電工學(xué)-第3章交流電路

第3章交流電路3.1正弦交流電的基本概念3.2正弦交流電的相量表示法3.3單一參數(shù)交流電路3.4串聯(lián)交流電路3.5并聯(lián)交流電路3.6交流電路的功率

3.7電路的功率因數(shù)

*

3.8電路中的諧振3.9非正弦周期信號(hào)電路下一章上一章返回主頁(yè)13.1正弦交流電的基本概念交流電:

大小和方向都周期性變化、在一個(gè)周期上的函數(shù)平均值為零。正弦交流電:

按正弦規(guī)律變化的交流電。最大值角頻率初相位

i=Imsin(ωt+ψ)ImOiωtψ正弦交流電的三要素瞬時(shí)值最大值角頻率初相位2大連理工大學(xué)電氣工程系正弦交流電的波形:ωti

Oωti

Oψωti

Oωti

Oψ0＜ψ＜180°－180°＜ψ＜0°ψ=0°ψ=±180°3大連理工大學(xué)電氣工程系周期T：變化一周所需要的時(shí)間（s）。頻率f：1s內(nèi)變化的周數(shù)（Hz）。

角頻率ω：

正弦量1s內(nèi)變化的弧度數(shù)。T1f

==2π(rad/s)T一、交流電的周期、頻率、角頻率ω=2πfi2πOωtT4大連理工大學(xué)電氣工程系常見(jiàn)的頻率值有線通信頻率：300~5000Hz；中國(guó)和歐洲國(guó)家50Hz，美國(guó)、日本60Hz各國(guó)電網(wǎng)頻率：高頻加熱設(shè)備頻率：200~300kHz。

無(wú)線通信頻率：30kHz~3×104MHz；5大連理工大學(xué)電氣工程系如果熱效應(yīng)相當(dāng)，Wd=Wa，則I

是

i的有效值。正弦電量的有效值：Wd=RI2TWa=∫Ri2dtT0e、i、uEm、Im、UmE、I、U二、交流電瞬時(shí)值、最大值、有效值I=Im√2U=Um√2E=Em√2瞬時(shí)值最大值有效值IRRi

交流電壓、電流表測(cè)量數(shù)據(jù)為有效值

交流設(shè)備名牌標(biāo)注的電壓、電流均為有效值6大連理工大學(xué)電氣工程系i=10sin（1000t+30°）Au=311sin（314t－60°）V相位:

ωt+ψ初相位:ψi

=30°

,

ψu(yù)

=－60°相位差:

同頻率的正弦電量的初相位之差。

i=100sin（314t+30）A

u=311sin（314t－60）V

=ψu(yù)

－ψi=－60－30=－90相位初相位三、交流電的相位、初相位、相位差7大連理工大學(xué)電氣工程系ωti

Oωti

Oωti

Oωti

O0＜＜180°－180°＜

＜0°

=0°=±180°uuuuu與i同相位u超前于iu滯后于iu與i反相8大連理工大學(xué)電氣工程系ωt

O+1+j

Oψψωωt2ωt1ωt1ωt2(b)正弦交流電(a)旋轉(zhuǎn)矢量3.2正弦交流電的相量表示法+j+1

Oψ正弦交流電可以用一個(gè)固定矢量表示Im最大值相量

I有效值相量

Im

I

i=Imsin(ωt+ψ)9大連理工大學(xué)電氣工程系模輻角代數(shù)式指數(shù)式極坐標(biāo)式三角式O+1+jψba

p=c(cosψ+jsinψ)一、復(fù)數(shù)的表示方法=ce

jψ=cψOp

=a+jb10大連理工大學(xué)電氣工程系二、復(fù)數(shù)的運(yùn)算方法復(fù)數(shù)的運(yùn)算：加、減、乘、除法。加、減法：A1±A2=(a1±a2)+

j(b1±b2)

乘法:

A1A2=c1

c2ψ1＋ψ2設(shè)：

A1=a1＋jb1=c1ψ1A2=a2＋jb2=c2ψ2

≠０=A1A2c1c2ψ1－ψ2除法：11大連理工大學(xué)電氣工程系+1O+jψ1e±j90

=

1±90

=±j由于：－jI=Ie

j90=Iejψ·

ej90=Iej(ψ

90)jI1I

jI1則jI=Iej90=Iejψ

·

ej90=Iej(ψ+

90)12大連理工大學(xué)電氣工程系(2)相量圖[例3.2.1]

已知i1

=20sin(ωt+60o)A，i2

=10sin(ωt－45o)A。兩者相加的總電流為i，即i=i1

+i2。

(1)求i的數(shù)學(xué)表達(dá)式；(2)

畫(huà)出相量圖；(3)

說(shuō)明i的最大值是否等于i1和i2的最大值之和，i的有效值是否等于i1和i2的有效值之和，并說(shuō)明為什么。[解](1)采用相量運(yùn)算I1m=2060AA–45I2m=10Im=I1m+I2mA=19.930.9

i=Imsin(ωt+ψ)=19.9sin(ωt+30.9)A+j+1O60°30.9°45°I1mI2mIm13大連理工大學(xué)電氣工程系(3)因?yàn)閕1

+i2的初相位不同，故最大值和有效值之間不能代數(shù)相加。14大連理工大學(xué)電氣工程系uiRu=i·R=則twsinU2=twsinI2·RitwsinI2=

設(shè)twsinIm=twsinUm=3.3單一參數(shù)交流電路一、純電阻電路15大連理工大學(xué)電氣工程系1.電壓、電流的關(guān)系(1)波形圖(2)

大小關(guān)系U

=

RI

Um

=

RImωtOiuU

=

RI如：U=U

0UI則：I=I

0(3)相量關(guān)系：u=twsinUm=twsinI2·RitwsinI2=twsinIm=16大連理工大學(xué)電氣工程系(2)平均功率(有功功率):=

UI(1－cos2ωt)∫pdtP

=T10T=UI(W)

(1)瞬時(shí)功率

p=ui=Umsinωt

Imsinωt=UmImsin2ωt

2.功率關(guān)系p≥0——耗能元件。p與

u2和

i2成比例。iOωtPp

u17大連理工大學(xué)電氣工程系[例3.3.1]

一只電熨斗的額定電壓UN

=220V，額定功率PN

=500W，把它接到220V的工頻交流電源上工作。求電熨斗這時(shí)的電流和電阻值。如果連續(xù)使用1h，它所消耗的電能是多少？[解]UN500PN220IN

==A=2.27AW=PN

t=（500×1）W·h=0.5kW·hIN220UN2.27R

===96.918大連理工大學(xué)電氣工程系u，i基本關(guān)系式:設(shè)：uiC則：二、純電容電路19大連理工大學(xué)電氣工程系1.電壓、電流的關(guān)系(1)頻率關(guān)系：同頻率的正弦量;(2)大小關(guān)系:ωC1Um=Im(3)相位關(guān)系:ψu(yù)

=

ψi

-90°

1ωC容抗:

XC=U

=jXLIU

=

XC

I(4)相量關(guān)系:(5)

波形圖:ωC1U=I90°wtOui(6)

相量圖:UI0U=U如I=I

90則20大連理工大學(xué)電氣工程系瞬時(shí)功率:

p＞0

電容儲(chǔ)存電場(chǎng)能量(電能→電場(chǎng)能量)

p＜0

電容釋放電場(chǎng)能量(電場(chǎng)能量→電能)Q=UI

=XCI2(3)無(wú)功功率:U2XC=(var)2.功率關(guān)系(2)平均功率(有功功率)P=0p=UIsin2t21大連理工大學(xué)電氣工程系[例3.3.2]

今有一只47F的額定電壓為20V的無(wú)極性電容器，試問(wèn)：(1)能否接到20V的交流電源上工作；(2)將兩只這樣的電容器串聯(lián)后接于工頻20V的交流電源上，電路的電流和無(wú)功功率是多少？(3)將兩只這樣的電容器并聯(lián)后接于1000Hz的交流電源上，電路的電流和無(wú)功功率又是多少？[解]故不可以接到

20V的交流電上?！?U=1.414×20V=28.8VUm=(1)(2)C1C2C1+C2C==23.5FQ=UI=20×0.15var=3var12πfCXC

