優(yōu)化模型實(shí)訓(xùn)

提要12幾類典型優(yōu)化問題及其軟件解法3舉例4最優(yōu)化概論MATLAB優(yōu)化工具箱簡(jiǎn)介最優(yōu)化概論當(dāng)今，“優(yōu)化”無疑是一個(gè)熱門詞。做宏觀經(jīng)濟(jì)規(guī)劃要優(yōu)化資源配置，搞企業(yè)經(jīng)營(yíng)管理要優(yōu)化生產(chǎn)計(jì)劃，作新產(chǎn)品設(shè)計(jì)要優(yōu)化性能成本比。就是在人們的日常生活中，優(yōu)化的要求也比比皆是，消費(fèi)時(shí)，如何花盡可能少的錢辦盡可能多的事，出行時(shí)，如何走最短的路程到達(dá)目的地，等等?？偠灾?，在經(jīng)濟(jì)如此發(fā)展，競(jìng)爭(zhēng)如此劇烈，資源日漸緊張的今天，人們做任何事，無不望求事半功倍之術(shù)，以求或提效、或增收、或節(jié)約等等之目標(biāo)。一、最優(yōu)化概念所有類似的這種課題統(tǒng)稱為最優(yōu)化問題，研究解決這些問題的科學(xué)一般就總稱之為最優(yōu)化理論和方法另外也可用學(xué)術(shù)味更濃的名稱：“運(yùn)籌學(xué)”。由于最優(yōu)化問題背景十分廣泛，涉及的知識(shí)不盡相同，學(xué)科分枝很多，因此這個(gè)學(xué)科名下到底包含哪些分枝，其說法也不一致。比較公認(rèn)的是：“規(guī)劃論”（包括線性和非線性規(guī)劃、整數(shù)規(guī)劃、動(dòng)態(tài)規(guī)劃、多目標(biāo)規(guī)劃和隨機(jī)規(guī)劃等），“組合最優(yōu)化”，“對(duì)策論”及“最優(yōu)控制”等等。數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽中的優(yōu)化問題2000B鋼管訂購(gòu)和運(yùn)輸問題—二次規(guī)劃2001B公交車優(yōu)化調(diào)度2001C基金使用的最優(yōu)策略-----線性規(guī)劃2002B彩票中的數(shù)學(xué)2003B露天礦生產(chǎn)的車輛安排問題

2004A奧運(yùn)會(huì)臨時(shí)超市網(wǎng)點(diǎn)設(shè)計(jì)問題

2004D公務(wù)員招聘工作中錄用方案—多目標(biāo)規(guī)劃2005BDVD在線租賃2006A出版社的資源配置問題

2007A乘公交，看奧運(yùn)

2008B高等教育學(xué)費(fèi)探討2009B眼科病床的合理安排

數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽中的優(yōu)化問題2002B，彩票中的數(shù)學(xué)—約束非線性規(guī)劃從數(shù)學(xué)上來看，所謂最優(yōu)化問題可以概括為這樣一種數(shù)學(xué)模型：給定一個(gè)“函數(shù)”，F(xiàn)(X)，以及“自變量”X應(yīng)滿足的一定條件，求X為怎樣的值時(shí)，F(xiàn)(X)取得其最大值或最小值。通常，稱F(X)為“目標(biāo)函數(shù)”，X應(yīng)滿足的條件為“約束條件”。約束條件一般用一個(gè)集合D表示為：X∈D。求目標(biāo)函數(shù)F(X)在約束條件X∈D下的最小值或最大值問題，就是一般最優(yōu)問題的數(shù)學(xué)模型．無約束最優(yōu)化問題目標(biāo)函數(shù)二、最優(yōu)化問題的一般形式約束最優(yōu)化問題約束函數(shù)最優(yōu)解；最優(yōu)值三、最優(yōu)化問題分類分類1：無約束最優(yōu)化約束最優(yōu)化

