有限元分析的力學基礎

第二章有限元分析的力學基礎

本章主要內容2.1彈性力學同有限元分析的關系2.2彈性體的基本假設2.3彈性力學的基本變量2.4平面問題的基本力學方程2.5空間問題的基本力學方程2.6彈性問題中的能量表達2.7兩大類平面問題本章要點變形體的三大類基本變量變形體的三大類基本方程及兩類邊界條件彈性問題中的能量表示平面應力、平面應變、剛體位移的特征及表達應力及應變的分解2.1彈性力學同有限元分析的關系彈性力學：彈性力學也稱彈性理論，主要研究彈性體在外力作用或溫度變化等外界因素下所產(chǎn)生的應力、應變和位移，從而解決結構或機械設計中所提出的強度和剛度問題。是固體力學的重要分支，它研究彈性物體在外力和其它外界因素作用下產(chǎn)生的變形和內力。研究對象：包括桿狀構件在內的各種形狀的彈性體。彈性力學基本規(guī)律：變形連續(xù)規(guī)律、應力-應變關系和運動(或平衡)規(guī)律，它們有時被稱為彈性力學三大基本規(guī)律。彈性力學中許多定理、公式和結論等，都可以從三大基本規(guī)律推導出來。2.1彈性力學同有限元分析的關系彈性力學同材料力學的比較1、研究內容：基本上沒有什么區(qū)別。彈性力學也是研究彈性體在外力作用下的平衡和運動，以及由此產(chǎn)生的應力和變形。2、研究的對象：材料力學基本上只研究桿、梁、柱、軸等桿狀構件，即長度遠大于寬度和厚度的構件；彈性力學雖然也研究桿狀構件，但還研究材料力學無法研究的板與殼及其它實體結構，即兩個尺寸遠大于第三個尺寸，或三個尺寸相當?shù)臉嫾?.1彈性力學同有限元分析的關系彈性力學同材料力學的比較3、研究的方法：相同點：靜力學、幾何學與物理學三方面進行研究；不同點：材料力學：對構件的整個截面建立分析方程，引用一些截面的變形狀況或應力情況的假設，因而得出的結果往往是近似的，不精確。彈性力學：對構件采用無限小單元體來建立分析方程的，因而無須引用那些假設，分析的方法比較嚴密，得出的結論也比較精確。所以，可以用彈性力學的解答來估計材料力學解答的精確程度，并確定它們的適用范圍。2.1彈性力學同有限元分析的關系

從幾何形狀復雜程度來考慮可以分為：

1）簡單形狀變形體—材料力學

2）任意形狀變形體—彈性力學任意變形體是有限元方法處理的對象，因而，彈性力學中有關變量和方程的描述是有限元方法的重要基礎。

彈性力學的弱點：由于研究對象的變形狀態(tài)較復雜，處理的方法又較嚴謹，因而解算問題時，往往需要冗長的數(shù)學運算。但為了簡化計算，便于數(shù)學處理，它仍然保留了材料力學中關于材料性質的假定。2.2彈性力學中關于材料性質的假定連續(xù)性：亦即物體整個體積內部被組成這種物體的介質填滿，不留任何空隙。這樣，物體內的一些物理量，如應力、應變、位移等等才可以用座標的連續(xù)函數(shù)來表示。完全彈性：亦即當使物體產(chǎn)生變形的外力被除去以后，物體能夠完全恢復原形，而不留任何殘余變形。這樣，當溫度不變時，物體在任一瞬時的形狀完全決定于它在這一瞬時所受的外力，與它過去的受力情況無關。服從虎克定律(應力應變成比例)均勻性：也就是說整個物體是由同一種材料組成的。這樣，整個物體的所有各部分才具有相同的物理性質，因而物體的彈性常數(shù)(彈性模量和泊松系數(shù))才不隨位置座標而變。各向同性：也就是說物體內每一點各個不同方向的物理性質和機械性質都是相同的。物體的變形是微小的：亦即當物體受力以后，整個物體所有各點的位移都遠小于物體的原有尺寸，因而應變和轉角都遠小于1，這樣，在考慮物體變形以后的平衡狀態(tài)時，可以用變形前的尺寸來代替變形后的尺寸，而不致有顯著的誤差；并且，在考慮物體的變形時，應變和轉角的平方項或乘積項都可以略去不計，這就使得彈性力學中的微分方程都成為線性方程。2.2彈性力學中關于材料性質的假定2.3彈性力學基本變量基本變量2.3彈性力學基本變量外力：指其他物體對研究對象（彈性體）的作用力?？梢苑譃轶w積力和表面力

1、表面力：是分布于物體表面的力，如靜水壓力，一物體與另一物體之間的接觸壓力等。2、體力：是分布于物體體積內的外力，如重力、磁力、慣性力等。均為矢量。彈性體受外力以后，其內部將產(chǎn)生應力（內力）2.3彈性力學基本變量內力：應力

