x)，使P(x)為f(x)的插值函數(shù)，點(diǎn)x0,x1,…,xn稱為插值節(jié)點(diǎn)，[a,b]稱為插值區(qū)間，求P(x)的方法稱為插值法.一、引言插值問(wèn)題的提出插值問(wèn)題提出原因一些基本概念若是次數(shù)不超過(guò)的代數(shù)多項(xiàng)式，其中為實(shí)數(shù)，就稱為插值多項(xiàng)式，相應(yīng)的插值法稱為多項(xiàng)式插值.即一、引言插值問(wèn)題的提出插值問(wèn)題提出原因一些基本概念若為分段的多項(xiàng)式，就稱為分段插值.若為三角多項(xiàng)式，就稱為三角插值.一、引言多項(xiàng)式插值一個(gè)例子多項(xiàng)式插值的存在唯一性一、引言多項(xiàng)式插值一個(gè)例子多項(xiàng)式插值的存在唯一性例某地區(qū)某年夏季時(shí)節(jié)間隔30天的日出日落時(shí)間為

5月1日5月31日 6月30日日出5：51 5：17 5：10日落19：04 19：38 19：50求5、6月份的日照時(shí)間的變化規(guī)律。一、引言多項(xiàng)式插值一個(gè)例子多項(xiàng)式插值的存在唯一性日照時(shí)間的變化設(shè)為

y(x)=a0+a1x+a2x2,根據(jù)三組數(shù)據(jù):

(1,13.53),(31,14.21),(61,14.40)，導(dǎo)出關(guān)于a0，a1，a2的線性方程組一、引言多項(xiàng)式插值一個(gè)例子多項(xiàng)式插值的存在唯一性一、引言多項(xiàng)式插值一個(gè)例子多項(xiàng)式插值的存在唯一性定理對(duì)n+1個(gè)插值節(jié)點(diǎn)x0,x1,…,xn的次數(shù)不超過(guò)n的插值多項(xiàng)式P(x)是存在唯一的.一、引言多項(xiàng)式插值一個(gè)例子多項(xiàng)式插值的存在唯一性定理對(duì)n+1個(gè)插值節(jié)點(diǎn)x0,x1,…,xn的次數(shù)不超過(guò)n的插值多項(xiàng)式P(x)是存在唯一的.插值多項(xiàng)式的求解可轉(zhuǎn)化為求解線性方程組.還有更簡(jiǎn)單的求解算法：Lagrange和Newton插值.二、拉格朗日插值1.拉格朗日插值多項(xiàng)式問(wèn)題

設(shè)有n+1個(gè)互異節(jié)點(diǎn)x0<x1<…<xn，且已知

yi=f

(xi) (i=0,1,…,n)構(gòu)造多項(xiàng)式Ln(x)，使Ln(xj)=yj

(

j=0,1,…,n)二、拉格朗日插值1.拉格朗日插值多項(xiàng)式插值基函數(shù)lj(x)(j=0,1,…,n)在n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)x0<x1<…<xn上滿足條件(j,k=0,1,…,n)二、拉格朗日插值2.插值余項(xiàng)與誤差估計(jì)插值余項(xiàng)誤差估計(jì)二、拉格朗日插值2.插值余項(xiàng)與誤差估計(jì)插值余項(xiàng)

若在[a,b]上用Ln(x)近似f

(x)，則其截?cái)嗾`差

Rn(x)＝f

(x)-Ln(x)稱插值多項(xiàng)式的余項(xiàng)。誤差估計(jì)二、拉格朗日插值2.插值余項(xiàng)與誤差估計(jì)插值余項(xiàng)誤差估計(jì)二、拉格朗日插值2.插值余項(xiàng)與誤差估計(jì)插值余項(xiàng)誤差估計(jì)設(shè)f

(x)在[a,b]上具有n階連續(xù)導(dǎo)數(shù),且f(n+1)(x)存在,節(jié)點(diǎn)a≤x0<x1<…<xn≤b，Ln(x)是滿足條件

Ln(xj)=yj(j=0,1,2,…,n)的插值多項(xiàng)式，則對(duì)任何x[a,b]，插值余項(xiàng)三、均差與牛頓插值插值多項(xiàng)式的逐次生成提出原因逐次生成插值多項(xiàng)式的方法三、均差與牛頓插值拉格朗日插值法當(dāng)節(jié)點(diǎn)增減時(shí)，計(jì)算需全部重新進(jìn)行，為了計(jì)算方便，可重新設(shè)計(jì)一種逐次生成插值多項(xiàng)式的牛頓插值方法。在實(shí)際操作執(zhí)行時(shí)，該方法更易實(shí)現(xiàn)且計(jì)算復(fù)雜度更低。三、均差與牛頓插值1.均差與性質(zhì)均差定義性質(zhì)均差的計(jì)算1.均差與性質(zhì)均差定義一階均差：性質(zhì)均差的計(jì)算三、均差與牛頓插值

