有限元分析-溫度場與熱變形問題專題教學(xué)課件

第九章

溫度場與熱變形問題

9-1溫度場與熱變形問題

9-2溫度場問題的基本方程

9-3平面穩(wěn)態(tài)溫度場的有限元法

9-4熱變形的計算2021/4/171精品PPT2.1直梁2.1.1梁有限元模型2.1.2節(jié)點位移與節(jié)點載荷2.1.3單元剛度矩陣2.1.4單元剛度矩陣的疊加2.1.5邊界條件2.1.6工程實例2.2平面剛架2.2.1有限元法基本思想節(jié)點位移與節(jié)點載荷2.2.2單元剛度矩陣2.2.3單元剛度矩陣的坐標(biāo)變換2.2.4總的剛度矩陣疊加2.2.5位移法基本方程2.3工程實例2.2.1有限元法基本思想節(jié)點位移與節(jié)點載荷2.2.2單元剛度矩陣2.2.3單元剛度矩陣的坐標(biāo)變換2.2.4總的剛度矩陣疊加2.2.5位移2021/4/172精品PPT9-1溫度場與熱變形問題

工程中的許多結(jié)構(gòu)在高溫條件下工作或由于工作過程中運(yùn)動副的摩擦發(fā)熱，都會導(dǎo)致結(jié)構(gòu)產(chǎn)生溫度升高，產(chǎn)生熱變形或溫度應(yīng)力，因此，減少或控制熱變形/溫度應(yīng)力是設(shè)計中不可忽視的問題。工程設(shè)計中，常期望準(zhǔn)確地計算出結(jié)構(gòu)各個部位的溫升或熱變形量，分析結(jié)構(gòu)的熱平衡狀況，從而達(dá)到改進(jìn)結(jié)構(gòu)設(shè)計或環(huán)境設(shè)計，減少熱變形對工作精度的影響。本章介紹：

1、溫度場問題的基本方程

2、平面穩(wěn)態(tài)溫度場的有限元法

3、熱變形的計算2021/4/173精品PPT9-2溫度場問題的基本方程一般三維問題，物體各點的溫度是坐標(biāo)和時間變化的，即熱平衡原理：任一dt時間內(nèi)，物體內(nèi)任一微元體所積蓄的熱量（即溫度升高所需的熱量）等于傳入該微元體的熱量與微元體內(nèi)熱源所產(chǎn)生的熱量之和。即xyzdxdzdyyQ

微元溫度傳入微元微元內(nèi)升高=

的

+

產(chǎn)生所需熱量凈熱量的熱量2021/4/174精品PPT設(shè)微元在dt內(nèi)，溫度升高為：相應(yīng)所積蓄的熱量為：同一時間內(nèi)，微元體沿x方向傳入和傳出的熱量之差，即凈熱量為：類似，y，z方向的凈熱量：即傳入微元體的凈熱量為：由熱傳導(dǎo)定律：熱流密度與溫度梯度成正比，而方向相反，即：代入上式得傳入微元體凈熱量為：2021/4/175精品PPT設(shè)微元體內(nèi)有熱源，其熱源密度為Q(x,y,z,t)，則該熱源在dt內(nèi)所共給的熱量為：據(jù)熱平衡得一般熱傳導(dǎo)微分方程：微元體溫度升高所需的熱量三個方向傳入微元體的凈熱量微元體內(nèi)熱源產(chǎn)生的熱量

