第5章- 時變電磁場和平面電磁波

1第5章時變電磁場和平面電磁波

Time-VaryingFieldsandPlaneEMWaves

·

日常遇到的電磁場問題大多數(shù)是時變電磁場問題;·最常見的是隨時間按正弦（或余弦）規(guī)律作簡諧變化的電磁場，稱為時諧電磁場或正弦電磁場;·

在空間，時諧電磁場的能量以電磁波形式傳播;上海電臺“990新聞”：用頻率為990KHz的電磁波傳送；上海電臺“動感101”：用頻率為101.7MHz的電磁波傳送.例：2本章內(nèi)容2、平面電磁波在不同媒質(zhì)中傳播特性的分析。1、時諧電磁場的復數(shù)表示和復數(shù)形式的場方程及能量關(guān)系。第5章時變電磁場和平面電磁波3§5.1時諧電磁場的復數(shù)表示

ComplexRepresentationofTime-HarmonicFields

一、復數(shù)·

定義（1）·復數(shù)的共軛·共軛復數(shù)的運算（2）由(1)+(2),由(1)-(2),4復振幅二、復矢量§5.1時諧電磁場的復數(shù)表示稱為復振幅或相量5復振幅的求導運算因此

對時間的微分可化為對復振幅乘以的代數(shù)運算

比較：c)b)是實數(shù)，既是空間坐標的函數(shù)，又是時間t的函數(shù)，即

a)是復數(shù)，僅僅是空間坐標的函數(shù),即；§5.1時諧電磁場的復數(shù)表示6·復矢量§5.1時諧電磁場的復數(shù)表示7例1（1）（2）將下列場矢量的瞬時值變換為復矢量，或作相反變換：

[解]（1）故(2)§5.1時諧電磁場的復數(shù)表示8§5.2復數(shù)形式Maxwell方程組

ComplexMaxwell’sEquations

本節(jié)介紹Maxwell方程組的復數(shù)形式，以及本構(gòu)關(guān)系和邊界條件的復數(shù)形式。時諧電磁場的應用非常廣泛。同時，由傅里葉變換知，任何周期性或非周期性的時變電磁場都可看成是許多具有不同頻率的時諧電磁場的疊加或積分。因此，研究時諧電磁場是研究一切時變電磁場的基礎(chǔ)。9一、復數(shù)形式Maxwell方程組的導出(b)(c)(d)電荷連續(xù)性方程：(e)故(a)§5.2復數(shù)形式Maxwell方程組10二、本構(gòu)關(guān)系和邊界條件復數(shù)形式限定形式復Maxwell方程組§5.2復數(shù)形式Maxwell方程組11復矢量邊界條件齊次復矢量波動方程(無源區(qū):)同理,§5.2復數(shù)形式Maxwell方程組12例1[解]設(shè)自由空間某點電磁場的電場強度為求（a）電場強度復矢量（b）磁場強度§5.2復數(shù)形式Maxwell方程組13[解]（a）例2某衛(wèi)星地面站在空中某點形成頻率為5GHz的時諧電磁場，其磁場強度復矢量為求：(a)磁場強度瞬時值

(b)電場強度瞬時值§5.2復數(shù)形式Maxwell方程組14（b）在無源區(qū)內(nèi)§5.2復數(shù)形式Maxwell方程組15§5.3復坡印廷矢量和復坡印廷定理

ComplexPoyntingVectorandTheorem

電磁場是具有能量的，Poynting定理是時變電磁場中能量守恒定律的表達形式。復坡印廷矢量和復坡印廷定理如何表達？16一、復坡印廷矢量坡印廷矢量代表瞬時電磁功率流密度。故(a)復坡印廷矢量的瞬時值§5.3復坡印廷矢量和復坡印廷定理17定義(5.3-2)為復坡印廷矢量,其實部為平均功率流密度，即有功功率密度。它在一個周期內(nèi)的平均值：(b)坡印廷矢量的平均值§5.3復坡印廷矢量和復坡印廷定理18·直接將與相乘，其實部代表電磁功率流密度瞬時值與平均值之差，一個周期內(nèi)的平均值為0?！ざx式中因子“1/2”是因為平均功率密度在數(shù)值上等于,

