V4第二章-穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)-2014

1第二章穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)22-1導(dǎo)熱基本定律—傅里葉定律(1)溫度場：某時刻空間所有各點溫度分布的總稱溫度場是時間和空間的函數(shù)，即：三維非穩(wěn)態(tài)溫度場：三維穩(wěn)態(tài)溫度場：一維穩(wěn)態(tài)溫度場：二維穩(wěn)態(tài)溫度場：一、幾個基本概念穩(wěn)態(tài)溫度場非穩(wěn)態(tài)溫度場3高爐鑄鋼冷卻壁熱面溫度場4（2）等溫面：同一時刻、溫度場中所有溫度相同的點構(gòu)成的面(3)

等溫線：用一個平面與各等溫面相交，在這個平面上得到等溫線簇，又稱溫度等值線。5(4)等溫面和等溫線的特點：

a溫度不同的等溫面或等溫線彼此不能相交。

b在連續(xù)的溫度場中，等溫面或等溫線不會中斷，它們或者是物體中完全封閉的曲面（曲線），或者就終止與物體的邊界上。

c熱流總是垂直等溫線或等溫面?zhèn)鬟f的。一維穩(wěn)態(tài)溫度場：溫度梯度是向量；指向溫度增加方向（5）溫度梯度：沿等溫面法線方向上的溫度增量與法向距離比值的極限。6二、導(dǎo)熱的基本定律1、Fourier定律

傅里葉定律表明,導(dǎo)熱熱流密度的大小與溫度梯度的絕對值成正比，其方向與溫度梯度的方向相反。

對于各向同性物體對于一維平壁穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱常物性傅里葉定律揭示了連續(xù)溫度場內(nèi)熱流密度與溫度梯度關(guān)系。對于一維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題可直接利用傅里葉定律積分求解,求出導(dǎo)熱熱流量。7*2.傅里葉定律的適用條件：

（1）傅里葉定律只適用于各向同性物體。對于各向異性物體，熱流密度矢量的方向不僅與溫度梯度有關(guān),還與熱導(dǎo)率的方向性有關(guān),因此熱流密度矢量與溫度梯度不一定在同一條直線上。（2）傅里葉定律適用于工程技術(shù)中的一般穩(wěn)態(tài)和非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題，對于極低溫（接近于0K）的導(dǎo)熱問題和極短時間產(chǎn)生極大熱流密度的瞬態(tài)導(dǎo)熱過程,如大功率、短脈沖(脈沖寬度可達10-12～10-15s)激光瞬態(tài)加熱等,傅里葉定律不再適用。xyqxqyqnxy8(1)物理意義：熱導(dǎo)率的數(shù)值就是物體中單位溫度梯度、單位時間、通過單位面積的導(dǎo)熱量。熱導(dǎo)率的數(shù)值表征物質(zhì)導(dǎo)熱能力大小，由實驗測定。(2)影響因素：物質(zhì)種類、材料成分、溫度、濕度、壓力、密度等2、導(dǎo)熱系數(shù)(熱導(dǎo)率)一些材料在280K時的導(dǎo)熱系數(shù)

9（3）不同物質(zhì)的導(dǎo)熱系數(shù)彼此不同，即使是同一種物質(zhì)，導(dǎo)熱系數(shù)的值也隨壓力、溫度以及該物質(zhì)內(nèi)部結(jié)構(gòu)、濕度等因素而變化。通常由實驗確定。氣體0.006~0.6W/(m?K)；液體0.07~0.7W/(m?K)；金屬6~470W/(m?K)；保溫與建筑材料0.02~3W/(m?K)絕熱保溫材料λ<0.25W/(m?K)的材料，如石棉、膨脹珍珠巖、玻璃纖維制品等一般范圍10（4）一般特性金屬材料的導(dǎo)熱系數(shù)比非金屬材料為高，純金屬的導(dǎo)熱系數(shù)又比合金高，各種純金屬中以

