測(cè)試技術(shù)(第一章)3

工程測(cè)試技術(shù)——郭世偉第一章信號(hào)分析基礎(chǔ)（三）五、隨機(jī)信號(hào)（一）隨機(jī)信號(hào)的特征

隨機(jī)信號(hào)不能用確定的數(shù)學(xué)表達(dá)式表達(dá)。隨機(jī)信號(hào)不能準(zhǔn)確預(yù)測(cè)與復(fù)現(xiàn)，只能通過大量觀測(cè)記錄，可用離散數(shù)據(jù)序列、圖形形式等描述。用數(shù)理統(tǒng)計(jì)的原理描述其特征。對(duì)隨機(jī)過程進(jìn)行多次長時(shí)間的觀測(cè)。每次觀測(cè)為一個(gè)樣本函數(shù)，有限時(shí)間區(qū)間內(nèi)為一個(gè)樣本記錄。隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)參數(shù)有：均值、方差、均方值和均方根值等。集合平均和時(shí)間平均概念（這些概念也可應(yīng)用于周期信號(hào)）隨機(jī)過程的分類：平穩(wěn)隨機(jī)過程的集合平均值、方差值等不隨時(shí)間改變，為常數(shù)值。對(duì)于各態(tài)歷經(jīng)隨機(jī)過程，其任意樣本函數(shù)均包括了該隨機(jī)過程的全部特征?？蓮膯蝹€(gè)樣本函數(shù)中取若干樣本記錄，用其時(shí)間平均的統(tǒng)計(jì)特征來估計(jì)整個(gè)隨機(jī)過程的特征。實(shí)際工程中的隨機(jī)過程大多為各態(tài)歷經(jīng)性的，或在某一范圍內(nèi)具有各態(tài)歷經(jīng)性。以下均指的是各態(tài)歷經(jīng)性隨機(jī)過程。（二）信號(hào)的幅值域分析各態(tài)歷經(jīng)隨機(jī)過程的幅值域分析主要有：均值、均方值、方差等數(shù)字特征參數(shù)，和概率密度函數(shù)描述。1、數(shù)字特征參數(shù)（1）均值均值E[x(t)]表示集合平均值或數(shù)學(xué)期望值。對(duì)于各態(tài)歷經(jīng)隨機(jī)信號(hào)，也可用一個(gè)樣本函數(shù)的時(shí)間平均描述。實(shí)際中用樣本記錄來估計(jì)其均值均值：反映了信號(hào)變化的中心趨勢(shì)，也稱之為直流分量。（2）均方值信號(hào)的均方值E[x2(t)]，反映了信號(hào)的強(qiáng)度（平均功率）；其正平方根值，又稱為有效值(RMS)，也是信號(hào)平均能量的一種表達(dá)。定義和估計(jì)值分別為：工程測(cè)量中儀器的表頭示值就是信號(hào)的有效值。（3）方差

信號(hào)x(t)的方差定義為：

方差：反映了信號(hào)繞均值的波動(dòng)程度。大方差

小方差

估計(jì)值為2、概率密度函數(shù)

以幅值大小為橫坐標(biāo)，以每個(gè)幅值間隔內(nèi)出現(xiàn)的概率為縱坐標(biāo)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的方法。它反映了信號(hào)落在不同幅值強(qiáng)度區(qū)域內(nèi)的概率情況。在樣本記錄x(t)中，幅值落在某指定區(qū)間內(nèi)的總時(shí)間為：幅值落在該區(qū)間的概率為：概率密度函數(shù)反映了信號(hào)的瞬時(shí)值落在指定幅值區(qū)間內(nèi)的概率。也可用直方圖表示：以幅值大小為橫坐標(biāo)，以每個(gè)幅值間隔內(nèi)出現(xiàn)的頻次為縱坐標(biāo)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的一種方法。直方圖概率密度函數(shù)歸一化3、概率分布函數(shù)

概率分布函數(shù)是信號(hào)幅值小于或等于某值r的概率，其定義為：落在某一區(qū)間的概率為：4、由概密函數(shù)可求各數(shù)字特征參數(shù)：概密函數(shù)圖形特征，可用以判斷信號(hào)性質(zhì)用于機(jī)械故障診斷（三）信號(hào)的相關(guān)分析相關(guān)函數(shù)可定量地表示信號(hào)波形間的相似程度。1、相關(guān)的概念相關(guān)指變量之間的相依關(guān)系，統(tǒng)計(jì)學(xué)中用相關(guān)系數(shù)來描述變量x，y之間的相關(guān)性。是兩隨機(jī)變量之積的數(shù)學(xué)期望，稱為相關(guān)性，表征了x、y之間的關(guān)聯(lián)程度。xyxyxyxy2、相關(guān)函數(shù)相關(guān)函數(shù)可定量描述兩信號(hào)波形的相似程度。平穩(wěn)隨機(jī)過程的相關(guān)函數(shù)不隨時(shí)間起點(diǎn)而改變，為時(shí)差的函數(shù)，即僅與兩信號(hào)間的相對(duì)移動(dòng)量τ有關(guān)，故相關(guān)函數(shù)為時(shí)差τ的函數(shù)，反映了兩信號(hào)在時(shí)移中的相關(guān)性，稱為相關(guān)函數(shù)（又稱時(shí)差域分析）：稱為互相關(guān)分析。當(dāng)時(shí)，稱為自相關(guān)函數(shù)：由定義可知：計(jì)算時(shí)，令x(t)、y(t)二個(gè)信號(hào)之間產(chǎn)生時(shí)差τ，再相乘和積分，就可以得到τ時(shí)刻二個(gè)信號(hào)的相關(guān)性。

