機(jī)械測試技術(shù)講解第五章

第五章信號分析與處理主要研究內(nèi)容：1.數(shù)字信號處理基本知識2.掌握信號采樣定理3.信號截斷、能量泄露4.掌握信號相關(guān)分析和功率譜分析測試技術(shù)基礎(chǔ)

數(shù)字信號處理

1、數(shù)字信號處理的基本步驟

物理信號x(t)傳感器電信號信號調(diào)理電信號A/D轉(zhuǎn)換數(shù)字信號數(shù)字信號分析儀或計算機(jī)顯示物理信號y(t)傳感器電信號信號調(diào)理電信號A/D轉(zhuǎn)換數(shù)字信號數(shù)字信號處理

信號的預(yù)處理是把信號變成適于數(shù)字處理的形式，以減輕數(shù)字處理的困難。預(yù)處理包括：1)電壓幅值調(diào)理，以便適宜于采樣;2)必要的濾波，以提高信噪比，并濾去信號中高頻噪聲;3)隔離信號中的直流分量(如果所測信號中不應(yīng)有直流分量)4)如原信號經(jīng)過調(diào)制，則應(yīng)先行解調(diào)。a、模數(shù)轉(zhuǎn)換是模擬信號經(jīng)采樣量化并轉(zhuǎn)化為二進(jìn)制過程。計算機(jī)只能處理有限長度的數(shù)據(jù)，所以首先要把長時間的序列截斷。b、對數(shù)據(jù)中的奇異點(diǎn)(由于強(qiáng)干擾或信號丟失引起的數(shù)據(jù)突變)應(yīng)予以剔除。c、對溫漂、時漂等系統(tǒng)性干擾所引起的趨勢項(xiàng)(周期大于記錄長度的頻率成分)也應(yīng)予以分離。還可以設(shè)計專門的程序來進(jìn)行數(shù)字濾波，然后把數(shù)據(jù)按給定的程序進(jìn)行運(yùn)算，完成各種分析。數(shù)字信號處理

2、采樣、混疊和采樣定理

1）信號采樣時域采樣過程是將采樣脈沖序列g(shù)(t)與信號x(t)相乘來．?dāng)?shù)字信號處理

1）信號采樣時域采樣過程是將采樣脈沖序列g(shù)(t)與信號x(t)相乘來．?dāng)?shù)字信號處理

2）頻混現(xiàn)象

數(shù)字信號處理

頻域解釋（混疊）時域解釋（頻混）3）采樣(香農(nóng)）定理

為保證采樣后信號能真實(shí)地保留原始模擬信號信息，信號采樣頻率必須至少為原信號中最高頻率成分的2倍。這是采樣的基本法則，稱為采樣定理。fs＞2fmax

工程實(shí)際中采樣頻率通常大于信號中最高頻率成分的3到4倍。在對信號進(jìn)行采樣時，滿足了采樣定理，只能保證不發(fā)生頻率混疊，只能保證對信號的頻譜作逆傅立葉變換時，可以完全變換為原時域采樣信號xs(t)，而不能保證此時的采樣信號能真實(shí)地反映原信號x(t)。數(shù)字信號處理

數(shù)字信號處理

頻域采樣

4、柵欄效應(yīng)

對一函數(shù)實(shí)行采樣，實(shí)質(zhì)上就是“摘取”采樣點(diǎn)上對應(yīng)的函數(shù)值。其效果有如透過柵欄的縫隙觀看外景一樣，只有落在縫隙前的少數(shù)景象被看到，其余景象都被柵欄擋住，視為零。這種現(xiàn)象被稱為柵欄效應(yīng)。不管是時域采樣還是頻域采樣，都有相應(yīng)的柵欄效應(yīng)。只不過時域采樣如滿足采樣定理要求，柵欄效應(yīng)不會有什么影響。而頻域采樣的柵欄效應(yīng)則影響頗大，“擋住”或丟失的頻率成分有可能是重要的或具有特征的成分，以致于整個處理失去意義。5、頻率分辨率、整周期截斷頻率采樣間隔△f也是頻率分辨率指標(biāo)。此間隔越小，頻率分辨率越高，被“擋住”的頻率成分越少。前面曾經(jīng)指出，在利用DFT將有限時間序列變換成相應(yīng)的頻譜序列的情況下，△f和分析的時間信號長度了的關(guān)系是△f=fs／N=1／T