這里E、H都代表振幅最大值,而不是有效值·坡印廷矢量的瞬時值與平均值之差是其交變分量：§5.3復坡印廷矢量和復坡印廷定理因此定義式對應與相乘19二、復坡印廷定理復坡印廷矢量的散度將復數(shù)形式麥氏方程代入，得到上式表示了作為點函數(shù)的功率密度關(guān)系。對其兩端取體積分，得到積分形式——用復矢量表示的復坡印廷定理§5.3復坡印廷矢量和復坡印廷定理20無功功率的平衡：輸入封閉面的無功功率等于體積中電磁場儲能的最大時間變化率。虛部:注:

代表單位體積中電磁場儲能的最大時間變化率。證明見P.142有功功率的平衡：輸入封閉面的有功功率等于體積中熱損耗功率的平均值。取其實部得§5.3復坡印廷矢量和復坡印廷定理21例

5.3-1

[解](a)§5.3復坡印廷矢量和復坡印廷定理兩無限大理想導體平行板相距d，坐標如圖6.3-1所示。在平行板間存在時諧電磁場，其電場強度為求：(a)磁場強度；

(b)坡印廷矢量及平均功率流密度；

(c)y=0導體板內(nèi)表面的面電流分布；圖5.3-1平行板波導由知，

22(c)x=d板：

（b）§5.3復坡印廷矢量和復坡印廷定理此平行板間電磁場有實功率沿z向傳輸

平行板起了引導電磁波功率的作用，故稱之為平行板波導。23§5.4理想介質(zhì)中的平面波

PlaneWavesinLosslessMedia

一、平面波的電磁場a)電場強度復矢量的齊次波動方程的解電場強度復矢量的齊次波動方程：設(shè)只沿z向變化，而與x，y無關(guān)：齊次波動方程簡化為它的解為：對應的瞬時值為：從本節(jié)起，對復數(shù)不再打點，復振幅

仍寫為，復矢量仍寫為

。24第一項，令

，這個波波形圖：圖5.4－1電磁波的瞬時波形當t增加時，只要=const，其值是相同的。如，相應地，這兩點處場的總相位不變，從而。說明隨著t的增加，Z0處的狀態(tài)沿+z方向移動到Z1，故波沿+z方向傳播。正向行波：§5.4理想介質(zhì)中的平面波解的第二項

的相位隨著z的增加而逐漸引前，代表向-z方向行波。反向行波：25§5.4理想介質(zhì)中的平面波26§5.4理想介質(zhì)中的平面波27b)正向行波的傳播參數(shù)電場復振幅：電場瞬時值：2.相位：是時間相位，kz為空間相位3.等相面（波前或波面）：4.波長λ

：空間相位kz變化2π所經(jīng)過的距離,也叫相位波長。1.振幅：

是z=0處電場強度的振幅空間相位相同的場點組成的曲面，即z=const的平面。在同一時刻，波面上各點的場強相等。這種在波面上場強均勻分布的平面波稱為均勻平面波?！?.4理想介質(zhì)中的平面波285.波數(shù)k：所以：考察等相面上的一個特定的點，這樣的點滿足

，兩邊微分得到：※電磁波在真空中的相速：空間相位變化相當于一個全波，因而k表示單位長度內(nèi)所具有的全波數(shù)目。故相速為：因為：等相面（波前）傳播的速度。6.相速

：電磁波在真空中的相速等于真空中的光速?！谄渌橘|(zhì)中：，因此，稱為慢波。介質(zhì)中的波長§5.4理想介質(zhì)中的平面波29c)磁場強度復矢量和波阻抗式中：只與媒質(zhì)的介電常數(shù)和磁導率有關(guān)，稱為媒質(zhì)的波阻抗。在真空中：§5.4理想介質(zhì)中的平面波30二、平面波的傳播特性均勻平面波的電場和磁場復矢量：因此，無源區(qū)Maxwell方程組化為：對此特定的場有§5.4理想介質(zhì)中的平面波(a)(b)(c)(d)312）相位：電場

