最優(yōu)化方法的一般概念

第1章最優(yōu)化方法的一般概念最優(yōu)化問題就是依據(jù)各種不同的研究對(duì)象以及人們預(yù)期要達(dá)到的目的，尋找一個(gè)最優(yōu)控制規(guī)律或設(shè)計(jì)出一個(gè)最優(yōu)控制方案或最優(yōu)控制系統(tǒng)。

針對(duì)最優(yōu)化問題，如何選取滿足要求的方案和具體措施，使所得結(jié)果最佳的方法稱為最優(yōu)化方法。11.1目標(biāo)函數(shù)、約束條件和求解方法

根據(jù)所提出的最優(yōu)化問題，建立最優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)模型，確定變量，給出約束條件和目標(biāo)函數(shù)（或性能指標(biāo)）；最優(yōu)化方法解決實(shí)際工程問題的步驟：對(duì)所建立的模型進(jìn)行具體分析和研究，選擇合適的最優(yōu)化求解方法；根據(jù)最優(yōu)化方法的算法，列出程序框圖并編寫程序，用計(jì)算機(jī)求出最優(yōu)解，并對(duì)算法的收斂性、通用性、簡(jiǎn)便性、計(jì)算效率及誤差等做出評(píng)價(jià)。2目標(biāo)函數(shù)、約束條件和求解方法是最優(yōu)化問題的三個(gè)基本要素。

1．目標(biāo)函數(shù)：就是用數(shù)學(xué)方法描述處理問題所能夠達(dá)到結(jié)果的函數(shù)。該函數(shù)的自變量是表示可供選擇的方案及具體措施的一些參數(shù)或函數(shù)，最佳結(jié)果就表現(xiàn)為目標(biāo)函數(shù)取極值。2．約束條件：在處理實(shí)際問題時(shí)，通常會(huì)受到經(jīng)濟(jì)效率、物理?xiàng)l件、政策界限等許多方面的限制，這些限制的數(shù)學(xué)描述稱為最優(yōu)化問題的約束條件。3．求解方法：是獲得最佳結(jié)果的必要手段。該方法使目標(biāo)函數(shù)取得極值，所得結(jié)果稱為最優(yōu)解。3例1-1（P1）有一塊薄的塑料板，寬為a，對(duì)稱地把兩邊折起，做成槽（如圖1-1）。欲使槽的橫截面積S最大，的最優(yōu)值是多少？

圖1-1橫截面積與參數(shù)關(guān)系圖4解：①目標(biāo)函數(shù)：

②約束條件：

（非線性）

（線性）

說明：這是一個(gè)非線性帶等式約束的靜態(tài)最優(yōu)化問題。這類問題有時(shí)可以方便地將等式約束條件帶入到目標(biāo)函數(shù)中，從而將有約束條件的最優(yōu)化問題轉(zhuǎn)換為無約束條件的最優(yōu)化問題，以便求解。例如：將例1-1轉(zhuǎn)換為無約束條件的最優(yōu)化問題，目標(biāo)函數(shù)變?yōu)椋?/p>

5例1-2（P2）（※）倉(cāng)庫(kù)里存有20m長(zhǎng)的鋼管，現(xiàn)場(chǎng)施工需要100根6m長(zhǎng)和80根8m長(zhǎng)的鋼管，問最少需要領(lǐng)取多少根20m長(zhǎng)的鋼管？解：用一根20m長(zhǎng)的鋼管，截出8m管和6m管的方法只有三種：設(shè)x1為一根20m管截成兩根8m管的根數(shù)；x2為一根20m管截成一根8m管和兩根6m管的根數(shù)；x3為一根20m管截成三根6m管的根數(shù)。目標(biāo)是領(lǐng)取數(shù)目最少的20m管進(jìn)行分割，得到100根6m長(zhǎng)和80根8m長(zhǎng)的鋼管，故：6①目標(biāo)函數(shù)：

②約束條件：

說明：這是一個(gè)帶有不等式約束的靜態(tài)最優(yōu)化問題。它的目標(biāo)函數(shù)和約束條件都是線性的，可用線性規(guī)劃的方法求解此類問題。

