初中數(shù)學數(shù)學名師萊布尼茨

萊布尼茨萊布尼茨數(shù)學微積分1666年，萊布尼茨寫成“論組合術(shù)"(DeArtCombinatoria)一文，討論了平方數(shù)序列0,1，4，916，…的性質(zhì)，例如它的第一階差為1，3，5，7，…，第二階差則恒等于2，2，2，…等.他注意到，自然數(shù)列的第二階差消失，平方序列的第三階差消失，等等.同時他還發(fā)現(xiàn)，如果原來的序列是從0開始的，那么第一階差之和就是序列的最后一項，如在平方序列中，前5項的第一階差之和為1+3+5+7=16,即序列的第5項.他用X表示序列中項的次序，用丫表示這一項的值.這些討論為他后來創(chuàng)立微積分奠定了初步思想，可以看作是他微積分思想的萌芽.“論組合術(shù)”是他的第一篇數(shù)學論文，使他躋身于組合數(shù)學研究者之列.1672年，惠更斯給萊布尼茨出了一道他自己正同別人競賽的題目：求三角級數(shù)(1，3,6，10，…)倒數(shù)的級數(shù)之和萊布尼茨圓滿地解決了這一問題，他是這樣計算的：初次成功激發(fā)了他進一步深入鉆研數(shù)學的興趣.通過惠更斯，他了解到B.卡瓦列里(Cavalieri)、I.巴羅(Barrow)、B.帕斯卡(Pascal)、J沃利斯(Wallis)的工作.于是，他開始研究求曲線的切線以及求平面曲線所圍圖形的面積、立體圖形體積等問題.1674年，他學習R.笛卡兒(Descartes)幾何學，同時對代數(shù)性發(fā)生了興趣.這一時期，他檢索了已有的數(shù)學文獻.對于當時數(shù)學界密切關(guān)注的切線問題和求積問題，萊布尼茨在前人的基礎(chǔ)上提出了一個普遍方法.這個方法的核心是特征三角形(characteristictriangle).在帕斯卡、巴羅等人討論過的特征三角形的基礎(chǔ)上，他建立了由dx，dy和PQ(弦)組成的特征三角形.其中dx，dy的意義是這樣的：在他1666年“論組合術(shù)”中所考慮的序列中，用dx表示相鄰的序數(shù)之差，dy表示兩個相鄰項值之差，然后在數(shù)列項的順序中插入若干dx，dy，于是過渡到了任意函數(shù)的dx，dy.特征三角形的兩條邊就是任意函數(shù)的dx，dy；而PQ則是“P和Q之間的曲線，而且是T點的切線的一部分”.如圖1，T是曲線y=f(x)上的一點，dx，dy分別是橫坐標、縱坐標的差值.利用這個特征三角形，他很快就意識到兩個問題：(1)曲線的切線依賴于縱坐標的差值與橫坐標的差值(當這些差值變成無窮小時)之比.通過考慮圖1中APOR和△STU，發(fā)現(xiàn)△PQRs^STU，從而有dy/dx=Tu/Su.也就是說，曲線y上過T點的切線的斜率是dy/dx.(2)求積(面積)依賴于橫坐標的無限小區(qū)間的縱坐標之和或無限窄矩形之和.“毫不費力，我有了這些思想，他很快就推導出了一大批新結(jié)論.用他自己的話說就是，從特征三角形出發(fā),“毫不費力，我確立了無數(shù)的定理”.根據(jù)萊布尼茨留下的遺稿可以判定，他是在1673年建立起特征三角形思想的.他將圖1中特征三角形的斜邊PQ用“dS”表示，這樣特征三角形又稱為微分三角形（differentialtriangle）如圖2，其中ds2=dx2+dy2.利用特征三角形，萊布尼茨早在1673年就通過積分變換，得到了平面曲線的面積公式這一公式是從幾何圖形中推導出來的，經(jīng)常被他用來求面積.1673—1674年，他給出了求一條曲線y=y（x）繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的旋轉(zhuǎn)體的表面積A的公式同時，他還給出了曲線長度公式在求面積問題方面，萊布尼茨深受卡瓦列里“線由無窮多個點構(gòu)成，面由無窮多條線構(gòu)成”思想的影響，認為曲線下的面積是無窮多的小矩形之和.1675年10月29日，他用“1”代替了以前的和符號“Omn”（“/”是Sum和）的第一個字母“s”的拉長），用/ydx表示面積，在這份手稿中，他還從求積出發(fā)，得到了分部積分公式1676年11月，他得出了公式其中n是整數(shù)或分數(shù)（nW-1）.