==135.520U所以:135.5XCI==A=0.15A22大連理工大學(xué)電氣工程系(3)C=C1+

C2=94FQ=UI=10×11.83var=118.3var12

fCXC

==1.69I==AUXC201.69=11.83A23大連理工大學(xué)電氣工程系dtdiLu=u、i

基本關(guān)系式：iuL設(shè)=dtdiLu)90sin(2o+=tLIwwcos2=tLI·ww則)90sin(2o+=tUw三、純電感電路24大連理工大學(xué)電氣工程系(1)頻率關(guān)系:同頻率的正弦量;(2)大小關(guān)系:Um

=ωLIm

U

=ωLI

感抗:

XL=ωL=U/I

U

=XLI(3)

相位關(guān)系:ψu(yù)=

ψi+90°

(4)

相量關(guān)系：1.電壓、電流的關(guān)系U

=jXLI(5)

波形圖:90°ωtOui(6)

相量圖：U=U則：90I=I

0如：IU25大連理工大學(xué)電氣工程系結(jié)論：純電感不消耗能量，只和電源進(jìn)行能量交換（能量的吞吐）。2.功率關(guān)系

(1)瞬時(shí)功率

ωtOiu取用發(fā)出取用發(fā)出p=ui=Umcosωt

Imsinωt=UIsin2ωtpωtO22232322(3)無(wú)功功率=XLU2(var)(2)平均功率(有功功率)

=0∫

pdtT10P=T

=UI=XLI2Q26大連理工大學(xué)電氣工程系[例3.3.3]有一電感器,電阻可忽略不計(jì),電感L=0.2H。把它接到220V工頻交流電源上工作，求電感的電流和無(wú)功功率？若改接到100V的另一交流電源上，測(cè)得電流為0.8A，此電源的頻率是多少？[解](1)接到220V工頻交流電源時(shí)XL

=

2πfL=62.8U22062.8XLI==A=3.5AQ=UI=220×3.5var=770var(2)接到100V交流電源時(shí)XL2

Lf==100Hz100U0.8IXL===12527大連理工大學(xué)電氣工程系一、R、L、C

串聯(lián)電路根據(jù)KVLU=UR

+UL+UC3.4串聯(lián)交流電路=RI+jXLI－jXCI=[R+j

(XL－XC)]Iu=uR+

uL+

uC復(fù)數(shù)阻抗:Z

Z=R+j(XL－XC)=R+jX=√R2+X2

arctan(X/R)uCuL+uRLCi+++uR=[R

+jX

]

I28大連理工大學(xué)電氣工程系0＜＜90°感性電路阻抗角:=arctan(X/R)=ψu(yù)－ψi

阻抗:│Z│=√R2+X2

=U/IuCuL+uRLCi+++uRU=UR+UL+UC電壓三角形I

ULUCUCUUX=UL+UCX│Z│R阻抗三角形UR相量圖:U=│Z│IUR=RIUX=XI=(XLXＣ)I29大連理工大學(xué)電氣工程系

＝0I

URULUCUUCULUCUUX=UL+UCIULUR90＜＜90電路呈阻性電路呈容性30大連理工大學(xué)電氣工程系[例3.4.1]已知U=12V，

R=3，XL

=4。求：1

XC

為何值時(shí)（XC≠0

），開(kāi)關(guān)S閉合前后，電流I的有效值不變。這時(shí)的電流是多少？2

XC

為何值時(shí)，開(kāi)關(guān)S閉合前電流I最大，這時(shí)的電流是多少？[解]1開(kāi)關(guān)閉合前后電流I有效值不變，則開(kāi)關(guān)閉合前后電路的阻抗模相等。R2+XL2R2+(XL

XC)2=故

(XL

–

XC)2=XL2ULUCUR＋＋SRjXLjXCI

U＋

因

XC

≠0，求得XC=2XL=2×4=8|Z|=R2+XL2=32+42=5UI|Z|==2.4A31大連理工大學(xué)電氣工程系2開(kāi)關(guān)閉合前，XL