二階均差：k階均差：三、均差與牛頓插值1.均差與性質(zhì)均差定義性質(zhì)均差的計(jì)算三、均差與牛頓插值1.均差與性質(zhì)均差定義性質(zhì)均差的計(jì)算（1）f

(x)的k階均差可表示為函數(shù)值f

(x0),f

(x1),……,f

(xn)的線性組合，即三、均差與牛頓插值1.均差與性質(zhì)均差定義性質(zhì)均差的計(jì)算（2）k階均差可重新寫(xiě)為：三、均差與牛頓插值1.均差與性質(zhì)均差定義性質(zhì)均差的計(jì)算（3）設(shè)f

(x)在[a,b]上具有n階導(dǎo)數(shù)，且x0,x1,…,xn

[a,b]，則n階均差與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系如下：三、均差與牛頓插值1.均差與性質(zhì)均差定義性質(zhì)均差的計(jì)算差商表三、均差與牛頓插值1.均差與性質(zhì)均差定義性質(zhì)均差的計(jì)算差商表

x

f(x)一階均差二階均差三階均差-2

-56

-1

-16

400

-2

14

-131

-2

0

-7

23

4

3

1

2三、均差與牛頓插值2.牛頓插值多項(xiàng)式Newton插值多項(xiàng)式Newton插值和Lagrange插值的關(guān)系三、均差與牛頓插值2.牛頓插值多項(xiàng)式Newton插值多項(xiàng)式根據(jù)均差定義Newton插值和Lagrange插值的關(guān)系將后一式代入前一式，得三、均差與牛頓插值2.牛頓插值多項(xiàng)式Newton插值多項(xiàng)式Newton插值和Lagrange插值的關(guān)系其中稱Pn(x)為Newton均差插值多項(xiàng)式。三、均差與牛頓插值2.牛頓插值多項(xiàng)式Newton插值多項(xiàng)式Newton插值和Lagrange插值的關(guān)系三、均差與牛頓插值2.牛頓插值多項(xiàng)式Newton插值多項(xiàng)式Newton插值和Lagrange插值的關(guān)系牛頓插值多項(xiàng)式和拉格朗日插值多項(xiàng)式是恒等的，它們的差異僅是書(shū)寫(xiě)形式不同而已，但這種差異卻為計(jì)算帶來(lái)了很大方便三、均差與牛頓插值3.差分形式的牛頓插值公式若x0,x1,…,xn

為等距節(jié)點(diǎn)，即xk=x0+kh(k=0,1,...,n)時(shí)，可將牛頓插值公式簡(jiǎn)化三、均差與牛頓插值3.差分形式的牛頓插值公式差分均差與差分關(guān)系牛頓前插公式三、均差與牛頓插值3.差分形式的牛頓插值公式差分均差與差分關(guān)系牛頓前插公式設(shè)點(diǎn)的函數(shù)值為，類似地稱為處的二階差分.一般地稱為處的n階差分.稱為xk處的一階（向前）差分.三、均差與牛頓插值3.差分形式的牛頓插值公式差分均差與差分關(guān)系牛頓前插公式三、均差與牛頓插值3.差分形式的牛頓插值公式差分均差與差分關(guān)系牛頓前插公式三、均差與牛頓插值3.差分形式的牛頓插值公式差分均差與差分關(guān)系牛頓前插公式三、均差與牛頓插值3.差分形式的牛頓插值公式差分均差與差分關(guān)系牛頓前插公式稱為牛頓前插公式，其余項(xiàng)為前插公式適用于x在x0附近，除此還有適用于x在xn附近的牛頓后插公式和x在插值區(qū)間中部的Bessel公式四、埃爾米特插值

有時(shí)，我們不但需要插值函數(shù)在插值節(jié)點(diǎn)x0,x1,…,xn上與函數(shù)值相等，同時(shí)還需要某些節(jié)點(diǎn)上的導(dǎo)數(shù)值甚至高階導(dǎo)數(shù)值也相等。四、埃爾米特插值兩個(gè)典型的埃爾米特插值典型一：考慮滿足條件

的插值多項(xiàng)式P(x)及其余項(xiàng)表達(dá)式.四、埃爾米特插值兩個(gè)典型的埃爾米特插值典型一：考慮滿足條件

的插值多項(xiàng)式P(x)及其余項(xiàng)表達(dá)式.

