最優(yōu)化方法的一般概念

第1章最優(yōu)化方法的一般概念最優(yōu)化問題就是依據各種不同的研究對象以及人們預期要達到的目的，尋找一個最優(yōu)控制規(guī)律或設計出一個最優(yōu)控制方案或最優(yōu)控制系統(tǒng)。

針對最優(yōu)化問題，如何選取滿足要求的方案和具體措施，使所得結果最佳的方法稱為最優(yōu)化方法。11.1目標函數、約束條件和求解方法

根據所提出的最優(yōu)化問題，建立最優(yōu)化問題的數學模型，確定變量，給出約束條件和目標函數（或性能指標）；最優(yōu)化方法解決實際工程問題的步驟：對所建立的模型進行具體分析和研究，選擇合適的最優(yōu)化求解方法；根據最優(yōu)化方法的算法，列出程序框圖并編寫程序，用計算機求出最優(yōu)解，并對算法的收斂性、通用性、簡便性、計算效率及誤差等做出評價。2目標函數、約束條件和求解方法是最優(yōu)化問題的三個基本要素。

1．目標函數：就是用數學方法描述處理問題所能夠達到結果的函數。該函數的自變量是表示可供選擇的方案及具體措施的一些參數或函數，最佳結果就表現為目標函數取極值。2．約束條件：在處理實際問題時，通常會受到經濟效率、物理條件、政策界限等許多方面的限制，這些限制的數學描述稱為最優(yōu)化問題的約束條件。3．求解方法：是獲得最佳結果的必要手段。該方法使目標函數取得極值，所得結果稱為最優(yōu)解。3例1-1（P1）有一塊薄的塑料板，寬為a，對稱地把兩邊折起，做成槽（如圖1-1）。欲使槽的橫截面積S最大，的最優(yōu)值是多少？

圖1-1橫截面積與參數關系圖4解：①目標函數：

②約束條件：

（非線性）

（線性）

說明：這是一個非線性帶等式約束的靜態(tài)最優(yōu)化問題。這類問題有時可以方便地將等式約束條件帶入到目標函數中，從而將有約束條件的最優(yōu)化問題轉換為無約束條件的最優(yōu)化問題，以便求解。例如：將例1-1轉換為無約束條件的最優(yōu)化問題，目標函數變?yōu)椋?/p>

5例1-2（P2）（※）倉庫里存有20m長的鋼管，現場施工需要100根6m長和80根8m長的鋼管，問最少需要領取多少根20m長的鋼管？解：用一根20m長的鋼管，截出8m管和6m管的方法只有三種：設x1為一根20m管截成兩根8m管的根數；x2為一根20m管截成一根8m管和兩根6m管的根數；x3為一根20m管截成三根6m管的根數。目標是領取數目最少的20m管進行分割，得到100根6m長和80根8m長的鋼管，故：6①目標函數：

②約束條件：

說明：這是一個帶有不等式約束的靜態(tài)最優(yōu)化問題。它的目標函數和約束條件都是線性的，可用線性規(guī)劃的方法求解此類問題。

（線性）

（線性）

7例1-3求t-x

平面上一固定點A(0,1)至直線的最短弧長曲線。

解：①目標函數：

②約束（邊界）條件：

說明：本例中的目標函數的自變量x(t)是t的函數，把這種函數的函數稱為泛函。本例實際上是一個求泛函極值問題，屬于動態(tài)最優(yōu)化問題。A(0,1)

81.2靜態(tài)最優(yōu)化問題與動態(tài)最優(yōu)化問題1．靜態(tài)最優(yōu)化問題：就是選擇系統(tǒng)的最優(yōu)參數使目標函數取極值。靜態(tài)最優(yōu)化問題的解不隨時間而變化。系統(tǒng)的數學模型是代數方程。2．動態(tài)最優(yōu)化問題：動態(tài)最優(yōu)化問題的目標函數的自變量是函數（一般是時間的函數）。動態(tài)最優(yōu)化問題的解隨時間而變化。系統(tǒng)的數學模型是微分方程或差分方程。動態(tài)最優(yōu)化問題習慣上又稱為最優(yōu)控制問題，即選擇系統(tǒng)最優(yōu)的運動軌線，使泛函形式的目標函數取極值。93．靜態(tài)最優(yōu)化問題和動態(tài)最優(yōu)化問題的求解方法:1）解決靜態(tài)最優(yōu)化問題（求函數極值）可以用線性規(guī)劃和非線性規(guī)劃方法。2）解決動態(tài)最優(yōu)化問題（求泛函極值）可采用變分法、最大（?。┲翟砗蛣討B(tài)規(guī)劃等方法。101.3線性規(guī)劃和非線性規(guī)劃

1.線性規(guī)劃問題：該類問題的目標函數和約束條件都是變量的線性函數。2.非線性規(guī)劃問題：該類問題的目標函數和約束條件中含有變量的非線性函數。

線性規(guī)劃和非線性規(guī)劃是靜態(tài)最優(yōu)化問題的兩個分支:111.4最優(yōu)化方法在控制領域中的應用例1-4（P4）參數估計

參數估計應理解為系統(tǒng)結構已知的條件下，用試驗方法所取得的數據來確定系統(tǒng)動力學模型中的參數。即參數估計就是已知系統(tǒng)結構的條件下，經過對系統(tǒng)輸入輸出的觀測，估計出系統(tǒng)參數的最優(yōu)值，使數據擬合的殘差平方和最小。這是最優(yōu)化方法在控制領域中的很常見的一種應用。12單輸入—單輸出系統(tǒng)的參數估計問題可這樣描述：式中：

—系統(tǒng)輸入、系統(tǒng)輸出和擬合殘差；

—待估計的系統(tǒng)參數向量；—觀測數據向量。

目標函數為：約束條件

13例1-4（P5）最小方差控制在隨機控制理論中，使有隨機噪聲作用的被控系統(tǒng)的輸出方差最小的控制策略稱為最小方差控制，最小方差控制方式可應用于許多工業(yè)過程控制中。14假定被控對象的輸出、控制輸入和隨機干擾之間的關系由可控自回歸滑動平均(CARMA)時間序列模型來描述：式中：y(k)—k時刻的輸出；u(k)—k時刻的控制輸入；d—響應滯后拍數，d≥1；{e(k)}—零均值高斯白噪聲序列;

—系統(tǒng)中的隨機過程干擾目標函數為：約束條