=

XC時(shí)，|Z|最小，電流最大，故XC=

XL=4|Z|=R=3UI|Z|==4A32大連理工大學(xué)電氣工程系二、阻抗串聯(lián)電路Z=Z1＋Z2

KVL:U=U1＋U2=ZIU=Z1I＋Z2I=(Z1＋Z2)

IIＵ1Ｕ2ＵZ(yǔ)1Z2－＋++=∑Ri＋j∑Xi

Z=∑Z

i=(R1＋R2)＋j(X1＋X2)33大連理工大學(xué)電氣工程系[例3.4.2]有一個(gè)R、C串聯(lián)的負(fù)載，R=6，

C=159F。由工頻的交流電源通過(guò)一段導(dǎo)線向它供電，測(cè)得電流為1.76A。已知輸電線的電阻RW=0.5，電感LW=2mH。試求輸電線上的電壓降、負(fù)載的電壓、電源的電壓，并畫(huà)出相量圖。[解]XLW

=2

fLW

=0.6280I=1.76AZW

=RW+jXLW=0.5+j0.628

=0.851.5UW=ZWI=1.451.5V12πfCXC

==2073.3VUL=ZLI=36.75ZL

=RjXC=6j20

=20.8873.334大連理工大學(xué)電氣工程系U

=ZI=3671.45VZ=ZW

+

ZL=0.5+j0.628+6j20

71.45=20.43ULUWIU71.45°35大連理工大學(xué)電氣工程系3.5并聯(lián)交流電路Z=Z1∥Z2其中：Z1=R1+

j

XLZ2=R2jXCKCL:R1R2+LCUII1I2Z1Z2I=UUZ1Z2+)UZU)U=I=Z21Z11+(I=I1+I236大連理工大學(xué)電氣工程系[例3.5.1]已知交流電路U=220V，R1=20Ω

，R2=40Ω

，XL

=157Ω

，XC

=114，試求電路的總電流。[解]方法1:39.60=0.86A0U=220VA=1.3675.70I2Z2=U=22040+j157AIj114Ωj157Ω+UI2

I1jXCjXLR1R220j114I1Z1=U=220A0=II1+I2=（1.980+1.3675.7）A1.90=80A37大連理工大學(xué)電氣工程系=25539.639.6IZ=U=2550220A=0.8639.6A方法2:20j114+40+j157Z1Z2Z1+Z2Z==（20j114）（40+j157）80=60+j4311616275.738大連理工大學(xué)電氣工程系∫

pdt10TP=Ti=Imsinωt

u=Umsin(ωt+)

p=ui=UmImsin(ωt+)sinωt=UIcos

+U

Icos(2ωt+)=UIcos3.6交流電路的功率IP

=

Icos稱(chēng)為電流的有功分量IZ+－U二、有功功率

IU一、瞬時(shí)功率

IP39大連理工大學(xué)電氣工程系三、無(wú)功功率Q=UIsinIQ=UIsinIQ

——I的無(wú)功分量四、視在功率S

=UI

(V·A)

=√P2+Q2PQS

P

=

Scos

Q

=

Ssin

=Ptan功率三角形IQIU

IP40大連理工大學(xué)電氣工程系

SN

=

UNIN

——

額定容量▲有功功率守恒:

P=∑Pi

=∑Ui

Iicos

i

▲無(wú)功功率守恒:

Q=∑Q

i

=∑Ui

Iisin

i

▲視在功率不守恒:

S≠∑S

i

=∑UiIi

▲額定視在功率

41大連理工大學(xué)電氣工程系[例3.6.1]求電路的總有功功率、無(wú)功功率和視在功率。已知數(shù)據(jù)注明在圖上。P=UIcos=220×0.86×cos(039.6)W=146WQ=UIsin

=220×0.86×sin(039.6)var=121varS=UI=220×0.86V·A=190V·A[解]方法1由總電壓總電流求總功率I39.6A80=A+R1

75.7=1.36AI2

I1jXCjXL20?j114?j157?40?=0.861.900U=220R242大連理工大學(xué)電氣工程系P=P1+P2=U1I1cos

1+U2I2cos

2=190V·A

S=√P2+Q2Q=Q1+Q2=P1tan1+P2tan2=(411+290)var=121var方法2由支路功率求總功率=(72+74)W=146W=｛2201.9cos(080)+220