（線性）

（線性）

7例1-3求t-x

平面上一固定點(diǎn)A(0,1)至直線的最短弧長(zhǎng)曲線。

解：①目標(biāo)函數(shù)：

②約束（邊界）條件：

說明：本例中的目標(biāo)函數(shù)的自變量x(t)是t的函數(shù)，把這種函數(shù)的函數(shù)稱為泛函。本例實(shí)際上是一個(gè)求泛函極值問題，屬于動(dòng)態(tài)最優(yōu)化問題。A(0,1)

81.2靜態(tài)最優(yōu)化問題與動(dòng)態(tài)最優(yōu)化問題1．靜態(tài)最優(yōu)化問題：就是選擇系統(tǒng)的最優(yōu)參數(shù)使目標(biāo)函數(shù)取極值。靜態(tài)最優(yōu)化問題的解不隨時(shí)間而變化。系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是代數(shù)方程。2．動(dòng)態(tài)最優(yōu)化問題：動(dòng)態(tài)最優(yōu)化問題的目標(biāo)函數(shù)的自變量是函數(shù)（一般是時(shí)間的函數(shù)）。動(dòng)態(tài)最優(yōu)化問題的解隨時(shí)間而變化。系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是微分方程或差分方程。動(dòng)態(tài)最優(yōu)化問題習(xí)慣上又稱為最優(yōu)控制問題，即選擇系統(tǒng)最優(yōu)的運(yùn)動(dòng)軌線，使泛函形式的目標(biāo)函數(shù)取極值。93．靜態(tài)最優(yōu)化問題和動(dòng)態(tài)最優(yōu)化問題的求解方法:1）解決靜態(tài)最優(yōu)化問題（求函數(shù)極值）可以用線性規(guī)劃和非線性規(guī)劃方法。2）解決動(dòng)態(tài)最優(yōu)化問題（求泛函極值）可采用變分法、最大（小）值原理和動(dòng)態(tài)規(guī)劃等方法。101.3線性規(guī)劃和非線性規(guī)劃

1.線性規(guī)劃問題：該類問題的目標(biāo)函數(shù)和約束條件都是變量的線性函數(shù)。2.非線性規(guī)劃問題：該類問題的目標(biāo)函數(shù)和約束條件中含有變量的非線性函數(shù)。

線性規(guī)劃和非線性規(guī)劃是靜態(tài)最優(yōu)化問題的兩個(gè)分支:111.4最優(yōu)化方法在控制領(lǐng)域中的應(yīng)用例1-4（P4）參數(shù)估計(jì)

參數(shù)估計(jì)應(yīng)理解為系統(tǒng)結(jié)構(gòu)已知的條件下，用試驗(yàn)方法所取得的數(shù)據(jù)來確定系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型中的參數(shù)。即參數(shù)估計(jì)就是已知系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的條件下，經(jīng)過對(duì)系統(tǒng)輸入輸出的觀測(cè)，估計(jì)出系統(tǒng)參數(shù)的最優(yōu)值，使數(shù)據(jù)擬合的殘差平方和最小。這是最優(yōu)化方法在控制領(lǐng)域中的很常見的一種應(yīng)用。12單輸入—單輸出系統(tǒng)的參數(shù)估計(jì)問題可這樣描述：式中：

—系統(tǒng)輸入、系統(tǒng)輸出和擬合殘差；

—待估計(jì)的系統(tǒng)參數(shù)向量；—觀測(cè)數(shù)據(jù)向量。

目標(biāo)函數(shù)為：約束條件

13例1-4（P5）最小方差控制在隨機(jī)控制理論中，使有隨機(jī)噪聲作用的被控系統(tǒng)的輸出方差最小的控制策略稱為最小方差控制，最小方差控制方式可應(yīng)用于許多工業(yè)過程控制中。14假定被控對(duì)象的輸出、控制輸入和隨機(jī)干擾之間的關(guān)系由可控自回歸滑動(dòng)平均(CARMA)時(shí)間序列模型來描述：式中：y(k)—k時(shí)刻的輸出；u(k)—k時(shí)刻的控制輸入；d—響應(yīng)滯后拍數(shù)，d≥1；{e(k)}—零均值高斯白噪聲序列;

—系統(tǒng)中的隨機(jī)過程干擾目標(biāo)函數(shù)為：約束條