數(shù)字信號處理

根據(jù)采樣定理，若信號的最高頻率為fh，最低采樣頻率fs。應(yīng)大于2fh。在f。選定后，要提高頻率分辨率就必須增加數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)N，從而急劇地增加了計算工作量。解決此矛盾有兩條途徑。1、在DFT的基礎(chǔ)上，采用“頻率細(xì)化技術(shù)(ZOOM)”，其基本思路是在處理過程中只提高感興趣的局部頻段中的頻率分辨率。2、另一條途徑則是改用其他把時域序列變換成頻譜序列的方法。只有截取的信號長度T正好等于信號周期的整數(shù)倍時，才可能使分析譜線落在簡諧信號的頻率上，從而獲得準(zhǔn)確的頻譜。顯然，這個結(jié)論適用于所有周期信號。因此，對周期信號實(shí)行整周期截斷是獲得準(zhǔn)確頻譜的先決條件。若事先按整周期截斷信號，則延拓后的信號將和原信號完全重合，無任何畸變。數(shù)字信號處理

3、量化和量化誤差A(yù)/D轉(zhuǎn)換過程量化――把采樣信號x(nTs)經(jīng)過舍入變?yōu)橹挥杏邢迋€有效數(shù)字的數(shù)，這一過程稱為量化．?dāng)?shù)字信號處理

量化誤差：模擬信號采樣后的電壓幅值變成為離散的二進(jìn)制數(shù)碼時，舍入到相近的一個量化電平上引起的隨機(jī)誤差。數(shù)字信號處理

量化誤差實(shí)驗(yàn)：

數(shù)字信號處理

4、信號的截斷、能量泄漏

和窗函數(shù)

為便于數(shù)學(xué)處理，通常對截斷的信號做周期延拓，得到虛擬的無限長的信號。

不可能對時間歷程無限的信號進(jìn)行處理，因而取其有限的時間片段進(jìn)行分析，這個截取過程成為信號的截斷。（將無限長的信號乘以有限寬的窗函數(shù)）

數(shù)字信號處理

周期延拓后的信號與真實(shí)信號是不同的。

設(shè)有余弦信號x(t),用矩形窗函數(shù)w(t)與其相乘，得到截斷信號:y(t)=x(t)w(t)將截斷信號譜XT(ω)與原始信號譜X(ω)相比較可知，它已不是原來的兩條譜線，而是兩段振蕩的連續(xù)譜.原來集中在f0處的能量被分散到兩個較寬的頻帶中去了，這種現(xiàn)象稱之為頻譜能量泄漏。數(shù)字信號處理

能量泄漏分主瓣泄漏和旁瓣泄漏，主瓣泄漏可以減小因柵欄效應(yīng)帶來的譜峰幅值估計誤差，有其好的一面，而旁瓣泄漏則是完全有害的。數(shù)字信號處理

常用的窗函數(shù)

1）矩形窗2）三角窗數(shù)字信號處理

3）漢寧窗常用窗函數(shù)數(shù)字信號處理

能量泄漏實(shí)驗(yàn)：

數(shù)字信號處理

相關(guān)分析及應(yīng)用

1相關(guān)的概念相關(guān)指變量之間的線性關(guān)系，變量x，y之間的相關(guān)程度常用相關(guān)系數(shù)來描述。

xyxyxyxy例如，玻璃管溫度計液面高度(Y)與環(huán)境溫度(x)的關(guān)系就是近似理想的線形相關(guān)，在兩個變量相關(guān)的情況下，可以用其中一個可以測量的量的變化來表示另一個量的變化。

相關(guān)分析及應(yīng)用

2相關(guān)系數(shù)如果所研究的變量x,y是與時間有關(guān)的函數(shù)，即x(t)與y(t)，這時引入一個與時間位移τ有關(guān)的量，稱為函數(shù)的相關(guān)系數(shù)：分子是時移τ的函數(shù)，反映了二個信號在時移中的相關(guān)性，稱為相關(guān)函數(shù)。（變量不同時刻乘積的平均）相關(guān)分析及應(yīng)用

