高中數(shù)學知識點整理(蘇教版)

第一講集合一、知識精點講解1．集合：某些指定的對象集在一起成為集合。（1）集合中的對象稱元素，若a是集合A的元素，記作；若b不是集合A的元素，記作；（2）集合中的元素必須滿足：確定性、互異性與無序性；確定性：設A是一個給定的集合，x是某一個具體對象，則或者是A的元素，或者不是A的元素，兩種情況必有一種且只有一種成立；互異性：一個給定集合中的元素，指屬于這個集合的互不相同的個體（對象），因此，同一集合中不應重復出現(xiàn)同一元素；無序性：集合中不同的元素之間沒有地位差異，集合不同于元素的排列順序無關；（3）表示一個集合可用列舉法、描述法或圖示法；列舉法：把集合中的元素一一列舉出來，寫在大括號內；描述法：把集合中的元素的公共屬性描述出來，寫在大括號內。具體方法：在大括號內先寫上表示這個集合元素的一般符號及取值（或變化）范圍，再畫一條豎線，在豎線后寫出這個集合中元素所具有的共同特征。注意：列舉法與描述法各有優(yōu)點，應該根據(jù)具體問題確定采用哪種表示法，要注意，一般集合中元素較多或有無限個元素時，不宜采用列舉法。（4）常用數(shù)集及其記法：非負整數(shù)集（或自然數(shù)集），記作N；正整數(shù)集，記作N*或N+；整數(shù)集，記作Z；有理數(shù)集，記作Q；實數(shù)集，記作R。2．集合的包含關系：（1）集合A的任何一個元素都是集合B的元素，則稱A是B的子集（或B包含A），記作AB（或）；集合相等：構成兩個集合的元素完全一樣。若AB且BA，則稱A等于B，記作AB；若AB且A≠B，則稱A是B的真子集，記作AB；（2）簡單性質：1）AA；2）A；3）若AB，BC，則AC；4）若集合A是n個元素的集合，則集合A有2n個子集（其中2n－1個真子集）；3．全集與補集：（1）包含了我們所要研究的各個集合的全部元素的集合稱為全集，記作U；（2）若S是一個集合，AS，則，稱S中子集A的補集；4．交集與并集：（1）一般地，由屬于集合A且屬于集合B的元素所組成的集合，叫做集合A與B的交集。交集。（2）一般地，由所有屬于集合A或屬于集合B的元素所組成的集合，稱為集合A與B的并集。。注意：求集合的并、交、補是集合間的基本運算，運算結果仍然還是集合，區(qū)分交集與并集的關鍵是“且”與“或”，在處理有關交集與并集的問題時，常常從這兩個字眼出發(fā)去揭示、挖掘題設條件，結合Venn圖或數(shù)軸進而用集合語言表達，增強數(shù)形結合的思想方法。第二講函數(shù)概念與表示一、知識精點講解1．函數(shù)的概念：設A、B是非空的數(shù)集，如果按照某個確定的對應關系f，使對于集合A中的任意一個數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)fx和它對應，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù)。記作：yfx，x∈A。其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對應的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合fx|x∈A叫做函數(shù)的值域。注意：（1）“yfx”是函數(shù)符號，可以用任意的字母表示，如“ygx”；（2）函數(shù)符號“yfx”中的fx表示與x對應的函數(shù)值，一個數(shù)，而不是f乘x。2．構成函數(shù)的三要素：定義域、對應關系和值域（1）解決一切函數(shù)問題必須認真確定該函數(shù)的定義域，函數(shù)的定義域包含三種形式：①自然型：指函數(shù)的解析式有意義的自變量x的取值范圍（如：分式函數(shù)的分母不為零，偶次根式函數(shù)的被開方數(shù)為非負數(shù)，對數(shù)函數(shù)的真數(shù)為正數(shù)，等等）；②限制型：指命題的條件或人為對自變量x的限制，這是函數(shù)學習中重點，往往也是難點，因為有時這種限制比較隱蔽，容易犯錯誤；③實際型：解決函數(shù)的綜合問題與應用問題時，應認真考察自變量x的實際意義。（2）求函數(shù)的值域是比較困難的數(shù)學問題，中學數(shù)學要求能用初等方法求一些簡單函數(shù)的值域問題。①配方法（將函數(shù)轉化為二次函數(shù)）；②判別式法（將函數(shù)轉化為二次方程）；③不等式法（運用不等式的各種性質）；④函數(shù)法（運用基本函數(shù)性質，或抓住函數(shù)的單調性、函數(shù)圖象等）。3．兩個函數(shù)的相等：函數(shù)的定義含有三個要素，即定義域A、值域C和對應法則f。當且僅當兩個函數(shù)的定義域和對應法則都分別相同時，這兩個函數(shù)才是同一個函數(shù)。4．區(qū)間：區(qū)間的分類：開區(qū)間、閉區(qū)間、半開半閉區(qū)間；5．映射的概念一般地，設A、B是兩個非空的集合，如果按某一個確定的對應法則f，使對于集合A中的任意一個元素x，在集合B中都有唯一確定的元素y與之對應，那么就稱對應f：AB為從集合A到集合B的一個映射。