——物體密度c——比熱，單位質(zhì)量物體溫度升高一度所需的熱量——

熱傳導(dǎo)系數(shù)2021/4/176精品PPT整理得：滿足上述熱傳導(dǎo)方程的解有無限多個，為了確定真實的溫度場，必須知道物體初始瞬態(tài)的溫度分布，即初始條件，稱為第一類邊界條件同時，還需知道物體表面與周圍介質(zhì)間進(jìn)行熱交換的規(guī)律，即邊界條件，稱為第二類邊界條件。2021/4/177精品PPT1、三維瞬態(tài)熱傳導(dǎo)方程及邊界條件2、二維穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)方程及邊界條件若物體內(nèi)無熱源，則方程退化為二維無熱源穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)方程2021/4/178精品PPT9-3平面穩(wěn)態(tài)溫度場的有限元法1、泛函與變分函數(shù)y=f(x)求y的極值，即求微分，由dy=0可得。泛函J=J[y(x)]函數(shù)y(x)為自變量，J為函數(shù)y的函數(shù)，稱J為y的泛函，求泛函的極值，即求變分，由可得。例：平面上AB兩點，連接AB的曲線很多，要求一條曲線使重物靠自重由A沿此曲線滑到B所需的時間最短，即求最速下降曲線。顯然，AB間直線路徑最短，但重物運(yùn)動的速度增長并不是最大，即下滑的時間并非最短。xyvpBA設(shè)AB間有n條曲線，每條曲線對應(yīng)一個時間，即T是y(x)函數(shù)，即泛函，求變分的極值則可得最速下降曲線有關(guān)泛函的具體構(gòu)造可參考相關(guān)教材2021/4/179精品PPT2、平面穩(wěn)態(tài)溫度場的泛函求滿足平面溫度場方程及邊界條件的溫度場T(x,y),設(shè)k為常數(shù)據(jù)變分原理，此問題等價于求泛函J[T(x,y)]的極值函數(shù)，參考相關(guān)教材，可得上述熱傳導(dǎo)作為歐拉方程的相應(yīng)泛函：求解域內(nèi)部溫度場相應(yīng)的泛函求解域邊界部分溫度場相應(yīng)的泛函2021/4/1710精品PPT9、人的價值，在招收誘惑的一瞬間被決定。2023/2/32023/2/3Friday,February3,202310、低頭要有勇氣，抬頭要有低氣。2023/2/32023/2/32023/2/32/3/20234:58:31PM11、人總是珍惜為得到。2023/2/32023/2/32023/2/3Feb-2303-Feb-2312、人亂于心，不寬余請。2023/2/32023/2/32023/2/3Friday,February3,202313、生氣是拿別人做錯的事來懲罰自己。2023/2/32023/2/32023/2/32023/2/32/3/202314、抱最大的希望，作最大的努力。03二月20232023/2/32023/2/32023/2/315、一個人炫耀什么，說明他內(nèi)心缺少什么。。二月232023/2/32023/2/32023/2/32/3/202316、業(yè)余生活要有意義，不要越軌。2023/2/32023/2/303February202317、一個人即使已登上頂峰，也仍要自強(qiáng)不息。2023/2/32023/2/32023/2/32023/2/33、溫度場單元分析圖示求解域離散為若干三角形單元，含有邊界的單元，稱為邊界單元，任取一個單元i,j,k,如圖。A、溫度插值函數(shù)在邊界線(如ij)上的任一點的溫度T，可用兩個端點的節(jié)點溫度線性插值表示：xyoxyoT(x,y)jiks2021/4/1712精品PPTB、單元溫度剛度矩陣從溫度場插值函數(shù)可知，溫度場已離散到全部節(jié)點上，即求溫度場實際是求節(jié)點的溫度值。因而，泛函式實際已成為描述未知節(jié)點溫度的多元函數(shù)，而不是溫度場T(x,y)的函數(shù)，即問題轉(zhuǎn)化為求多元函數(shù)的極值設(shè)求解域有n個節(jié)點溫度未知量，則泛函J[T(x,y)]轉(zhuǎn)化為的形式，極值條件為：設(shè)單元只有三節(jié)點溫度，jk為邊界，將溫度插值函數(shù)代入前述的泛函，并求導(dǎo)得極值條件：2021/4/1713精品PPT上式第一部分為內(nèi)部單元的溫度剛陣：對于內(nèi)部單元的溫度剛陣，i,j,k三點輪換，記為矩陣形式：第二部分：記為矩陣形式：兩部分相加可得邊界單元的溫度剛陣：2021/4/1714精品PPT3、整體溫度場方程為n個線性方程組，對于每個方程而言，是對繞節(jié)點m的所有單元求和，如圖，節(jié)點5，則繞節(jié)點5的單元為1，2，3，而其它單元不含節(jié)點5，即它們的泛函對的偏導(dǎo)為0，可不考慮，即如單元1，3為邊界單元，則按邊界單元剛陣計算；如單元2為內(nèi)部單元，則按內(nèi)部單元剛陣計算。如此整理可得整體代數(shù)方程組：對于其他帶熱源的穩(wěn)態(tài)溫度場或三維溫度場計算其方法相似。xyo12315462021/4/1715精品PPT9-4熱變形的計算當(dāng)彈性體的溫度改變時，體內(nèi)各部分將隨溫度變化而產(chǎn)生變形，這種變形常稱為熱變形?？紤]到彈性體實際工作中都受到外界和體內(nèi)各個部分間的約束，故熱變形往往不能自由發(fā)生，從而將導(dǎo)致體內(nèi)產(chǎn)生應(yīng)力，這種應(yīng)力常稱為熱應(yīng)力。與之對應(yīng)的溫度的改變常稱為熱載荷。設(shè)二維平面問題的彈性體兩個瞬時的溫度變化為，材料的線膨脹系數(shù)為，對各向同性材料，熱膨脹只產(chǎn)生正應(yīng)變，不伴隨產(chǎn)生剪應(yīng)變。即若將物體由熱變形產(chǎn)生的應(yīng)變可視為物體的初應(yīng)變，則計算熱應(yīng)力只需算出熱變形引起的初應(yīng)變，求得相應(yīng)初應(yīng)變引起的等效節(jié)點載荷（溫度等效節(jié)點載荷），然后按通常求解剛度方程計算出節(jié)點位移即可。2021/4/1716精品PPT設(shè)熱變形引起的初應(yīng)變：則考慮初應(yīng)變情況的彈性方程(如平面應(yīng)力問題)：應(yīng)力方程：對比不考慮初應(yīng)變的應(yīng)力方程：剛度方程：不計初應(yīng)變的剛度方程考慮初應(yīng)變的剛度方程溫度等效節(jié)點載荷2021/4/1717精品PPT9、人的價值，在招收誘惑的一瞬間被決定。2023/2/32023/2/3Friday,February3,202310、低頭要有勇氣，抬頭要有低氣。2023/2/32023/2/32023/2/32/3/20234:58:31PM11、人總是珍惜為得到。2023/2/32023/2/32023/2/3Feb-2303-Feb-2312、人亂于心，不寬余請。2023/2/32023/2/32023/2/3Friday,February3,202313、生氣是拿別人做錯的事來懲罰自己。2023/2/32023/2/32023/2/32023/2/32/3/202314、抱最大的希望，作最大的努力。03二月20