萊布尼茨的積分方面的工作是與微分方面的工作交叉進行的.由于研究巴羅的著作，以及引入特征三角形，萊布尼茨越來越強烈地意識到，微分（主要是導數(shù)、求切線）與積分（求和）必定是相反的過程.在1675年10月29日的手稿中，他就注意到，面積被微分時必定給出長度，因此他開始探討“1”的運算（積分）和“d”的運算（微分）之間的關(guān)系，認識到要從y回到dy,必須做出y的微差或者取y的微分.經(jīng)過這種不充分的討論，他斷定一個事實：作為求和的過程的積分是微分的逆.這樣，萊布尼茨就第一次表達出了求和（積分）與微分之間的關(guān)系.萊布尼茨于1675—1676年給出了微積分基本定理（后來又稱為牛頓-萊布尼茨公式）（A為曲線f下的圖形的面積，圖3.）于1693年給出了這個定理的證明.以前，微分和積分作為兩種數(shù)學運算、兩類數(shù)學問題，是分別地加以研究的.卡瓦列里、巴羅、沃利斯等許多人得到了一系列求面積（積分）、求切線斜率（導數(shù)）的重要結(jié)果，但這些結(jié)果是孤立、不連貫的.雖然他們已開始考慮微分和積分之間的關(guān)系，然而只有萊布尼茨和牛頓（各自獨立地）將微分和積分真正溝通起來，明確地找到了兩者的內(nèi)在的直接聯(lián)系：微分和積分是互逆的兩種運算.而這正是建立微積分學的關(guān)鍵所在.只有確立了這一基本關(guān)系，才能在此基礎(chǔ)上構(gòu)建系統(tǒng)的微積分學.并從對各種函數(shù)的微分和求積公式中，總結(jié)出共同的算法程序，使微積分方法普遍化，發(fā)展成用符號表示的微積分運算法則.萊布尼茨于1684年10月發(fā)表在《教師學報》（Actaerudito-rum）上的論文，題目是“一種求極大值與極小值和求切線的新方法，它也適用于無理量，以及這種新方法的奇妙類型的計算”（NovaMethodusproMaximisetMinimis,itemquetangentibus,quaenecfractas,necirrationalesquantitatesmoratur,etsingulareproillisCalculigenus）,在數(shù)學史上被公認為是最早發(fā)表的微積分文獻.早在1677年7月11日前后及11月左右，萊布尼茨明確定義Ydy為函數(shù)微分，給出Ydy的演算規(guī)則：“如果a是給定的常數(shù)，則da=0，dax=adx；力口法和減法v=z-y+w+x,dv=dz-dy+dw+dx；乘法y=vx,dy=vdx+xdv在1676—1677年的手稿中，他利用特征三角形分析了曲線切線的變化情況：對于曲線v=v（x）,當dv與dx之比為無窮大時，切線垂直于坐標軸（x軸）.當dv與dx之比等于0時，切線平行于x軸，當dv=dxW0時，則切線與坐標軸成45°角，他指出，對于曲線v,當dv=0時，”在這個位置的v,明顯地就是極大值（或極小值）”，他詳細討論了當dv<0,而變成dv=0后又dv<0時取極大值，反之則取極小值的情形.他還給出了拐點一一曲線的凹凸情況發(fā)生變法的條件是d2V=0.以后，萊布尼茨具體求出了各種各樣復雜函數(shù)的微商（導數(shù)）.1686年，給出了對數(shù)函數(shù)，指數(shù)函數(shù)的微商.1695年求出Yy=xx的微商dy=xx（1+lnx）,等等.他引入了9階微分的符號dn,并且給出了高階微分的“萊布尼茨法則”：其中n!=1X2X3X-X（n-1）Xn.萊布尼茨在積分方面的成就，后來比較集中地寫在1686年5月發(fā)表在《教師學報》上的一篇論文中，題為“潛在的幾何與不可分量和無限的分析”（DeGeometriareconditaetAnalysiIndivisi-biliumatqueInfinitorum）.品中出現(xiàn)了積分符號.同年，他引入了空間曲線的“密切”（osculating）這一術(shù)語，并給出了曲率P公式：其中R為曲率半徑.1692年和1694年，他給出了求一族曲線f（x,y,a）=0（a為曲線族參數(shù)）包絡(luò)的普遍方法：在中消去a.實際上，用微積分方法研究幾何在微積分奠基者（牛頓、萊布尼茨等）那里已經(jīng)開始了.