銀的導(dǎo)熱系數(shù)為最高。

氣體的導(dǎo)熱系數(shù)為最小，且在較大的壓力范圍內(nèi)氣體的導(dǎo)熱系數(shù)只是溫度的函數(shù)，與壓力無關(guān)。除液態(tài)金屬，液體材料中水的導(dǎo)熱系數(shù)較大。各種材料導(dǎo)熱系數(shù)隨溫度變化的規(guī)律不盡相同：

純金屬的導(dǎo)熱系數(shù)一般隨溫度升高而下降；

氣體導(dǎo)熱系數(shù)隨溫度升高而增大；

除水和甘油外，液體導(dǎo)熱系數(shù)一般隨溫度升高而增大；

保溫與建筑材料大多數(shù)隨溫度升高而增大，還與材料的結(jié)構(gòu)、孔隙度、密度和濕度有關(guān)。11參考溫度時的導(dǎo)熱系數(shù)

在一定溫度范圍內(nèi)，大多數(shù)工程材料導(dǎo)熱系數(shù)可以近似認為是溫度的線性函數(shù)

122-2導(dǎo)熱問題的數(shù)學(xué)描述（數(shù)學(xué)模型）

1.導(dǎo)熱微分方程式導(dǎo)熱微分方程式+單值性條件建立數(shù)學(xué)模型的目的：求解溫度場假設(shè)：1）物體由各向同性的連續(xù)介質(zhì)組成；

2）有內(nèi)熱源，強度為，表示單位時間、單位體積內(nèi)的生成熱，單位為W/m3

。1）選取物體中的微元體作為研究對象；導(dǎo)熱數(shù)學(xué)模型的組成：方法：2）依能量守恒,根據(jù)傅里葉定律，建立微元體的熱平衡方程式歸納、整理，最后得出導(dǎo)熱微分方程式。

3）熱導(dǎo)率、比熱容和密度均為已知理論基礎(chǔ)：Fourier定律+能量守恒定律導(dǎo)熱微分方程式13dyyxodx根據(jù)能量守恒定律：導(dǎo)入微元體的總熱流量-導(dǎo)出微元體的總熱流量+

微元體內(nèi)熱源的生成熱=微元體熱力學(xué)能的增量a導(dǎo)入微元體的總熱流量14b導(dǎo)出微元體的總熱流量c內(nèi)熱源的生成熱d熱力學(xué)能的增量15a、b、c、d代入能量守恒定律得：——三維、非穩(wěn)態(tài)、變物性、有內(nèi)熱源的導(dǎo)熱微分方程。(1)若物性參數(shù)、c和均為常數(shù)：討論導(dǎo)溫系數(shù)；熱擴散率——m2/s(2)無內(nèi)熱源、常物性：導(dǎo)熱微分方程式建立了導(dǎo)熱過程中物體的溫度隨時間和空間變化的函數(shù)關(guān)系。16(3)穩(wěn)態(tài)、常物性：(4)穩(wěn)態(tài)、常物性、無內(nèi)熱源：物理意義：表征物體傳遞熱量的能力，或者說物體內(nèi)部溫度的扯平能力：如木材a=1.5×10-7

m2/s

、紫銅a=5.33×10-5

m2/s。分母c

表示物體的儲熱能力，c

越小，則有更多的熱量向物體內(nèi)部傳遞，從而使溫度更快扯平。分子越大，在相同的溫度梯度下，可以傳導(dǎo)更多的熱量；或者說，如果傳遞相同的熱量，越大則所需要的溫度梯度越小2.熱擴散率(導(dǎo)溫系數(shù))17*圓柱坐標系下的導(dǎo)熱微分方程式如果為常數(shù)：18*球坐標系下的導(dǎo)熱微分方程式為常數(shù)時193.單值性條件

導(dǎo)熱微分方程式推導(dǎo)過程中沒有涉及導(dǎo)熱過程的具體特點,為完整地描寫某個具體的導(dǎo)熱過程，必須說明導(dǎo)熱過程的具體特點,即給出導(dǎo)熱微分方程的單值性條件（或稱定解條件），使導(dǎo)熱微分方程式具有唯一解。