和磁場處處同相，二者振幅之比是媒質(zhì)的波阻抗(實數(shù))。從這組方程，可以得出以下一些結(jié)論：某一時刻和沿z軸的變化

(和相互垂直，同相)1）方向：電場和磁場相互垂直，且和均與傳播方向相互垂直，都無縱向分量，是橫波，稱為橫電磁波(TEM波)?！?.4理想介質(zhì)中的平面波32沒有虛部，說明均勻平面波沿傳播方向傳輸實功率，且沿途無衰減（無損耗）。xz平面上的瞬時和(垂直于和，并指向傳播方向)3)復坡印廷矢量：§5.4理想介質(zhì)中的平面波33瞬時磁能密度：∵∴任意時刻瞬時電能密度與瞬時磁能密度相等，各為總電磁能密度的一半

4)瞬時電能密度：§5.4理想介質(zhì)中的平面波34總電磁能密度的平均值：因此：結(jié)論：均勻平面波的能量傳播速度等于相速。電磁波是電磁能量的攜帶者。5）均勻平面波的能量傳播速度§5.4理想介質(zhì)中的平面波35

“平面波”是一個理想化的簡化模型?！耙磺锌茖W的（正確的、鄭重的、非瞎說的）抽象，都更深刻、更正確、更完全地反映著自然?！比粘Ｋ玫碾娨暬蛲ㄐ沤邮仗炀€都可以把到達的來波看成是均勻平面波。

§5.4理想介質(zhì)中的平面波36例5.4-1[解]

(a)已知等效全向輻射功率36dBW，首先化為W的單位：所謂“等效全向輻射功率”就是假定等效于信號是向各方均勻輻射的，得接收點的功率密度為：我國實用通信衛(wèi)星（CHINASAT-1）(DFH-2A)轉(zhuǎn)播的中央電視臺第二套節(jié)目中心頻率為3.928GHz，它在我國上海的等效全向輻射功率（EIRP）為P=36dBW.求：（a）上海地面站接收的功率流密度，設(shè)它離衛(wèi)星r=37900km;(b)求地面站處電場強度和磁場強度振幅，并以自選的坐標寫出其瞬時值表示式；（c）若中央臺北京發(fā)射站離衛(wèi)星381700km，則接收信號比中央臺至少延遲多久？故圖5.4－4衛(wèi)星電視廣播線路

§5.4理想介質(zhì)中的平面波37(b)得比規(guī)定的本地電視臺播發(fā)的場強值()小得多。(c)延遲時間瞬時值：當在上海電視屏幕上見到央視時鐘秒針跳到新年零點時，上海其實已步入新年約1/4秒了。

式中§5.4理想介質(zhì)中的平面波38三、平面波電磁波譜Maxwell方程對電磁波的頻率沒有限制;

電磁波譜分為無線電波、紅外線、可見光、紫外線、x射線，γ射線等(見圖5.4-5);

這些波都是橫波，在自由空間都以光速傳播。但是無線電波呈現(xiàn)明顯的波動性，而光波和更短波長的電磁波則呈現(xiàn)粒子性。

電磁波譜是有限的資源。圖5.4-5電磁波譜§5.4理想介質(zhì)中的平面波39§5.5導電媒質(zhì)中的平面波

PlaneWavesinConductingMedia

一、導電媒質(zhì)的分類導電媒質(zhì)是

的媒質(zhì)，它是有耗媒質(zhì)。電磁波在導電媒質(zhì)中傳播時，將出現(xiàn)傳導電流。在無源區(qū)，Maxwell第二方程(b)為稱為等效復介電常數(shù)。引入等效復介電常數(shù)后，導電媒質(zhì)可以看作等效的介質(zhì)，只是的虛部取決于導電媒質(zhì)中傳導電流密度振幅與位移電流密度振幅的比值：

圖5.5-1幾種媒質(zhì)的與頻率的關(guān)系（對數(shù)坐標）401)（電）介質(zhì)：2)不良導體：3)良導體：§5.5導電媒質(zhì)中的平面波按照

的大小，把導電媒質(zhì)分為三類41二、平面波在導電媒質(zhì)中的傳播特性a)導電媒質(zhì)中波動方程的解在無源區(qū),設(shè)時諧電場復矢量為對+z方向傳播的波，其解為從麥氏方程得到磁場復矢量為是復傳播常數(shù)，它可以寫成實部和虛部之和：稱為相位常數(shù)，