切線、包絡(luò)等幾何問題在萊布尼茨手中是與微積分連在一起的.無窮級數(shù)在微積分的早期研究中，有些函數(shù)如指數(shù)函數(shù)等超越函數(shù)的處理相當困難，然而人們發(fā)現(xiàn)，若用它們的級數(shù)來處理，則非常有成效.因此，無窮級數(shù)從一開始就是萊布尼茨、牛頓等人微積分工作的一個重要部分.有時使用無窮級數(shù)是為了計算一些特殊的量，如萊布尼茨曾用無窮級數(shù)表達式計算n（圓周率）.在求面積的過程中，通過無窮級數(shù)表示圓在第一象限的面積，他得到了n的一個十分漂亮的表達式（圖4）：1673年左右，他獨立地得到了$血乂，。。$乂和arctgx等函數(shù)的無窮級數(shù)展開式.還得到了圓面積和雙曲線面積的具體展開式，并且將這些展開式與反正切、余割、正弦函數(shù)、自然對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)聯(lián)系起來了.他經(jīng)常利用級數(shù)展開式研究超越函數(shù).有時還將多項式定理用于分式函數(shù)或超越函數(shù)的展開式.無窮級數(shù)展開式，得到了如下的式子:誤的.直到1734—1735年，L.歐拉(Euler)才得到在1713年10月25日寫給約翰?伯努利(JohnBernoulli)的信中，萊布“萊布尼茨判別法”，但他當時的證明卻錯了.在考慮級數(shù)還相當混亂.微分方程微分方程在微積分創(chuàng)立之初就為人們所關(guān)注.1693年，萊布尼茨稱微分方程為特征三角形的邊(dx,dy)的函數(shù).在微分方程方面，他進行了一系列工作.其中有些工作是十分獨特的.1691年，他提出了常微分方程的分離變量法，解決了形如型方程的求解問題.方法是，先寫成然后兩邊積分.這一年，他還提出了求解一次齊次方程的方法：因此經(jīng)過這種變換，原來的一次齊次方程就變成了1694年，他證明了把一階線性常微分方程y,+P(x)y=Q(x)化成積分方程的正確方法，他的方法使用了因變量替換.同時，他還給出Y(y,)2+p(x)y,+q(x)=0的解法.1694年，他和約翰?伯努利引進了找等交曲線或曲線族的問題，并求出了一些特殊問題的解.1696年，他證明了，利用變量替換2=丫1-4可以將伯努利方程變換x=P11u+P12v,y=P21u+P22V可以將微分方程a00+a10x+(a01+a11x)y'=0進行簡化.通過求解微分方程，萊布尼茨解決了許多具體問題.例如，1686年，他解決了這樣的問題：求一條曲線，使得一個擺沿著它作一次完全振動，都用相等的時間，而無論擺所經(jīng)歷的弧長怎樣(即等時問題).他指出，證明，并認識到了圓函數(shù)、三角函數(shù)的超越性，弄清了許多超越函數(shù)的基本性質(zhì).此外，他還考慮過概率方程.這一時期，他還求出了十分重要的曳物線方程：1691年，他給出了自達?芬奇(L.DaVinci)時代就考慮過的懸鏈線(catenary,這個名稱是萊布尼茨給出的)方程為1696年，約翰?伯努利提出了著名的最速降線問題：求從一給定點到不是在它垂直下方的另一點的一條曲線，使得一質(zhì)點沿這條曲線從給定點P1下滑所用的時間最短(圖5)；其中摩擦和空氣阻力都忽略.這是約翰?伯努利向全歐洲數(shù)學家發(fā)出的挑戰(zhàn).1697年，萊布尼茨和I.牛頓(Newton)、G.F.A.洛比達(L’Hospital)、約翰?伯努利分別解決了最速降線問題，指出這是由方程表示的上凹的旋輪線，并由此開始了變分法的研究.數(shù)學符號、代數(shù)萊布尼茨在微積分方面的貢獻突出地表現(xiàn)在他發(fā)明了一套適用的符號系統(tǒng).1675年引入dx表示x的微分，“/”表示積分，ddv,dddy表示二階、三階微分.1695年左右用dmn表示m階微分.他比別人更早更明確地認識到，好的符號能大大節(jié)省思維勞動，運用符號的技巧是數(shù)學成功的關(guān)鍵之一.他自覺地和格外慎重地引入每一個數(shù)學符號，常常對各種符號進行長期的比較研究，然后再選擇他認為最好的、富有啟示性的符號.