數(shù)學(xué)建模概述

暑期數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)課程主講：呂佳數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院1.0數(shù)學(xué)素養(yǎng)1.1從現(xiàn)實(shí)對(duì)象到數(shù)學(xué)模型1.2數(shù)學(xué)建模的方法和步驟1.3數(shù)學(xué)模型的分類1.4數(shù)學(xué)建模能力的培養(yǎng)1.5關(guān)于建模競(jìng)賽一、概述1.0數(shù)學(xué)素養(yǎng)★“數(shù)學(xué)素養(yǎng)”的通俗說法是“把所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)都排除或忘掉后，剩下的東西”。例如，從數(shù)學(xué)角度看問題的出發(fā)點(diǎn)；有條理的思維;嚴(yán)密的思考、求證;簡(jiǎn)潔、清晰、準(zhǔn)確的表達(dá)；在解決問題時(shí)，進(jìn)行邏輯推理的意識(shí)和能力;對(duì)所從事的工作，合理的量化、簡(jiǎn)化，周到的運(yùn)籌帷幄。一是主動(dòng)尋求并善于抓住數(shù)學(xué)問題的背景和本質(zhì)的素養(yǎng)；二是熟練地用準(zhǔn)確、簡(jiǎn)明、規(guī)范的數(shù)學(xué)語言表達(dá)自己的數(shù)學(xué)思想的素養(yǎng)；三是具有良好的科學(xué)態(tài)度和創(chuàng)新精神，合理的提出新思想、新概念、新方法的素養(yǎng)；四是對(duì)各種問題以“數(shù)學(xué)方式”的理性思維，從多種角度探尋解決問題的方法的素養(yǎng)；五是善于對(duì)現(xiàn)實(shí)世界中的現(xiàn)象和過程進(jìn)行合理的簡(jiǎn)化和量化，建立數(shù)學(xué)模型的素養(yǎng)。“數(shù)學(xué)素養(yǎng)”包含五點(diǎn)：數(shù)學(xué)的思維方式★數(shù)學(xué)的思維方式其實(shí)與科學(xué)家的思維方式有一定共性。★觀察客觀現(xiàn)象→分析以提出要研究的問題→抽象出概念或建立數(shù)學(xué)模型→探索→猜測(cè)可能的規(guī)律→論證→進(jìn)行邏輯推理和計(jì)算→揭示出事物的內(nèi)在規(guī)律。從紛繁復(fù)雜的客觀現(xiàn)象出發(fā)得出井然有序的規(guī)律的這種全過程，就是數(shù)學(xué)的思維方式。1.1

從現(xiàn)實(shí)對(duì)象到數(shù)學(xué)模型原型和模型原型：指人們?cè)诂F(xiàn)實(shí)世界里關(guān)心、研究或者從事生產(chǎn)、管理的實(shí)際對(duì)象。模型：為了某個(gè)特定目的將原型的某一部分信息檢索、提煉而構(gòu)造的原型替代物。也可以說模型是為了一定目的，對(duì)原型的主要特征進(jìn)行簡(jiǎn)化、抽象得到的一個(gè)低代價(jià)近似替代物。玩具、照片、房屋模型……~實(shí)物模型地圖、電路圖、分子結(jié)構(gòu)圖……~符號(hào)模型你常見的模型需要強(qiáng)調(diào)的是：構(gòu)造模型的目的性，模型不是原型原封不動(dòng)的復(fù)制品，原型有各個(gè)方面和各種層次的特征，而模型只要求反映與某種目的有關(guān)的哪些方面和層次。模型的基本特征是由構(gòu)造模型的目的決定的。

