高三數(shù)學(xué)課件：第四章第一節(jié)平面向量的概念及其線性運(yùn)算

第四章

平面向量、數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)第一節(jié)平面向量的概念及其線性運(yùn)算1.向量的有關(guān)概念(1)定義：既有______又有_____的量.(2)表示方法：用_________來(lái)表示向量.有向線段的長(zhǎng)度表示向量的_____，用箭頭所指的方向表示向量的______.用a,b,或用來(lái)表示.(3)模：向量的_____叫做向量的模，記作|a|,|b|或大小方向有向線段大小方向長(zhǎng)度【即時(shí)應(yīng)用】(1)請(qǐng)寫(xiě)出高中物理中的三個(gè)向量______________.(2)判斷下列命題的真假：(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中填寫(xiě)“真”或“假”)①向量的大小是實(shí)數(shù)()②向量可以用有向線段表示()③向量就是有向線段()④向量的長(zhǎng)度和向量的長(zhǎng)度相等()【解析】(1)由向量的定義可知，物理中的速度、力、加速度等都為向量.(2)向量是既有大小又有方向的量，向量的大小為實(shí)數(shù)，故①為真；向量可以用有向線段來(lái)表示，有向線段的長(zhǎng)度為向量的大小，有向線段的方向?yàn)橄蛄康姆较颍寓跒檎?；③為假?/p>

與

是大小相等、方向相反的向量，故④為真.答案：(1)速度、力、加速度(答案不唯一)(2)①真②真③假④真2.特殊向量(1)零向量：長(zhǎng)度為_(kāi)_的向量叫做零向量，記作0；零向量的方向_______.(2)單位向量：長(zhǎng)度為_(kāi)_______的向量.(3)共線向量：方向相同或______的向量叫做共線向量，共線向量也叫做_____向量；規(guī)定：零向量與任何向量共線.(4)相等向量：長(zhǎng)度_____且方向_____的向量.(5)相反向量：長(zhǎng)度_____且方向_____的向量.0不確定1個(gè)單位相反平行相等相同相等相反【即時(shí)應(yīng)用】(1)判斷下列命題的真假：(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中填寫(xiě)“真”或“假”)①若a與b平行，則b與a方向相同或相反()②若a與b平行同向，且|a|>|b|,則a>b()③|a|=|b|與a、b的方向沒(méi)有關(guān)系()(2)把平面上一切單位向量歸結(jié)到共同的始點(diǎn)，那么這些向量的終點(diǎn)所構(gòu)成的圖形是__________.【解析】(1)①假，當(dāng)a為零向量時(shí)，方向是不確定的.②假，向量不能比較大小.③真，向量a與b的模相等，即長(zhǎng)度相等，與方向無(wú)關(guān).(2)這些向量的終點(diǎn)所構(gòu)成的圖形是以共同的始點(diǎn)為圓心，以單位1為半徑的圓.答案：(1)①假②假③真(2)圓3.向量的加法與減法向量運(yùn)算定義法則(或幾何意義)運(yùn)算律加法求兩個(gè)向量和的運(yùn)算_______法則

___________法則(1)交換律:a+b=____.(2)結(jié)合律:(a+b)+c=________.三角形平行四邊形b+aa+(b+c)向量運(yùn)算定義法則(或幾何意義)運(yùn)算律減法求a與b的相反向量-b的和的運(yùn)算叫做a與b的差_______法則三角形【即時(shí)應(yīng)用】(1)下列命題是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中填“√”或“×”)①()②()③()(2)若菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2，則||=_________.【解析】(1)①不正確.因?yàn)棰谡_.因?yàn)棰壅_.因?yàn)?2)||=||=||=2.答案：(1)①×②√③√(2)24.向量的數(shù)乘與共線向量定理(1)向量的數(shù)乘①長(zhǎng)度|λa|=________②方向當(dāng)λ>0時(shí)，λa的方向與a的方向_____；當(dāng)λ<0時(shí)，λa的方向與a的方向_____，當(dāng)λ=0時(shí)，λa=__,其方向是任意的.|λ||a|相同相反0(2)向量的數(shù)乘的運(yùn)算律設(shè)λ,μ為實(shí)數(shù)，則①λ(μ