他創(chuàng)設(shè)的符號還有此外還有對數(shù)符號、函數(shù)符號、行列式符號等等.很多符號的普遍使用與他的提倡和影響密切相關(guān).他還引入了"函數(shù)”(function)、“常量”(constantquantity)、變量"(variate)、“參變量"(para-meter)等術(shù)語.在代數(shù)學方面，萊布尼茨不僅強調(diào)引入符號的重要性，而且還討論了負數(shù)、復數(shù)的性質(zhì)，認為復數(shù)的出現(xiàn)是無害的，斷言復數(shù)的對數(shù)是不存在的，為此曾在當時的數(shù)學界掀起了一場關(guān)于負數(shù)、虛數(shù)的對數(shù)之爭論.在研究復數(shù)時，他還得出過這樣的結(jié)論：共軛復數(shù)的和是實數(shù)用一般的復數(shù)表示.他把虛數(shù)看作是存在(being)與非存在(not-being)的中介.在1678年以前，萊布尼茨就開始了對線性方程組、行列式的研究，對消元法從理論上進行了探討.在1693年4月28日致洛比達的信中他提出了行列式概念：“我引進方程：此處，在兩個數(shù)碼中，前者表示此數(shù)所屬的方程式，后者代表此數(shù)所屬的字母(未知數(shù)).”這樣，他創(chuàng)設(shè)了采用兩個數(shù)碼的系數(shù)記號，相當于現(xiàn)在的aik,為矩陣和行列式一般理論的發(fā)展提供了方便的工具.二進位制萊布尼茨發(fā)明二進位制的時間，大約是在1672—1676年的巴黎時期.1679年3月15日，萊布尼茨寫了題為“二進位算術(shù)"(DeI’arthmetiquebinaire)的論文.文中對二進位制進行了相當充分的討論，與十進位制進行了比較：給出了將二進位數(shù)改寫成十進位制數(shù)的法則：1011000(二進位制)寫成十進位制數(shù)就是26+0+24+23+0+0+0=64+16+8二88.下面就是1679年3月15日手稿的一頁(見183頁).萊布尼茨不僅完整地解決了二進位制的表示問題，而且給出了正確的二進位制加法與乘法規(guī)則.例如，他給出以下這類實例：1695年5月萊布尼茨與魯?shù)婪?奧古斯特(RudolphusAu-gustus)大公的一次談話中，大公對他的二進位制非常感興趣，認為一切數(shù)都可由0與1創(chuàng)造出來這一點，為基督教《圣經(jīng)》所講的創(chuàng)世記提供了依據(jù).這是因為唯一完美的上帝是從無到有創(chuàng)造了世界，這與一切數(shù)的根源來自0與1的這種體系是對應(yīng)的.萊布尼茨由此激起熱情，試圖以大公的這一想法來爭取人們對他的二進位制的關(guān)注.1697年他在致大公的信函中，就將他創(chuàng)造設(shè)計的象征二進位制的紀念章圖章當作新年禮品奉獻給大公.紀念章正面是大公圖象，背面的設(shè)計是這樣的(見圖7)：水面上籠罩著一片黑暗，頂部光芒四射一一象征創(chuàng)世的故事；中間排列著二進位、十進位制數(shù)字對照表，兩側(cè)是加法與乘法的實例.萊布尼茨希望能用二進位制證明圓周率n的超越性.1701年，萊布尼茨將自己的二進制數(shù)表給了法國在中國的傳教士白晉(F.J.Bouvet),同時又將自己關(guān)于二進制的論文送交巴黎科學院，但要求暫不發(fā)表.同年11月白晉把宋代邵雍(1011—1077)的伏羲六十四卦次序和伏羲六十四方位兩個圖給了萊布尼茨?萊布尼茨對白晉提供的材料欣慰異常，發(fā)現(xiàn)中國古老的易圖可以解釋成0—63的二進制數(shù)表.萊布尼茨因為從二進制數(shù)學理解了六十四卦圖(邵雍的六十四卦方圓圖，圖8)而高興地說：“幾千年來不能很好被理解的奧秘由我理解了，應(yīng)該讓我加入中國籍吧！”1703年，他將修改補充的論文“關(guān)于僅用0與1兩個記號的二進制算術(shù)的說明，并附其應(yīng)用以及據(jù)此解釋古代中國伏羲圖的探討”(Explicationde1'arthmetiquebinaire,quisesentdesseulscaracteres0et1,avecdesremarquesSursonutilite,etSurcequelledonneLeSensdesaneiennesfi-guresChinoisesFohy,1703)再送巴黎科學院，要求公開發(fā)表.