電磁場與電磁波第一章矢量2014

1電磁場與電磁波電磁場理論基礎2第1章矢量分析授課：高洪民taoloveit@163.com138112882283第1章矢量分析授課：高洪民taoloveit@163.co/p>

電磁波是電磁場的一種運動形態(tài)。電與磁可說是一體兩面，電流會產生磁場，變動的磁場則會產生電流。變化的電場和變化的磁場構成了一個不可分離的統(tǒng)一的場，這就是電磁場。變化的電磁場在空間的傳播形成了電磁波，電磁的振幅變動就如同微風輕拂水面產生水波一般，因此被稱為電磁波，也常稱為電波。41、課程簡介①先修內容：電磁學（普通物理） 高等數(shù)學 工程數(shù)學②后續(xù)課程：本科——微波技術基礎、天線原理 等碩士——高等電磁理論、射頻電路 等③應用：

A.“微波技術研究所”涉及的領域

高頻電路分析、天線設計、雷達、隱身技術、計算電磁學

B.更廣泛的領域 通信、遙感、遙控遙測、電磁兼容、生物電磁學……5

電磁場理論基礎靜態(tài)場靜態(tài)電場靜態(tài)磁場（第四章）靜電場（第二章）恒定電場（第三章）時變場時變電磁場（第七章） 基本原理電磁波輻射（第十章） 天線原理矢量分析（第一章） 高等數(shù)學靜電場邊值問題（第五章） 工程數(shù)學（二~五章）（六~九章）電磁感應（第六章） 引子電磁波的傳播有界空間（第九章）微波技術基礎無界空間（第八章）電磁學62、參考書目（教材）①《電磁場與電磁波》（第三版、第四版）謝處方、饒克謹

O441.42=3、O441.42=4 16開 ②《電磁場與電磁波》

焦其祥

O441.4104 16開③《電磁場與電磁波》（第一版、第二版）

BhagSinghGuru著周克定等譯

O441.482、O441.482=2 16開72、參考書目（習題）①《電磁場理論解題指導》

馮亞伯、江志云、崔正勤

O441.4–44/5 16開②《電磁場與電磁波解題指南》

余恒清

O441.4–44/12 16開③《電磁場的難題和例題分析》

張文燦、鄧親俊

O441.4–44/2 32開84、輔導地址：理工大學4#教學樓413室電話-Mail：gaohm@3、作業(yè)①每人準備至少兩本作業(yè)本②獨立完成，嚴禁抄襲9在電磁理論中，研究某些物理量時，需要知道這些物理量的空間分布和變化規(guī)律，如電位、電場強度和磁場強度等，因此引入了場的概念。即：場是用來研究某些物理量的空間分布和變化規(guī)律的量。

如果某一物理量在每一時刻、在空間中的某一點都有確定的值，則稱在此空間確定了該物理量的場。電磁場是分布在三維空間的矢量場，什么是矢量，首先從標量談起。10本章內容1.1矢量代數(shù)1.2三種常用的正交曲線坐標系1.3

標量場的梯度1.4

矢量場的通量與散度1.5

矢量場的環(huán)流與旋度1.6

無旋場與無散場1.7

拉普拉斯運算與格林定理1.8

亥姆霍茲定理11

電磁場是分布在三維空間的矢量場，什么是矢量，首先從標量談起。P11.1矢量代數(shù)1.1.1標量和矢量P21.1.2矢量的加法和減法1.1.3矢量的乘法12電磁場是分布在三維空間的矢量場，什么是矢量，首先從標量談起。1.1.1標量和矢量任一代數(shù)量可以叫做標量，給標量一個物理單位，就得到有物理意義的標量，也叫做物理量。如電壓u、電荷量Q、質量m、能量W等賦予矢量一個“物理單位”，則得到具有物理意義的矢量。如電場強度矢量、磁場強度矢量、作用力矢量、速度矢量等131.標量和矢量矢量的大小或模：矢量的單位矢量：標量：一個只用大小描述的物理量。矢量的代數(shù)表示：1.1矢量代數(shù)矢量：一個既有大小又有方向特性的物理量，常用黑體字母或帶箭頭的字母表示。

