《圓周角和圓心角的關(guān)系》第二課時

圓周角和圓心角的關(guān)系(2)九年級數(shù)學(xué)(下)第五章圓5.4圓的對稱性學(xué)有所思、思有所疑、疑有所問、問有所悟，學(xué)思疑問才會感悟生活的樂趣、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的快樂！

知識回顧

圓周角定義：頂點在圓上,并且兩邊都和圓相交的角叫圓周角.在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半.圓周角定理：在同圓或等圓中，如果兩個圓周角相等，它們所對弧一定相等．推論1

同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等；相等的圓周角所對的弧也相等.推論2在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等。1.如圖，AB是O的直徑，你能求的度數(shù)嗎？ABCO半圓或直徑所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑結(jié)論：AB是直徑⊙⊙2.如圖，如果圓周角，那么弦AB是O的直徑嗎？

深入探究推論3

半圓（或直徑）所對的圓周角是直角；90°的圓周角所對的弦是直徑.

歸納問題解答1、圓周角定理的推論2：同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧也相等。2、圓周角定理的推論3：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角；90°的圓周角所對的弦是直徑。用于找相等的角用于找相等的弧用于判斷某個圓周角是否是直角用于判斷某條線是否過圓心例：如圖，AB是⊙O的直徑，BD是⊙O的弦，延長BD到C，使AC=AB，BD與CD的大小有什么關(guān)系？為什么？ABCOD解：連接AD∵AB是⊙O的直徑∴∠ADB=90°

即AD⊥BC又∵AC=AB∴BD=CD

化心動為行動分析：由于AB是⊙O的直徑，故連接AD。由直徑所對的圓周角是直角，可得AD⊥BC.又因為△ABC中，AC=AB，所以由等腰三角形的三線合一，可證得BD=CD。

教材題變形，拓展延伸船在航行過程中，船長常常通過測定角度來確定是否會遇到暗礁。如圖，A，B表示燈塔，暗礁分布在經(jīng)過A，B兩點的一個圓形區(qū)域內(nèi)，C表示一個危險臨界點，∠ACB就是“危險角”，當(dāng)船與兩個燈塔的夾角大于“危險角”時，就有可能觸礁。（1）當(dāng)船與兩個燈塔的夾角∠α大于“危險角”時，船位于哪個區(qū)域？為什么？（2）當(dāng)船與兩個燈塔的夾角∠α小于“危險角”時，船位于哪個區(qū)域？為什么？分析：這是一個有實際背景的問題。由題意可知：“危險角∠ACB”實際上就是圓周角。船P與兩個燈塔的夾角為∠α，P有可能在⊙O外，P有可能在⊙O內(nèi).當(dāng)∠α＞∠C時，船位于暗礁區(qū)域內(nèi)；當(dāng)∠α＜∠C時，船位于暗礁區(qū)域外。因此,我們可以分情況討論.解：（1）當(dāng)船與兩個燈塔的夾角∠α大于“危險角”∠C時，船位于暗礁區(qū)域內(nèi)（即⊙O內(nèi)）。理由是：連接BE.

假設(shè)船在⊙O上，則有∠α=∠C，這與∠α＞∠C矛盾，所以船不可能在⊙O上；假設(shè)船在⊙O外，則有∠α＜∠AEB，即∠α＜∠C，這與∠α＞∠C矛盾，所以船不可能在⊙O外。因此，船只能位于⊙O內(nèi)。（1）當(dāng)船與兩個燈塔的夾角∠α大于“危險角”時，船位于哪個區(qū)域？為什么？（2）當(dāng)船與兩個燈塔的夾角∠α小于“危險角”時，船位于哪個區(qū)域？為什么？解：（2）當(dāng)船與兩個燈塔的夾角∠α小于“危險角”∠C時，船位于暗礁區(qū)域外（即⊙O外）。理由是：假設(shè)船在⊙O上，則有∠α=∠C，這與∠α＜∠C矛盾，所以船不可能在⊙O上；假設(shè)船在⊙O內(nèi)，則有∠α＞∠AEB，即∠α＞∠C，這與∠α＜∠C矛盾，所以船不可能在⊙O內(nèi)。因此，船只能位于⊙O外。1.判斷題：（1）同圓或等圓中，等弧所對的圓周角相等.（）（2）90°的角所對的弦是直徑.（）（3）同弦所對的圓周角相等.（）√XXOABC