自此二進制公之于眾了.根據(jù)上述歷史事實，表明萊布尼茨并不是受易圖的啟發(fā)而發(fā)明二進制的，而是他發(fā)現(xiàn)了易圖結(jié)構(gòu)可以用二進制數(shù)學予以解釋.應(yīng)該說，萊布尼茨的二進制數(shù)學能被用來理解古老的中國文化.自他發(fā)現(xiàn)了二者之間的這種關(guān)系后，在世界范圍內(nèi)興起了對易學的數(shù)理研究，使人們對易學的興趣日增.萊布尼茨所進行的計算機設(shè)計，程序自動化、程序設(shè)計的思想，再加上二進制，為計算機的現(xiàn)代發(fā)展奠定了堅實的基礎(chǔ).盡管萊布尼茨本人為計算機的設(shè)計、二進制的發(fā)明感到自豪，但他卻沒有將二進制用于計算機，沒有使二者結(jié)合起來.在當時條件下，一個二進位制的機器只會增加技術(shù)上的困難，只有隨著電子技術(shù)的發(fā)展，人們才能將二者有效地結(jié)合起來.那種認為他是為計算機而引進二進位制的說法是違背歷史事實的.邏輯學萊布尼茨的邏輯學研究包括兩個方面：數(shù)理邏輯與形式邏輯.數(shù)理邏輯萊布尼茨決心構(gòu)造一門基本學科，這門學科在某些方面象數(shù)學，但也包括傳統(tǒng)邏輯中一些尚未發(fā)展的研究內(nèi)容.他注意到了傳統(tǒng)邏輯與數(shù)學的共性，發(fā)現(xiàn)邏輯及其詞項、命題和三段論與代數(shù)中的字母、方程式和變換，具有某種形式上的相似，因此他決心把邏輯表示成一種演算，這種演算研究非數(shù)量的抽象關(guān)系或形式關(guān)系，他曾稱之為普遍數(shù)學.他希望建立一種哲學語言（linguaphilosophica）或普遍語言（characteristicauniversalis）,這種語言不僅有助于思想交流，而且有利于思想本身.萊布尼茨力圖發(fā)明一種對概念進行演算的理論，使得概念也能象數(shù)一樣進行代數(shù)演算.1679年，萊布尼茨開始進行了這方面的研究.他的思想是：每一個簡單的詞項用一個素數(shù)表示，每一個合成詞項用素數(shù)乘積來表示.如用3表示“能思維的”，7表示動物，人是能思維的動物則可用21表示，寫成21=3.7.一個全稱肯定命題，如果主項的數(shù)能被謂項的數(shù)整除，則該命題為真.1686年，萊布尼茨發(fā)展了關(guān)于概念相等和概念包含的理論，其中引入了詞項a,b,c,…，運算符號一（non,表示“非”）.四個關(guān)系利用這種演算，他成功地將亞里士多德的四種類型的一般命題，表示成了符號公式形式，從而使得用符號表示邏輯命題成為可能.他所考慮的方案和表達方式是：萊布尼茨認為，有可能構(gòu)造一種符號系統(tǒng)，這種系統(tǒng)可以作內(nèi)涵的解釋也可以作外延的解釋.1690年他已經(jīng)引入了概念的加、減法，用以表示邏輯概念演算及逆運算.他用表示逆運算，例如A—B=C,當且僅當人=8+（3,且B和C沒有共同的東西.意義.以此為基礎(chǔ)，他建立了一套全新的理論體系.他的體系要點主要是公式及一套關(guān)于詞項、命題的定義與演算規(guī)則，如A=B的定義：詞項是同一的或一致的，就是說它們能在任何地方，以一個代之以另外一個而不改變?nèi)魏蚊}的真值.A=B表示A和B是同一的.這種體系在邏輯上是從未有過的，直到約一個世紀以后才由G?布爾（Boole）重新給出.可惜的是，萊布尼茨沒有發(fā)展和寫出系統(tǒng)的著作，只留下了大批手稿，其中還有許多是斷簡殘篇，但D.希爾伯特（Hilbert）依然說：“數(shù)理邏輯的思想首先是萊布尼茨明顯說出的.”而這種數(shù)理邏輯還僅僅只是萊布尼茨符號語言的一部分.萊布尼茨符號語言的理想是，使一切推理過程、思維過程、爭論過程都像數(shù)學一樣能夠計算，甚至能夠交給機器完成.為此，他做了很多工作.