第七章應力狀態(tài)分析

材料力學第七章應力狀態(tài)分析強度理論1第七章應力狀態(tài)分析和強度理論§7-1

應力狀態(tài)概述§7-2

二向應力狀態(tài)分析（解析法）§7-3

二向應力狀態(tài)的應力圓§7-4

三向應力狀態(tài)簡介§7-6

廣義虎克定律§7-7

復雜應力狀態(tài)的變形比能§7-8

強度理論概述四種常用強度理論§7-5

平面應變狀態(tài)分析2掌握應力狀態(tài)的概念。了解二向應力狀態(tài)和三向應力狀態(tài)的實例。熟練掌握平面應力狀態(tài)下的應力分析解析法和圖解法；主應力了解三向應力狀態(tài)應力圓。了解平面應變狀態(tài)概念。熟練掌握廣義胡克定律。了解體積應變、復雜應力狀態(tài)下的變形能密度、體積改變能、畸變能的概念熟練掌握常用的強度理論。重點1、平面應力狀態(tài)分析；2、廣義虎克定律；強度理論。學習目的與要求難點1、應力狀態(tài)分析；2、廣義胡克定律；3、應變分析。3§7-1

應力狀態(tài)概述低碳鋼鑄鐵1、問題的提出

塑性材料拉伸時為什么會出現(xiàn)滑移線？?第七章（1）應力和應變狀態(tài)4脆性材料扭轉(zhuǎn)時為什么沿45o螺旋面斷開？低碳鋼鑄鐵?5結(jié)論:不僅橫截面上存在應力，斜截面上也存在應力；不僅要研究橫截面上的應力，而且也要研究斜截面上的應力。一、應力的三個重要概念:1、應力的面的概念;2、應力的點的概念;3、應力狀態(tài)的概念.6軸向拉壓時：同一橫截面上各點應力相等：FF同一點在斜截面上時：

表明：即使同一點在不同方位截面上，它的應力也是各不相同，此即為應力的面的概念。7橫截面上正應力分析和切應力分析的結(jié)果表明：同一面上不同點的應力各不相同，此即為應力的點的概念。橫力彎曲時：8

一般性結(jié)論1）受力構(gòu)件上應力隨點的位置變化而變化；2）即使在同一點,應力也是隨截面的方位變化而變化。過一點不同方位面上應力的集合，稱之為這一點的應力狀態(tài)。應力哪一個面上？

哪一點？哪一點？

哪個方位面？指明92、研究方法yxz單元體上沒有切應力的面稱為主平面；主平面上的正應力稱為主應力，分別用表示，并且只有主應力的單元體稱為主應力單元。各邊邊長,,dxdydz單元體103、應力狀態(tài)分類應力狀態(tài)：1）單向應力狀態(tài)(一個主應力不等于零)2）平面（二向）應力狀態(tài)（兩個主應力不等于零）3）空間（三向）應力狀態(tài)（三個主應力都不等于零）復雜應力狀態(tài)一般來說，過受力構(gòu)件的任意一點都可找到三個互相垂直的主平面，因而每點都有三個相互垂直的主應力

1122113122311154321Fl/2l/2Fl/2l/2S平面例7-1、畫出如圖所示梁S截面各點的應力狀態(tài)單元體。

12S平面5432154321123213alF例7-2、畫出如圖所示梁危險截面危險點的應力狀態(tài)單元體

xzy4321zy4321FSMZTS1412z3xzy4321zy4321FSMZT15例7－3、分析薄壁圓筒受內(nèi)壓時的應力狀態(tài)。Dyz薄壁圓筒的橫截面面積(1)沿圓筒軸線作用于筒底的總壓力為FAs'16(2)假想用一直徑平面將圓筒截分為二，并取下半環(huán)為研究對象p"yOFNFNds's"17312231例7－4、分析A點的應力狀態(tài)。18§7-2