根據(jù)模型替代原型的方式可以對(duì)模型進(jìn)行分類：模型形象模型抽象模型直觀模型數(shù)學(xué)模型符號(hào)模型思維模型物理模型我們主要研究數(shù)學(xué)模型，那么，什么是數(shù)學(xué)模型呢？對(duì)于現(xiàn)實(shí)世界的一個(gè)特定對(duì)象，為了一個(gè)特定的目的，根據(jù)特有的內(nèi)在規(guī)律，做出一些必要的簡(jiǎn)化假設(shè)，運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具，得到的一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。建立數(shù)學(xué)模型的全過程簡(jiǎn)稱為數(shù)學(xué)建?；蚪?。數(shù)學(xué)模型(MathematicalModel)數(shù)學(xué)建模（MathematicalModeling)數(shù)學(xué)模型和數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)建模：數(shù)學(xué)與實(shí)際問題的橋梁數(shù)學(xué)建模:應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的第一步數(shù)學(xué)建模:通常有本質(zhì)性的困難和原始性的創(chuàng)新(關(guān)鍵一步)實(shí)際問題數(shù)學(xué)MathematicalModeling

數(shù)學(xué)建模的基本方法機(jī)理分析測(cè)試分析根據(jù)對(duì)客觀事物特性的認(rèn)識(shí)，找出反映內(nèi)部機(jī)理的數(shù)量規(guī)律將對(duì)象看作“黑箱”,通過對(duì)量測(cè)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析，找出與數(shù)據(jù)擬合最好的模型機(jī)理分析沒有統(tǒng)一的方法，主要通過實(shí)例研究(CaseStudies)來學(xué)習(xí)。二者結(jié)合用機(jī)理分析建立模型結(jié)構(gòu),用測(cè)試分析確定模型參數(shù)1.2數(shù)學(xué)建模的方法和步驟模型準(zhǔn)備模型假設(shè)模型構(gòu)成模型求解模型分析模型檢驗(yàn)?zāi)Ｐ蛻?yīng)用數(shù)學(xué)建模的一般步驟模型準(zhǔn)備了解實(shí)際背景明確建模目的搜集有關(guān)信息掌握對(duì)象特征形成一個(gè)比較清晰的‘問題’百度、谷歌、圖書館、書籍、維普、中國(guó)知網(wǎng)、統(tǒng)計(jì)局等數(shù)學(xué)建模的一般步驟模型假設(shè)針對(duì)問題特點(diǎn)和建模目的作出合理的、簡(jiǎn)化的假設(shè)在合理與簡(jiǎn)化之間作出折中模型構(gòu)成用數(shù)學(xué)的語言、符號(hào)描述問題發(fā)揮想像力使用類比法盡量采用簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)工具數(shù)學(xué)建模的一般步驟模型求解各種數(shù)學(xué)方法、軟件和計(jì)算機(jī)技術(shù)如結(jié)果的誤差分析、統(tǒng)計(jì)分析、模型對(duì)數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性分析模型分析模型檢驗(yàn)與實(shí)際現(xiàn)象、數(shù)據(jù)比較，檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷暮侠硇?、適用性模型應(yīng)用數(shù)學(xué)建模的一般步驟數(shù)學(xué)建模的全過程現(xiàn)實(shí)對(duì)象的信息數(shù)學(xué)模型現(xiàn)實(shí)對(duì)象的解答數(shù)學(xué)模型的解答表述求解解釋驗(yàn)證(歸納)(演繹)表述求解解釋驗(yàn)證根據(jù)建模目的和信息將實(shí)際問題“翻譯”成數(shù)學(xué)問題選擇適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法求得數(shù)學(xué)模型的解答將數(shù)學(xué)語言表述的解答“翻譯”回實(shí)際對(duì)象用現(xiàn)實(shí)對(duì)象的信息檢驗(yàn)得到的解答實(shí)踐現(xiàn)實(shí)世界數(shù)學(xué)世界理論實(shí)踐1.3