非線性規(guī)劃：目標(biāo)函數(shù)與約束函數(shù)中至少有一個(gè)是變量x的非線性函數(shù)；

線性規(guī)劃：目標(biāo)函數(shù)與約束函數(shù)均為線性函數(shù)；分類2：線性規(guī)劃非線性規(guī)劃三、最優(yōu)化問題分類(續(xù)）分類3（根據(jù)決策變量、目標(biāo)函數(shù)和要求不同）整數(shù)規(guī)劃動(dòng)態(tài)規(guī)劃網(wǎng)絡(luò)規(guī)劃隨機(jī)規(guī)劃幾何規(guī)劃多目標(biāo)規(guī)劃三、最優(yōu)化問題分類(續(xù)）函數(shù)最優(yōu)化組合最優(yōu)化分類４函數(shù)最優(yōu)化：決策變量是一定區(qū)間內(nèi)的連續(xù)變量．組合最優(yōu)化：決策變量是離散狀態(tài)，同時(shí)可行域是由有限個(gè)點(diǎn)組成的集合典型組合優(yōu)化問題：旅行商問題；加工調(diào)度問題；0-1背包問題；圖著色問題四、求解最優(yōu)化問題的方法（1）傳統(tǒng)優(yōu)化方法-----基于導(dǎo)數(shù)的優(yōu)化方法

無約束規(guī)劃：梯度法、共軛梯度法、擬牛頓法

約束規(guī)劃：序列二次規(guī)劃法，罰函數(shù)法

線性規(guī)劃：?jiǎn)渭冃畏椒ǖ龋?）現(xiàn)代優(yōu)化方法-----智能優(yōu)化方法

遺傳算法，模擬退火法，蟻群算法，粒子群算法神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法，禁忌搜索算法等

為了使系統(tǒng)達(dá)到最優(yōu)的目標(biāo)所提出的各種求解方法稱為最優(yōu)化方法。最優(yōu)化方法通常采用迭代法求最優(yōu)解，過程是：五、構(gòu)造數(shù)值優(yōu)化算法的一般過程或迭代公式六、最優(yōu)化方法的基本結(jié)構(gòu)七、搜索算法結(jié)構(gòu)框圖線性搜索求，使x(k+1)∈S初始x(1)∈S,k=1對(duì)x(k)點(diǎn)選擇下降可行方向d(k)是否滿足停機(jī)條件？停k=k+1YesNo八、最優(yōu)化方法解決問題的步驟（1）確定變量，寫出目標(biāo)函數(shù)和有關(guān)約束條件，建立數(shù)學(xué)模型。（2）分析模型，搞清它屬于運(yùn)籌學(xué)哪一分枝，選擇合適的最優(yōu)化方法；（3）編程求解；盡量利用現(xiàn)有的數(shù)學(xué)軟件或最優(yōu)化軟件，比如Matlab，Mathematica，Lindo，Lingo等，來計(jì)算。（4）最優(yōu)解的驗(yàn)證和實(shí)施。九、MATLAB優(yōu)化工具箱簡(jiǎn)介

1.功能（1）求解無約束條件非線性極小值；（2）求解約束條件下非線性極小值，包括目標(biāo)逼近問題、極大-極小值問題和半無限極小值問題；（3）求解二次規(guī)劃和線性規(guī)劃問題；（4）非線性最小二乘逼近和曲線擬合；（5）非線性系統(tǒng)的方程求解；（6）約束條件下的線性最小二乘優(yōu)化；（7）求解復(fù)雜結(jié)構(gòu)的大規(guī)模優(yōu)化問題。2.常用函數(shù)：

一元函數(shù)極小值X=fminbnd(‘F’,x1,x2,options)無約束極小值X=fminunc(‘F’,X0,options)X=fminsearch(‘F’,X0,options)線性規(guī)劃