矢量的幾何表示：一個矢量可用一條有方向的線段來表示

注意：單位矢量不一定是常矢量。

矢量的幾何表示常矢量：大小和方向均不變的矢量。

14矢量用坐標分量表示zxy15（1）矢量的加減法

兩矢量的加減在幾何上是以這兩矢量為鄰邊的平行四邊形的對角線,如圖所示。矢量的加減符合交換律和結合律2.矢量的代數(shù)運算矢量的加法矢量的減法

在直角坐標系中兩矢量的加法和減法：結合律交換律16（2）標量乘矢量（3）矢量的標積（點積）——矢量的標積符合交換律q矢量與的夾角——矢量的平行、重合——矢量的正交、垂直（1.2.4)p417（4）矢量的矢積（叉積）符合右手螺旋法則qsinABq矢量與的叉積單位坐標矢量若，則若，則不符合交換律18（4）矢量的矢積（叉積）符合右手螺旋法則qsinABq矢量與的叉積用坐標分量表示為寫成行列式形式為（1.2.5)p419（5）矢量的混合運算——

分配律——

分配律——

標量三重積——

矢量三重積20

場是用來研究某些物理量的空間分布和變化規(guī)律的量。矢量分析是研究電磁場在空間的分布和變化規(guī)律的基本數(shù)學規(guī)律之一。為研究具有物理意義的矢量，需要把矢量放置在空間，因此物理量的空間分布首先涉及到坐標系。

1.2

三種常用的正交坐標系21

坐標系是將空間的點的位置用一組有順序的、一一對應的數(shù)值來建立有關點的數(shù)學模型。對于位于平面上的一個點，只需一組二維獨立坐標便可確定其位置；而對于空間中的點，任何描述三維空間的點的坐標系則需要三個獨立的坐標變量。當坐標變量為單一常數(shù)時，分別代表空間的三組曲面或平面，稱為坐標面。如果每兩組坐標面相交成線，則其交線稱為坐標曲線。1.2

三種常用的正交坐標系22

直角坐標系、圓柱坐標系和球坐標系是正交坐標系中最常見的三種坐標系。

在電磁場與電磁波理論中，三種常用的正交坐標系即采用：直角坐標系、圓柱坐標系和球坐標系。1.2

三種常用的正交坐標系231.2

三種常用的正交曲線坐標系

三維空間任意一點的位置可通過三條相互正交曲線的交點來確定。由三條正交曲線組成的、用來確定三維空間任意點位置的體系，稱為正交曲線坐標系；三條正交曲線稱為坐標軸；描述坐標軸的量稱為坐標變量。若過空間任意M點的三條坐標曲線兩兩相互正交，則稱這種坐標系為正交坐標系。為了研究某些物理量的空間分布和變化規(guī)律，必須引入坐標系。P31.2三種常用的正交坐標系241.直角坐標系

見WORD版課件P2課本p5坐標變量坐標單位矢量點P(x0,y0,z0)0yy=（平面）

o

x

y

z0xx=（平面）0zz=（平面）P

直角坐標系

x

yz直角坐標系的長度元、面積元、體積元

odzdydx25位置矢量面元矢量線元矢量體積元坐標變量坐標單位矢量點P(x0,y0,z0)0yy=（平面）

o

x

y

z0xx=（平面）0zz=（平面）P

直角坐標系

x

yz直角坐標系的長度元、面積元、體積元

odzdydx課本p51.直角坐標系

26坐標變量圓柱坐標系中的線元、面元和體積元圓柱坐標系（半平面）（圓柱面）（平面）課本p5坐標單位矢量的關系（1.2.13-15)課本p62.圓柱坐標系不是常矢量，其方向隨空間坐標變化坐標單位矢量27坐標變量圓柱坐標系中的矢量運算位置矢量線元矢量圓柱坐標系中的線元、面元和體積元圓柱坐標系（半平面）（圓柱面）（平面）課本p5課本p6、72.圓柱坐標系

在增加方向上的微分元是

同各自坐標的微分之比稱為度量系數(shù)或拉梅系數(shù)282.圓柱坐標系坐標變量圓柱坐標系中的矢量運算線元矢量體積元面元矢量圓柱坐標系中的線元、面元和體積元圓柱坐標系（半平面）（圓柱面）（平面）課本p5課本p7311.3標量場的梯度如果物理量是標量，稱該場為標量場。