記作“f：AB”。函數(shù)是建立在兩個非空數(shù)集間的一種對應，若將其中的條件“非空數(shù)集”弱化為“任意兩個非空集合”，按照某種法則可以建立起更為普通的元素之間的對應關系，這種的對應就叫映射。注意：（1）這兩個集合有先后順序，A到B的射與B到A的映射是截然不同的．其中f表示具體的對應法則，可以用漢字敘述。（2）“都有唯一”什么意思？包含兩層意思：一是必有一個；二是只有一個，也就是說有且只有一個的意思。6．常用的函數(shù)表示法：（1）解析法：（2）列表法：（3）圖象法：7．分段函數(shù)若一個函數(shù)的定義域分成了若干個子區(qū)間，而每個子區(qū)間的解析式不同，這種函數(shù)又稱分段函數(shù)；8．復合函數(shù)若yfu，ugx,xa，b，um,n，那么yf[gx]稱為復合函數(shù)，u稱為中間變量，它的取值范圍是gx的值域。第三講函數(shù)的基本性質一、要點精講1．奇偶性（1）定義：如果對于函數(shù)fx定義域內的任意x都有f－x－fx，則稱fx為奇函數(shù)；如果對于函數(shù)fx定義域內的任意x都有f－xfx，則稱fx為偶函數(shù)。如果函數(shù)fx不具有上述性質，則fx不具有奇偶性.如果函數(shù)同時具有上述兩條性質，則fx既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)。注意：函數(shù)是奇函數(shù)或是偶函數(shù)稱為函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的奇偶性是函數(shù)的整體性質；由函數(shù)的奇偶性定義可知，函數(shù)具有奇偶性的一個必要條件是，對于定義域內的任意一個x，則－x也一定是定義域內的一個自變量（即定義域關于原點對稱）。（2）利用定義判斷函數(shù)奇偶性的格式步驟：首先確定函數(shù)的定義域，并判斷其定義域是否關于原點對稱；確定f－x與fx的關系；作出相應結論：若f－xfx或f－x－fx0，則fx是偶函數(shù)；若f－x－fx或f－x＋fx0，則fx是奇函數(shù)。（3）簡單性質：①圖象的對稱性質：一個函數(shù)是奇函數(shù)的充要條件是它的圖象關于原點對稱；一個函數(shù)是偶函數(shù)的充要條件是它的圖象關于y軸對稱；②設，的定義域分別是，那么在它們的公共定義域上：奇+奇奇，奇奇偶，偶+偶偶，偶偶偶，奇偶奇2．單調性（1）定義：一般地，設函數(shù)yfx的定義域為I， 如果對于定義域I內的某個區(qū)間D內的任意兩個自變量x1，x2，當x1x2時，都有fx1fx2（fx1fx2），那么就說fx在區(qū)間D上是增函數(shù)（減函數(shù)）；注意：函數(shù)的單調性是在定義域內的某個區(qū)間上的性質，是函數(shù)的局部性質；必須是對于區(qū)間D內的任意兩個自變量x1，x2；當x1x2時，總有fx1fx2（2）如果函數(shù)yfx在某個區(qū)間上是增函數(shù)或是減函數(shù)，那么就說函數(shù)yfx在這一區(qū)間具有（嚴格的）單調性，區(qū)間D叫做yfx的單調區(qū)間。（3）設復合函數(shù)yf[gx]，其中ugx,A是yf[gx]定義域的某個區(qū)間，B是映射g:x→ugx的象集：①若ugx在A上是增（或減）函數(shù)，yfu在B上也是增（或減）函數(shù)，則函數(shù)yf[gx]在A上是增函數(shù)；②若ugx在A上是增（或減）函數(shù)，而yfu在B上是減（或增）函數(shù)，則函數(shù)yf[gx]在A上是減函數(shù)。（4）判斷函數(shù)單調性的方法步驟：任取x1，x2∈D，且x1x2；作差fx1－fx2；變形（通常是因式分解和配方）；定號（即判斷差fx1－fx2的正負）；下結論（即指出函數(shù)fx在給定的區(qū)間D上的單調性）。（5）簡單性質①奇函數(shù)在其對稱區(qū)間上的單調性相同；②偶函數(shù)在其對稱區(qū)間上的單調性相反；③在公共定義域內：增函數(shù)增函數(shù)是增函數(shù)；減函數(shù)減函數(shù)是減函數(shù)；增函數(shù)減函數(shù)是增函數(shù)；減函數(shù)增函數(shù)是減函數(shù)。3．最值（1）定義：最大值：一般地，設函數(shù)yfx的定義域為I，如果存在實數(shù)M滿足：①對于任意的x∈I，都有fx≤M；②存在x0∈I，使得fx0M。那么，稱M是函數(shù)yfx的最大值。最小值：一般地，設函數(shù)yfx的定義域為I，如果存在實數(shù)M滿足：①對于任意的x∈I，都有fx≥M；②存在x0∈I，使得fx0M。那么，稱M是函數(shù)yfx的最大值。注意：函數(shù)最大（?。┦紫葢撌悄骋粋€函數(shù)值，即存在x0∈I，使得fx0M；函數(shù)最大（?。撌撬泻瘮?shù)值中