稱為衰減常數(shù)。故電場復矢量：其瞬時值為§5.5導電媒質(zhì)中的平面波42b)傳播參數(shù)1)衰減量

場強振幅隨z的增加按指數(shù)不斷衰減（電磁能量變?yōu)闊崮軗p耗），衰減量可用場量衰減值的自然對數(shù)來計量，記為奈比(Np)。在工程上常用分貝dB來計算衰減量，其定義為：衰減系數(shù)

的單位Np/m，或者dB/m§5.5導電媒質(zhì)中的平面波432)相速

場的相位隨z的增加按滯后，即波向+z方向傳播。波的相速為：※導電媒質(zhì)中波的相速比μ、ε相同的理想介質(zhì)中的慢，且σ越大，相速越慢?！嗨龠€與頻率有關(guān)，攜帶信號的電磁波，其不同的頻率分量將以不同的相速傳播，經(jīng)過一段距離后，信號的相位將發(fā)生變化，從而導致信號失真。這種現(xiàn)象稱為色散?！?.5導電媒質(zhì)中的平面波※因此導電媒質(zhì)是色散媒質(zhì)。44導電媒質(zhì)的波阻抗：3)波阻抗得波阻抗具有感性相角。電場相位比磁場相位引前，二者不再同相。§5.5導電媒質(zhì)中的平面波454)磁場強度矢量磁場強度的相位比電場強度的相位滯后

，越大，滯后越多磁場強度的振幅隨z的增加，按指數(shù)衰減電場強度和磁場強度相互垂直，都分別垂直于傳播方向?qū)щ娒劫|(zhì)中的電磁波也是橫電磁波§5.5導電媒質(zhì)中的平面波46導電媒質(zhì)中平面電磁波瞬時圖圖5.5－2導電媒質(zhì)中平面電磁波瞬時圖形§5.5導電媒質(zhì)中的平面波47復坡印廷矢量：平均功率流密度：瞬時坡印廷矢量：5)功率流密度§5.5導電媒質(zhì)中的平面波486）電磁能電磁場儲能在一周內(nèi)的平均值：電能平均值：磁能平均值：∵

∴

所以，導電媒質(zhì)中平均磁能密度比平均電能密度大。這是由于傳導電流激發(fā)了附加磁場?！?.5導電媒質(zhì)中的平面波49電磁能傳播速度總平均儲能密度：

導電媒質(zhì)中均勻平面波的能量傳播速度等于相速?！?.5導電媒質(zhì)中的平面波50由于低損耗介質(zhì)

，將其傳播常數(shù)按照泰勒級數(shù)展開，只取前兩項得相位常數(shù)：衰減常數(shù)：波阻抗：

可見，平面波在低損耗介質(zhì)中的傳播特性，除了由微弱的損耗導致的衰減外，與理想介質(zhì)中幾乎相同。c)平面波在低損耗介質(zhì)中的傳播特性§5.5導電媒質(zhì)中的平面波51d)小結(jié)z§5.5導電媒質(zhì)中的平面波52三、平面波在良導體中的傳播特性，集膚深度和表面電阻a)傳播常數(shù)對于良導體：如大多數(shù)金屬，在無線電頻段上，傳導電流密度遠大于位移電流密度相位常數(shù)和衰減常數(shù)為：1)§5.5導電媒質(zhì)中的平面波533)相速與頻率的平方根成正比。2)波阻抗§5.5導電媒質(zhì)中的平面波54比平面電磁波在真空中的相速小得多。波長：比真空中的波長(3m)小得多。波阻抗：可見波阻抗

，因此例：頻率為f=100MHz的平面波在金屬銅中傳播。相速:§5.5導電媒質(zhì)中的平面波55良導體中平面波的電場強度：平面波的磁場強度：b)電磁場分量和功率流密度復功率流密度有虛部：在z=0即導體表面處的平均功率流密度為：它代表導體表面單位面積所吸收的平均功率，也是單位面積導體內(nèi)傳導電流的熱損耗功率：（證見教材）即傳入導體的電磁波實功率全部轉(zhuǎn)化為熱損耗功率。§5.5導電媒質(zhì)中的平面波56