x(t)y(t)時(shí)延器

乘法器

y(t-τ)X(t)y(t-τ)積分器

Rxy(τ)相關(guān)分析的離散化計(jì)算信號(hào)間為了具有相互定量可比性，用均值和方差進(jìn)行處理，消除均方值不等的影響，成為相關(guān)系數(shù)：實(shí)際計(jì)算中用有限積分時(shí)間的離散值估算：相關(guān)系數(shù)，其值越大，相似程度越高。等于1時(shí)兩波形完全相似，但為-1時(shí)相位相反，等于0時(shí)兩波形間不存在相似關(guān)系。相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)

相關(guān)函數(shù)描述了兩個(gè)信號(hào)間或信號(hào)自身不同時(shí)刻的相似程度，通過相關(guān)分析可以發(fā)現(xiàn)信號(hào)中許多有規(guī)律的東西。自相關(guān)函數(shù)性質(zhì)：（1）自相關(guān)函數(shù)是的偶函數(shù)，Rx()=Rx(-)；（2）當(dāng)=0時(shí)，自相關(guān)函數(shù)具有最大值，且（3）周期信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)仍然是同頻率的周期信號(hào)，但不保留原信號(hào)的相位信息。互相關(guān)函數(shù)性質(zhì)：（1）不是偶函數(shù)，但有（2）兩等周期信號(hào)的互相關(guān)函數(shù)仍然是同頻率的周期信號(hào)，且保留原了信號(hào)的相位信息。（3）兩個(gè)非同頻率的周期信號(hào)互不相關(guān)，且。（4）隨機(jī)信號(hào)的相關(guān)函數(shù)將隨的增大快速衰減。相關(guān)分析的工程應(yīng)用

案例：機(jī)械加工表面粗糙度自相關(guān)分析被測(cè)工件相關(guān)分析提取出回轉(zhuǎn)誤差等周期性的故障源。用來檢測(cè)混淆在干擾信號(hào)中的確定性周期信號(hào)成分。案例：自相關(guān)分析測(cè)量轉(zhuǎn)速理想信號(hào)干擾信號(hào)實(shí)測(cè)信號(hào)自相關(guān)系數(shù)提取周期性轉(zhuǎn)速成分。案例：地下輸油管道漏損位置的探測(cè)

案例：AGV小車定位，聲位筆定位相關(guān)測(cè)速法運(yùn)動(dòng)物體速度的測(cè)量案例：互相關(guān)汽車測(cè)速互相關(guān)分析可應(yīng)用于：同頻檢測(cè)技術(shù)，相關(guān)濾波器，從噪聲背景中分離出有用信號(hào)。滯后時(shí)間確定信號(hào)源定位測(cè)速測(cè)距離教材中例題的講解（四）功率譜密度分析功率譜分析是從頻域研究平穩(wěn)隨機(jī)過程的重要方法。1、自功率譜密度函數(shù)平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)的相關(guān)函數(shù)和功率譜是傅立葉變換的關(guān)系，定義自功率譜密度函數(shù)為：它為雙邊譜，也有單邊譜密度函數(shù)，定義域?yàn)?，有：此即著名的維納—辛欽公式2、功率譜的物理意義

可見，自功率譜密度函數(shù)曲線與頻率軸包圍的面積就等于信號(hào)的平均功率，則自功率譜密度函數(shù)就是單位頻帶寬度內(nèi)的信號(hào)功率，描述了信號(hào)功率隨頻率的分布規(guī)律，具有功率密度的含義。3、自功率譜密度函數(shù)與幅頻譜之間的關(guān)系由頻率卷積定理推導(dǎo)得帕什瓦爾能量積分等式：在整個(gè)時(shí)間軸上的信號(hào)平均功率為：性質(zhì)：（1）自功率譜密度函數(shù)為實(shí)偶函數(shù)。（2）自功率譜密度函數(shù)不僅可由相關(guān)函數(shù)的傅立葉變換得到，也能由信號(hào)幅值頻譜得到，但失去了原信號(hào)的相位信息。（3）信號(hào)的自功率譜密度函數(shù)和幅值頻譜函數(shù)均反映了原信號(hào)的頻譜結(jié)構(gòu)，但前者反映的是幅頻譜的平方，使原信號(hào)的頻譜結(jié)構(gòu)特征更為明顯。周期圖法建立在FFT的基礎(chǔ)上，它為一種經(jīng)典譜估計(jì)法，還需要對(duì)它進(jìn)行平滑處理，如分段平均。4、互功率譜密度函數(shù)（1）互功率譜密度函數(shù)與互相關(guān)函數(shù)間關(guān)系為傅立葉變換?；スβ首V密度函數(shù)不象自功率譜那樣有明顯物理意義，但可在頻域內(nèi)描述兩個(gè)隨機(jī)信號(hào)的相關(guān)性。實(shí)際計(jì)算中的互譜估計(jì)式為：（2）相干函數(shù)常用相干函數(shù)來描述輸入信號(hào)和輸出信號(hào)之間的因果性，即輸出信號(hào)的功率譜中有多少是輸入量所引起的響應(yīng)。