二向應力狀態(tài)分析（解析法）在二向應力狀態(tài)下，已知通過一點的某些截面上的應力（互相垂直的截面），確定通過這一點的其它斜截面上的應力，從而確定該點的主平面和主應力。1、斜截面上應力sxsysysxsatyxtxytaxyneff′e′a19正負號規(guī)定拉（+），壓（）對單元體內(nèi)任一點取矩順時針為正，逆時針為負。由x

軸正向逆時針轉(zhuǎn)到斜截面外法線時為正；反之為負。：：：正應力的角標表示作用面的法線方向第一個角標表示作用面的法線方向，第二個角標表示切應力的方向20對隔離體列平衡方程①利用三角函數(shù)公式：且有，化簡得：②21任意斜截面應力公式都是a的函數(shù)?？梢?，22確定正應力極值：設a＝a0

時，上式值為零，即：2、正應力極值和方位即α＝α0的截面，正應力取極值，切應力為零。23此截面的位置可由下式確定：主應力按代數(shù)值排序：s1

s2

s3

確定了兩個相互垂直的平面，分別為最大和最小正應力所在平面。正應力極值：244、兩個導出公式：3最大剪應力25例7-5、單元體的應力狀態(tài)如圖，求圖示斜截面上的應力和smax、smin、tmax、tmin及主平面和最大剪應力所在平面的方位。解：1）取坐標軸2）已知條件命名3）計算

s30°，t

30°xyn264）計算smax、smin及主平面方位角27100MPax80MPa40MPay12°285）計算tmax、tmin及其所在平面的方位角。29二向應力狀態(tài)分析的方法計算任意斜面上的應力、確定主應力及主平面等。1)畫出應力主單元體（若已知單元體的應力狀態(tài)則省去這一步）；2)取坐標軸，并寫出已知應力；坐標軸應與應力單元體的邊垂直，x軸與y軸可任意指定，可默認水平方向為x軸，垂直方向為y軸。3)利用相關(guān)公式，計算出指定斜面的應力，最大、最小正應力（主應力）及其對應的角度，最大、最小剪應力；4)確定主平面的方位；畫出主應力單元體，則剪應力共同指向的平面為最大主應力所對應的平面。30例7－6、求主應力、主平面并畫出主應力單元體；202030解：1）取坐標軸xy已知條件2)計算主應力及其對應的角度31主平面方位角主應力單元體202030xy19°20′32

例7-7、兩端簡支的焊接工字鋼梁及其荷載如圖所示，梁的橫截面尺寸示于圖中。試求出截面

C上a,b兩點處的主應力。12015152709zab250KN1.6m2mABC33(1)計算支反力,并畫內(nèi)力圖MC=80kN.mFC左

=200kNaaaa解:(2)取a點的應力單元體FAFBFB=50kNFA

=200kN34(4)求a點主應力aaaaa35(4)橫截面C上b點的主應力b點的單元體如圖所示bbbb點的三個主應力為36例7－8、兩相交于一點處的斜截面上的應力如圖，求該點的主應力。解：取應力單元體sx？37作業(yè)P2537.2P2537.4（c、f）（解析法）P2557.1038一、應力圓將斜截面應力計算公式改寫為把上面兩式等號兩邊平方，然后相加便可消去，得§7-3二向應力狀態(tài)的應力圓39

因為x，y，xy

皆為已知量，所以上式是一個以，為變量的圓周方程。當斜截面方位角變化時,其上的應力

，

在-

直角坐標系內(nèi)的軌跡是一個圓。圓心的坐標：圓的半徑：此圓習慣上稱為應力圓,或稱為莫爾圓40(1)建s–t坐標系,選定比例尺o二、應力圓作法1、步驟xyxxyxxyyy41Dxyo(2)量取OA=xAD