a)=_________;②(λ+μ)a=___________③λ(a+b)=___________.(3)共線向量定理向量a(a≠0)與b共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使得________.(λμ)aλa+μa；λa+λbb=λa【即時(shí)應(yīng)用】(1)思考：在共線向量定理中，當(dāng)a=0時(shí)，λ還唯一嗎？提示：當(dāng)a=0且b=0時(shí)，λ可以為任意實(shí)數(shù)，不唯一，當(dāng)a=0且b≠0時(shí)，λ不存在.(2)填空:①8(a+c)+7(a-c)-c=__________.②③設(shè)兩非零向量e1,e2不共線，且k(e1+e2)∥(e1+ke2)，則實(shí)數(shù)k的值為_(kāi)___________.④點(diǎn)C在線段AB上，且【解析】①原式=8a+8c+7a-7c-c=15a-0c=15a②原式=③由題意知，k(e1+e2)=λ(e1+ke2)?(k-λ)e1=(λk-k)e2又∵e1與e2不共線,∴即k=0或1.④∵∴答案：①15a②③0或1④熱點(diǎn)考向1平面向量的有關(guān)概念1.平面向量的概念辨析題的解題方法向量有關(guān)概念的辨析題多出現(xiàn)在選擇題或填空題中，解答時(shí)準(zhǔn)確理解向量的基本概念是解決該類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵，特別要掌握好相等向量；零向量的長(zhǎng)度為0，方向不確定等知識(shí)，充分利用反例進(jìn)行否定也是行之有效的方法.2.幾個(gè)重要結(jié)論(1)相等向量具有傳遞性，非零向量的平行具有傳遞性；(2)向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量；(3)平行向量與起點(diǎn)無(wú)關(guān).【例1】已知下列命題：①單位向量都相等②若a與b是共線向量，b與c是共線向量，則a與c是共線向量③兩個(gè)有共同起點(diǎn)而長(zhǎng)度相等的非零向量，它們的終點(diǎn)必相同④由于0方向不確定，故0不能與任意向量平行⑤如果a=b,b=c,則a=c⑥如果|a|=|b|，則a與b的方向相同.其中不正確的命題是______(請(qǐng)把不正確的命題的序號(hào)都填上).【解題指南】以概念為判斷依據(jù)，或通過(guò)舉反例說(shuō)明其不正確.【規(guī)范解答】各單位向量的模都相等，但方向不一定相同，故①不正確；當(dāng)b=0時(shí)，a與c可以為任意向量，故②不正確；兩個(gè)有共同起點(diǎn)而長(zhǎng)度相等的非零向量，如果它們的方向相同，則它們的終點(diǎn)必相同，否則終點(diǎn)不相同，故③不正確；規(guī)定0與任意向量平行，故④不正確；如果a、b、c都為零向量，則a=c,如果a、b、c為非零向量，則它們的長(zhǎng)度都相等、方向相同，所以a=c,故⑤正確；⑥不正確.答案：①②③④⑥【反思·感悟】平面向量的基本概念較多，比較容易遺忘，復(fù)習(xí)時(shí)要構(gòu)建良好的知識(shí)結(jié)構(gòu)來(lái)幫助記憶，還可以與物理中、生活中的模型進(jìn)行類(lèi)比和聯(lián)想來(lái)記憶.【變式訓(xùn)練】給出下列命題:(1)兩個(gè)具有公共終點(diǎn)的向量,一定是共線向量.(2)兩個(gè)向量不能比較大小,但它們的模能比較大小.(3)λa=0(λ為實(shí)數(shù)),則λ必為零.(4)λ,μ為實(shí)數(shù),若λa=μb，則a與b共線.其中錯(cuò)誤命題的個(gè)數(shù)為()(A)1(B)2(C)3(D)4【解析】選C.(1)錯(cuò)誤.兩向量共線要看其方向而不是起點(diǎn)與終點(diǎn).(2)正確.因?yàn)橄蛄考扔写笮?又有方向,故它們不能比較大小,但它們的模均為實(shí)數(shù),故可以比較大小.(3)錯(cuò)誤.當(dāng)a=0時(shí),不論λ為何值,λa=0.(4)錯(cuò)誤.當(dāng)λ=μ=0時(shí),λa=μb,此時(shí)a與b可以是任意向量.熱點(diǎn)考向2平面向量的線性運(yùn)算1.平面向量的線性運(yùn)算法則的應(yīng)用三角形法則和平行四邊形法則是向量線性運(yùn)算的主要方法，共起點(diǎn)的向量和用平行四邊形法則，差用三角形法則.2.兩個(gè)重要結(jié)論(1)向量的中線公式：若P為線段AB中點(diǎn)，則(2)向量加法的多邊形法則【提醒】當(dāng)兩個(gè)向量共線(平行)時(shí)，三角形法則同樣適用.向量加法的平行四邊形法則與三角形法則在本質(zhì)上是一致的，但當(dāng)兩個(gè)向量共線(平行)時(shí)，平行四邊形法則就不適用了.【例2】(1)如圖，D，E，F(xiàn)分別是△ABC的邊AB，BC，CA的中點(diǎn)，則()(2)(2013·泉州模擬)已知P，A，B，C是平面內(nèi)四點(diǎn)，且那么一定有()(3)(2013·福州模擬)如圖所示的方格紙中有定點(diǎn)O，P，Q，E，F(xiàn)，G，H，則=_______.【解題指南】(1)利用平面向量的線性運(yùn)算并結(jié)合圖形求解．(2)將向量分解為以點(diǎn)P為起點(diǎn)的兩向量的差，然后化簡(jiǎn)即可.(3)結(jié)合圖形，利用平行四邊形法則及向量平移即可得出.【規(guī)范解答】(1)選A.∴即(2)選D.由題意得即(3)令a=則由平行四邊形法則作出向量