數(shù)學(xué)模型的分類應(yīng)用領(lǐng)域人口、交通、經(jīng)濟(jì)、生態(tài)……數(shù)學(xué)方法初等數(shù)學(xué)、最優(yōu)化（規(guī)劃）、微分差分方程、概率統(tǒng)計(jì)、圖論……表現(xiàn)特性描述、優(yōu)化、預(yù)報(bào)、決策……建模目的了解程度白箱灰箱黑箱確定和隨機(jī)靜態(tài)和動(dòng)態(tài)線性和非線性離散和連續(xù)數(shù)學(xué)應(yīng)用題與數(shù)學(xué)建模的區(qū)別數(shù)學(xué)應(yīng)用題數(shù)學(xué)建模問題來源數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)際背景問題條件明確清晰不完全明確，需要作進(jìn)一步了解或假設(shè)解決方法多種多種問題結(jié)論有標(biāo)準(zhǔn)答案有參考解答但無標(biāo)準(zhǔn)答案。不同的假設(shè)下有不同的模型和結(jié)論數(shù)學(xué)建模——技術(shù)+藝術(shù)技術(shù)大致有章可循藝術(shù)無法歸納成普遍適用的準(zhǔn)則想像力洞察力判斷力

學(xué)習(xí)、分析、評(píng)價(jià)、改進(jìn)別人作過的模型

親自動(dòng)手，認(rèn)真作幾個(gè)實(shí)際題目1.4數(shù)學(xué)建模能力的培養(yǎng)需要：1、競(jìng)賽的指導(dǎo)思想2、歷年試題3、競(jìng)賽中的題型特點(diǎn)4、論文的內(nèi)容和格式5、參賽注意1.5關(guān)于建模競(jìng)賽1、數(shù)模競(jìng)賽的指導(dǎo)思想數(shù)模競(jìng)賽題是一個(gè)“課題”，大部分都源于生產(chǎn)實(shí)際或者科學(xué)研究的過程中，它是一個(gè)綜合性的問題，數(shù)據(jù)龐大，需要用計(jì)算機(jī)來完成。其答案往往不是唯一的（數(shù)學(xué)模型是實(shí)際的模擬，是實(shí)際問題的近似表達(dá)，它的完成是在某種合理的假設(shè)下，因此其只能是較優(yōu)的，不唯一的），呈報(bào)的成果是一編“論文”。2、歷年試題1993年A題非線性交調(diào)的頻率設(shè)計(jì)1993年B題球隊(duì)排名問題1994年A題逢山開路1994年B題鎖具裝箱1995年A題一個(gè)飛行管理模型1995年B題天車與冶煉爐的作業(yè)調(diào)度1996年A題最優(yōu)捕魚策略1996年B題節(jié)水洗衣機(jī)1997年A題零件的參數(shù)設(shè)計(jì)1997年B題截?cái)嗲懈?998年A題投資的收益和風(fēng)險(xiǎn)1998年B題災(zāi)情巡視路線1999年A題自動(dòng)化車床管理1999年B題鉆井布局2000年A題DNA序列分類2000年B題鋼管定購和運(yùn)輸2001年A題血管的三維重建2001年B題公交車調(diào)度2002年A題車燈線光源的優(yōu)化設(shè)計(jì)2002年B題彩票中的數(shù)學(xué)2003年A題SARS的傳播2003年B題露天礦生產(chǎn)的車輛安排2004年A題奧運(yùn)會(huì)臨時(shí)超市網(wǎng)點(diǎn)設(shè)2004年B題電力市場(chǎng)的輸電阻塞管理2005年A題長(zhǎng)江水質(zhì)的評(píng)價(jià)和預(yù)測(cè)2005年B題DVD在線租賃2006年A題出版社的資源配置2006年B題艾滋病療法的評(píng)價(jià)及療效的預(yù)測(cè)2007年A題中國(guó)人口增長(zhǎng)預(yù)測(cè)2007年B題乘公交，看奧運(yùn)2008年A題數(shù)碼相機(jī)定位2008年B題高等教育學(xué)費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)探討2009年A題制動(dòng)器試驗(yàn)臺(tái)的控制方法2009年B題眼科病床的合理安排2010年A題儲(chǔ)油罐的變位識(shí)別與罐容表標(biāo)定2010年B題2010年上海世博會(huì)影響力的定量評(píng)估3、競(jìng)賽中的題型特點(diǎn)1）.實(shí)際問題背景涉及面寬——有社會(huì)，經(jīng)濟(jì)，管理，生活，環(huán)境，自然現(xiàn)象，工程技術(shù)，現(xiàn)代科學(xué)中出現(xiàn)的新問題等。大體上可以分為工業(yè)、農(nóng)業(yè)、工程設(shè)計(jì)、交通運(yùn)輸、經(jīng)濟(jì)管理、生物醫(yī)學(xué)和社會(huì)事業(yè)等七個(gè)大類。