單值性條件一般包括：幾何條件、物理條件、時間條件、邊界條件。1)幾何條件說明參與導(dǎo)熱物體的幾何形狀及尺寸。2)物理條件說明導(dǎo)熱物體的物理性質(zhì),例如物體有無內(nèi)熱源以及內(nèi)熱源的分布規(guī)律，給出熱物性參數(shù)(、、c、a等)的數(shù)值及其特點等。3)時間條件

說明導(dǎo)熱過程時間上的特點,是穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱還是非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱。對于非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱,應(yīng)該給出過程開始時物體內(nèi)部的溫度分布規(guī)律（初始條件）：204)邊界條件

說明導(dǎo)熱物體邊界上的熱狀態(tài)以及與周圍環(huán)境之間的相互作用。例如,邊界上的溫度、熱流密度分布以及邊界與周圍環(huán)境之間的熱量交換情況等。

常見的邊界條件分為以下三類:(a)第一類邊界條件

給出邊界上的溫度分布及其隨時間的變化規(guī)律：(b)第二類邊界條件

給出邊界上的熱流密度分布及其隨時間的變化規(guī)律：21(c)第三類邊界條件給出與物體表面進行對流換熱的流體的溫度tf及表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)h

。

根據(jù)邊界面的熱平衡，由傅里葉定律和牛頓冷卻公式可得

第三類邊界條件建立了物體內(nèi)部溫度在邊界處的變化率與邊界處對流換熱之間的關(guān)系，也稱為對流換熱邊界條件。

目前應(yīng)用最廣泛的求解導(dǎo)熱問題的方法有:(1)分析解法、

(2)數(shù)值解法、

(3)實驗方法。對數(shù)學(xué)模型進行求解,就可以得到物體的溫度場,進而根據(jù)傅里葉定律就可以確定相應(yīng)的熱流分布。22

導(dǎo)熱微分方程的適用范圍：傅立葉導(dǎo)熱過程。不適用的情況：非傅立葉導(dǎo)熱過程各向異性物體。

極短時間(如10-8～10-10s)產(chǎn)生極大的熱流密度的熱量傳遞現(xiàn)象，如激光加工過程。極低溫度(接近于0K)時的導(dǎo)熱問題。微納米尺度的導(dǎo)熱問題。求解導(dǎo)熱問題的思路：分析物理問題，確定相關(guān)的簡化假設(shè)條件；確定適用物理問題的導(dǎo)熱微分方程和定解條件；求解微分方程得到溫度場的分布；代入傅立葉定律求解熱流量和熱流密度。232-3典型一維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱分析解

1.單層平壁一維，穩(wěn)態(tài)，常物性，無內(nèi)熱源直角坐標系溫度分布熱流密度

應(yīng)用熱阻的概念：導(dǎo)熱系數(shù)λ如何取？導(dǎo)熱系數(shù)與溫度成線性關(guān)系常數(shù)線性分布一、通過平壁的導(dǎo)熱24

2.多層平壁

熱阻分析法適用范圍：一維、穩(wěn)態(tài)、無內(nèi)熱源t1t2t3t4t1t2t3t4熱阻分析法第一層：第二層：第i層：n為層數(shù)熱流密度：溫度分布：25例2-1鍋爐爐墻由三層材料組成：內(nèi)層為耐火磚，厚度230mm，導(dǎo)熱系數(shù)為1.1W/(m?K)；中間層為石棉隔熱層，厚度為60mm，導(dǎo)熱系數(shù)為0.1W/(m?K)；外層為紅磚，厚度為240mm，導(dǎo)熱系數(shù)0.58W/(m?K)；已知爐墻內(nèi)、外表面的溫度分別為500℃和50℃，試求通過爐墻的熱流密度和各層接觸面處的溫度。解：26=500℃-368.9W/m2×0.21=422.5℃

