有限元5-有限條

有限單元法第五章有限條法15.1引言一、發(fā)展概況對于許多具有規(guī)則幾何形狀和簡單邊界條件的結構來說，完全的有限元分析常常是既浪費又不必要，有時甚至不可能（指超出計算機能力）。（張佑啟《結構分析的有限條法》）有限條法(FiniteStripMethod)誕生于二十世紀60年代，一般認為主要創(chuàng)始人有：Y.K.Cheung(張佑啟)教授和G.H.Powell(鮑威爾)、D.W.Ogden(奧格登)兩人。Y.K.Cheung在1966～1969年間首先用有限條法研究了矩形薄板彎曲問題，后兩人開始于板式橋梁的研究工作。2常見的有限條可分為1）根據(jù)形狀矩形條，扇形條，斜板條2）根據(jù)受力彎曲板條，平面應力條，薄殼條本節(jié)的主要內容：矩形彎曲板條有限條法在橋梁結構靜力、動力和穩(wěn)定分析方面得到廣泛應用，并取得良好的效果。有限條法自從誕生以來，得到了迅速發(fā)展，在眾多國內外學者的大量研究和實踐中，先后提出了高階有限條、樣條有限條、組合有限條等方法，進而提出了有限層法、有限棱柱法、雙樣條子域法、有限條——傳遞矩陣法等新方法。34二、有限條法的力學模型有限條法可看作是有限元的一種特殊形式或分支，是一種（有限元）半解析法，適應于一些量大面廣的、常用的規(guī)則結構形式，采用有限條法可使彈性力學中的二維問題化為一維問題（三維化為二維），使總剛方程降階，從而提高效率。有限條單元結構的組合單元是沿結構縱向分布的“條”，條間縱向用結線連接，由于橋梁的縱向結構和這種“條”式單元基本一致，故采用此法分析時十分有效。

5象有限元一樣，有限條法亦需將連續(xù)體離散化，所不同的是，不象有限元一樣可沿任意方面離散，而只能沿某一方向。如圖示矩形板，用有限元分析（矩形元）的網(wǎng)格劃分如右圖示，而有限條則是沿x方向等分成若干條帶。有限條：x方向采用多項式插值函數(shù)y方向采用三角級數(shù)表示：然后板的位移函數(shù)采用一總和函數(shù)表示：（梁函數(shù)）6三、有限條法與有限元法的比較有限元有限條適用于任何幾何形狀、邊界條件，材料變化，用途極廣。用于規(guī)則形狀的結構，中間可有彈性支撐，特別是橋梁。自由度較多，帶寬較大，內存需求較大。自由度較少，帶寬較小，內存需求較小。輸入數(shù)據(jù)較多，出錯的可能性較大。輸入輸出數(shù)據(jù)較少。7四、有限條法的解題步驟1）離散化。用假想的線把連續(xù)體分割成若干條。條與條之間通過結線相互聯(lián)接。2）選擇位移模式f(x)項采用多項式，Y(y)項采用連續(xù)函數(shù)；然后把位移場用結線位移來表達（形函數(shù)矩陣[N]），由此可得到條的應變（幾何矩陣[B]）和應力（應力矩陣[S]）。83）用虛功原理和最小勢能原理得到剛度矩陣和等效荷載。4）集成總剛，引入支座條件，解方程求得結線位移各級數(shù)項并疊加。5）計算各條在各組位移下的內力并疊加。95.2梁函數(shù)和基本函數(shù)為了收斂于正確值，位移函數(shù)必須滿足下列簡單要求：（1）梁函數(shù)f(x)，用來表示條元的橫向變化規(guī)律，應包含剛體位移和x向常應變狀態(tài)，還要保證相鄰條之間的協(xié)調。對于彎曲板條，其要求與梁相同。（2）基本函數(shù)Y(y)，用來表示條元的縱向變化規(guī)律，應滿足條的端部條件。如果采用正交級數(shù)，會使問題得到簡化。通常采用梁的無限自由度振動的振型。位移模式為10一、梁函數(shù)梁函數(shù)用以表示條元的橫向變化規(guī)律。圖示梁有兩個結點(i,j),每個結點兩個位移:線位移(撓度)d1，d3角位移d2，d4任意點的位移函數(shù):代入邊界條件可得：[L]為平面梁單元的形函數(shù)，此處稱梁函數(shù)。11二、基本函數(shù)基本函數(shù)用來表示條元的縱向變化規(guī)律，Y.K.Cheung將基本函數(shù)取為振動梁微分方程（按振動梁微分方程的規(guī)律變化）:根據(jù)結構力學中“梁的無限自由度振動”理論可知，其解的一般形式為:在結構力學中，上式又稱符拉索夫振動梁函數(shù)，式中C1～C4為由兩端邊界條件確定的待定常數(shù)，由不同的支承條件，可得出相應的基本函數(shù)Y(y)。（5-2-1)12幾種常用支承條件的基本函數(shù)1．兩端簡支邊界條件：