工業(yè)類：電子通信、機(jī)械加工與制造、機(jī)械設(shè)計(jì)與控制等行業(yè),共有8個(gè)題，占28.6%。農(nóng)業(yè)類：１個(gè)題，占3.6%。工程設(shè)計(jì)類:

3個(gè)題，占10.7%。交通運(yùn)輸類：3個(gè)題，占10.7%經(jīng)濟(jì)管理類：4個(gè)題，占14.3%生物醫(yī)學(xué)類：4個(gè)題，占14.3%社會(huì)事業(yè)類:5個(gè)題，占17.8%

有的問題屬于交叉的，或者是邊緣的。2）.若干假設(shè)條件1）只有過程、規(guī)則等定性假設(shè)；2）給出若干實(shí)測(cè)或統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)；3）給出若干參數(shù)或圖形；4）蘊(yùn)涵著某些機(jī)動(dòng)、可發(fā)揮的補(bǔ)充假設(shè)條件，或參賽者可以根據(jù)自己收集或模擬產(chǎn)生數(shù)據(jù)。3）.要求回答的問題有幾個(gè)問題，而且一般不是唯一答案。1）比較確定性的答案（基本答案）；2）更細(xì)致或更高層次的討論結(jié)果（往往是討論最優(yōu)方案的提法和結(jié)果）。4）、涉及的數(shù)學(xué)方法繁多

