數(shù)值分析第五章插值法

第五章插值法

Lagrange插值

Newton插值

Hermite插值1為什么需要插值?

函數(shù)表達(dá)式復(fù)雜,不便于計(jì)算和進(jìn)行理論分析;

沒有函數(shù)表達(dá)式,只給出離散樣點(diǎn).

找簡(jiǎn)單函數(shù)近似,即函數(shù)逼近.

函數(shù)逼近常用方法:插值法,曲線擬合法.插值法:多項(xiàng)式插值,三角多項(xiàng)式插值.2已知函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上(n+1)個(gè)不同點(diǎn)x0,x1,x2,…,xn

處的函數(shù)值yi=f(xi)(i=0,1,2,…,n),求函數(shù)n(x),使其滿足(1)n(x)為至多n次多項(xiàng)式,即(2)滿足插值條件n(x):插值多項(xiàng)式xi:插值節(jié)點(diǎn)[a,b]:插值區(qū)間§1Lagrange插值3First-ordersecond-orderthird-order幾何意義:n次多項(xiàng)式插值就是過(n+1)個(gè)點(diǎn)(xi,f(xi))(i=0,1,…,n),作一條多項(xiàng)式曲線y=n(x)近似曲線y=f(x).4三個(gè)基本問題插值多項(xiàng)式n(x)是否存在唯一？若n(x)存在,截?cái)嗾`差f(x)－n(x)=?如何求n(x)？5插值多項(xiàng)式n(x)的存在唯一性

n次多項(xiàng)式n(x)有(n+1)個(gè)待定系數(shù)ai

(i=0,1,2,…,n),插值條件n(xi)=f(xi)=yi

(i=0,1,2,…,n)也是(n+1)個(gè),恰好給出(n+1)個(gè)方程.6即系數(shù)矩陣A的行列式是Vandermonde行列式,其值為當(dāng)插值節(jié)點(diǎn)xi(i=0,1,2,…,n)互不相同時(shí),此行列式不為0,即系數(shù)矩陣A可逆.因此ai

(i=0,1,2,…,n),存在唯一,即n(x)存在唯一.7插值余項(xiàng)與誤差估計(jì)截?cái)嗾`差或插值余項(xiàng)定理若則存在(a,b),使得證明故其中K(x)是與x有關(guān)的待定函數(shù).如何求K(x)?8現(xiàn)把x看成是[a,b]上的固定點(diǎn),作輔助函數(shù)即F(t)在[a,b]上有n+2個(gè)零點(diǎn).根據(jù)Rolle定理,F(t)在F(t)的兩個(gè)零點(diǎn)之間至少有一個(gè)零點(diǎn),故F(t)在(a,b)內(nèi)至少有(n+1)個(gè)零點(diǎn).對(duì)F(t)再應(yīng)用Rolle

定理，可知F(t)在(a,b)內(nèi)至少有n個(gè)零點(diǎn).依此類推,F(n+1)(t)在(a,b)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn),記之為(a,b),使得則9因此若則10當(dāng)n=1時(shí),線性插值余項(xiàng)為當(dāng)n=2時(shí),拋物線插值余項(xiàng)為11求L1(x)(1)至多1次多項(xiàng)式;(2)已知

Lagrange方法求插值多項(xiàng)式當(dāng)用Lagrange方法求插值多項(xiàng)式時(shí),其n次插值多項(xiàng)式記為L(zhǎng)n(x).

n=1的情形12x0x11次多項(xiàng)式1次多項(xiàng)式n=1

線性插值多項(xiàng)式L1(x)是過兩點(diǎn)(x0,y0),(x1,y1)的直線方程13已知求L2(x)(1)至多2次多項(xiàng)式;(2)

二次插值多項(xiàng)式14n=22次多項(xiàng)式2次多項(xiàng)式2次多項(xiàng)式

二次插值多項(xiàng)式15l1(x)f(x1)l2(x)f(x2)l0(x)f(x0)x0x1x2

二次插值多項(xiàng)式L2(x)16已知求Ln(x)(1)至多n次多項(xiàng)式;(2)插值節(jié)點(diǎn)插值多項(xiàng)式

n次Lagrange插值多項(xiàng)式17其中l(wèi)i

(x)為插值基函數(shù)n次多項(xiàng)式

n次Lagrange插值多項(xiàng)式18例已知函數(shù)y=lnx

的函數(shù)表如下xi2.56492.48492.39792.3026f(xi6391分別用Lagrange線性插值和拋物線插值求ln11.5的近似值,并估計(jì)誤差.解線性插值.取兩個(gè)節(jié)點(diǎn)x0=11,x1=12,插值函數(shù)為計(jì)算器19拋物線插值.取x0=11,x1=12,x1=13,插值多項(xiàng)式為2021例已知函數(shù)y=lnx