Y(0)=Y"(0)=0

Y(l)=Y"(l)=0代入式(5-2-1)得:或者mm=p,2p,3p……mp

第一振型諧波取,m=1,132.一端簡支一端固定邊界條件:Y(0)=Y"(0)=0；

Y(l)=Y'(l)=0特解(基本函數(shù)):m1=3.9266,m2=7.0683,m3=10.2102,m4=13.3520(m=5,6,…）諧波圖與簡支梁相似。μ為特征方程tg(m)=th(m)的解。143.兩端固定邊界條件:Y(0)=Y'(0)=0；Y(l)=Y'(l)=0基本函數(shù):m1=4.7300,m2=7.8532,m3=10.9956,m4=14.1372(m=5,6,…）m為特征方程cos(m)ch(m)-1=0的解。155.3彎曲板有限條法一、位移函數(shù)圖示簡支板，在任意荷載作用下，將產(chǎn)生光滑的變形曲面(位移場)，x、y方向的變形曲線分別如圖示，y方向變化規(guī)律取為基本函數(shù)，x方向變化規(guī)律取為梁函數(shù)。16現(xiàn)在，沿板的支承方向將其離散成有限個矩形板條。從中取出一典型條元e加以研究，當條元寬度b較窄時，其位移場可采用多項式f(x)和基本函數(shù)Y(y)的組合形式表示，可得撓度：(5-3-1)式中f(x)為描述橫向位移變化規(guī)律的多項式函數(shù)，即，梁函數(shù)。Y(y)為摸擬板條縱向(y方向)撓度曲線的基本函數(shù)。代入得：其橫向轉角：(5-3-2)17設條元結線i的撓度為wi，轉角為θi；結線j撓度為wj，轉角為θj，定義四個結線位移的表達式為:(5-3-3)式中:wim，θim，wjm，θjm為第m個諧波所對應的結線i、j的撓度位移幅值和轉角位移幅值。18將5-3-3代入5-3-1、5-3-2的左邊并消去Ym(y)得:由此解得:思考：對應于不同的協(xié)波Ym(y)，結線位移幅值是否相同？19將其代回5-3-1得用結線位移幅值表示的位移場(5-3-4)式中:是對應于第m個諧波的結線位移幅值列陣。(5-3-5)是對應對于第m個諧波的形函數(shù)。它與梁函數(shù)[L]相比只是增加了乘子Ym(y)。于是板條中任意點的位移用矩陣形式表示為：20二、(沿)結線(i,j)的位移(函數(shù))實際應用時，通常只計算結線上的位移，將x=0和x=b代入得：當x=0時,當x=b時,所以沿結線i,j的位移:21式中[I]為四階單位矩陣即：結線上沿y方向任意點的位移，是通過由第m個諧波解出的兩結線的位移幅值乘以相應基本函數(shù)Ym(y)得到的，其最后的位移是r個諧波的疊加。22三、條元應變與幾何矩陣[B]由平板理論知： 式中[B]即為彎曲板條的幾何矩陣：23子矩陣[B]m的展開形式為:若取簡支條元,則式中:為書寫方便，Ym(y)寫成了Ym24四、條元內力

彈性矩陣[D]與上章相同，彎、扭矩的正方向如圖示，且應理解為單位長度上的量。25五、條元剛度矩陣的一般形式由單元剛度矩陣的一般表達式，條元的剛度矩陣:或寫成:26其中子塊:由于條剛中的子塊[S]mn是4×4階，當取到級數(shù)的第r項時，則[S]為4r×4r階。對于不同的支承條件，由于基本函數(shù)形式不同，可導出不同的幾何矩陣。將其代入上式，則可求得不同支承條件的條剛。對上式積分可得條剛子塊的顯式如下。2728式中：Dx,Dy,Dxy,D1為各向異性板的彈性系數(shù),當各向同性時有:I1～I5的5個積分式是：從上述條元剛度矩陣子塊公式中可看出，不同支承條件(基本函數(shù))的條剛元素，主要體現(xiàn)在基本函數(shù)的積分公式上，將不同基本函數(shù)表達式代入，求出其中不同的五個積分，即可得到不同的條元剛度矩陣。295.4用有限條法分析簡支彎曲薄板