=xy得

D

點xAOB=y(3)量取BD′=yx得D′

點yByxD′(4)連接DD′兩點的直線與軸相交于C

點(5)以C為圓心,CD為半徑作圓,該圓就是相應于該單元體的應力圓C42(1)該圓的圓心C點到坐標原點的距離為

(2)該圓半徑為2、證明433、應力圓與單元體之間的對應關(guān)系1）點面對應：應力圓上某一點的坐標值對應著微元某一截面上的正應力和切應力2）轉(zhuǎn)向?qū)霃叫D(zhuǎn)方向與截面法線旋轉(zhuǎn)方向一致；3）二倍角對應——半徑轉(zhuǎn)過的角度是截面法線旋轉(zhuǎn)角度的兩倍。應力圓的半徑對應著微元某一截面的法線44點面對應caA45C轉(zhuǎn)向?qū)?、二倍角對應yxaAa'A'q2q46三、應力圓的應用1、求單元體上任一截面上的應力

從應力圓的半徑CD

按方位角的轉(zhuǎn)向轉(zhuǎn)動2

得到半徑

CE.圓周上E

點的坐標就依次為斜截面上的正應力

和切應力。DxyoxAyByxD′C20FE2xyaxxyxxyefn472、求主應力數(shù)值和主平面位置(1)主應力數(shù)值A1和B1兩點為與主平面對應的點，其橫坐標為主應力1

，2

12DxyoxAyByxD′C20FE2B1A14820DxyoxAyByxD′C12A1B1（2）主平面方位由

CD順時針轉(zhuǎn)

20到CA1所以單元體上從

x

軸順時針轉(zhuǎn)0

（負值）即到1對應的主平面的外法線0

確定后，1

對應的主平面方位即確定493、求最大切應力G1和G2

兩點的縱坐標分別代表最大和最小切應力

20DxyoxAyByxD′C12A1B1G1G2因為最大、最小切應力等于應力圓的半徑50o例7-9、應力單元體如圖所示,x

=-1MPa,y

=-0.4MPa,xy=-0.2MPa,yx

=0.2MPa,(1)繪出相應的應力圓(2)確定此單元體在

=30°和

=-40°兩斜面上的應力。xyxy解:(1)選好比例尺畫應力圓量取OA=x=-1,AD

=xy=-0.2,定出

D點;ACBOB

=y=-0.4和，BD′=yx=0.2,定出

D′點.(-1,-0.2)DD′(-0.4,0.2)以DD′

為直徑繪出的圓即為應力圓。0.551將半徑CD

逆時針轉(zhuǎn)動2=60°到半徑CE,E

點的坐標就代表

=30°斜截面上的應力。(2)確定

=30°斜截面上的應力E60°(3)確定

=-40°斜截面上的應力將半徑

CD順時針轉(zhuǎn)2=80°到半徑CF,F

點的坐標就代表

=-40°斜截面上的應力。F80°AD′CBoD

30°40°

40°30°30°=-0.36MPa30°=-0.68MPa40°=-0.26MPa-40°=-0.95MPa52例7－10、已知受力構(gòu)件的A點處于平面應力狀態(tài)，過A點兩斜截面上的應力圓如圖，試用應力圓求該點的主應力、主平面和最大剪應力。解：100從應力圓上量得：∴從n1順時針轉(zhuǎn)動180即為最大主應力的外法線方向。主平面位置如圖。53解：可得應力圓上兩點：

CD1與CD2的夾角為1200

，由此可畫出應力圓。由應力圓可計算出：用圖解法解例7－7、兩相交于一點處的斜截面上的應力如圖，試用應力圓求該點的主應力，并畫出主應力單元體。sotD2D1120o30oCAB54yxz55§7-4

三向應力狀態(tài)簡介

對三向應力狀態(tài)的要求三個主應力均已知；三個主應力中至少有一個主應力及其主方向是已知的；定義三向應力狀態(tài)——三個主應力均不為零的應力狀態(tài)56szsxsytxytyx至少有一個主應力及其主方向已知sytxytyxsxsz可先化為平面應力狀態(tài)求出另兩對面上的主應力和主方位，再按三個主應力均已知的情況考慮。57tsIIIIIIs3s2s1I平行于s1的方向面－其上之應力與s1無關(guān)，于是由s2