例如：溫度場、電位場、高度場等。如果物理量是矢量，稱該場為矢量場。

例如：流速場、重力場、電場、磁場等。如果場與時間無關，則稱為靜態(tài)場，反之叫做時變場。

為了實現(xiàn)全球導航定位，借助GPS系統(tǒng)，我們可以給出一個載體的空間位置和時間，即定位、授時。確定空間區(qū)域上的每一點都有確定的物理量與之對應，則稱在該區(qū)域上定義了一個場。1標量場和矢量場321.3標量場的梯度如果物理量是標量，稱該場為標量場。

例如：溫度場、電位場、高度場等。如果物理量是矢量，稱該場為矢量場。

例如：流速場、重力場、電場、磁場等。如果場與時間無關，稱為靜態(tài)場，反之為時變場。1標量場和矢量場從數(shù)學上看，場是定義在空間區(qū)域上的函數(shù)：時變標量場和矢量場可分別表示為與時間有關：

靜態(tài)標量場和矢量場可分別表示為與時間無關：33標量場的等值面

等值面:

標量場取得同一數(shù)值的點在空間形成的曲面。等值面方程：常數(shù)C取一系列不同的值，就得到一系列不同的等值面，形成等值面族；標量場的等值面充滿場所在的整個空間；標量場的等值面互不相交。

等值面的特點：意義:

形象直觀地描述了物理量在空間的分布狀態(tài)。標量場的等值線(面)曲面“平行”：341.3標量場的梯度標量場描述了場量如：溫度場、電位場、高度場等物理量的分布情況。矢量場描述了場量如：流速場、重力場、電場、磁場等物理量的分布情況為了從數(shù)學研究標量場在場中任一點沿各個方向的變化，引入方向導數(shù)和梯度。

分析標量場沿著任意一個矢量的變化率情形，并考慮復合函數(shù)的微分求解辦法。352.方向導數(shù)意義：方向導數(shù)表示場沿某方向的空間變化率。概念：

——

u(M)沿方向增加；

——

u(M)沿方向減??；

——

u(M)沿方向無變化。

M0M方向導數(shù)的概念

取課本p11——

的方向余弦。為dx/dy/dz所圍小體積的對角線361.3標量場的梯度標量場從一個點出發(fā)有無窮多個方向標量場在同一個點M處沿不同方向的變化率不同。標量場在某點M出發(fā)的某個方向上的變化率最大。特點：方向導數(shù)既與點M0有關，也與方向有關。問題：在什么方向上變化率最大、其最大的變化率為多少？M0M方向導數(shù)的概念

概念：，其中是取得最大值的方向(1.3.5)371.3標量場的梯度M0M方向導數(shù)的概念

標量場的梯度：，其中是取得最大值的方向梯度的表達式：直角坐標系

意義：描述標量場在某點的最大變化率及其變化最大的方向381.3標量場的梯度M0M方向導數(shù)的概念

標量場的梯度：，其中是取得最大值的方向意義：描述標量場在某點的最大變化率及其變化最大的方向P12（1.3.8）：哈密頓Nabla算符，矢性微分算符393.標量場的梯度（或）概念：，其中

取得最大值的方向當方向l與G方向一致時，方向導數(shù)最大根據(jù)哈密頓Nabla算符，矢性微分算符根據(jù)對應40圓柱坐標系

球坐標系3.標量場的梯度（或）(1.3.10)(1.3.11)直角坐標系

41標量場的梯度是矢量場，它在空間某點的方向表示該點場變化最大（增大）的方向，其數(shù)值表示變化最大方向上場的空間變化率。標量場在某個方向上的方向導數(shù)，是梯度在該方向上的投影。梯度的性質：梯度運算的基本公式：標量場的梯度垂直于通過該點的等值面（或切平面）常數(shù)微分常數(shù)與函數(shù)的函數(shù)之和的函數(shù)之積的復合函數(shù)的42

解

(1)由梯度計算公式，可求得P點的梯度為

例1.2.1

設一標量函數(shù)(x,y,z)=x2＋y2－z

描述了空間標量場。試求：

(1)該函數(shù)在點P(1,1,1)處的梯度，以及表示該梯度方向的單位矢量。

(2)求該函數(shù)沿單位矢量方向的方向導數(shù)，并以點P(1,1,1)處的方向導數(shù)值與該點的梯度值作以比較，得出相應結論。43表征其方向的單位矢量