一、基本函數(shù)

由前已知，將符拉索夫振動梁函數(shù)微分方程：的通解5-2-1式，代入其邊界條件：

Y(0)=Y"(0)=Y(l)=Y"(l)=0后,得簡支條的基本函數(shù)為:30二、條元剛度矩陣與條元剛度方程1．條元剛度矩陣上節(jié)已導得條剛的一般形式為：上節(jié)提到，計算條剛元素時，將涉及以下五個積分：31可以證明，在簡支條元中，由于基本函數(shù)的正交性，當m≠n時，上述五個積分均為0。因此，在簡支條元中，非對角元子塊均為零，即[S]mn=[0](m≠n)。此時，簡支板的條剛可簡化為：式中:(5-4-1)(5-4-2)32其中:式中，33

由于條剛不耦聯(lián)，便可一個諧波一個諧波的單獨計算，然后再疊加，因此，簡支板是最能體現(xiàn)有限條法優(yōu)越性的一種情況。另外，從條剛中的元素表達式可見，對應于第m個諧波的條剛，每個元素均隨著諧波號發(fā)生變化，這也是與前面單元剛度矩陣的不同之處。2.條元結線力與結線位移列陣對應的結線力列陣可表示為:對應于各諧波的條元結線力，也可由條剛與結線位移的乘積獲得。343.條元剛度方程

條剛[S]中的全部非對角元素(子塊)為零，不僅簡化了條剛，更重要的是，使得第m個諧波的結線力只與第m個諧波的結線位移有關，即總剛的非藕聯(lián)性。因此，可對每個諧波所對應的結線力（位移）單獨計算，然后再疊加，所以在下面的討論中，我們可將條剛暫時理解為4×4階的。對應于第m個諧波的條元剛度方程為：35三、總剛度矩陣及總剛方程的建立總剛的形成仍然采用前述直接剛度法，即由各結線的平衡條件建立平衡方程，其過程亦與前述大致相同，現(xiàn)簡述如下：首先將對應第m個諧波的條剛按結線分塊：(5-4-3)36條剛中的每個子塊均為2×2。子塊具有兩重下標，內下標ij指示子塊在總剛中的結線位置，外層下標指示子塊對應的諧波號。按結線將其展開得:(5-4-3a)然后根據(jù)結線平衡條件，即可建立求解結線位移的平衡方程。

37例：圖示簡支板，將其劃分成五個條元。根據(jù)結線的平衡條件有：{P2}m={F2}m①+{F2}m②

按照在桿系中的相同方法，將{F2}m①、{F2}m②用5-4-3代替，并將條元結線位移用整體位移代替后,便可得:對每條結線取平衡，均可獲得一個類似的平衡方程，于是可裝配成總剛，同樣可由“對號入座”的方法形成總剛度方程如下：38結線上的外荷載39由式可見，只有相交于結線i的兩個板條才可能對總剛矩陣i行子塊有“貢獻”。因此，形成總剛的某行時，只需考慮對應結線左、右條剛的子塊。而與其它條元的條剛無關，由于這一特性，使得簡支板總剛的帶寬很?。ò霂拑H為4），與板單元比較，若上例采用5×5網(wǎng)格，則未知數(shù)n=6×6×3=108,半帶寬D=3×(7-1)=18，規(guī)模要大得多。對每一諧波求解，可得第m個諧波所對應的結線位移，重復上述過程，將1～r個諧波的位移疊加即得最后位移(內力)。由上可見，采用有限條法，不僅可大大提高計算速度，還可視諧波數(shù)r的多少，無限逼近其精確解。40四、條元內力

在工程中，板的分析通常是要求獲知其內力（或應力），由條元內力矩陣：彎矩和扭矩的物理量與在板的基本理論一節(jié)中所述相同。41五、荷載等效變換

荷載的等效變換仍然采用有限元中按能量原理推導的一般公式獲得。設結線i、j上對應于第m個諧波的等效結線力為:則一般公式可與為:或寫成:42下面給出簡支條在幾種常用荷載下的公式:1.均布荷載q它比均布力作用的兩端固定梁的固端力相比，多了乘子2l/mp。432.集中力44當X0=0時(在i結線上)：當X0=0,y0=l/2(中點)時：453．局部分布力式中:46六、邊界條件的處理