計算時，令x(t)、y(t)二個信號之間產(chǎn)生時差τ，再相乘和積分，就可以得到τ時刻二個信號的相關(guān)性。

相關(guān)分析及應(yīng)用

x(t)y(t)時延器

乘法器

y(t-τ)X(t)y(t-τ)積分器

Rxy(τ)*圖例相關(guān)分析及應(yīng)用

3自相關(guān)分析如y(t)=x(t),可得自相關(guān)系數(shù)，并有：定義自相關(guān)函數(shù)相關(guān)分析及應(yīng)用

可得自相關(guān)系數(shù)自相關(guān)函數(shù)取值范圍相關(guān)分析及應(yīng)用

當(dāng)τ=0x(t)在同一時刻的記錄樣本完全成線性x(t)與x(t＋∞）彼此無關(guān)相關(guān)分析及應(yīng)用

自相關(guān)函數(shù)是偶函數(shù)相關(guān)分析及應(yīng)用

相關(guān)分析及應(yīng)用

保留幅值和頻率信息，丟失初始相位信息相關(guān)分析及應(yīng)用

下圖是某一機(jī)械加工表面粗糙度的波形，經(jīng)自相關(guān)分析后所得到的自相關(guān)圖呈現(xiàn)出周期性。這表明造成表面粗糙度的原因中包含有某種周期因素。從自相關(guān)圖能確定該周期因素的頻率，從而可以進(jìn)一步分析其原因相關(guān)分析及應(yīng)用

案例：自相關(guān)分析測量轉(zhuǎn)速理想信號干擾信號實(shí)測信號自相關(guān)系數(shù)提取周期性轉(zhuǎn)速成分。自相關(guān)分析的主要應(yīng)用：用來檢測混肴在干擾信號中的確定性周期信號成分。4互相關(guān)分析對x(t)和y(t)兩個不同信號：定義互相關(guān)函數(shù)互相關(guān)系數(shù)相關(guān)分析及應(yīng)用

可得相關(guān)函數(shù)互相關(guān)函數(shù)取值范圍相關(guān)分析及應(yīng)用

互相關(guān)函數(shù)非奇非偶相關(guān)分析及應(yīng)用

不同頻率不相關(guān)正余弦函數(shù)正交性相關(guān)分析及應(yīng)用

同頻率相關(guān)，不同頻率不相關(guān)相關(guān)分析及應(yīng)用

互相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)峰值點(diǎn)相關(guān)分析及應(yīng)用

相關(guān)分析及應(yīng)用

案例：熱軋鋼帶運(yùn)動速度的探測

案例：地下輸油管道漏損位置的探測

相關(guān)分析及應(yīng)用

相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)

（1）自相關(guān)函數(shù)是的偶函數(shù)，RX()=Rx(-)；（2）當(dāng)=0時，自相關(guān)函數(shù)具有最大值。（3）周期信號的自相關(guān)函數(shù)仍然是同頻率的周期信號，但不保留原信號的相位信息。（4）兩周期信號的互相關(guān)函數(shù)仍然是同頻率的周期信號，且保留原了信號的相位信息。（5）兩個非同頻率的周期信號互不相關(guān)。（6）隨機(jī)信號的自相關(guān)函數(shù)將隨的增大快速衰減。相關(guān)分析及應(yīng)用

傳輸通路分析相關(guān)分析及應(yīng)用

相關(guān)分析的工程應(yīng)用

功率譜分析及應(yīng)用1、自譜定義功率譜分析及應(yīng)用物理意義功率譜分析及應(yīng)用物理意義功率譜分析及應(yīng)用物理意義功率譜分析及應(yīng)用功率譜分析及應(yīng)用線性系統(tǒng)輸入輸出有輸入、輸出的自譜存在如下自譜分析可得系統(tǒng)幅頻特性，缺相頻特性功率譜分析及應(yīng)用自相關(guān)分析可以有效地檢測出信號中有無周期成分。自功率譜密度也能用來檢測信號中的周期成分。