X=linprog(c,A,b,options)0-1整數(shù)規(guī)劃X=bintprog(F

,options)二次規(guī)劃X=quadprog(H,c,A,b,options)約束非線性規(guī)劃極小值X=fmincon(‘FG’,X0,options)非線性最小二乘X=lsqnonlin(F,X0,options)目標(biāo)達(dá)到問題X=fgoalattain(‘F’,x,goal,w)極小極大問題X=fminimax(‘FG’,x0)3.Options選項(xiàng)說明輸入?yún)?shù)中可以用options，用于所有函數(shù)，其中包括有一下參數(shù)。（1）Display：結(jié)果顯示方式，off不顯示，iter顯示每次迭代的信息，final為最終結(jié)果，notify只有當(dāng)求解不收斂的時(shí)候才顯示結(jié)果。（2）MaxFunEvals：允許函數(shù)計(jì)算的最大次數(shù)，取值為正整數(shù)。（3）MaxIter：允許迭代的最大次數(shù)，正整數(shù)。（4）TolFun：函數(shù)值（計(jì)算結(jié)果）精度，正整數(shù)。（5）TolX：自變量的精度，正整數(shù)。而且可以用函數(shù)optimset創(chuàng)建和修改。4.輸出變量說明變量描述調(diào)用函數(shù)x由優(yōu)化函數(shù)求得的值.若exitflag>0,則x為解;否則,x不是最終解,它只是迭代制止時(shí)優(yōu)化過程的值所有優(yōu)化函數(shù)fval解x處的目標(biāo)函數(shù)值linprog,quadprog,fgoalattain,fmincon,fminimax,lsqcurvefit,lsqnonlin,fminbndexitflag描述退出條件:exitflag>0,表目標(biāo)函數(shù)收斂于解x處exitflag=0,表已達(dá)到函數(shù)評(píng)價(jià)或迭代的最大次數(shù)exitflag<0,表目標(biāo)函數(shù)不收斂output包含優(yōu)化結(jié)果信息的輸出結(jié)構(gòu).Iterations:迭代次數(shù)Algorithm:所采用的算法FuncCount:函數(shù)評(píng)價(jià)次數(shù)所有優(yōu)化函數(shù)eg1

在區(qū)間（0，2π）上求函數(shù)sin(x)的最小值：eg2

對(duì)邊長(zhǎng)為3m的正方形鐵板，在四個(gè)角處剪去相等的正方形以制成方形無蓋水槽，問如何剪法使水槽的容積最大？學(xué)會(huì)使用fminbnd函數(shù):功能：找到固定區(qū)間內(nèi)單變量函數(shù)的最小值。線性規(guī)劃問題及其MATLAB解法1.線性規(guī)劃的一般形式或線性規(guī)劃問題及其MATLAB解法2.線性規(guī)劃的matlab解法問題形式1：minz=CTx

S.t.Ax

≤b指令：（x，z）=linprog(f,A,b)問題形式2：minz=CTx

S.t.Ax

≤b

Aeqx

=beq指令：（x，z）=linprog(f,A,b,Aeq,beq)線性規(guī)劃問題及其MATLAB解法問題形式3：minz=CTx

S.t.Ax

≤b

Aeqx

=beqlb≤x≤ub指令：（x，z）=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub)注：

若沒有不等式約束,可用[]替代A和b,

若沒有等式約束,可用[]替代Aeq和beq,

若某個(gè)xi下無界或上無界,可設(shè)定-inf或inf；x1+x2

5,-6

x1

10,

-1

x24;例:minZ=4x1

+3x2s.t.解：程序如下c=[4,3];a=[1,1];b=[5];vlb=[-6;-1];

%lowerboundofvector

x%vub=[10;4];%upperboundofvectorx%[X,z]=linprog(c,a,b,[],[],vlb,vub)例題：裁料問題在某建筑工程施工中需要制作10000套鋼筋，每套鋼筋由2.9m、2.1m和1.5m三種不同長(zhǎng)度的鋼筋各一根組成，它們的直徑和材質(zhì)不同。目前在市場(chǎng)上采購(gòu)到的同類鋼筋的長(zhǎng)度每根均為7.4m，問應(yīng)購(gòu)進(jìn)多少根7.4m長(zhǎng)的鋼筋才能滿足工程的需要？