1.36

cos[0(75.7)]｝W43大連理工大學(xué)電氣工程系由元件功率求總功率P=R1I12+R2I22=(20×1.92+40×1.362)W=146WQ=

XC

I12+XLI22=(114×1.92+157×1.362)var=190V·A

S=√P2+Q2=121var解法344大連理工大學(xué)電氣工程系

一、什么是功率因數(shù)功率因數(shù)功率因數(shù)角純電阻電路的功率因數(shù)為多少？純電感電路的功率因數(shù)為多少？純電容電路的功率因數(shù)為多少？3.7電路的功率因數(shù)有功功率與視在功率的比值

=cosPS45大連理工大學(xué)電氣工程系

純電阻電路RLC串聯(lián)電路純電感電路純電容電路電動(dòng)機(jī)空載滿載

日光燈

二、常用電路的功率因數(shù)cosj=1cosj=0cosj=00＜cosj＜

1cosj=0.2~0.3cosj=0.7~0.9cosj=0.5~0.6

三、功率因數(shù)和電路參數(shù)的關(guān)系RZXLXC=arctanXLXCR（）46大連理工大學(xué)電氣工程系四、功率因數(shù)低的害處1.

降低了供電設(shè)備的利用率

P=SN

cosjSN——供電設(shè)備的容量例如：SN=1000kV·A，cos=0.5時(shí)，輸出P=?cos=0.9時(shí)，輸出P=?2.增加了供電設(shè)備和輸電線路的功率損失

I=P/

(Ucos)當(dāng)P一定時(shí)，cos↓→I↑→功率損失↑而且線路電壓降落↑47大連理工大學(xué)電氣工程系

五、造成功率因數(shù)低的原因(1)大馬拉小車(chē)。(2)電感性負(fù)載比較多，無(wú)功功率多。六、提高功率因數(shù)的辦法并聯(lián)補(bǔ)償電容。C

U＋－ILR48大連理工大學(xué)電氣工程系

U＋－iLRC1IＵＩ1I2I2I2=I1sin1

I

sinωCU=(tan1

tan)PUC=(tan1

tan)PωU2

I1=P

Ucos1

I=P

UcosI2=ωCU49大連理工大學(xué)電氣工程系＊3.8電路中的諧振◆什么叫諧振？

在既有電容又有電感的電路中，當(dāng)電源的頻率和電路的參數(shù)符合一定的條件時(shí)，電路總電壓與總電流的相位相同，整個(gè)電路呈電阻性?！糁C振時(shí)要注意一些什么？

某些物理量會(huì)達(dá)到極大值?！糁C振有幾種？串聯(lián)諧振、并聯(lián)諧振50大連理工大學(xué)電氣工程系1.諧振的條件及諧振頻率

Z=R+j(XL

XC)=R+jX當(dāng)X=0時(shí):Z=R

=0一、串聯(lián)諧振——u與i同相位諧振的條件：

諧振頻率：√LC

1ωn=fn=2√LC1+RLC+++UURULUCIωnC1→ωnL=XL=XC51大連理工大學(xué)電氣工程系電壓諧振2.串聯(lián)諧振的特點(diǎn)(3)UL=UC→電壓諧振(1)Q

=

0→QL=

QC

0λ=cos

=1(2)L和C

串聯(lián)部分相當(dāng)于短路

Z=R=│Z│，最小——電路呈現(xiàn)純電阻特性(4)品質(zhì)因數(shù)

