線性代數(shù)重點知識總結(jié)

說明：1.本總結(jié)只是把課本的重點知識總結(jié)了一下，我沒有看到期末考試題，所以考著了算是僥幸，考不著也正常。2.知識點會了不一定做的對題，所以還要有相應的練習題。3.前后內(nèi)容要貫穿起來，融匯貫通，建立自己的知識框架。行列式行列式的定義式（兩種定義式）-->行列式的性質(zhì)-->對行列式進行行、列變換化為上下三角（求行列式的各種方法逐行相加、倒敘相減、加行加列、遞推等方法，所有方法是使行列式出現(xiàn)盡可能多的0為依據(jù)的）。行列式的應用——>克拉默法則（成立的前提、描述的內(nèi)容、用途，簡單的證明可從逆矩陣入手）?？偨Y(jié)：期末第一章可能不再單獨考，但會在求特征值/判斷正定性等內(nèi)容時順便考察行列式的求解。矩陣矩陣是一個數(shù)組按一定的順序排列，和行列式（一個數(shù)）具有天壤之別。高斯消元法求線性方程組的解—>唯一解、無解、無窮解時階梯型的樣子(與第三章解存在的條件以及解的結(jié)構(gòu)聯(lián)系在一起)求逆矩陣的方法（初等變換法，I起到記錄所有初等變換的作用）、逆矩陣與伴隨矩陣的關(guān)系。初等矩陣和初等變換的一一對應關(guān)系，學會由初等變換找出與之對應的初等矩陣。分塊矩陣（運用分塊矩陣有時可以很簡單的解決一些復雜問題）記得結(jié)論A可逆，則。線性方程組從向量組的角度入手，把線性方程組的系數(shù)矩陣的每一列看作一個列向量，從而得到一個向量組假設(shè)為，右邊常則看作一個向量，若向量被向量組表出唯一（即滿足關(guān)系：時，因為只有向量組線性無關(guān)才表出唯一），則只有唯一解；若不能由向量組線性表出（即滿足條件時）則無解；3）若由向量組表出不唯一（即滿足條件時，只有線性相關(guān)才表出不唯一）有無窮解。1.線性相關(guān)、線性無關(guān)的定義、描述及判定2.向量組的秩的定義及極大線性無關(guān)組的求法(化為階梯型后同高度選一個)3.矩陣的秩向量組的秩相對應。4.齊次線性方程組非零解的條件(，列向量線性相關(guān)或秩)和解得結(jié)構(gòu)(個線性無關(guān)的解的線性組合)。5.非齊次線性方程組的解存在的條件()及解的結(jié)構(gòu)(對應的齊次線性方程組的解+一個特解)。第四章向量空間和線性變換第二章高斯消元法關(guān)于如何求線性方程組的解，多用于線性方程組解的計算；第三章線性方程組的解從向量組的角度來討論解存在的條件及解的結(jié)構(gòu)，向量被向量組線性表出形式與的解相互對應；第四章是從線性變換和空間的角度來講解線性方程組的解。1)線性變換：線性方程組的解看做原像，線性方程組的右端項看作是線性變換的像。線性方程組有解就說明右端項在線性變換的A的象空間里。2）內(nèi)積結(jié)合線性子空間的角度考慮線性方程組解的結(jié)構(gòu)(主要是齊次線性方程組的解的結(jié)構(gòu)，齊次線性方程的系數(shù)組成的列向量組所張成的子空間和解空間互為正交補，注：互為正交補的空間為維數(shù)加起來等于全空間的維數(shù)且相互正交的子空間）。重要內(nèi)容：坐標變換、過渡矩陣、施密特正交化方法。第五章特征值特征向量矩陣的對角化特征值和特征向量承接了第四章的線性變換的定義，一個矩陣A的特征向量，則滿足條件(線性變換不改變向量的方向)，變化前后（）兩個向量相差一個倍數(shù)，恰好就是特征值。至多有n個線性無關(guān)的特征向量，這是因為線性變換的像空間的維數(shù)至多為n維的。當A恰好有n個線性無關(guān)的特征向量時A可對角化，即存在關(guān)系為。注意并不是所有的矩陣都可以對角化的，只有含n個線性無關(guān)的特征向量的矩陣才可以對角化。對于所有的實對稱的矩陣則都可以對角化，并且不同特征值的特征向量相互正交，且對角化的矩陣可以為正交矩陣。重要內(nèi)容：1.求特征值、特征向量2、實對稱矩陣運用正交陣來對角化（求正交矩陣）3、特征值、特征向量的關(guān)系，例如不同特征值的特征向量的和不再是特征向量，不同特征值得特征向量線性無關(guān)，實對稱不同特征值的特征向量相互正交。二次型二次型把二次齊次多項式寫為的形式，其中A為實對稱矩陣，則根據(jù)第五章內(nèi)容實對稱矩陣都相似于一個對角矩陣，得出存在正交矩陣P使得。注意相似與合同的區(qū)別，相似矩陣是，合同矩陣是（合同矩陣要保持對稱性，所以形式上就有很大的差別）。若是存在可逆陣Q使得，則進行可逆的線性代換即可把二次型化為，即化為只含平方項的標準二次型。化為標準二次型有三種方法：配方法、正交矩陣方法（對角元素為特征值）、初等變換法。慣性定理描述了只要合同變換時運用的是可逆