=500℃-368.9W/m2×(0.21+0.60)=201.2℃

27例2-2高層建筑的雙層整體玻璃窗高1.4m，寬1.6m，玻璃厚度為4mm，導(dǎo)熱系數(shù)等于0.78W/(mK)。中間的空氣夾層厚度為10mm。冬季室內(nèi)室外的溫度分別為21℃和5℃，內(nèi)外表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)分別等于8W/(m2K)和20W/(m2K)。試求通過這種玻璃窗的熱流量和玻璃內(nèi)外表面的溫度。解：分析：在假設(shè)(1)常物性；(2)給定的表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)為復(fù)合表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)；(3)通過空氣夾層的傳熱按純導(dǎo)熱對待后，本題成為對流邊界條件下的一維多層平壁傳熱問題夾層中空氣物性—導(dǎo)熱系數(shù)暫按10℃取值λ=0.0251W/(mK)。28通過該玻璃的總散熱量玻璃兩側(cè)的溫度應(yīng)分別等于討論：(1)在相同的條件下，單層玻璃厚度6mm29(2)實際上，空氣夾層中存在自然對流和輻射，綜合傳熱水平大約近似為純導(dǎo)熱的一倍?？梢姡褂秒p層玻璃，散熱熱流降低了一倍以上。相應(yīng)室內(nèi)側(cè)玻璃的溫度大幅度提升。30例2-3混凝土砌塊的單元結(jié)構(gòu)和主要尺寸如圖示。剛性泡沫的導(dǎo)熱系數(shù)為0.032W/(mK)，鋼筋混凝土的導(dǎo)熱系數(shù)等于1.54W/(mK)，磚的導(dǎo)熱系數(shù)為0.81W/(mK)。若墻內(nèi)外側(cè)的表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)分別等于6W/(m2K)和14W/(m2K)，相應(yīng)的空氣溫度為24℃和－10℃。求該傳熱過程的總熱阻和單位表面積的傳熱量。解：假設(shè)：(1)復(fù)合壁仍維持一維導(dǎo)熱；

(2)常物性；(3)表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)為常量熱阻網(wǎng)絡(luò)圖計算各導(dǎo)熱熱阻，注意各熱阻對應(yīng)的導(dǎo)熱面積有所不同31R3、R4

、R5的并聯(lián)總熱阻R345為32包括墻壁兩側(cè)對流熱阻在內(nèi)的全部串連熱阻總和等于一個砌塊單元的傳熱量和折算成單位面積的傳熱量討論：(1)復(fù)合平壁問題畫出熱阻網(wǎng)絡(luò)后，與串并聯(lián)電路求解方法雷同。

(2)嚴格說，3-4-5部分中已經(jīng)不是一維導(dǎo)熱了，但在一般的工程計算中允許作這種近似處理。

(3)如果去掉保溫層，串連總熱阻將減為0.956K/W，相應(yīng)的熱流密度增加到127W/m2，是上述結(jié)果的4.5倍。這充分說明了房屋外墻壁提高保溫水平對建筑節(jié)能的重要性。33

二、通過圓筒壁的導(dǎo)熱一維，穩(wěn)態(tài)，常物性，無內(nèi)熱源溫度分布熱流密度對數(shù)曲線熱流量與半徑成反比常數(shù)，與半徑無關(guān)直接利用傅立葉定律求熱流量：1.單層圓筒壁二、通過圓筒壁的導(dǎo)熱34