形式邏輯萊布尼茨在形式邏輯方面的主要工作是，關(guān)于判斷的分析理論，在此基礎(chǔ)上的復合概念理論和關(guān)于偶然命題的理論，以及“充足理由律”的提出.他不相信一切論證都可以納入三段論式，因為他了解到條件論證和析取論證不能還原為三段論形式.對于形式證明，他承認經(jīng)院哲學爭論中使用三段論可能墮落為蠢笨迂腐的學究，但他認為不能沒有形式化，否則就會喪失嚴格性.但對亞里士多德的推崇妨礙了他在這方面取得更大的成就.區(qū)分和研究兩類真理：理性的真理（必然性命題）與事實的真理（偶然性命題）是萊布尼茨整個科學思想體系特別是他的哲學認識論的核心內(nèi)容.從邏輯方面他又把必然真理分成原始的真理和推理的真理，并且指出：“推理的真理是必然的，它們的反面是不可能的，事實的真理是偶然的，它們的反面是可能的.”他又認為推理是建立在兩大原則上的：（1）矛盾原則，憑著這個原則，我們判定包含矛盾者為假，與假的相對立和相矛盾者為真；（2）充足理由原則，憑著這個原則，任何一件事如果是真實的或?qū)嵲诘?，任何一個陳述如果是真的，就必須有一個為什么這樣而不那樣的充足理由，也許這些理由常常不知道.因此他在邏輯學中引入了“充足理由律”，使之成為與傳統(tǒng)的同一律、矛盾律、排中律相并列的一條基本思維定律.物理學、力學、光學1671年，萊布尼茨寫下了《物理學新假說》(Hypothesisphysicanoua),其中包括兩個部分：具體運動原理(TheoriamotusConcreti)，是奉獻給倫敦英國皇家學會的；抽象運動原理(TheoriamotusAbstracti)，是奉獻給巴黎科學院的.他的具體原理是試圖從較簡單現(xiàn)象的角度來解釋最重要的復雜現(xiàn)象的一種假說，這種原理建立在以太的相對循環(huán)的基礎(chǔ)上，以太則是通過圍繞地球的最初組成狀態(tài)的物質(zhì)才起作用的.他認為物體的全部內(nèi)聚力依靠構(gòu)成這些物體的微粒的運動，運動的起因是以太微粒的碰撞，它是物體的全部特性的終極原因.萊布尼茨的抽象原理來源于他對連續(xù)體的研究和對運動定律的看法，他認為物質(zhì)的微粒完全處于靜止狀態(tài)時，對一個運動著的物質(zhì)不存在阻力，只有當微粒構(gòu)成部分的內(nèi)在運動時，物體才具有阻力或內(nèi)聚力.他認為，運動著的物體，不論多么微小,它將帶著處于完全靜止狀態(tài)的物體的部分一起運動.他的物理學研究計劃是：根據(jù)一個審慎的計劃和規(guī)模，進行某些實驗，借以在其上建立一個穩(wěn)定的和論證的物理學堡壘.他的最終的奮斗目標是為物理學建立一個類似歐氏幾何的公理系統(tǒng).萊布尼茨在物理學上最重要的工作是對笛卡兒提出的動量守恒原理進行了認真的探討，提出了能量守恒原理的雛型.1686年，萊布尼茨在《教師學報》上發(fā)表了反對笛卡兒關(guān)于力的度量的文章“關(guān)于笛卡兒和其他人在自然定律方面的顯著錯誤的簡短證明"(BreuisdemonstratioerrorismemorabilisCartesiietaliorumcircaLegemnaturae),提出了運動的量的問題，從而開始了與笛卡兒學派關(guān)于運動度量的長期爭論，并發(fā)展成了力學中的兩個派別.萊布尼茨指出，如果只用動量(mv,m為物體質(zhì)量，v為物體運動速度)度量運動，那么“力”(1^2)在自然界不斷增加或減少時，就會導致動量(mv)不守恒，因此他認為動量(mv)不能做為運動的度量單位.他把力分為“死力”和“活力”，“死力”是靜止物體的“壓力”或“拉力”，這種力是外來的，其度量是物體的質(zhì)量和物體由靜止狀態(tài)到運動狀態(tài)時具有的速度的乘積，即動量mv.“活力”(visviva)是內(nèi)在于物體的力，是物體的真運動.在他看來，“活力”應(yīng)該由物體的質(zhì)量和該物體所能上升的高度來測量(mh),按照伽利略落體定律，萊布尼茨成功地計算出高度h與速度v的平方成正比，“活力”保持不變m1v21=m2V22.因此，1695年他正式稱mv2為“活力”(visviva),并以mv2作為運動的度量單位，動能的概念就這樣被引入到物理學中來了.