首先分析共有多少種不同的套裁方法，該問題的可能材料方案如表所示。表

材料方案表下料長(zhǎng)度(m)裁料方案編號(hào)i123456782.9211100002.1021032101.510130234料頭長(zhǎng)度(m)0.10.30.901.10.20.81.4設(shè)以xi(i=1,2,…,8)表示按第i種裁料方案下料的原材料數(shù)量，則可得該問題的數(shù)學(xué)模型為：首先輸入下列系數(shù)：f=[1;1;1;1;1;1;1;1];Aeq=[200000000210321010130234];beq=[100001000010000];lb=zeros(8,1);然后調(diào)用linprog函數(shù)：[x,fval,exitflag,output,lambda]=linprog(f,[],[],Aeq,beq,lb);習(xí)題1：生產(chǎn)計(jì)劃的最優(yōu)化問題某工廠生產(chǎn)A和B兩種產(chǎn)品，它們需要經(jīng)過三種設(shè)備的加工，其工時(shí)如表所示。設(shè)備一、二和三每天可使用的時(shí)間分別不超過12、10和8小時(shí)。產(chǎn)品A和B的利潤(rùn)隨市場(chǎng)的需求有所波動(dòng)，如果預(yù)測(cè)未來某個(gè)時(shí)期內(nèi)A和B的利潤(rùn)分別為4和3千元/噸，問在那個(gè)時(shí)期內(nèi)，每天應(yīng)安排產(chǎn)品A、B各多少噸，才能使工廠獲利最大？表生產(chǎn)產(chǎn)品工時(shí)表產(chǎn)品設(shè)備一設(shè)備二設(shè)備三A（小時(shí)/噸）334B（小時(shí)/噸）432設(shè)備每天最多可工作時(shí)數(shù)（小時(shí)）12108習(xí)題2：廠址選擇問題

考慮A、B、C三地，每地都出產(chǎn)一定數(shù)量的原料，也消耗一定數(shù)量的產(chǎn)品（見表）。已知制成每噸產(chǎn)品需3噸原料，各地之間的距離為：A-B：150km，A-C：100km，B-C：200km。假定每萬噸原料運(yùn)輸1km的運(yùn)價(jià)是5000元，每萬噸產(chǎn)品運(yùn)輸1km的運(yùn)價(jià)是6000元。由于地區(qū)條件的差異，在不同地點(diǎn)設(shè)廠的生產(chǎn)費(fèi)用也不同。問究竟在哪些地方設(shè)廠，規(guī)模多大，才能使總費(fèi)用最?。苛硗?，由于其它條件限制，在B處建廠的規(guī)模（生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量）不能超過5萬噸。表

A、B、C三地出產(chǎn)原料、消耗產(chǎn)品情況表地點(diǎn)年產(chǎn)原料（萬噸）年銷產(chǎn)品（萬噸）生產(chǎn)費(fèi)用（萬元/萬噸）A207150B1613120C240100

1.整數(shù)線性規(guī)劃一般形式依照決策變量取整要求的不同，整數(shù)規(guī)劃可分為純整數(shù)規(guī)劃、混合整數(shù)規(guī)劃、0－1整數(shù)規(guī)劃。整數(shù)線性規(guī)劃(ILP)及其lindo解法部分或者全部為整數(shù)多目標(biāo)規(guī)劃及其求解方法多目標(biāo)規(guī)劃的一般形式則稱為線性多目標(biāo)規(guī)劃。其中x=(x1,x2,…,xn)為一個(gè)n維向量；fi(x)為目標(biāo)函數(shù)，hj(x)

gi(x)為約束函數(shù)。求解多目標(biāo)規(guī)劃的方法1、降維法，即把多目標(biāo)化為比較容易求解的單目標(biāo)或雙目標(biāo)，如主要目標(biāo)法、線性加權(quán)法、極大極小法、理想點(diǎn)法等；2、分層序列法，即把目標(biāo)按其重要性給出一個(gè)序列，每次都在前一目標(biāo)最優(yōu)解集內(nèi)求下一個(gè)目標(biāo)最優(yōu)解，直到求出共同的最優(yōu)解。3、層次分析法，是由美國(guó)運(yùn)籌學(xué)家沙旦于70年代提出的，這是一種定性與定量相結(jié)合的多目標(biāo)決策與分析方法，對(duì)于目標(biāo)結(jié)構(gòu)復(fù)雜且缺乏必要的數(shù)據(jù)的情況更為實(shí)用。主要目標(biāo)法

其基本思想是：在多目標(biāo)問題中，根據(jù)問題的實(shí)際情況，確定一個(gè)目標(biāo)為主要目標(biāo)，而把其余目標(biāo)作為次要目標(biāo)，并且根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，選取一定的界限值。這樣就可以把次要目標(biāo)作為約束來處理，于是就將原來的多目標(biāo)問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)在新的約束下的單目標(biāo)最優(yōu)化問題。

線性加權(quán)法

其基本思想是：按照多目標(biāo)fi(x)(i=1,2,…,m)的重要程度，分別乘以一組權(quán)系數(shù)λj(j=1,2,…,m)然后相加作為目標(biāo)函數(shù)而構(gòu)成單目標(biāo)規(guī)劃問題。即其中極大極小法

