-古典概型與幾何概型

一、古典概型§1.4古典概型與幾何概型二、幾何概型1.古典概型定義一、古典型概率如果一個隨機試驗E具有如下特征：(1)試驗所有可能的結(jié)果是有限個，設(shè)為n個，

(2)每一個結(jié)果在一次實驗中發(fā)生的可能性相同,則稱該隨機試驗為等可能概型(或古典概型).

設(shè)試驗E的樣本空間由n個樣本點構(gòu)成,A為E的任意一個事件,且包含

m個樣本點,則事件A出現(xiàn)的概率記為:2.古典概型中事件概率的計算公式稱此為概率的古典定義.

解例1

計數(shù)基本原理乘法原理完成一項任務(wù)需分兩個階段，第一階段有m種方式,式，第一類方式含有m種，完成一項任務(wù)有兩類方式，有n種,第二階段有n種方則完成這項任務(wù)共有mn

種方式.第二類方式含則完成這項任務(wù)共m+n

種方式.加法原理例2

擲兩顆均勻的骰子,求出現(xiàn)點數(shù)之和為8的概率.P(A)=則A={(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)}所以,所求事件概率為設(shè)A={點數(shù)之和為8},解則S中有36個樣本點.例3(摸球問題)

一個口袋中裝有4個白球6個紅球,從中任取兩個,求

{取到的兩個球中一個是白球一個是紅球}的概率；{兩個球均為白球}的概率；{至少有一個是紅球}的概率.

一般模型：有N個球,其中M個紅球.現(xiàn)從中任取

n個,則恰有k（k≤M）個紅球的概率為A

例4(分房問題)設(shè)有n個人,每個人被分配到個間房中的任一間是等可能的(每個房間的容量不限)，試求下列各事件的概率：(1)每個間房至多有一人的概率

(2)指定的n個房間各有一人的概率

(3)某個指定的房間恰有人的概率

解先求樣本空間中所含樣本點的個數(shù)。首先，把n個人分到N間房中去共有種分法，其次，求每種情形下事件所含的樣本點個數(shù)。解

設(shè)A={指定的n個盒子各有一球},

B={n個球恰好分到n個盒子中}類似問題：分球入盒問題將n個球隨機地放入N(N≥n)個盒子中去,求（1）指定的n個盒子各有一球的概率;（2）恰有n個盒子各有一球的概率.在N件產(chǎn)品中抽取n件,其中恰有m件次品的取法共有于是所求的概率為解在N件產(chǎn)品中抽取n件的所有可能取法共有例5（1）每人取一個,取后不放回(稱為不放回抽樣)；例6(抽簽問題)（2）每人取一個,看過顏色后再放回(稱為有放回抽樣).例7

在1~99中任取一個整數(shù),求：（1）這個數(shù)能被2整除但不能被3整除的概率；（2）這個數(shù)能被2或3整除的概率；

（3）這個數(shù)既不能被2也不能被3整除的概率.例8

將

15名新生隨機地平均分配到三個班級中去,這15名新生中有3名是優(yōu)秀生.問(1)每一個班級各分配到一名優(yōu)秀生的概率是多少?(2)3名優(yōu)秀生分配在同一個班級的概率是多少?解15名新生平均分配到三個班級中的分法總數(shù):(1)每一個班級各分配到一名優(yōu)秀生的分法共有因此所求概率為(2)將3名優(yōu)秀生分配在同一個班級的分法共有3種,對于每一種分法,其余12名新生的分法有因此3名優(yōu)秀生分配在同一個班級的分法共有因此所求概率為

把有限個樣本點推廣到無限個樣本點的場合,人們引入了幾何概型.由此形成了確定概率的另一方法

——幾何方法.古典概率只適用于樣本空間中樣本點有限的情況,有明顯的局限性.如果樣本空間中的樣本點有無限個就不適用了.二、幾何型概率若試驗E具有如下特征：（1）試驗所有可能的結(jié)果是S中的點的全體，其中S為直線、平面或空間中度量有限的區(qū)間或區(qū)域；（2）試驗結(jié)果出現(xiàn)在某區(qū)域

中可能性的大小與D的測度成正比,而與D的位置及形狀無關(guān).則稱試驗E為幾何概型.說明

:當(dāng)古典概型的試驗結(jié)果為連續(xù)無窮多個時,就歸結(jié)為幾何概率.其中區(qū)域的度量在一維空間中是長度,二維空間中是面積,三維空間中是體積.那末兩人會面的充要條件為例1

甲、乙兩人相約在0到T這段時間內(nèi),在預(yù)定地點會面.先到的人等候另一個人,經(jīng)過時間t(t<T)后離去.設(shè)每人在0到T這段時間內(nèi)各時刻到達該地是等可能的,且兩人到達的時刻互不牽連.求甲、乙兩人能會面的概率.會面問題解故所求的概率為若以x,y

表示平面上點的坐標(biāo),則有那末例2

甲、乙兩艘輪船駛向一個不能同時停泊兩艘輪船的碼頭,它們在一晝夜內(nèi)到達的時間是等可能的,如果甲船停泊的時間是一小時,乙船停泊的時間是兩小時,求它們中