--外力(或溫度)的作用

內力

設作用于上的內力為,則內力的平均集度,即平均應力,為/這個極限矢量S,就是物體在截面mn上、P點的應力。應力就是彈性體內某一點作用于某截面單位面積上的內力2.3彈性力學基本變量正應力σ剪應力τ每一個面上的應力分解為一個正應力和兩個剪應力正應力下標表示作用在垂直于軸的面上同時也沿著軸方向作用的剪應力加上兩個角碼，前一個角碼表明作用面垂直于哪一個坐標軸，后一個角碼表明作用方向沿著哪一個坐標軸。2.3彈性力學基本變量正面（外法線是沿著坐標軸的正方向）負面（外法線是沿著坐標軸的負方向）正面上的應力以沿坐標軸正方向為正，沿坐標軸負方向為負負面上的應力以沿坐標軸負方向為正，沿坐標軸正方向為負正應力以拉應力為正，壓應力為負2.3彈性力學基本變量剪應力互等定律：作用在兩個互相垂直的面上并且垂直于該兩面交線的剪應力是互等的。(大小相等，正負號也相同)。因此剪應力記號的兩個角碼可以對調。不同的坐標表示應力張量一點的應力狀態(tài)應變——形狀的改變（形變）——長度的改變和角度的改變

應變和位移

為了分析物體在其某一點P的形變狀態(tài),在這一點沿著坐標軸x,

y,

z

的正方向取三個微小的線段PA,

PB,

PC。

2.3彈性力學基本變量正應變——各線段的每單位長度的伸縮,即單位伸縮或相對伸縮。以伸長為正、縮短為負剪應變——各線段之間的直角的改變,用弧度表示。以直角減小為正、增大為負。2.3彈性力學基本變量位移——就是位置的移動。物體內任意一點的位移,用它在x,y,z三軸上的投影，，來表示以正標向為正。一般而論,彈性體內任意一點的體力分量、面力分量、應力分量、應變分量和位移分量,都是隨著該點的位置而變的,因而都是位置坐標的函數(shù)。

2.3彈性力學基本變量位移與應變的關系2.3彈性力學基本變量應變位移剛體位移位移剛體轉動strain-displacementrelations.（幾何方程柯西方程）應力分量的矩陣表示稱為應力列陣或應力向量。彈性體在載荷作用下，將產(chǎn)生位移和變形，即彈性體位置的移動和形狀的改變。彈性體內任一點的位移可由沿直角坐標軸方向的3個位移分量來表示。它的矩陣形式是：稱作位移列陣或位移向量?；痉匠淌芡獠孔饔玫娜我庑螤钭冃误w，在其微小體元dxdydz中，基于位移、應變和應力這三大類變量，可以建立以下三大類方程平衡方程：外力和內力之間的平衡關系幾何方程：描述的是位移和應變之間關系物理方程：應力和應變之間的關系2.4平面問題的基本力學方程平衡方程：外力和內力之間的平衡關系幾何方程：描述的是位移和應變之間關系物理方程：應力和應變之間的關系邊界條件：平面(二維)平衡方程

平面問題的靜力學平衡,設微小正六面體,在X,Y方向的尺寸dx,dy,Z方向的尺寸取一個單位長度.兩個對面存在微小差量,通過中心點C,平行與Z軸的直線為軸,列出平衡方程上式兩邊除dxdy,可得:剪力互等關系以X軸為投影軸,滿足平衡方程:上式兩邊除dxdy,可得:同理平面(二維)幾何方程經(jīng)過彈性體內任一點P,沿X軸和Y軸的方向取兩個微小長度的線段PA=dx,PB=dy見圖變形協(xié)調條件它的物理意義是：材料在變形過程中應該是整體連續(xù)的，不應該出現(xiàn)“撕裂”和“重疊”現(xiàn)象發(fā)生。寫成矩陣形式為物理方程E稱為楊氏模量反映材料對于拉伸或壓縮變形的抵抗能力。

是泊松系數(shù)，描寫材料橫向收縮或膨脹的特性。線應變（相對伸長或壓縮）

絕對伸長（或壓縮）與原長之比稱為相對伸長（或壓縮）。公式：

其中：設想直桿橫截面是正方形每邊長為,橫向形變后為。橫向形變和縱向形變之比為泊松系數(shù)：

當時，為拉伸形變；時，為壓縮形變，因而，它很好地反映形變程度。如直桿拉伸壓縮時，還產(chǎn)生橫向形變，則對應的應變(或形變)為：按照邊界情況，彈性力學問題一般分為三類：

位移邊界問題：在邊界面上全部給定位移，即全部是Su

邊界

應力邊界問題：在邊界面上全部給定表面力，即全部是應力邊界。這時，外力（包括體力和面力）應是平衡力系。

混合邊界問題：既有Su

邊界，又有應力邊界。二者可以分別在邊界表面不同的區(qū)域上，或同一區(qū)域不同的方向上。邊界條件在上彈性體的位移已知為

即有:

用矩陣形式表示是彈性體V的全部邊界為S,一部分邊界上已知外力稱為力的邊界條件，這部分邊界用表示;另一部分邊界上彈性體的位移已知，稱為幾何邊界條件與位移邊界條件，這部分邊界用表示。這兩部分邊界構成彈性體的全部邊界，即:

幾何邊界條件作用在任意平面上該點的應力分量可以由下式表示為：其中

2.5空間問題的基本力學方程平衡方程：外力和內力之間的平衡關系幾何方程：描述的是位移和應變之間關系物理方程：應力和應變之間的關系邊界條件：

平衡方程X方向負面X方向正面Y方向負面Y方向正面Z方向負面Z方向正面

X方向力平衡化簡得Y方向力平衡化簡得Z方向力平衡化簡得如果這六個量在某點是已知的，就可以求得經(jīng)過該點的任何面上的正應力和剪應力，因此，這六個量可以完全確定該點的應力狀態(tài)，它們就稱為在該點的應力分量。一般說來，彈性體內各點的應力狀態(tài)都不相同，因此，描述彈性體內應力狀態(tài)的上述六個應力分量并不是常量，而是坐標x、y、z的函數(shù)。六個應力分量的總體，可以用一個列矩陣來表示：

幾何方程工程應變寫成矩陣形式為幾何方程可見，當彈性體的位移分量完全確定時，應變分量是完全確定的。反過來，當應變分量完全確定時，位移分量卻不完全確定；這是因為，具有確定形狀的物體，可能發(fā)生不同的剛體位移。為了說明這一點，試命：式中的u0,v0,w0,x,y,z是積分常數(shù)。u0——彈性體沿x方向的剛體移動v0——彈性體沿y方向的剛體移動w0——彈性體沿z方向的剛體移動x——彈性體繞x軸的剛體轉動y——彈性體繞y軸的剛體轉動z——彈性體繞z軸的剛體轉動為了完全確定彈性體的位移，必須有六個適當?shù)募s束條件來確定這六個剛體位移。變形協(xié)調條件當6個應變分量滿足以上應變協(xié)調方程時，就能保證得到單值連續(xù)的位移函數(shù)。當沿x軸方向的兩個對面受有均勻分布的正應力時，在滿足先前假定的材料性質條件下，正應力不會引起角度的任何改變，而其在x方向的單位伸長則可表以方程

彈性體在x方向的伸長還伴隨有側向收縮，即在y和z方向的單位縮短可表示為：方程既可用于簡單拉伸，也可用于簡單壓縮，且在彈性極限之內，兩種情況下的彈性模量和

泊松系數(shù)相同。應力分量與應變分量之間的關系----虎克定律物理方程設圖中的彈性體在各面上都受有均勻分布的正應力，則合成應變的分量可用前面兩式求得。實驗證明，只須將三個應力中的每一應力所引起的應變分量疊加，就得到合成應變的分量。單位伸長與應力之間的關系完全由兩個物理常數(shù)E及μ所確定。兩個常數(shù)也可用來確定剪應力與剪應變之間的關系。公式的適用范圍:

在線彈性范圍內,小變形條件下,各向同性材料。如果彈性體的各面有剪應力作用任何兩坐標軸的夾角的改變僅與平行于這兩軸的剪應力分量有關，即得到：

正應變與剪應變是各自獨立的。因此，由三個正應力分量與三個剪應力分量引起的一般情形的應變，可用疊加法求得；即將六個關系式寫在一起，得彈性方程或物理方程，這種空間狀態(tài)的應力應變關系稱為廣義虎克定律。寫成矩陣形式為

邊界條件XN,YN,ZN分別為作用在某一任意平面上的沿三個坐標軸方向的分量。對于已知應力邊界條件的情況，相應的應力邊界條件為

二維問題：

2個位移分量，3個應力分量，3個應變分量

2個平衡方程，3個幾何方程，3個物理方程三維問題：3個位移分量，6個應力分量，6個應變分量

3個平衡方程，6個幾何方程，6個物理方程我們得到的變量和方程都是從任意變形體中所取出來的微單元體來建立的，因此無論對象的幾何形狀和邊界條件如何不同，其基本變量和基本方程是完全相同，不同之處在于邊界條件，所以求解的難度是如何處理邊界條件（幾何形狀）。2.5彈性問題中的能量表示能量分類1）施加外力在可能位移上所作的功(即外力在彈性變形過程中所做的功)。2）變形體由于變形而存儲的能量(即由于變形而儲存于彈性體內的能量)。主要是研究泛函及其極值的求解方法泛函：就是以函數(shù)為自變量的一類函數(shù)，簡單地講，泛函就是函數(shù)的函數(shù)。彈性力學變分法中所研究的泛函，就是彈性體的能量，如形變勢能、外力勢能等。因此，彈性力學中的變分法又稱為能量法。取位移為基本未知函數(shù)2.5彈性問題中的能量表示2.5.1外力功施加外力在可能位移上所作的功，外力有兩種，包括作用在物體上的面力和體力，這些力被假設為與變形無關的不變力系（保守力），則外力功包括這兩部分力在可能位移上所作的功。2.5彈性問題中的能量表示2.5.2應變能以位移（或應變）為基本變量所表達的變形能叫做應變能（strainenergy）。它也包括兩部分