從問題的解決方法上分析，涉及到的數(shù)學(xué)建模方法有幾何理論、組合概率、統(tǒng)計(jì)分析、優(yōu)化方法、圖論、網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化、層次分析、插值與擬合、差分方法、微分方程、排隊(duì)論、模糊數(shù)學(xué)、隨機(jī)決策、多目標(biāo)決策、隨機(jī)模擬、灰色系統(tǒng)理論、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、時(shí)間序列、綜合評(píng)價(jià)方法、機(jī)理分析等方法。4、論文內(nèi)容和格式1）.標(biāo)題題目——寫出較確切的題目。2）.摘要——200-300字，包括a.模型的數(shù)學(xué)歸類（在數(shù)學(xué)上屬于什么類型）；b.建模的思想（思路）；c.算法思想（求解思路）；d.建模特點(diǎn)（模型優(yōu)點(diǎn)，建模思想或方法，算法特點(diǎn)，結(jié)果檢驗(yàn)，靈敏度分析，模型檢驗(yàn)……）；e.主要結(jié)果（數(shù)值結(jié)果，結(jié)論；回答題目所問的全部“問題”）。▲注意表述：準(zhǔn)確、簡(jiǎn)明、條理清晰、合乎語法?！鴥?nèi)容較多時(shí)最好有個(gè)目錄。3）.問題重述4）.模型假設(shè)根據(jù)全國(guó)組委會(huì)確定的評(píng)閱原則，基本假設(shè)的合理性很重要。a.根據(jù)題目中條件作出假設(shè)b.根據(jù)題目中要求作出假設(shè)C.符合實(shí)際關(guān)鍵性假設(shè)不能缺；假設(shè)要切合題意。5）.模型構(gòu)建a.基本模型：?。┦紫纫袛?shù)學(xué)模型：數(shù)學(xué)公式、方案等；ⅱ）基本模型要求完整，正確，簡(jiǎn)明；b.簡(jiǎn)化模型：?。┮鞔_說明簡(jiǎn)化思想，依據(jù)等；ⅱ）簡(jiǎn)化后模型，盡可能完整；c.模型要實(shí)用，有效，以解決問題有效為原則。數(shù)學(xué)建模面臨的、要解決的是實(shí)際問題，不追求數(shù)學(xué)上的高（級(jí)）、深（刻）、難（度大）。?。┠苡贸醯确椒ń鉀Q的、就不用高級(jí)方法；ⅱ）能用簡(jiǎn)單方法解決的，就不用復(fù)雜方法；ⅲ）能用被更多人看懂、理解的方法，就不用只能少數(shù)人看懂、理解的方法。d．鼓勵(lì)創(chuàng)新，但要切實(shí)，不要離題搞標(biāo)新立異。數(shù)模創(chuàng)新可出現(xiàn)在：1.建模中，模型本身，簡(jiǎn)化的好方法、好策略等；2.模型求解中；3.結(jié)果表示、分析、檢驗(yàn)，模型檢驗(yàn)；4.推廣部分。e．在問題分析推導(dǎo)過程中，需要注意的問題：?。┓治觯褐锌?、確切；ⅱ）術(shù)語：專業(yè)、內(nèi)行；ⅲ）原理、依據(jù)：正確、明確；ⅳ）表述：簡(jiǎn)明，關(guān)鍵步驟要列出；ⅴ）忌：外行話，專業(yè)術(shù)語不明確，表述混亂，冗長(zhǎng)。6）.模型求解a.需要建立數(shù)學(xué)命題時(shí)：命題敘述要符合數(shù)學(xué)命題的表述規(guī)范，盡可能論證嚴(yán)密。b.要說明計(jì)算方法或算法的原理、思想、依據(jù)、步驟。若采用現(xiàn)有軟件，說明采用此軟件的理由，軟件名稱。

c.計(jì)算過程，中間結(jié)果可要可不要的，不要列出。d.設(shè)法算出合理的數(shù)值結(jié)果。7）.結(jié)果分析、檢驗(yàn)；模型檢驗(yàn)及模型修正；結(jié)果表示a.最終數(shù)值結(jié)果的正確性或合理性是第一位的；b.對(duì)數(shù)值結(jié)果或模擬結(jié)果進(jìn)行必要的檢驗(yàn)；結(jié)果不正確、不合理、或誤差大時(shí)，分析原因，對(duì)算法、計(jì)算方法、或模型進(jìn)行修正、改進(jìn)。c.題目中要求回答的問題，數(shù)值結(jié)果，結(jié)論，須一一列出；d.列數(shù)據(jù)問題：考慮是否需要列出多組數(shù)據(jù)，或額外數(shù)據(jù).對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行比較、分析，為各種方案的提出提供依據(jù)；e.結(jié)果表示：要集中，一目了然，直觀，便于比較分析。▲數(shù)值結(jié)果表示：精心設(shè)計(jì)表格；可能的話，用圖形圖表形式?！蠼夥桨?，用圖示更好。8）.模型評(píng)價(jià)優(yōu)點(diǎn)突出，缺點(diǎn)不回避。改變?cè)}要求，重新建?？稍诖俗?。推廣或改進(jìn)方向時(shí)，不要玩弄新數(shù)學(xué)術(shù)語，沒把握時(shí)，不要隨便推廣、改進(jìn)。9.參考文獻(xiàn)[1]武桃，張力.數(shù)學(xué)模型[M].北京：高等教育出版社，1960，45-49.[2]陸平.數(shù)學(xué)模型研究[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，2010，2(5):12-18.[3]數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn),.10）.附錄詳細(xì)的結(jié)果