2.通過多層圓筒壁的導(dǎo)熱

熱阻分析法適用范圍：一維、穩(wěn)態(tài)、無內(nèi)熱源熱阻分析法熱流量溫度分布n為層數(shù)逐層求解t2t3…tn35例2-4蒸汽管道的內(nèi)徑為160mm，外徑為170mm。管外覆有兩層保溫材料，第一層的厚度δ1=30mm，第二層厚度δ2=50mm。設(shè)鋼管和兩層保溫材料的導(dǎo)熱系數(shù)分別為λ1=50W/(m?K)、λ2=0.15W/(m?K)和λ3=0.08W/(m?K)。若已知蒸汽管內(nèi)表面溫度t1=300℃，第二層保溫材料的外表面溫度t4=50℃，試求每米長蒸汽管的散熱損失和各層接觸面上的溫度。解：由d1=0.16m、d2=0.17m

d3=d2+2δ1=0.23m，d4=d3+2δ2=0.33m每米長管道的熱流量

36各層接觸面上的溫度

結(jié)果表明，由于鋼管壁的導(dǎo)熱熱阻極小。因此兩側(cè)表面溫度差很小，相對于絕熱層，薄金屬壁的熱阻?？珊雎圆挥嫛?7例2-5輸送高溫水蒸氣的碳鋼金屬管道外徑159mm，壁厚6mm，導(dǎo)熱系數(shù)為48W/(mK)。管外包覆2層隔熱材料，內(nèi)層為玻璃棉，厚5cm，導(dǎo)熱系數(shù)0.058W/(mK)。外層為酚醛泡沫塑料，厚4cm，導(dǎo)熱系數(shù)0.04W/(mK)。外側(cè)空氣的溫度為25℃，表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)為12W/(m2K)，管內(nèi)蒸汽溫度等于320℃，求該管道單位長度的散熱量以及兩層隔熱材料之間的溫度。假設(shè)(1)常物性；(2)空氣表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)為復(fù)合表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)；(3)管內(nèi)表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)視為無限大，認為管道內(nèi)壁溫即等于320℃；(4)隔熱層與鋼管間以及兩層隔熱材料之間的熱接觸良好。解：分析：這是一側(cè)恒壁溫，另一側(cè)對流邊界條件下的一維多層圓筒壁的導(dǎo)熱問題。38單位管長的散熱量兩層隔熱材料之間的溫度討論：(1)金屬管道的導(dǎo)熱熱阻在總熱阻中所占比例極小，可以忽略不計；

(2)注意保溫材料的使用溫度范圍不得超過允許值。39作業(yè)：2-42-92-122-162-1840

三、通過球殼的導(dǎo)熱一維，穩(wěn)態(tài)，常物性，無內(nèi)熱源球坐標系直接利用傅立葉定律求熱流量：

41

四、第二類及第三類邊界條件下的一維導(dǎo)熱一維，穩(wěn)態(tài)，常物性，無內(nèi)熱源直角坐標系

左側(cè)為第二類邊界條件右側(cè)為第三類邊界條件見p54~5542

五、通過變截面及變導(dǎo)熱系數(shù)物體的導(dǎo)熱導(dǎo)熱系數(shù)與溫度成線性關(guān)系：對于一維導(dǎo)熱的第一類邊界條件問題，如果求解的目的在于獲得熱流量的計算式，則可直接對傅里葉定律表達式做積分求解熱流量。當導(dǎo)熱系數(shù)為變數(shù)或者導(dǎo)熱面積沿熱流密度矢量方向改變時，上述方法特別有效。43一維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題解析解小結(jié)：

求解導(dǎo)熱問題的基本思路：物理問題、數(shù)學(xué)描述、求解導(dǎo)熱微分方程得到溫度分布、導(dǎo)熱量計算。求解導(dǎo)熱問題的兩種基本方法：基于導(dǎo)熱微分方程的數(shù)學(xué)求解、熱阻分析方法。注意熱阻分析方法的前提是在熱量傳遞的方向上熱流量為常數(shù)。導(dǎo)熱系數(shù)的確定：一般采用平均溫度下的導(dǎo)熱系數(shù)。多層壁導(dǎo)熱問題中需要迭代。如何判斷是否為一維問題？

溫度分布為一維：無限大平壁（僅厚度方向存在溫度的變化）無限長圓壁（僅半徑方向存在溫度的變化）442-4通過肋片的穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱

第三類邊界條件下通過平壁的一維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱（傳熱過程）：強化傳熱的措施：增加內(nèi)外側(cè)流體的溫差減小壁厚增加導(dǎo)熱系數(shù)增加表面換熱系數(shù)增加傳熱面積肋片（翅片）45