的函數(shù)表如下xi2.56492.48492.39792.3026f(xi6391分別用Lagrange線性插值和拋物線插值求ln11.5的近似值,并估計(jì)誤差.解線性插值.取兩個(gè)節(jié)點(diǎn)x0=11,x1=12,插值函數(shù)為計(jì)算器X=[11,12]Y=[2.3979,2.4849]pp=polyfit(X,Y,1)ln11dot5=polyval(pp,11.5)22例已知函數(shù)y=lnx

的函數(shù)表如下xi2.56492.48492.39792.3026f(xi6391分別用Lagrange線性插值和拋物線插值求ln11.5的近似值,并估計(jì)誤差.解計(jì)算器X=[11,12,13]Y=[2.3979,2.4849,2.5649]pp=polyfit(X,Y,2)ln11dot5=polyval(pp,11.5)拋物線插值.取x0=11,x1=12,x1=13,插值多項(xiàng)式為23由于插值基函數(shù)只與節(jié)點(diǎn)有關(guān)而與函數(shù)值無關(guān),因此當(dāng)插值節(jié)點(diǎn)相同而函數(shù)值不同時(shí),所有的Lagrange插值基函數(shù)均不變,此時(shí)用Lagrange插值多項(xiàng)式比較方便.當(dāng)新增加插值節(jié)點(diǎn)時(shí),用Lagrange插值多項(xiàng)式,則需要重新計(jì)算所有的插值基函數(shù),計(jì)算量大且應(yīng)用不方便.Lagrange插值Newton插值24線性插值多項(xiàng)式的另一表現(xiàn)形式§2Newton插值Newton插值公式25

差商定義一階差商(f(x)關(guān)于點(diǎn)xi,xj的一階差商)二階差商(f(x)關(guān)于點(diǎn)xi,xj

,xk的二階差商)一階差商的差商26

k階差商

差商定義27差商的性質(zhì)各階差商具有線性性,即若f(x)=ag(x)+bh(x),則有

k階差商可表為f(x0),f(x1),…,f(xk)的線性組合,例一階差商28二階差商29

3階以上的差商可用數(shù)學(xué)歸納法證明.30各階差商均具有對(duì)稱性,即改變節(jié)點(diǎn)的位置,差商值不變.若f(x)是n次多項(xiàng)式,則一階差商f[x,xi

]是(n1)次多項(xiàng)式.例31計(jì)算各階差商可按差商表計(jì)算1階差商2階差商3階差商

4階差商計(jì)算公式？32線性插值多項(xiàng)式的另一表現(xiàn)形式

Newton線性插值多項(xiàng)式Newton插值公式33

二次Newton插值多項(xiàng)式把二次插值多項(xiàng)式改寫成下列形式它與二次函數(shù)的通常形式是一樣的.兩者的系數(shù)有如下對(duì)應(yīng)關(guān)系.34利用3個(gè)插值條件來確定3個(gè)系數(shù)b0,b1,b2.令x=x0確定系數(shù)b0令x=x1確定系數(shù)b1

二次Newton插值多項(xiàng)式把二次插值多項(xiàng)式改寫成下列形式35令x=x2得到系數(shù)b2

二次Newton插值多項(xiàng)式把二次插值多項(xiàng)式改寫成下列形式36

二次Newton插值多項(xiàng)式37

n階Newton插值多項(xiàng)式38由一階差商定義得由二階差商定義得故Newton線性插值多項(xiàng)式余項(xiàng)39二次Newton插值多項(xiàng)式余項(xiàng)故40三次Newton插值多項(xiàng)式余項(xiàng)41一般地有n次Newton均差插值多項(xiàng)式Nn(x)余項(xiàng)Rn(x)42

Nn(x)的特點(diǎn)Nn(x)為至多n次多項(xiàng)式,因此Nn(x)是f(x)的n次插值多項(xiàng)式.43

n階Newton插值多項(xiàng)式系數(shù)bi(i=0,1,2,…,n)就是差商表中對(duì)角線上的元素.44

Newton插值多項(xiàng)式的優(yōu)點(diǎn):增加一個(gè)節(jié)點(diǎn),插值多項(xiàng)式只增加一項(xiàng),即便于遞推計(jì)算,Newton插值計(jì)算量小于Lagrange插值.由插值多項(xiàng)式的唯一性知,n階Newton插值多項(xiàng)式和n階Lagrange插值多項(xiàng)式是一樣的,只是表現(xiàn)形式不同而已.45

Newton插值多項(xiàng)式的余項(xiàng)由插值多項(xiàng)式的唯一性得故46§3分段線性插值高次插值多項(xiàng)式的缺陷：Runge現(xiàn)象用Lagrange插值多項(xiàng)式