每單位長度的減小量應等于單位長度內(nèi)的熱損耗功率：得即與前同。根據(jù)該熱損耗功率可確定衰減常數(shù)：§5.5導電媒質(zhì)中的平面波57集膚效應：高頻電磁波只能存在于導體表面的一個薄層內(nèi)的現(xiàn)象。電磁波場強振幅衰減到表面處的深度，稱為集膚深度。由得集膚深度：（m）對于高頻電磁波，集膚深度一般在微米量級，因此，電磁波進入良導體后會很快衰減到很小，從而使薄金屬有很好的屏蔽作用；用作導電涂層，也只需幾微米。c)集膚深度（穿透深度）導電性能越好(

越大)，電磁波的頻率越高，衰減得越快。圖5.5-3場強或電流密度振幅在導體內(nèi)的分布

§5.5導電媒質(zhì)中的平面波58導體的表面阻抗：導體表面處切向電場與切向磁場之比導體的表面阻抗等于其波阻抗。

上式表明，表面電阻相當于單位長度、單位寬度、厚度為

的導體塊的直流電阻。d)表面電阻通過表面電阻的損耗功率（密度）:表面電阻和表面電抗：§5.5導電媒質(zhì)中的平面波59例6.5.2首先求

的值，判斷其是良導體還是不良導體，然后才能用不同公式求深度。(1)f=3kHz：，此時海水為良導體，因此[解]海水，，。頻率為3kHz和30MHz的電磁波在海平面處電場強度為1V/m。(1)求電場衰減到處的深度。應選擇哪個頻率作潛水艇的水下通信？(2)求3kHz的電磁波從海平面下側(cè)向海水中傳播的平均功率流密度。§5.5導電媒質(zhì)中的平面波60，此時海水為不良導體可見，由于30MHz衰減太大，應選低頻3kHz的電磁波。(2)平均功率流密度：f=30MHz：§5.5導電媒質(zhì)中的平面波61例5.5－3(a)由于牛排為不良導體，因此圖5.5-5簡易型微波爐

[解]在8mm處電場與表面處電場關(guān)系可見，微波能對食品的內(nèi)部進行加熱。(b)發(fā)泡聚苯乙烯是低損耗介質(zhì)，其集膚深度可見其集膚深度很大，微波在其中傳播損耗很小，該材料對微波“透明”，所以不會被燒壞。微波爐利用磁控管輸出的2.5GHz微波加熱食品。在該頻率上，牛排的等效介電常數(shù)為，

(a)求微波傳入牛排的集膚深度及在牛排內(nèi)8mm處的微波場強是表面的百分之幾？

(b)微波爐中盛牛排的盤子用發(fā)泡聚苯乙烯制成,

說明為何用微波加熱時牛排被燒熟而盤子并不會燒掉?！?.5導電媒質(zhì)中的平面波62*四.電磁波對人體的熱效應

·電磁波對人體的熱效應是有耗的人體組織媒質(zhì)吸收電磁波能量的結(jié)果?！挝惑w積的吸收功率為·人體實際吸收的射頻功率用比吸收率SAR（SpecificAbsorptionRate）來定量表示。它定義為每單位質(zhì)量的吸收功率：——材料的比重（kg/m3）

·國際上對一般公眾的電磁照射限量為

·可見，對體重50Kg的人，不能超過§5.5導電媒質(zhì)中的平面波63§5.5導電媒質(zhì)中的平面波應用地區(qū)國際歐洲美國頻率范圍100KHz-10GHz100KHz-6GHz平均SAR（全身）0.08W/kg0.08W/kg0.08W/kg局部SAR及平均質(zhì)量2W/kg100g(連續(xù)組織)2W/kg10g（立方體）6W/kg1g（立方體）表5.5-7一般公眾電磁照射限量的普通標準64*§5.6等離子體中的平面波

PlaneWavesinPlasma一.等離子體的等效介電常數(shù)

等離子體（Plasma）是被電離的氣體，含有正離子和帶負電的自由電子。其正、負電荷總量相等。(例：地球上空的電離層,參看圖6.3-2)當電磁波通過等離子體：1)有位移電流