周期信號的頻譜是脈沖函數(shù)，在某特定頻率上的能量是無限的。但是在實(shí)際處理時，用矩形窗函數(shù)對信號進(jìn)行截斷，這相當(dāng)于在頻域用矩形窗函數(shù)的頻譜sinc函數(shù)和周期信號的頻譜函數(shù)實(shí)行卷積，因此截斷后的周期函數(shù)的頻譜已不再是脈沖函數(shù)，原來為無限大的譜線高度變成有限長，譜線寬度由無限小變成有一定寬度。所以周期成分在實(shí)測的功率譜密度圖形中以陡峭有限峰值的形態(tài)出現(xiàn)。自功率譜密度的應(yīng)用功率譜分析及應(yīng)用2、互譜定義功率譜分析及應(yīng)用線性系統(tǒng)輸入輸出有輸入自譜與輸入、輸出的互譜的存在如下互譜分析可得系統(tǒng)幅頻特性，相頻特性功率譜分析及應(yīng)用功率譜應(yīng)用互譜排噪功率譜分析及應(yīng)用功率譜分析及應(yīng)用

為了測試系統(tǒng)的動特性，有時人們故意給正在運(yùn)行的系統(tǒng)以特定的已知擾動—輸人z(t)。從式可以看出，只要z(t)和其他各輸入量無關(guān)，在測量Sxy(f)和Sz(f)后就可以計算得到H(f)。這種在被測系統(tǒng)正常運(yùn)行的同時對它進(jìn)行測試，稱為“在線測試”。3、相干函數(shù)

評測輸入、輸出信號間的因果性，即輸出信號的功率譜中有多少是所測試輸入量引起的響應(yīng)。功率譜分析及應(yīng)用測試中有外界干擾輸出y(t)是輸入x(t)和其它輸入的綜合輸出聯(lián)系x(t)與y(t)的系統(tǒng)是非線性的功率譜分析及應(yīng)用船用柴油機(jī)潤滑油泵壓油管振動和壓力脈動間的相干分析油壓脈動自譜油管振動自譜功率譜分析及應(yīng)用離散傅里葉變換DFT變換的實(shí)質(zhì)：有限長序列的傅里葉變換的有限點(diǎn)離散采樣(時域和頻域都是離散化的有限點(diǎn)長的序列)。DFT變換的意義：開辟了頻域離散化的道路，使數(shù)字信號處理可以在頻域中進(jìn)行處理，增加了數(shù)字信號處理的靈活性。DFT具有多種快速算法(FFT)，實(shí)現(xiàn)了信號的實(shí)時處理和設(shè)備的簡化。DFT是信號處理的橋梁DFT要解決兩個問題： 一是離散化(有利于計算機(jī)處理)， 二是快速運(yùn)算(提高實(shí)時性)。信號處理DFT(FFT)傅氏變換離散化離散傅里葉變換離散傅里葉變換的定義

3.1.1DFT的定義設(shè)x(n)是一個長度為M的有限長序列，則定義x(n)的N點(diǎn)離散傅里葉變換(DFT)為式中，N稱為DFT變換區(qū)間長度N≥M。