Ln(x)近似f(x),是否插值節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)n越多,其逼近精度越高呢?回答是否定的！

20世紀(jì)初Runge給出了一個(gè)非常著名的例子采用等距節(jié)點(diǎn)插值.47Runge

函數(shù)48Runge

函數(shù)49如圖所示,Lagrange插值多項(xiàng)式L10(x)僅在區(qū)間中部能較好地逼近f(x),在其他部位差異較大,而且越接近區(qū)間端點(diǎn),逼近效果越差.可以證明當(dāng)節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)n趨于無窮時(shí),存在一個(gè)常數(shù)c,c0.726,使得當(dāng)|x|c時(shí),Ln(x)f(x)(n),而當(dāng)|x|>c時(shí){Ln(x)}發(fā)散.這一現(xiàn)象稱為Runge現(xiàn)象.50它表明用高次插值多項(xiàng)式Ln(x)近似f(x)效果不見得好,因而通常不用高次插值,而用分段低次插值.常用分段低次插值:分段線性插值,分段三次Hermite插值,三次樣條插值.51分段線性插值定義定義已知函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的(n+1)個(gè)節(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值yi=f(xi)(i=0,1,…,n),求插值函數(shù)(x),使得在每一個(gè)小區(qū)間上是線性函數(shù);(1)(2)(3)稱函數(shù)(x)為[a,b]上關(guān)于數(shù)據(jù)(xi,yi)(i=0,1,…,n)的分段線性插值函數(shù).52x0x1x2x3i(x)=ai

x+bi分段線性插值53分段線性插值根據(jù)Newton插值公式可寫出(x)的分段表達(dá)式54分段線性插值55分段線性插值的誤差估計(jì)定理

如果f(x)在[a,b]上二階連續(xù)可微，則分段線性插值函數(shù)(x)的余項(xiàng)有以下估計(jì)其中56在每個(gè)小區(qū)間[xi,xi+1](i=0,1,…,n)上,(x)是f(x)的線性插值函數(shù)，故對(duì)任意x[xi

,xi+1]有證明故而57分段線性插值分段線性插值簡(jiǎn)單易行,收斂性,穩(wěn)定性有保證.沒有光滑性,一階導(dǎo)數(shù)不連續(xù).可用更高階的分段插值來得到連續(xù)導(dǎo)數(shù)，如三次樣條插值.58

Hermite插值多項(xiàng)式求

H(x).(1)至多(2n+1)次多項(xiàng)式;(2)§4Hermite插值已知H(x):Hermite插值多項(xiàng)式59(2n+1)次多項(xiàng)式(2n+1)次多項(xiàng)式Hi(x),hi(x)(i=0,1,2,…,n):Hermite插值基函數(shù)60其中l(wèi)i

(x)是Lagrange插值基函數(shù).(2n+1)次多項(xiàng)式61其中l(wèi)i

(x)是Lagrange插值基函數(shù).(2n+1)次多項(xiàng)式62

Hermite插值多項(xiàng)式63n=1兩個(gè)節(jié)點(diǎn)的三次Hermite插值多項(xiàng)式6465插值余項(xiàng)與誤差估計(jì)截?cái)嗾`差或插值余項(xiàng)定理若則存在(a,b),使得證明故其中K(x)是與x有關(guān)的待定函數(shù).如何求K(x)?66現(xiàn)把x看成是[a,b]上的固定點(diǎn),作輔助函數(shù)即F(t)在[a,b]上有n+2個(gè)零點(diǎn).根據(jù)Rolle定理,F(t)在F(t)的兩個(gè)零點(diǎn)之間至少有一個(gè)零點(diǎn),故F(t)在(a,b)內(nèi)至少有(n+1)+(n+1)個(gè)零點(diǎn).對(duì)F(t)再應(yīng)用Rolle

定理,可知F(t)在(a,b)內(nèi)至少有(2n+1)

個(gè)零點(diǎn).依此類推,F(2n+2)(t)在(a,b)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn),記之為(a,b),使得則67因此若則68兩個(gè)節(jié)點(diǎn)的三次Hermite插值多項(xiàng)式的截?cái)嗾`差69定理滿足的2n+1階Hermite插值多項(xiàng)式是唯一存在的.因?yàn)镠(x)為至多2n+1次多項(xiàng)式，故H(2n+2)(x)=0.從而

Hermite插值多項(xiàng)式的唯一性證明假設(shè)H(x)與H(x)是滿足相同插值條件的2n+1次Hermite多項(xiàng)式，H(x)也是H(x)的(2n+1)次Hermite插值多項(xiàng)式.由余項(xiàng)公式H(x)=H(x)70分段三次Hermite插值定義

給定函數(shù)表求分段三次Hermite插值函數(shù)H(x),使其滿足(1)(2)在每個(gè)小區(qū)間