其基本思想是：對(duì)于極小化的多目標(biāo)規(guī)劃，讓其中最大的目標(biāo)函數(shù)值盡可能地小.為此，對(duì)每個(gè)x∈R，我們先求諸目標(biāo)函數(shù)值fi(x)的最大值，然后再求這些最大值中的最小值。即構(gòu)造單目標(biāo)規(guī)劃：

為權(quán)值系數(shù)向量。于是多目標(biāo)規(guī)劃問題化為：

理想點(diǎn)法

對(duì)于多目標(biāo)規(guī)劃：

s.tgj(x)≤0j=1,2,…,n先設(shè)計(jì)與目標(biāo)函數(shù)相應(yīng)的一組目標(biāo)值理想化向量

再設(shè)γ為一松弛因子標(biāo)量。設(shè)

在Matlab的優(yōu)化工具箱中，fgoalattain函數(shù)用于解決此類問題。其數(shù)學(xué)模型形式為：

minγ F(x)-weight·γ≤goal c(x)≤0非線性不等式約束

ceq(x)=0非線性等式約束

Ax≤b線性不等式約束

Aeqx=beq

線性等式約束

lb≤x≤ub

其中，x,weight,goal,b,beq,lb和ub為向量，A和Aeq為矩陣，c(x),ceq(x)和F(x)為函數(shù)調(diào)用格式：x=fgoalattain(F,x0,goal,weight)[x,fval,attainfactor,exitflag,output,lambda]=fgoalattain(F,x0,goal,weight,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options)說明：F為目標(biāo)函數(shù)；x0為初值；goal為F達(dá)到的指定目標(biāo)；weight為參數(shù)指定權(quán)重；A、b為線性不等式約束的矩陣與向量；Aeq、beq為等式約束的矩陣與向量；lb、ub為變量x的上、下界向量；nonlcon為定義非線性不等式約束函數(shù)c(x)和等式約束函數(shù)ceq(x)；options中設(shè)置優(yōu)化參數(shù)。x返回最優(yōu)解；fval返回解x處的目標(biāo)函數(shù)值；attainfactor返回解x處的目標(biāo)達(dá)到因子；exitflag描述計(jì)算的退出條件；output返回包含優(yōu)化信息的輸出參數(shù)；lambda返回包含拉格朗日乘子的參數(shù)。例1：

投資組合模型市場(chǎng)上有n種資產(chǎn)Si(i=1,2,…,n)可以選擇，現(xiàn)用數(shù)額為M的相當(dāng)大的資金作一個(gè)時(shí)期的投資。財(cái)務(wù)人員分析估算出這一時(shí)期內(nèi)購(gòu)買Si的平均收益率為ri

,風(fēng)險(xiǎn)損失率為qi,在多項(xiàng)投資組合中，總體風(fēng)險(xiǎn)可用投資的Si中最大的一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)來度量。購(gòu)買Si時(shí)要付交易費(fèi)，費(fèi)率pi(不買無須付費(fèi)).當(dāng)購(gòu)買額不超過給定值ui時(shí)，交易費(fèi)按購(gòu)買ui計(jì)算.另外，假定同期銀行存款利率是r0,既無交易費(fèi)又無風(fēng)險(xiǎn)。(r0=5%)SiriqipiuiS1282.51103S2211.52198S3235.54.552S4252.66.540試給該公司設(shè)計(jì)一種投資組合方案，即用給定達(dá)到資金M,有選擇地購(gòu)買若干種資產(chǎn)或存銀行生息，使凈收益盡可能大，使總體風(fēng)險(xiǎn)盡可能小。已知n=4時(shí)的相關(guān)數(shù)據(jù)如下:基本假設(shè)1.投資數(shù)額M相當(dāng)大,為了便于計(jì)算，假設(shè)M=1;2.投資越分散，總的風(fēng)險(xiǎn)越?。?.總體風(fēng)險(xiǎn)Si用投資項(xiàng)目中最大的一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)來度量；4.n種資產(chǎn)Si之間是相互獨(dú)立的；5.在投資的這一時(shí)期內(nèi),ri,pi,qi,r0為定值，不受意外因素影響；6.凈收益和總體風(fēng)險(xiǎn)只受ri,pi,qi影響，不受其他因素干擾。符號(hào)規(guī)定Si——第i種投資項(xiàng)目，如股票，債券ri