、s3可作出應力圓I平行于s2的方向面－其上之應力與s2無關(guān)，于是由s1

、s3可作出應力圓

II平行于s3的方向面－其上之應力與s3無關(guān)，于是由s1

、s2可作出應力圓IIIIIs2s1

s3s3IIIs2s1三個主應力均已知的情況58zpypxpIIIIIIs1s2s3stt't'''t''tmax=s1s2s35920030050otmax例7－11、作圖示單元體的應力圓并在圖中標出最大剪應力。60(1)(2)排序確定(3)平面應力狀態(tài)特點：作為三向應力狀態(tài)的特例61例7-12、單元體的應力如圖所示,作應力圓,并求出主應力和最大切應力值。解:

該單元體有一個已知主應力因此與該主平面正交的各截面上的應力與主應力z無關(guān),依據(jù)x

截面和y截面上的應力畫出應力圓.

求另外兩個主應力40MPaxyz20MPa20MPa20MPa62由x，xy

定出D

點由y，yx

定出D′

點以DD′為直徑作應力圓A1，A2兩點的橫坐標分別代表另外兩個主應力

1和

3A1A2D′ODC13

1=46MPa

3=-26MPa該單元體的三個主應力

1=46MPa

2=20MPa

3=-26MPa根據(jù)上述主應力，作出三個應力圓63

3=-26MPa該單元體的三個主應力

1=46MPa

2=20MPa解法2：解析法64作業(yè)P2557.4（c、f）(圖解法)P2567.147.15P2577.19(b)65

§7-5

平面應變狀態(tài)分析

平面應力狀態(tài)下，已知一點的應變分量x

、y

、γxy

，欲求方向上的線應變α和切應變

,可根據(jù)彈性小變形的幾何條件，分別找出微單元體（長方形）由于已知應變分量x

、y

、γxy在此方向上引起的線應變及切應變，再利用疊加原理.

一、任意方向的應變在所研究的O點處,Oxy坐標系內(nèi)的線應變x,y,xy

為已知.求該點沿任意方向的線應變.yxO66將Oxy

坐標繞O點旋轉(zhuǎn)一個角，得到一個新Ox'

y'坐標系.xyOy'x'并規(guī)定角以逆時針轉(zhuǎn)動時為正值，反之為負值.

為O點沿x‘方向的線應變?yōu)橹苯莤'Oy'的改變量，即切應變.假設:（1）O點處沿任意方向的微段內(nèi),應變是均勻的;（2）變形在線彈性范圍內(nèi)都是微小的,疊加原理成立;

分別計算

x,y,xy

單獨存在時的線應變和切應變，然后疊加得這些應變分量同時存在時的和.671、推導線應變

從O點沿x′方向取出一微段OP=dx′,并以它作為矩形OAPB

的對角線.該矩形的兩邊長分別為dx

和dyxyOy'x'PABdxdydx'68（1）只有正值x存在ABdxdyxyOy'x'P

假設OB

邊不動，矩形

OAPB

變形后成為OA'P'BxdxD的伸長量為O點沿x'方向的線應變1

為A'P'69（2）只有正值y存在ABdxdyxyOy'x'P假設OA

邊不動矩形OAPB

變形后為OAP"B'的伸長量為D'O點沿x'方向的線應變2為ydyP''B'70（3）只有正值切應變xy存在ABdxdyxyOy'x'P使直角減小的

為正假設OA

邊不動矩形OAPB

變形后為OAP"'B"P'''B''γxydyγxy的伸長為D''O點沿x′方向的線應變?yōu)?1根據(jù)疊加原理，x,y

和xy

同時存在時，O點沿x′方向的線應變?yōu)?、切應變

以上兩式利用三角函數(shù)化簡得到72二、主應變數(shù)值及其方位73§7-6廣義虎克定律1、簡單應力狀態(tài)下虎克定律正應力僅引起線應變(正應變)剪應力僅引起自身平面內(nèi)的剪應變應用條件：p，小變形和各向同性材料。xzyAsxsxxzyAtxy742、復雜應力狀態(tài)下的廣義虎克定律+75++76某點在某方向上的線應變與其三個互相垂直方向的正應力有關(guān)。三個互相垂直的平面，各平面內(nèi)的剪應變僅與自身平面內(nèi)的剪應力有關(guān)。77若單元體是主單元體(即各面上的應力為主應力），則各方向的應變即為主應變，其大小為：各平面的剪應變?yōu)榱?8