離散傅里葉變換X(k)的離散傅里葉逆變換(IDFT)為通常稱為離散傅里葉變換對。離散傅里葉變換

例3.1.1x(n)=R4(n)，求x(n)的8點(diǎn)和16點(diǎn)DFT(1)設(shè)變換區(qū)間N=8，則離散傅里葉變換(2)設(shè)變換區(qū)間N=16，則離散傅里葉變換離散傅里葉變換快速傅氏變換（FFT）是離散傅氏變換的快速算法，它是根據(jù)離散傅氏變換的奇、偶、虛、實(shí)等特性，對離散傅立葉變換的算法進(jìn)行改進(jìn)獲得的。它對傅氏變換的理論并沒有新的發(fā)現(xiàn)，但是對于在計算機(jī)系統(tǒng)或者說數(shù)字系統(tǒng)中應(yīng)用離散傅立葉變換，可以說是進(jìn)了一大步。快速離散傅里葉變換設(shè)x(n)為N項(xiàng)的復(fù)數(shù)序列，由DFT變換，任一X（m）的計算都需要N次復(fù)數(shù)乘法和N-1次復(fù)數(shù)加法，而一次復(fù)數(shù)乘法等于四次實(shí)數(shù)乘法和兩次實(shí)數(shù)加法，一次復(fù)數(shù)加法等于兩次實(shí)數(shù)加法，即使把一次復(fù)數(shù)乘法和一次復(fù)數(shù)加法定義成一次“運(yùn)算”（四次實(shí)數(shù)乘法和四次實(shí)數(shù)加法），那么求出N項(xiàng)復(fù)數(shù)序列的X（m）,即N點(diǎn)DFT變換大約就需要N2次運(yùn)算。當(dāng)N=1024點(diǎn)甚至更多的時候，需要N2=1048576次運(yùn)算。快速離散傅里葉變換在FFT中，利用的周期性和對稱性，把一個N項(xiàng)序列（設(shè)N=2k,k為正整數(shù)），分為兩個N/2項(xiàng)的子序列，每個N/2點(diǎn)DFT變換需要（N/2）2次運(yùn)算，再用N次運(yùn)算把兩個N/2點(diǎn)的DFT變換組合成一個N點(diǎn)的DFT變換。這樣變換以后，總的運(yùn)算次數(shù)就變成N+2（N/2）2=N+N2/2。繼續(xù)上面的例子，N=1024時，總的運(yùn)算次數(shù)就變成了525312次，節(jié)省了大約50%的運(yùn)算量。而如果我們將這種“一分為二”的思想不斷進(jìn)行下去，直到分成兩兩一組的DFT運(yùn)算單元，那么N點(diǎn)的DFT變換就只需要Nlog2N次的運(yùn)算，N在1024點(diǎn)時，運(yùn)算量僅有10240次，是先前的直接算法的1%，點(diǎn)數(shù)越多，運(yùn)算量的節(jié)約就越大，這就是FFT優(yōu)越性。

快速離散傅里葉變換Fourier變換的不足：對處理非線性問題力不從心。不能表征隨時間變化的頻率。變換在無限的時域上進(jìn)行。不具有靈活可變的時間_頻率窗。短時傅里葉變換基本原理：通過將信號截斷來表征信號的時變頻譜現(xiàn)象。截斷函數(shù)（窗函數(shù)）會擾亂信號的特性。短時傅里葉變換短時Fourier變換示意圖短時傅里葉變換數(shù)學(xué)描述：短時傅里葉變換頻譜圖短時傅里葉變換窗函數(shù)對信號的干擾窗函數(shù)的時寬不能太小窗函數(shù)的優(yōu)化與選取總能量短時傅里葉變換（能量守恒定理）若窗函數(shù)的能量為1，則短時傅立葉變換后的能量不變。例：線性調(diào)頻、二次調(diào)頻和高斯調(diào)制函數(shù)的短時傅立葉變換時域形式短時傅立葉變換的時頻形式短時傅立葉變換的時頻相位短時傅里葉變換離散短時傅立葉變換：用離散傅立葉變換（DFT)一樣的方法。可以研究離散短時傅立葉變換。離散短時傅里葉變換WaveletTransform

小波分析是近十幾年才發(fā)展起來并迅速應(yīng)用到圖像處理和語音分析等眾多領(lǐng)域的一種數(shù)學(xué)工具。它是繼110多年前的傅立葉(JosephFourier)分析之后的一個重大突破，無論是對古老的自然學(xué)科還是對新興的高新技術(shù)應(yīng)用學(xué)科都產(chǎn)生了強(qiáng)烈沖擊。小波理論是應(yīng)用數(shù)學(xué)的一個新領(lǐng)域。要深入理解小波理論需要用到比較多的數(shù)學(xué)知識。本教學(xué)提綱企圖從工程應(yīng)用角度出發(fā)，用比較直觀的方法來介紹小波變換和它的應(yīng)用，為讀者深入研究小波理論和應(yīng)用提供一些背景材料小波變換部分小波波形小波變換Waveletsareaclassofafunctionsusedtolocalizeagivenfunctioninbothspaceandscaling.Afamilyofwaveletscanbeconstructedfromafunction,sometimesknownasa"motherwavelet,"whichisconfinedinafiniteinterval."Daughterwavelets"arethenformedbytranslation(b)andcontraction(a).Waveletsareespeciallyusefulforcompressingimagedata,sinceawavelettransformhaspropertieswhichareinsomewayssuperiortoaconventionalFouriertransform.小波變換Anindividualwaveletcanbedefinedby