這是他在《教師學報》上發(fā)表的“動力學實例"(Specimendynamium)中提出的，這篇論文是萊布尼茨力學的結(jié)晶，包含了他的大部分研究成果.萊布尼茨第一次認為“活力”mv2是物理學上的終極因，因而可以轉(zhuǎn)化為各種各樣的形式，同時還第一次認為mv2的守恒是一個普遍的物理原理，這樣他就有充分的理由證明“永動機是不可能”這樣的觀點.究竟應(yīng)該以mv2,還是以mv,作為運動的量度，經(jīng)過長達半個世紀的爭論，直到1743年J.R.達朗貝爾(d'Alembert)指出兩者都是正確的，不過各自所著眼的角度不同罷了，爭論才平息.萊布尼茨反對牛頓的絕對時空觀，與牛頓的學生S.克拉克(Clarke)進行了長時期的辯論.在萊布尼茨看來，時空與運動、物質(zhì)是密不可分的，認為“沒有物質(zhì)也就沒有空間，空間本身不是絕對的實在性”，“空間和物質(zhì)的區(qū)別就象時間和運動的區(qū)別一樣.可是這些東西雖有區(qū)別，卻是不可分離的”.這些思想后來引起了人.愛因斯坦(Einstein)等人的關(guān)注.在材料力學方面，萊布尼茨支持馬里奧特關(guān)于梁受力性質(zhì)的思想.1684年，他在“固體受力的新分析證明”(DemonstratonsnovaedeResistentiaSolidorum)一文中指出，纖維是可以延伸的，它們的拉力與伸長成正比.因此，他提出將胡克定律F=-kx應(yīng)用于單根纖維，這一假說后來在材料力學中被稱為馬里奧特?萊布尼茨理論.在光學方面，萊布尼茨利用微積分中的求極值方法，推導出了折射定律：并嘗試用求極值的方法解釋光學基本定律.地質(zhì)學1693年，萊布尼茨在《教師學報》上發(fā)表了一篇論述地球起源的文章，后來擴充為《原始地球》(Protogaea)一書.他認為，地球在早期是一個均勻的、灼熱的熔融球體，形成之后開始逐漸冷卻、收縮.當外表層冷卻到一定程度后，一方面形成了原始的大氣，另一方面形成一種玻璃質(zhì)和熔洼質(zhì)所組成的波質(zhì)地殼，地殼由于收縮而形成褶皺.隨著地球的進一步冷卻，在這些褶皺的地殼上面，周圍的水蒸汽便冷凝成汪洋大海，而由于水蒸汽融解了地殼表面的鹽，因此海水就變咸了.引起這些地質(zhì)大變化的原因，有些是地球內(nèi)部的氣體爆發(fā)使地殼破裂，有些是地球表面洪水泛濫所起的作用.前一種原因的作用結(jié)果形成火成巖，后一種原因的作用結(jié)果產(chǎn)生的是沉積巖層.萊布尼茨進一步認為，在地殼不斷變化，厚度增加的過程中，地表下形成了大量的氣泡和空穴，當這些氣泡和空穴由于重力等的作用而使其頂部發(fā)生坍陷時，地面上的水注入地下洞穴，從而使得原始海洋的水平面降低，因此就出現(xiàn)了山脈，地殼表面上也就有了大陸和海洋之分.同時，地殼表面由于海水的運動就形成了大規(guī)模的洪水，洪水對巖石造成了浸蝕，在沖刷、浸蝕的過程中，使得海水越來越咸，巖石碎片逐漸堆積，形成沉積巖.這種過程在地球的歷史中多次進行，造成了各種沉積巖石和火成巖石交互出現(xiàn)的現(xiàn)象.在每一次大的運動之后，這些作用又達到新的平衡，從而又開始一個新的穩(wěn)定時期.用這種觀點，萊布尼茨成功地解釋了巖石中含有動物遺跡以及含有年代不同的巖石碎塊的沉積物這一現(xiàn)象.對于石煤、合硫物質(zhì)、石油等易燃物質(zhì)，萊布尼茨認為火山爆發(fā)與地震是形成的原因.對于地層中的生物化石，有些甚至在今天的生物界中還沒有找到與這些化石相應(yīng)的生物，他認為，這些化石反映了生物的不斷發(fā)展，這種現(xiàn)象的最終原因是自然界的變化而非偶然的神跡.他的地球成因?qū)W說，尤其是他的宇宙進化和地球演化的思想啟發(fā)YJ.B.拉馬克(Lamarck)、C.賴爾(Lyell)等人，促進了19世紀的地質(zhì)學理論的新進展.其他領(lǐng)域萊布尼茨在化學、生物學、氣象學、心理學等領(lǐng)域也做了重要的工作.在化學方面，1677年，他寫成《磷發(fā)現(xiàn)史》(GeschichtederErfindungderphosphois),對磷元素的性質(zhì)和提取作了論述，促進了磷元素的發(fā)現(xiàn).他還提出了分離化學制品和使水脫鹽的技術(shù).