對于平面應力狀態(tài)(假設z

=0，xz=0，yz=0)xyzxyxyyxxyxyyx79例7－13、測得A點處的x=400×10-6，y=-120×10-6。已知：E=200GPa，=0.3，求A點在x和y方向上的正應力。解：應力狀態(tài)圖平面應力狀態(tài)解得：PCBAxxyy80例7-14、支梁由18號工字鋼制成.其上作用有力F=15kN，已知E=200GPa,=0.3.求：A

點沿00，450，900

方向的線應變h/4AAA0.50.50.25FA0°45°90°81解：

yA

，Iz

，d查表得出為圖示面積對中性軸z的靜矩zAh/4AAA82AA=50.8A=68.883例7-15、邊長a=0.1m的銅立方塊，無間隙地放入體積較大，

變形可略去不計的鋼凹槽中,如圖所示.已知銅的彈性模量E=100GPa，泊松比m=0.34，當受到F=300kN的均布壓力作用時，求該銅塊的主應力及最大切應力.解：銅塊橫截面上的壓應力aaaFzyxzxy變形條件為84解得銅塊的主應力為最大切應力85討論xyz“2”86§7-7

復雜應力狀態(tài)的變形比能微元應變能dydxdz87由功能原理，得：所以變形比能：88形狀改變比能體積改變比能89§7-8強度理論概述四種常用強度理論單向應力狀態(tài)下材料的失效判據(jù)：塑性材料脆性材料建立復雜應力狀態(tài)下材料的失效判據(jù)的難點目的：建立危險點處于復雜應力狀態(tài)下的強度條件應力狀態(tài)的多樣性試驗的復雜性第七章（2）強度理論90逐一由試驗建立失效判據(jù)是不可能的；對于相同的失效形式建立統(tǒng)一的失效原因假說是可能的；兩種強度失效形式屈服斷裂因此，對應于這兩種失效形式，人們設想用強度理論建立處于復雜應力狀態(tài)下危險點的強度條件。強度理論:關(guān)于材料強度失效主要原因的假說。材料無論處于復雜應力狀態(tài)還是處于簡單應力狀態(tài)，引起同一形式失效的因素是相同的，并且該因素的極限值與應力狀態(tài)無關(guān)。（即：材料的失效與應力狀態(tài)無關(guān)）。91這樣：一方面由簡單應力狀態(tài)（拉、壓）的實驗，測出引起材料失效的那個因素的極限值，另一方面計算實際受力構(gòu)件上處于復雜應力狀態(tài)下的危險點處的相應因素，從而建立材料處于復雜應力狀態(tài)下的強度條件。簡單應力狀態(tài)復雜應力狀態(tài)失效因素ｆ實驗測量fjx計算fmax失效條件Fmax=fjx利用拉伸試驗的結(jié)果建立復雜應力狀態(tài)下的失效判據(jù)92用強度理論建立復雜應力狀態(tài)下的強度條件的方法可用示意圖表示。

選用相應的強度理論計算相當應力93斷裂準則(脆性材料)最大拉應力理論---第一強度理論無論材料處于什么應力狀態(tài),只要最大拉應力達到只與材料性質(zhì)有關(guān)的某一極限值，材料就發(fā)生斷裂。失效判據(jù)設計準則s1s3s294最大伸長線應變理論---第二強度理論無論材料處于什么應力狀態(tài),只要最大伸長線應變達到只與材料性質(zhì)有關(guān)的某一極限值，材料就發(fā)生斷裂。失效判據(jù)設計準則s1s3s295屈服準則(塑性材料)最大切應力準則----第三強度理論無論材料處于什么應力狀態(tài),只要發(fā)生屈服,都是由于微元內(nèi)的最大切應力達到了某一共同的極限值。設計準則s1s3s2失效判據(jù)96形狀改變比能準則----第四強度理論無論材料處于什么應力狀態(tài),只要發(fā)生屈服,都是由于微元的形狀改變比能達到某一極限值。s1s3s297失效判據(jù)設計準則98把各種強度理論的強度條件寫成統(tǒng)一形式r