Q

f=ULUUCU=XLI2

RI2

=IURULUC=

U+RLC+++UURULUCI+UX52大連理工大學(xué)電氣工程系[例3.8.1]下圖為收音機(jī)的接收電路，各地電臺(tái)所發(fā)射的無(wú)線電電波在天線線圈中分別產(chǎn)生各自頻率的微弱的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)e1、e2、e3、…調(diào)節(jié)可變電容器，使某一頻率的信號(hào)發(fā)生串聯(lián)諧振，從而使該頻率的電臺(tái)信號(hào)在輸出端產(chǎn)生較大的才輸出電壓，以起到選擇收聽(tīng)該電臺(tái)廣播的目的。今已知L=0.25mH，C在40～350pF之間可調(diào)。求收音機(jī)可收聽(tīng)的頻率范圍。[解]當(dāng)C=40pF時(shí)2√LCf=1=1592kHz=2√0.25×10-3×40×10-121HzRＬCe1e2e3uo+-+-+--+53大連理工大學(xué)電氣工程系所以可收聽(tīng)的頻率范圍是538～1592kHz。2√LCf=1當(dāng)C=350pF時(shí)：=538kHz=2√0.25×10-3×350×10-121Hz54大連理工大學(xué)電氣工程系UIRICIL=

I二、并聯(lián)諧振×+RCLuiiLiXiCiR1.諧振條件

2.諧振頻率√LC

1ωn

=2π√LCf

n=1ωnC1

ωn

L=XL=XC

i

=

iRiX

=055大連理工大學(xué)電氣工程系3.并聯(lián)諧振特點(diǎn)λ=cos

=1(4)品質(zhì)因數(shù)：

Q

f=ILIICI=(2)L和C

并聯(lián)部分相當(dāng)開(kāi)路

Z=R=│Z│，最大

——電路呈現(xiàn)純電阻特性+RCLuiiLiXiCiR(1)Q

=0

QL=

QC

0(3)IL=IC

電流諧振56大連理工大學(xué)電氣工程系[例3.8.2]下圖所示電路中，外加電壓含有800Hz和2000Hz兩種頻率的信號(hào)，現(xiàn)要濾掉2000Hz的信號(hào)，使電阻R上只有800Hz的信號(hào)，若L=12mH，C值應(yīng)是多少？只要使2000

Hz的信號(hào)在LC并聯(lián)電路中產(chǎn)生并聯(lián)諧振，ZLC→∞，該信號(hào)無(wú)法通過(guò)，R上只有800Hz的信號(hào)。=0.53F[解]uRLC4×3.142×20002×12×10-3=1F4π2f2

LC=1n57大連理工大學(xué)電氣工程系3.9非正弦周期信號(hào)電路非正弦周期信號(hào)的分解方法？直流分量、交流分量交流分量——諧波諧波：一次諧波、二次諧波、三次諧波、···高次諧波：三次諧波及三次以上的諧波。非正弦周期信號(hào)有效值的計(jì)算方法？非正弦周期信號(hào)電路的分析方法？58大連理工大學(xué)電氣工程系一、諧波分析的概念諧波分析:對(duì)非正弦周期信號(hào)可以用傅里葉級(jí)數(shù)將它們分解成許多不同頻率的正弦分量的方法。u=U0+U1msin(ωt+ψ1)

+U1msin(ωt+ψ1)

+…=U0+Unmsin(nωt+ψn)基波一次諧波二次諧波U02+U12+

U22+

···U=√I02+I12+

I22+

···I=√非正弦周期信號(hào)的有效值即方均根：59大連理工大學(xué)電氣工程系二、非正弦周期信號(hào)電路當(dāng)作用于電路的電源為非正弦周期信號(hào)電源，或者電路中含有直流電源和若干個(gè)不同頻率的正弦交流電源的線性電路可以采用疊加定理。在計(jì)算過(guò)程中，對(duì)于直流分量，可用直流電路的計(jì)算方法，要注意電容相當(dāng)開(kāi)路，電感相當(dāng)短路。對(duì)于各次諧波分量，可用交流電路的方法，要注意感抗和容抗與頻率的比例關(guān)系。

電路的總有功功率：P0=U0I0+U1I1cos1+U2I2cos2+···60大連理工大學(xué)電氣工程系＋RCLui[例3.9.1]R、L、C并聯(lián)電路，已知i=11sint301sin2t+30A，

=1000rad/s，R=10Ω，C=10F，L=10mH。求電路兩端的電壓u和它的有效值。[解](1)直流分量單獨(dú)作用時(shí)，由于L相當(dāng)于短路，故U0=0(2)基波分量單獨(dú)作用時(shí)11CXC1

==1100