課堂練習(xí)D2.填空題:(1)如圖所示,∠BAC=

,∠DAC=

.DABC∠DBC∠BDC●OACB(2)如圖所示,⊙O的直徑AB=10cm,C為⊙O上一點,∠BAC=30°,則BC=

cm

5

課堂練習(xí)3、（2006?山西）如圖，在“世界杯”足球比賽中，甲帶球向?qū)Ψ角蜷TPQ進攻．當(dāng)他帶球沖到A點時，同伴乙已經(jīng)助攻沖到B點．有兩種射門方式：第一種是甲直接射門；第二種是甲將球傳給乙，由乙射門．僅從射門角度考慮，應(yīng)選擇第幾種射門方式？解答：解：設(shè)AP與圓的交點是C，連接CQ；則∠PCQ＞∠A；由圓周角定理知：∠PCQ=∠B；所以∠B＞∠A；因此選擇第二種射門方式更好．點評：此題實際上是比較兩個角的大小，角度越大，射中率越高．綜合考查了圓周角定理和三角形外角的性質(zhì)．MNCDOE4.當(dāng)甲帶球到C點時，乙沖到了D點，如圖,此時甲是自己射門好，還是將球傳給乙，讓乙射門好呢？為什么？(不考慮其他因素)延長NC交圓O于點E，連接ME，由圓周角性質(zhì)∠MDN＝∠MEN因此，讓甲射門好.解：又由三角形外角性質(zhì)∠MCN＞∠MEN∴∠MCN＞∠MDN5.請你幫助用直角曲尺檢查半圓形的工件，哪個是合格的？為什么？不合格合格不合格

生活中的數(shù)學(xué)答：圖（2）是半圓形。理由是：90°

的圓周角所對的弦是直徑。6.如圖，以⊙O的半徑OA為直徑作⊙O1,⊙O的弦AD交⊙O1于C,則(1)OC與AD的位置關(guān)系是

;

(2)OC與BD的位置關(guān)系是

;(3)若OC=2cm,則BD=

cmOC垂直平分AD平行4CDO1ABO

知識深化7.如圖,△ABC的頂點均在⊙O上,AB=4,∠C=30°,求⊙O的直徑.

●OACBE

能力提高∵BF是⊙O的直徑∴∠BAF=90°在Rt△ABF中，∠F=30°∴BF=2AB又∵AB=4∴BF=8即⊙O直徑為8解:過B作直徑BF交⊙O于點F,連接AFF●ODABCNME8.如圖⊙O中,D、E分別是AB和AC的中點,DE分別交AB和AC于點M、N.求證:△AMN是等腰三角形.⌒⌒

能力提高證明:∵D,E分別是AB和AC的中點⌒⌒∴AD=BD，AE=CE∴∠DAB=∠AED,∠ADE=∠EAC∵∠AMN=∠DAB+∠ADM∴∠AMN=∠ANM即△AMN是等腰三角形⌒⌒⌒⌒∠ANM=∠AED+∠EAC9.如圖,△ABC內(nèi)接于⊙O，過點A的直線交⊙O于點P，交BC的延長線于點D,且AB2=AP·AD.（1）求證：AB=AC;（2）如果∠ABC=60°，⊙O的半徑為1，且P為AC的中點，求AD的長？（1）證明：連接BP∴AB=AC∵AB2=AP·AD∵∠BAP=∠DAB∴△BAP～△DAB∴∠APB=∠ABD∵∠APB=∠ACB∵∠ABD=∠ACB（2）解：∵AB=AC又∵∠ABC=60°∴△ABC是等邊三角形∵∠BAC=60°∵P為AC的中點∴∠BAP=∠BAC+∠PAC=90°∴BP是直徑∴BP=2，AP=1∴AB2=BP2-AP2=3∵AB2=AP·AD∴32=1×AD∴AD=3.1.如圖，⊙Ｏ的弦AC、BD相交于⊙Ｏ

內(nèi)一點Ｐ.求證：E思考下列各題,并記住結(jié)論：(的度數(shù)+的度數(shù))⌒AB⌒CD2.如圖，⊙Ｏ的弦AC、BD相交于⊙Ｏ

外一點Ｐ.求證：四、思考下列各題,并記住結(jié)論：(的度數(shù)—的度數(shù))⌒AB⌒CD3、99年北京中考題）在⊙O中，CD過圓心O，且CD⊥AB于D，過點C任作一弦CF交⊙O于F，交AB于E，求證：CB2=CE·CFOABCDEF4、如圖，AE⊙O的直徑,△ABC的頂點都在⊙O上,AD是△ABC的高;

求證：AB·AC=AE·ADAOBCDE分析：要證AB·AC=AE·AD△ADC∽△ABE或△ACE∽△ADB5、如圖，AE⊙O的直徑,△ABC的頂點都在⊙O上,AD是△ABC的高;

求證：AB·AC=AE·AD變式：⑴△ABC內(nèi)接于⊙O， 若∠1=∠2.求證：AB?AC=AE?AD.變式：⑵△ABC內(nèi)接于⊙O，若弦AE平分∠BAC.

求證：AB?AC=AE?AD.

OBCAED12問：若點D在圓外，上述結(jié)論仍成立嗎？6、已知，如圖，圓內(nèi)接△ABC中，AB=AC，弦AE交BC于D求證：⑴△ABD∽△AEB1997年廣東省中考題ECOABD7、如圖，AB為⊙O的直徑，DC為弦，AB⊥DC，F(xiàn)為弧BC上的一點，AF交DC于E.求證：AD2=AE?AF.

8、如圖,△ABC內(nèi)接于⊙O,高AD、BE相交于H,AD延長線交⊙O于點F.求證:BF=BH.9、如圖，Rt△ABC中，∠C=90o，AC=5，BC=12，以C為圓心，AC為半徑的圓交AB于點D.求AD的長.知識總結(jié)1.【圓周角的性質(zhì)】

（3）在同一圓內(nèi)，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于