andCalderón'sformulagivesThenAcommontypeofwaveletisdefinedusingHaarfunctions.小波變換傅立葉理論指出，一個信號可表示成一系列正弦和余弦函數(shù)之和，叫做傅立葉展開式。用傅立葉表示一個信號時，只有頻率分辨率而沒有時間分辨率，這就意味我們可以確定信號中包含的所有頻率，但不能確定具有這些頻率的信號出現(xiàn)在什么時候。為了繼承傅立葉分析的優(yōu)點(diǎn)，同時又克服它的缺點(diǎn)，人們一直在尋找新的方法。小波變換傅立葉變換的定義：Amathematicaldescriptionoftherelationshipbetweenfunctionsoftimeandcorrespondingfunctionsoffrequency;amapforconvertingfromonedomaintotheother.Forexample,ifwehaveasignalthatisafunctionoftime--animpulseresponse--thentheFourierTransformwillconvertthattimedomaindataintofrequencydata,forexample,afrequencyresponse.(/glossary.htm)小波變換哈爾(AlfredHaar)對在函數(shù)空間中尋找一個與傅立葉類似的基非常感興趣。1909年他發(fā)現(xiàn)了小波，1910年被命名為Haarwavelets他最早發(fā)現(xiàn)和使用了小波。小波變換20世紀(jì)40年代Gabor開發(fā)了STFT(shorttimeFouriertransform)STFT的時間-頻率關(guān)系圖小波變換CWT(continuouswavelettransform)20世紀(jì)70年代，當(dāng)時在法國石油公司工作的年輕的地球物理學(xué)家JeanMorlet提出了小波變換WT(wavelettransform)的概念。20世紀(jì)80年代,從STFT開發(fā)了CWT：小波變換Definition-BasisFunctions:asetoflinearlyindependentfunctionsthatcanbeused(e.g.,asaweightedsum)toconstructanygivensignal.where:a=scalevariable－縮放因子k=timeshift－時間平移h*=waveletfunction－小波函數(shù)用y=scaled(dilated)andshifted(translated)Motherwaveletfunction,在CWT中，scale和position是連續(xù)變化的小波變換縮放(scaled)的概念例1：正弦波的算法小波變換例2：小波的縮放小波變換平移(translation)的概念小波變換CWT的變換過程可分成如下5個步驟步驟1:把小波和原始信號的開始部分進(jìn)行比較；步驟2:計算系數(shù)c。該系數(shù)表示該部分信號與小波的近似程度。系數(shù)c的值越高表示信號與小波越相似，因此系數(shù)c可以反映這種波形的相關(guān)程度；步驟3:把小波向右移，得到的小波函數(shù)，然后重復(fù)步驟1和2。再把小波向右移，得到小波，重復(fù)步驟1和2。按上述步驟一直進(jìn)行下去，直到信號結(jié)束；步驟4:擴(kuò)展小波，例如擴(kuò)展一倍，得到小波函數(shù)；步驟5:重復(fù)步驟1-4。小波變換(a)二維圖小波變換(b)三維圖連續(xù)小波變換分析圖小波變換(6)三種變換的比較小波變換SBC(subbandcoding)的基本概念：

把信號的頻率分成幾個子帶，然后對每個子帶分別進(jìn)行編碼，并根據(jù)每個子帶的重要性分配不同的位數(shù)來表示數(shù)據(jù)20世紀(jì)70年代，子帶編碼開始用在語音編碼上20世紀(jì)80年代中期開始在圖像編碼中使用1986年Woods,J.W.等人曾經(jīng)使用一維正交鏡像濾波器組(quadraturemirrorfilterbanks，QMF)把信號的頻帶分解成4個相等的子帶小波變換圖(a)正交鏡像濾波器(QMF)