,pi,qi

——分別為Si的平均收益率,風(fēng)險(xiǎn)損失率，交易費(fèi)率ui

——Si的交易定額,r0——同期銀行利率xi——投資項(xiàng)目Si的資金,a——投資風(fēng)險(xiǎn)度Q——總體收益,?Q——總體收益的增量

模型的建立與分析1.總體風(fēng)險(xiǎn)用所投資的Si中最大的一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)來衡量,即max{qixi|i=1，2,…n}2．購(gòu)買Si所付交易費(fèi)是一個(gè)分段函數(shù),即

pixixi>ui

交易費(fèi)=

piui

xi≤ui而題目所給定的定值ui(單位:元)相對(duì)總投資M很小,piui更小,可以忽略不計(jì),這樣購(gòu)買Si的凈收益為(ri-pi)xi凈收益盡可能大建立模型總體風(fēng)險(xiǎn)盡可能小多目標(biāo)規(guī)劃問題采用主要目標(biāo)法化為單目標(biāo)規(guī)劃

方法一.

固定風(fēng)險(xiǎn)水平，優(yōu)化收益

在實(shí)際投資中，投資者承受風(fēng)險(xiǎn)的程度不一樣，若給定風(fēng)險(xiǎn)一個(gè)界限a，使最大的一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)qixi/M≤a，可找到相應(yīng)的投資方案。

模型一線性規(guī)劃模型若投資者希望總盈利至少達(dá)到水平k以上，在風(fēng)險(xiǎn)最小的情況下尋找相應(yīng)的投資組合。

模型二線性規(guī)劃模型方法二：固定盈利水平，極小化風(fēng)險(xiǎn)采用線性加權(quán)法化為單目標(biāo)規(guī)劃

投資者在權(quán)衡資產(chǎn)風(fēng)險(xiǎn)和預(yù)期收益兩方面時(shí)，希望選擇一個(gè)令自己滿意的投資組合。因此對(duì)風(fēng)險(xiǎn)、收益賦予權(quán)重s（0＜s≤1)，s稱為投資偏好系數(shù).

模型三線性規(guī)劃模型模型一的求解

將具體數(shù)據(jù)代入,模型一如下:

由于a是任意給定的風(fēng)險(xiǎn)度，到底怎樣給定沒有一個(gè)準(zhǔn)則，不同的投資者有不同的風(fēng)險(xiǎn)度。我們從a=0開始，以步長(zhǎng)△a=0.001進(jìn)行循環(huán)搜索，編制程序如下：a=0;while(1.1-a)>1c=[-0.05-0.27-0.19-0.185-0.185];

Aeq=[11.011.021.0451.065];beq=[1];A=[00.025000;000.01500;0000.0550;00000.026];b=[a;a;a;a];

vlb=[0,0,0,0,0];vub=[];[x,val]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub);ax=x'Q=-valplot(a,Q,'.')，axis([00.100.5])，holdona=a+0.001;endxlabel('a'),ylabel('Q')計(jì)算結(jié)果：風(fēng)險(xiǎn)大，收益也大。曲線上的任一點(diǎn)表示該風(fēng)險(xiǎn)水平的最大可能收益。對(duì)于不同風(fēng)險(xiǎn)的承受能力，選擇該風(fēng)險(xiǎn)水平下的最優(yōu)投資組合。在a=0.006附近有一個(gè)轉(zhuǎn)折點(diǎn)，在這一點(diǎn)左邊，風(fēng)險(xiǎn)增加很少時(shí)，利潤(rùn)增長(zhǎng)很快。在這一點(diǎn)右邊，風(fēng)險(xiǎn)增加很大時(shí)，利潤(rùn)增長(zhǎng)很緩慢，所以對(duì)于風(fēng)險(xiǎn)和收益沒有特殊偏好的投資者來說，應(yīng)該選擇曲線的拐點(diǎn)作為最優(yōu)投資組合，大約是：

a*=0.6%，Q*=20%。

此時(shí)所對(duì)應(yīng)投資方案為:

風(fēng)險(xiǎn)度=0.0060；收益=0.2019；

x0=0，x1=0.2400，x2=0.4000，

x