在生物學方面，他從哲學角度提出了有機論方面的多種觀點，認為存在介乎動物、植物之間的生物，水螅蟲的發(fā)現(xiàn)證明了他的觀點.在氣象學方面，他曾親自組織人力進行過大氣壓和天氣狀況的觀察.1696年，萊布尼茨提出了心理學方面的身心平行論(para-llelism).他強調(diào)統(tǒng)覺(apperception)作用，與笛卡兒的交互作用論、B.D.斯賓諾莎(Spinoza)的一元論構(gòu)成當時心理學三大理論.他還提出了下意識理論的初步思想.1691年，他還曾致函D.帕潘(Papin),提出了蒸汽機的基本思想.1700年前后，他最早提出了無液氣壓機原理，其中完全省掉了液柱.萊布尼茨一生中，總是希望在學術(shù)和政治活動的各個領(lǐng)域都出人頭地，他嘔心瀝血地工作和學習，善于吸收別人的思想，無論何時，只要他抓住一個新課題，就查閱所能找到的與此有關(guān)的一切材料，從不囿于傳統(tǒng)的觀念，而是希望產(chǎn)生與他具有的天才相當?shù)膭?chuàng)造性作品.為此，他對于要發(fā)表的作品總是不厭其煩地反復推敲.他善于用訪問和通信的方式與人們討論問題，闡發(fā)自己的觀點，一生中曾與千余人有過書信交往，留下了一萬五千多封信件.與他通信的有各種各樣的人士，既有牛頓、沃利斯、伯努利家族、A.阿爾諾(Arnauld)、N.De馬勒伯朗士(Melebranche)等科學界、哲學界的知名學者，也有歐洲各國的王侯皇妃，距離遠至遠東的中國.信件的內(nèi)容廣泛，涉及歷史學、哲學、語言學、數(shù)學、邏輯學、化學、生物學、物理學、工程技術(shù)等等.這些信件記載著他的思想、見解和各種研究成果，有的信件其實就是學術(shù)論文.他的許多著作生前未發(fā)表，大量的手稿和書信現(xiàn)在還存放在漢諾威圖書館中.有許多學者陸陸續(xù)續(xù)編纂出版過萊布尼茨著作集.第一次世界大戰(zhàn)前，柏林科學院曾計劃編萊布尼茨全集四十卷，這一工作至今仍未能完成.法國科學院則準備在20世紀末編輯出版萊布尼茨全集.萊布尼茨一生涉獵了各個不同的學術(shù)領(lǐng)域，都留下了深深的印記，并且對后世產(chǎn)生了不同程度的影響.他處于文藝復興時期的整體主義和活力論的世界觀與18,19世紀的新原子論和機械論唯物主義的交接時期，他的觀點，對他那個時代來說是激進的，超前的，許多重要思想以后才為人們所接受和重新發(fā)現(xiàn)，他的有些工作和觀點無疑還包含著至今尚未認識到的潛力.正如他自己所說的那樣：“我有非常多的思想，假如別人比我更深入透徹地研究這些思想，并把他們心靈的美好創(chuàng)造同我的勞動結(jié)合起來，那么，這些思想總有一天會有某些用處的.”作為哲學家，他在哲學史上與亞里士多德齊名，他的學說與其弟子C.沃爾夫(Wolf)的理論結(jié)合，所形成的萊布尼茨-沃爾夫體系極大地影響了德國哲學的發(fā)展，尤其是影響了1.康德(Kant)的哲學思想.他開創(chuàng)了德國的自然哲學，以后經(jīng)過沃爾夫、康德、J.W.V.哥德(Goethe),到G.W.F.黑格爾(Hegel)得到了長足的進展.萊布尼茨集科學研究與哲學研究于一身，科學思想與哲學思想相互聯(lián)系和相互促進.例如他的單子論與其數(shù)學研究中的微分概念是相通的，他的單子概念和有機論自然觀現(xiàn)在仍然受到人們的重視.他與英國哲學家J.洛克(Locke)在認識論方面的創(chuàng)造性的辨論以及他的名著《人類理解新論》(NouveauxEssaisSurLEntendementHumain)豐富了哲學認識論，同時也加深了歐洲哲學兩大派一一經(jīng)驗主義與理性主義的對峙，而萊布尼茨則被認為是理性主義的重要代表人物之一.V.L?費爾巴哈(Feuerbach)曾經(jīng)說：“近代哲學領(lǐng)域內(nèi)繼笛卡兒和斯賓諾莎之后，內(nèi)容最為豐富的哲學乃是萊布尼茨.”他的邏輯學思想直接推動了20世紀B.羅素(Russell)等人對數(shù)理邏輯的研究和發(fā)展.作為一位數(shù)學家，萊布尼茨對歐洲大陸數(shù)學的發(fā)展有著直接的重要的影響，突出地表現(xiàn)在歐洲大陸數(shù)學家