當條元的結線邊界為非自由時，必須對結線的邊界約束情況加以處理，即修改總剛度方程。如上例，若為四邊簡支板（如圖），則對應有：由此可知，可通過處理邊界條件，利用簡支板的條元剛度矩陣計算另兩個邊界為各種不同支承情況的板。如結線邊界為簡支、固定、自由的情況。47應特別指出，當遇非簡支板條時（如兩端固定）即總剛與m個諧波藕聯(lián)時，則應對每個諧波均作邊界約束處理，這點在編程時應特別注意。如上例的總剛方程，若非簡支板而是固支板，且取前三個諧波計算，則總剛方程為:4849注意：由總剛度方程解出的結線位移只是各諧波的位移幅值，而不是結線位移，結線位移應按5-3-3計算，如：50輸入原始數(shù)據(jù)形成原始剛度矩陣形成結線荷載列陣引入支承條件解方程求結線位移，并累加D=D+δm計結線內力并累加，F(xiàn)=F+Fm結束條剛[S]mm計等效結線力彈性矩陣[D],幾何矩陣[B]m=1～r循環(huán)7.程序設計515.5簡支板有限條分析程序設計

結合一個算例，介紹簡支板有限條分析程序設計。條元劃分圖示為在第四章中分析過的四周簡支方板，但能否用簡支板條方法分析圖示四周簡支方形板？回答是肯定的。前面提到條元宜沿短邊方向劃分，如果是一正方形板，可沿某一邊長方向劃分條元。如果是對稱的，也可取半結構計算，如程序中的算例，便是取上一章分析過的12m方板的例題的一半作為計算對象。如下圖：52共劃分成6個條元，含有7條結線。532.原始數(shù)據(jù)

條元數(shù)M=6；計算次數(shù)ZS=4；約束數(shù)YS=2；荷載集度q=1；集中力數(shù)FJ=0板長L=12m；板寬B0=6m；μ=0.3；E0=3E5；厚度t=0.3約束邊界號BJ()=1,14；計算諧波號=1，3，5，7即可得原始數(shù)據(jù)文件內的輸入數(shù)據(jù)如下：6,4,2,1,012,6,0.3,3E5,0.31,141,3,5,7543.計算結果m=1deflectionrotationline10.000000.03194line20.031360.03028line30.059750.02618line40.083230.02058line50.100630.01411line60.111290.00716line70.114880.0000055DeflectionofMiddle-line00.0350.0680.0930.1090.1150.1090.0930.0680.0350MxMyStrip=12.8391762.302775Strip=24.6580824.161909Strip=35.8440965.603872Strip=46.5771196.628736Strip=56.9732157.240724Strip=67.0973177.44389156DeflectionofMiddle-line57m=3deflectionrotationline10.00000-0.00059line2-0.00055-0.00048line3-0.00094-0.00031line4-0.00119-0.00018line5-0.00133-0.00010line6-0.00139-0.00004line7-0.001410.0000058DeflectionofMiddle-line00.0010.0010.000-0.001-0.001-0.0010.0000.0010.0010MxMyStrip=1.2164175.2930753Strip=2.2466782.4666353Strip=3.2417718.5670096Strip=4.2316401.6212149Strip=5.2245702.6473111Strip=6.2222065.655017159DeflectionofMiddle-line60m=5deflectionrotationline10.000000.00008line20.000060.00005line30.000100.00002line40.000110.00001line50.000110.00000line60.000120.00000line70.000120.0000061DeflectionofMiddle-line00.0000.00-0.000-0.0000.0000.000-0.000-0.0000.000MxMyStrip=15.760285E-029.216719E-02Strip=25.123232E-02.1278349Strip=34.723469E-02.141498Strip=4.0455429.146269Strip=54.494305E-02.1478104Strip=64.481358E-02.14816562m=7deflectionrotationline10.00000-0.00002line2-0.00002-0.00001line3-0.00002-0.00000line4-0.00002-0.00000line5-0.00002-0.00000line6-0.00002-0.00000line7-0.000020.000006364DeflectionofMiddle-line00.000-0.0000.0000.000-0.0000.0000.000-0.0000.0000.000MxMyStrip=12.216982E-024.090515E-02Strip=21.726382E-025.088195E-02Strip=31.641952E-025.344707E-02Strip=41.627663E-025.401566E-02Stri