稱為復雜應力狀態(tài)的相當應力。99莫爾強度理論

任意一點的應力圓若與極限曲線相接觸，則材料即將屈服或剪斷.100公式推導MO2OO1O3FNTL[c][t]1M′L′T′代入強度條件1011、適用范圍(2)塑性材料選用第三或第四強度理論；(3)在三向拉應力相近時，無論是塑性還是脆性都將以斷裂的形式失效，故選用第一或第二強度理論；各種強度理論的適用范圍及其應用(1)一般脆性材料選用第一或第二強度理論；(4)在三向壓應力相近時，無論是塑性還是脆性材料都發(fā)生塑性破壞，故選用第三或第四強度理論。1022、強度計算的步驟(1)外力分析：確定所受的外力值；(2)內(nèi)力分析：畫內(nèi)力圖，確定可能的危險面；(3)應力分析：確定危險點并畫應力單元體，求出主應力；(4)強度計算：選擇適當?shù)膹姸壤碚摚嬎阆喈攽?，然后進行強度計算。3、應用舉例103F解：危險點A的應力狀態(tài)如圖例題7-16、直徑為d=0.1m的圓桿受力如圖,T=7kNm,F=50kN,材料為鑄鐵，[]=40MPa,

試用第一強度理論校核桿的強度.FTTAA

故安全104例7-17、一蒸汽鍋爐承受最大壓強為p,圓筒部分的內(nèi)徑為D，厚度為t,且

t遠小于D

.試用第四強度理論校核圓筒部分內(nèi)壁的強度.已知p=3.6MPa，t=10mm，D=1m，[]=160MPa。s'

"

105內(nèi)壁的強度校核s'

"

所以圓筒內(nèi)壁的強度合適用第四強度理論校核圓筒內(nèi)壁的強度若選用第三強度理論如何？106例7-18、對于圖示各單元體，試分別按第三強度理論及第四強度理論求相當應力.

(b)50MPa70MPa40MPa30MPa(a)

140MPa

110MPa107解：（1）單元體（a）(a)

140MPa

110MPa108（2）單元體（b）109例7－19、圖示應力狀態(tài)，試根據(jù)第三、第四強度理論建立相應的強度條件。解：stK1、求單元體的主應力1102、建立強度條件按第三強度理論：按第四強度理論：111例7-20、根據(jù)強度理論,可以從材料在單軸拉伸時的可推知低碳鋼類塑性材料在純剪切應力狀態(tài)下的。解：純剪切應力狀態(tài)下:1=,2=0,3=–按第三強度理論得強度條件為：另一方面，剪切的強度條件是：所以[]=0.5

按第四強度理論得強度條件為：A

112通過第二強度理論得出脆性材料單向壓縮時許用壓應力與許用拉應力之間的關(guān)系。單向壓縮狀態(tài)下:1=2=0,3=–按第二強度理論得強度條件為：另一方面，單向壓縮的強度條件是：所以討論:

113作業(yè)P2607.36P2617.38114

例1、兩端簡支的焊接工字鋼梁及其荷載如圖所示，梁的橫截面尺寸示于圖中。試求出截面

C上a,b兩點處的主應力。12015152709zab250KN1.6m2mABC習題課115(1)計算支反力,并畫內(nèi)力圖MC=80kN.mFC左

=200kNaaaa解:(2)取a點的應力單元體FAFBFB=50kNFA

=200kN116(4)求a點主應力aaaaa117(4)橫截面C上b點的主應力b點的單元體如圖所示bbbb點的三個主應力為118例2、圖示簡支梁由36a工字鋼制成，P=140kN,L=4m，A點位于集中力P左側(cè)截面上的下翼緣與腹板的交界處，試求：1）A點處圖中指定斜截面上的應力；2）A點處的主應力，并作主應力單元體。sAtAsAtA30°60°解：