46

肋片的類型

肋片導(dǎo)熱的特點在肋片伸展的方向上有表面的對流換熱及輻射換熱，因而熱流量沿傳遞方向不斷變化。肋片表面的所傳遞的熱量都來自（或進入）肋片根部，即肋片與基礎(chǔ)表面的相交面。分析目的：得出溫度場、熱流量。47

簡化成一維：長度l>>高度H，假定肋片長度方向溫度均勻分布；厚度方向的導(dǎo)熱熱阻δ/

λ<<表面?zhèn)鳠釤嶙?/h，厚度方向溫度均勻；已知：長度l，高度H，厚度δ，截面積Ac，截面周長P

肋根溫度t0，流體溫度t∞，導(dǎo)熱系數(shù)λ，表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)h（綜合計入對流和輻射傳熱的影響），肋片頂端絕熱。

求解：肋片溫度分布及通過肋片的熱流量。三維、穩(wěn)態(tài)、常物性、無內(nèi)熱源48

分析思路導(dǎo)熱微分方程能量守恒+傅立葉定律一維的穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題只需要給定高度方向x＝0，x＝H的邊界條件?？梢詫⒑穸确较虻谋砻鎸α鲹Q熱處理為負的內(nèi)熱源。教材

49

分析思路導(dǎo)熱微分方程能量守恒+傅立葉定律能量守恒：傅立葉定律：牛頓冷卻公式：50

第一類邊界條件絕熱邊界條件令，稱為過余溫度

這是一個二階線性齊次常微分方程，通解為得微分方程為：令51

0::00====dxdHxxqqq應(yīng)用邊界條件可得：最后可得等截面內(nèi)的溫度分布：52

溫度分布熱流量等截面直肋片中的溫度變化為一雙曲函數(shù).θx0θ0θLh由于肋片散入外界的全部熱量都必須通過x=0處的肋根截面，于是53

兩點說明：t0t∞0H(t0-t∞)/ch(mH)P61,例題2-6推導(dǎo)過程基于肋片末端絕熱邊界條件，適用于高而薄的肋片；如果必須考慮末端的散熱，則可近似為H‘＝H+δ/2代入。不適用短而厚的肋片，此時為二維導(dǎo)熱問題，可以采用數(shù)值求解。54

肋片的種類繁多，變截面肋的導(dǎo)熱微分方程求解復(fù)雜。如何簡便有效的評估肋片的散熱量？肋效率表征肋片表面溫度接近肋根溫度的程度t0t∞0H肋效率＝陰影面積/虛線框面積肋片表面溫度越接近肋根溫度，則肋效率越高。等截面直肋55

等截面直肋故肋效率只與(mH)有關(guān)，mH

增加，ηf

減小肋片高度H

增加，效率降低（肋片高度并非越高越好）；肋片導(dǎo)熱系數(shù)增加，m減小，效率增加；肋片厚度增加，m

減小，效率增加。56

肋片效率曲線：矩形及三角形直肋效率曲線矩形剖面環(huán)肋效率曲線可見，mH與參量有關(guān)，其與f關(guān)系曲線如圖所示。這樣，矩形直肋的肋片可以不用公式計算，而直接用圖查出。肋片散熱量的計算步驟：記AL=H為肋片縱剖面積,根據(jù)已知參數(shù)查圖計算肋效率；假定肋表面溫度＝肋根溫度，計算理想散熱量Ah(t0-t∞)；實際散熱量＝肋效率×理想散熱量。57

增加對流傳熱面積，但是同時增加了導(dǎo)熱熱阻。等截面直肋：δ/

λ≤0.25(1/h)，加肋片有益。肋片的選用：最小重量肋片：肋片是航天器輻射散熱的唯一手段，但是需要綜合考慮散熱效果與航天器的重量——一定散熱量下最小重量的肋片。散熱最佳：拋物線截面