；

2)電子運動形成運流電流：——電子平均速度e——電子電量N——單位體積中的電子數(shù)取決于電磁波的電場作用力：故65§5.6等離子體中的平面波等離子體中全電流：可見，等離子體可看作是一種導電媒質(zhì)，其相對介電常數(shù)為——等離子體頻率

例：白天電離層66二.平面波在等離子體中的傳播特性

——無衰減地傳播——相速大于光速圖5.6-1等離子體中電磁波的相速和能速(1)§5.6等離子體中的平面波67(2)——不發(fā)生傳播

(3)只有的電磁波才能通過等離子體。宇宙通信頻率需高于9MHz

。結(jié)論：注：以上為簡化分析，忽略了地球磁場的影響和電子碰撞引起的損耗?！獔鲅貁向按指數(shù)衰減，無傳播§5.6等離子體中的平面波68

根據(jù)矢量E的端點的軌跡形狀，把電磁波的極化分為3種：線極化、圓極化和橢圓極化?！?.7電磁波的極化PolarizationofPlaneWaves

電場強度的方向隨時間變化的方式稱為電磁波的極化(在光學中稱之為偏振)。討論平面波的傳播特性時，假設(shè)電磁波的場強方向與時間無關(guān)。實際上，平面電磁波在傳播過程中，其方向有可能變化，即隨時間按一定規(guī)律變化。（a）線極化(b)圓極化(c)橢圓極化圖5.7-1三種極化波的電場矢量端點軌跡69一、線極化考察沿z向傳播的平面波，電場矢量位于xy平面上，電場矢量瞬時值一般表示：式中x和y向的幅度可能不同，分別用E1和E2表示，頻率和波數(shù)應該相同，初相位可能不同，它們之間相位差用

表示，所以：為了確定的端點軌跡，消去

（5.7－1）§5.7電磁波的極化701）當

這是斜率為（E2/E1）的直線，E(t)方向與x軸的夾角與時間無關(guān)：2）當這是斜率為（-E2/E1）的直線，E(t)方向與x軸的夾角與時間無關(guān)：我們把

和

的情形（E(t)的軌跡是一條直線）稱為線極化LP(linearpolarization)?！?.7電磁波的極化71當對于給定z值的某點，隨時間t的增加，E(t)的方向以角頻率ω作等速旋轉(zhuǎn)，E(t)矢量端點的軌跡是圓，因此稱為圓極化CP（CircularPolarization）。二、圓極化由式(5.7-1)得這是圓心在（0，0），半徑為

的圓，如圖5.7-1(b)。E(t)的大小不隨時間變化，方向沿圓周變化。E(t)與x軸的夾角為：§5.7電磁波的極化721）當

,上式取“-”值，E(t)的旋向與波的傳播方向z成左手螺旋關(guān)系，稱為左旋圓極化LHCP2）當,上式取“+”值，E(t)的旋向與波的傳播方向z成右手螺旋關(guān)系，稱為右旋圓極化RHCP§5.7電磁波的極化兩個相位相差π/2，振幅相等的空間上正交的線極化波，可合成一個圓極化波；反之，一個圓極化波可分解為兩個相位相差π/2，振幅相等的空間上正交的線極化波。

復數(shù)表示：

圓極化波電場復矢量：圓極化波旋向的判斷：圖5.7-3

瞬時電場矢量

沿傳播方向的變化§5.7電磁波的極化1.

向相位落后的分量方向轉(zhuǎn)；2.以大拇指為傳播方向，判斷：按左手轉(zhuǎn)LHCP

按右手轉(zhuǎn)RHCP74動畫：三維左旋圓極化§5.7電磁波的極化75

一般情況，相差

任意，振幅不相等：有三、橢圓極化1）場強軌跡消去：即§5.7電磁波的極化76這是橢圓方程的一般形式，因此合成的電場矢量的端點軌跡是一個橢圓，故稱為橢圓極化，記作EP(EllipticalPolarization)，如圖5.7－1(c)。整理得：將坐標系旋轉(zhuǎn)角，可以將橢圓方程化為最簡形式：軸比和旋向及傾角，是描述橢圓極化的3個特征量。在已知直角坐標分量的情況下，可以求出這三個特征量。

極化橢圓長軸對x軸的夾角(新坐標系所旋轉(zhuǎn)的角度)，稱為極