小波變換圖中的符號表示頻帶降低1/2，HH表示頻率最高的子帶，LL表示頻率最低的子帶。這個過程可以重復(fù)，直到符合應(yīng)用要求為止。這樣的濾波器組稱為分解濾波器樹(decompositionfiltertrees)圖(b)表示其相應(yīng)的頻譜小波變換Mallat,Meyer等人提出multiresolutiontheory法國科學(xué)家Y.Meyer創(chuàng)造性地構(gòu)造出具有一定衰減性的光滑函數(shù)，他用縮放(dilations)與平移(translations)均為2的j次冪的倍數(shù)構(gòu)造了平方可積的實(shí)空間L2(R)的規(guī)范正交基，使小波得到真正的發(fā)展小波變換的主要算法由法國的科學(xué)家StephaneMallat提出S.Mallat于1988年在構(gòu)造正交小波基時提出了多分辨率分析(multiresolutionanalysis)的概念,從空間上形象地說明了小波的多分辨率的特性提出了正交小波的構(gòu)造方法和快速算法，叫做Mallat算法。該算法統(tǒng)一了在此之前構(gòu)造正交小波基的所有方法，它的地位相當(dāng)于快速傅立葉變換在經(jīng)典傅立葉分析中的地位。小波變換小波分解得到的圖像小波變換3.離散小波變換在計算連續(xù)小波變換時，實(shí)際上也是用離散的數(shù)據(jù)進(jìn)行計算的，只是所用的縮放因子和平移參數(shù)比較小而已。不難想象，連續(xù)小波變換的計算量是驚人的。為了解決計算量的問題，縮放因子和平移參數(shù)都選擇(j.>0的整數(shù))的倍數(shù)。使用這樣的縮放因子和平移參數(shù)的小波變換叫做雙尺度小波變換(dyadicwavelettransform)，它是離散小波變換(discretewavelettransform，DWT)的一種形式。小波變換使用離散小波分析得到的小波系數(shù)、縮放因子和時間關(guān)系如圖所示。圖(a)是20世紀(jì)40年代使用Gabor開發(fā)的短時傅立葉變換(shorttimeFouriertransform，STFT)得到的時間-頻率關(guān)系圖圖(b)是20世紀(jì)80年代使用Morlet開發(fā)的小波變換得到的時間-縮放因子(反映頻率)關(guān)系圖。小波變換離散小波變換分析圖小波變換DWT變換方法執(zhí)行離散小波變換的有效方法是使用濾波器該方法是Mallat在1988年開發(fā)的，叫做Mallat算法這種方法實(shí)際上是一種信號的分解方法，在數(shù)字信號處理中稱為雙通道子帶編碼用濾波器執(zhí)行離散小波變換的概念如圖所示S表示原始的輸入信號，通過兩個互補(bǔ)的濾波器產(chǎn)生A和D兩個信號A表示信號的近似值(approximations)D表示信號的細(xì)節(jié)值(detail)小波變換在許多應(yīng)用中，信號的低頻部分是最重要的，而高頻部分起一個“添加劑”的作用。猶如聲音那樣，把高頻分量去掉之后，聽起來聲音確實(shí)是變了，但還能夠聽清楚說的是什么內(nèi)容。相反，如果把低頻部分去掉，聽起來就莫名其妙。在小波分析中，近似值是大的縮放因子產(chǎn)生的系數(shù)，表示信號的低頻分量。而細(xì)節(jié)值是小的縮放因子產(chǎn)生的系數(shù)，表示信號的高頻分量。雙通道濾波過程小波變換離散小波變換可以被表示成由低通濾波器和高通濾波器組成的一棵樹原始信號通過這樣的一對濾波器進(jìn)行的分解叫做一級分解信號的分解過程可以疊代，也就是說可進(jìn)行多級分解。如果對信號的高頻分量不再分解，而對低頻分量連續(xù)進(jìn)行分解，就得到許多分辨率較低的低頻分量，形成如圖所示的一棵比較大的樹。這種樹叫做小波分解樹(waveletdecompositiontree)分解級數(shù)的多少取決于要被分析的數(shù)據(jù)和用戶的需要小波分解樹小波變換(a)信號分解(b)系數(shù)結(jié)構(gòu)(c)小波分解樹小波分解樹小波變換小波包分解樹

小波分解樹表示只對信號的低頻分量進(jìn)行連續(xù)分解。如果不僅對信號的低頻分量連續(xù)進(jìn)行分解，而且對高頻分量也進(jìn)行連續(xù)分解，這樣不僅可得到許多分辨率較低的低頻分量，而且也可得到許多分辨率較低的高頻分量。這樣分解得到的樹叫做小波包分解樹(waveletpacketde