四個(gè)條件，可確定次數(shù)不超過(guò)3的插值多項(xiàng)式由由四、埃爾米特插值兩個(gè)典型的埃爾米特插值典型一：考慮滿足條件

的插值多項(xiàng)式P(x)及其余項(xiàng)表達(dá)式.

令R(x)=f(x)-P(x)=k(x)(x-x0)(x-x1)2(x-x2)，反復(fù)運(yùn)用羅爾定理，k(x)=f(4)(ξ)∕4!,因此四、埃爾米特插值兩個(gè)典型的埃爾米特插值典型二：兩點(diǎn)三次埃爾米特插值，插值節(jié)點(diǎn)取為xk和xk+1，插值多項(xiàng)式為H(x)，插值條件為四、埃爾米特插值兩個(gè)典型的埃爾米特插值典型二：兩點(diǎn)三次埃爾米特插值，插值節(jié)點(diǎn)取為xk和xk+1，插值多項(xiàng)式為H(x)，插值條件為基函數(shù)方法，令四、埃爾米特插值兩個(gè)典型的埃爾米特插值典型二：兩點(diǎn)三次埃爾米特插值，插值節(jié)點(diǎn)取為xk和xk+1，插值多項(xiàng)式為H(x)，插值條件為四、埃爾米特插值兩個(gè)典型的埃爾米特插值典型二：兩點(diǎn)三次埃爾米特插值，插值節(jié)點(diǎn)取為xk和xk+1，插值多項(xiàng)式為H(x)，插值條件為令R(x)=f(x)-H(x)=k(x)(x-xk)2(x-xk+1)2，反復(fù)運(yùn)用羅爾定理，k(x)=f(k)(ξ)∕4!,因此四、埃爾米特插值Hermite插值多項(xiàng)式與Newton插值多項(xiàng)式一個(gè)插值節(jié)點(diǎn)x0，n+1個(gè)插值條件Hermite插值多項(xiàng)式：四、埃爾米特插值Hermite插值多項(xiàng)式與Newton插值多項(xiàng)式一個(gè)插值節(jié)點(diǎn)x0，n+1個(gè)插值條件Newton插值多項(xiàng)式：（相當(dāng)于在x0給出了n+1次插值條件Pn(x0)=f(x0)）四、埃爾米特插值Hermite插值多項(xiàng)式與Newton插值多項(xiàng)式多個(gè)插值節(jié)點(diǎn)yi(i=1,2,...,s)，n+1個(gè)插值條件

Newton插值多項(xiàng)式四、埃爾米特插值Hermite插值多項(xiàng)式與Newton插值多項(xiàng)式多個(gè)插值節(jié)點(diǎn)yi(i=1,2,...,s)，n+1個(gè)插值條件它剛好是在多個(gè)插值節(jié)點(diǎn)yi(i=1,2,...,s)給出n+1個(gè)插值條件的n次Hermite插值多項(xiàng)式（不加證明）五、分段低次插值高次插值的病態(tài)性質(zhì)Runge反例：在[-5,5]上取n+1個(gè)等距節(jié)點(diǎn)構(gòu)造拉格朗日插值多項(xiàng)式為計(jì)算在上的函數(shù)值。五、分段低次插值高次插值的病態(tài)性質(zhì)Runge反例：五、分段低次插值高次插值的病態(tài)性質(zhì)Runge反例：L10(x)

f(x)五、分段低次插值在每個(gè)小區(qū)間

上是線性函數(shù).分段線性插值分段線性插值就是通過(guò)插值點(diǎn)用折線連接起來(lái)逼近f(x)，記分段函數(shù)Ih(x)

五、分段低次插值分段三次埃爾米特插值為保證一定光滑性，在節(jié)點(diǎn)xk(k=0,1,...,n)上除已知函數(shù)值fk之外還給出導(dǎo)數(shù)值fk'(k=0,1,...,n)，可構(gòu)造一個(gè)導(dǎo)數(shù)連續(xù)的分段插值函數(shù)Ih(x)

在每個(gè)小區(qū)間

上是三次多項(xiàng)式.六、三次樣條插值

利用分段埃爾米特插值，若再要提高光滑性，令二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，就得用分段5次多項(xiàng)式，但插值多項(xiàng)式次數(shù)太高又不可取。而利用三次樣條插值可以既保證二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，又可使插值多項(xiàng)式次數(shù)為3。六、三次樣條插