再平移即發(fā)現(xiàn)a=答案：【變式訓(xùn)練】在△ABC中，若點(diǎn)D滿(mǎn)足則＝()【解析】選A.∵∴∴∴【變式備選】如圖，在平行四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是BC，DC的中點(diǎn)，G為BF、DE的交點(diǎn)，若試用a,b來(lái)表示

.【解析】

連接BD，因?yàn)镚是△CBD的重心，所以熱點(diǎn)考向3共線向量定理的應(yīng)用【方法點(diǎn)睛】1.共線向量定理及應(yīng)用(1)可以利用共線向量定理證明向量共線，也可以由向量共線求參數(shù)的值.(2)若a,b不共線，則λa+μb=0的充要條件是λ=μ=0,這一結(jié)論結(jié)合待定系數(shù)法應(yīng)用非常廣泛.2.證明三點(diǎn)共線的方法若則A、B、C三點(diǎn)共線.

【例3】已知a,b不共線，設(shè)t∈R，如果3a=c,2b=d,e=t(a+b),是否存在實(shí)數(shù)t使C，D，E三點(diǎn)在一條直線上？若存在，求出實(shí)數(shù)t的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【解題指南】先假設(shè)存在，再用a,b表示目標(biāo)向量，最后判斷是否有成立即可.【規(guī)范解答】由題設(shè)知，=d-c=2b-3a,=e-c=(t-3)a+tb,C，D，E三點(diǎn)在一條直線上的充要條件是存在實(shí)數(shù)k，使得，即(t-3)a+tb=-3ka+2kb,整理得(t-3+3k)a=(2k-t)b.因?yàn)閍,b不共線，所以有解之得t=.故存在實(shí)數(shù)t=使C，D，E三點(diǎn)在一條直線上.【反思·感悟】1.注意待定系數(shù)法在解決此類(lèi)問(wèn)題中的重要作用.其中的k只是橋梁，可設(shè)而不求.2.本例中應(yīng)用待定系數(shù)法求t的值時(shí)，不可忽視a,b不共線的條件.【變式訓(xùn)練】設(shè)e1與e2是兩個(gè)不共線的非零向量，若向量

=3e1-2e2,試證明：A、C、D三點(diǎn)共線.【證明】∵∴共線，∴A、C、D三點(diǎn)共線.【變式備選】設(shè)a，b是兩個(gè)不共線向量，若a與b起點(diǎn)相同，t∈R，t為何值時(shí)，a，tb，

(a＋b)三向量的終點(diǎn)在一條直線上？【解析】設(shè)

(λ∈R)，化簡(jiǎn)整理得：∵a與b不共線，∴故t=時(shí)，a,tb,(a+b)三向量的終點(diǎn)在一條直線上．

1.(2013·福州模擬)在平面上有A，B，C三點(diǎn)，設(shè)m＝n＝若m與n的長(zhǎng)度恰好相等，則有()(A)A，B，C三點(diǎn)必在一條直線上(B)△ABC必為等腰三角形且∠B為頂角(C)△ABC必為直角三角形且∠B為直角(D)△ABC必為等腰直角三角形【解析】選C.如圖，以為鄰邊作平行四邊形ABCD，則由m，n的長(zhǎng)度相等可知，兩對(duì)角線相等，因此平行四邊形ABCD一定是矩形．∴選C.2.(2013·南平模擬)