最優(yōu)化方法的一般概念

第1章最優(yōu)化方法的一般概念最優(yōu)化問題就是依據(jù)各種不同的研究對象以及人們預期要達到的目的，尋找一個最優(yōu)控制規(guī)律或設(shè)計出一個最優(yōu)控制方案或最優(yōu)控制系統(tǒng)。

針對最優(yōu)化問題，如何選取滿足要求的方案和具體措施，使所得結(jié)果最佳的方法稱為最優(yōu)化方法。11.1目標函數(shù)、約束條件和求解方法

根據(jù)所提出的最優(yōu)化問題，建立最優(yōu)化問題的數(shù)學模型，確定變量，給出約束條件和目標函數(shù)（或性能指標）；最優(yōu)化方法解決實際工程問題的步驟：對所建立的模型進行具體分析和研究，選擇合適的最優(yōu)化求解方法；根據(jù)最優(yōu)化方法的算法，列出程序框圖并編寫程序，用計算機求出最優(yōu)解，并對算法的收斂性、通用性、簡便性、計算效率及誤差等做出評價。2目標函數(shù)、約束條件和求解方法是最優(yōu)化問題的三個基本要素。

1．目標函數(shù)：就是用數(shù)學方法描述處理問題所能夠達到結(jié)果的函數(shù)。該函數(shù)的自變量是表示可供選擇的方案及具體措施的一些參數(shù)或函數(shù)，最佳結(jié)果就表現(xiàn)為目標函數(shù)取極值。2．約束條件：在處理實際問題時，通常會受到經(jīng)濟效率、物理條件、政策界限等許多方面的限制，這些限制的數(shù)學描述稱為最優(yōu)化問題的約束條件。3．求解方法：是獲得最佳結(jié)果的必要手段。該方法使目標函數(shù)取得極值，所得結(jié)果稱為最優(yōu)解。3例1-1（P1）有一塊薄的塑料板，寬為a，對稱地把兩邊折起，做成槽（如圖1-1）。欲使槽的橫截面積S最大，的最優(yōu)值是多少？

圖1-1橫截面積與參數(shù)關(guān)系圖4解：①目標函數(shù)：

②約束條件：

（非線性）

（線性）

說明：這是一個非線性帶等式約束的靜態(tài)最優(yōu)化問題。這類問題有時可以方便地將等式約束條件帶入到目標函數(shù)中，從而將有約束條件的最優(yōu)化問題轉(zhuǎn)換為無約束條件的最優(yōu)化問題，以便求解。例如：將例1-1轉(zhuǎn)換為無約束條件的最優(yōu)化問題，目標函數(shù)變?yōu)椋?/p>

5例1-2（P2）（※）倉庫里存有20m長的鋼管，現(xiàn)場施工需要100根6m長和80根8m長的鋼管，問最少需要領(lǐng)取多少根20m長的鋼管？解：用一根20m長的鋼管，截出8m管和6m管的方法只有三種：設(shè)x1為一根20m管截成兩根8m管的根數(shù)；x2為一根20m管截成一根8m管和兩根6m管的根數(shù)；x3為一根20m管截成三根6m管的根數(shù)。目標是領(lǐng)取數(shù)目最少的20m管進行分割，得到100根6m長和80根8m長的鋼管，故：6①目標函數(shù)：

②約束條件：

說明：這是一個帶有不等式約束的靜態(tài)最優(yōu)化問題。它的目標函數(shù)和約束條件都是線性的，可用線性規(guī)劃的方法求解此類問題。

（線性）

（線性）

7例1-3求t-x

平面上一固定點A(0,1)至直線的最短弧長曲線。

解：①目標函數(shù)：

②約束（邊界）條件：

說明：本例中的目標函數(shù)的自變量x(t)是t的函數(shù)，把這種函數(shù)的函數(shù)稱為泛函。本例實際上是一個求泛函極值問題，屬于動態(tài)最優(yōu)化問題。A(0,1)

81.2靜態(tài)最優(yōu)化問題與動態(tài)最優(yōu)化問題1．靜態(tài)最優(yōu)化問題：就是選擇系統(tǒng)的最優(yōu)參數(shù)使目標函數(shù)取極值。靜態(tài)最優(yōu)化問題的解不隨時間而變化。系統(tǒng)的數(shù)學模型是代數(shù)方程。2．動態(tài)最優(yōu)化問題：動態(tài)最優(yōu)化問題的目標函數(shù)的自變量是函數(shù)（一般是時間的函數(shù)）。動態(tài)最優(yōu)化問題的解隨時間而變化。系統(tǒng)的數(shù)學模型是微分方程或差分方程。動態(tài)最優(yōu)化問題習慣上又稱為最優(yōu)控制問題，即選擇系統(tǒng)最優(yōu)的運動軌線，使泛函形式的目標函數(shù)取極值。93．靜態(tài)最優(yōu)化問題和動態(tài)最優(yōu)化問題的求解方法:1）解決靜態(tài)最優(yōu)化問題（求函數(shù)極值）可以用線性規(guī)劃和非線性規(guī)劃方法。2）解決動態(tài)最優(yōu)化問題（求泛函極值）可采用變分法、最大（?。┲翟砗蛣討B(tài)規(guī)劃等方法。101.3線性規(guī)劃和非線性規(guī)劃

1.線性規(guī)劃問題：該類問題的目標函數(shù)和約束條件都是變量的線性函數(shù)。2.非線性規(guī)劃問題：該類問題的目標函數(shù)和約束條件中含有變量的非線性函數(shù)。

線性規(guī)劃和非線性規(guī)劃是靜態(tài)最優(yōu)化問題的兩個分支:111.4最優(yōu)化方法在控制領(lǐng)域中的應用例1-4（P4）參數(shù)估計

參數(shù)估計應理解為系統(tǒng)結(jié)構(gòu)已知的條件下，用試驗方法所取得的數(shù)據(jù)來確定系統(tǒng)動力學模型中的參數(shù)。即參數(shù)估計就是已知系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的條件下，經(jīng)過對系統(tǒng)輸入輸出的觀測，估計出系統(tǒng)參數(shù)的最優(yōu)值，使數(shù)據(jù)擬合的殘差平方和最小。這是最優(yōu)化方法在控制領(lǐng)域中的很常見的一種應用。12單輸入—單輸出系統(tǒng)的參數(shù)估計問題可這樣描述：式中：

—系統(tǒng)輸入、系統(tǒng)輸出和擬合殘差；

—待估計的系統(tǒng)參數(shù)向量；—觀測數(shù)據(jù)向量。

目標函數(shù)為：約束條件

13例1-4（P5）最小方差控制在隨機控制理論中，使有隨機噪聲作用的被控系統(tǒng)的輸出方差最小的控制策略稱為最小方差控制，最小方差控制方式可應用于許多工業(yè)過程控制中。14假定被控對象的輸出、控制輸入和隨機干擾之間的關(guān)系由可控自回歸滑動平均(CARMA)時間序列模型來描述：式中：y(k)—k時刻的輸出；u(k)—k時刻的控制輸入；d—響應滯后拍數(shù)，d≥1；{e(k)}—零均值高斯白噪聲序列;

—系統(tǒng)中的隨機過程干擾目標函數(shù)為：約束條