(2)由方向導數(shù)與梯度之間的關系式可知，沿el方向的方向導數(shù)為對于給定的P點，上述方向導數(shù)在該點取值為cos0=1,cos900=144而該點的梯度值為

顯然，梯度描述了P點處標量函數(shù)的最大變化率，即最大的方向導數(shù)，故恒成立。451.4矢量場的通量與散度

1.矢量線

意義：形象直觀地描述了矢量場的空間分布狀態(tài)。矢量線方程：概念：矢量線是這樣的曲線，其上每一點的切線方向代表了該點矢量場的方向。矢量線OM

462.矢量場的通量

問題：如何定量描述矢量場的大??？引入通量的概念。

通量的概念其中：——面積元矢量；——面積元的法向單位矢量；——穿過面積元的通量。

如果曲面S是閉合的，則規(guī)定曲面的法向矢量由閉合曲面內指向外，矢量場對閉合曲面的通量是面積元矢量符合右手螺旋法則47通過閉合曲面有凈的矢量線穿出有凈的矢量線進入進入與穿出閉合曲面的矢量線相等矢量場通過閉合曲面通量的三種可能結果

閉合曲面的通量從宏觀上建立了矢量場通過閉合曲面的通量與曲面內產生矢量場的源的關系。通量的物理意義閉合曲面內部有正通量源閉合曲面內部有負通量源閉合曲面內部無通量源483.矢量場的散度泰勒公式493.矢量場的散度

為了定量研究場與源之間的關系，需建立場空間任意點（小體積元）的通量源與矢量場（小體積元曲面的通量）的關系。利用極限方法得到這一關系：稱為矢量場的散度。

散度是矢量通過包含該點的任意閉合小曲面的通量與曲面元體積之比的極限。50直角坐標系下散度表達式的推導

由此可知，穿出前、后兩側面的凈通量值為令包圍P點的微體積V為一直平行六面體，如圖所示。則oxy在直角坐標系中計算zzDxDyDP51直角坐標系下散度表達式的推導

令包圍P點的微體積V為一直平行六面體，如圖所示。oxy在直角坐標系中計算zzDxDyDP穿出前側面的凈通量值為52直角坐標系下散度表達式的推導

令包圍P點的微體積V為一直平行六面體，如圖所示。oxy在直角坐標系中計算zzDxDyDP穿出后側面的凈通量值為53直角坐標系下散度表達式的推導

由此可知，穿出前、后兩側面的凈通量值為令包圍P點的微體積V為一直平行六面體，如圖所示。則oxy在直角坐標系中計算zzDxDyDP54直角坐標系下散度表達式的推導

由此可知，穿出前、后兩側面的凈通量值為令包圍P點的微體積V為一直平行六面體，如圖所示。oxy在直角坐標系中計算zzDxDyDP

穿出前側面的凈通量值為

穿入后側面的凈通量值為55直角坐標系下散度表達式的推導

由此可知，穿出右、左兩側面的凈通量值為（參考）令包圍P點的微體積V為一直平行六面體，如圖所示。則oxy在直角坐標系中計算zzDxDyDP

穿出右側面的凈通量值為（參考）

穿入左側面的凈通量值為（參考）56根據(jù)定義，則得到直角坐標系中的散度表達式為

同理，分析穿出另外兩組側面的凈通量，并合成之，即得由點P穿出該六面體的凈通量為57圓柱坐標系球坐標系直角坐標系散度的表達式：散度的有關公式：584.散度定理體積的剖分VS1S2en2en1S

從散度的定義出發(fā)，可以得到矢量場在空間任意閉合曲面的通量等于該閉合曲面所包含體積中矢量場的散度的體積分，即

散度定理是閉合曲面積分與體積分之間的一個變換關系，在電磁理論中有著廣泛的應用。59通過閉合曲面有凈的矢量線穿出有凈的矢量線進入進入與穿出閉合曲面的矢量線相等矢量場通過閉合曲面通量的三種可能結果

閉合曲面的通量從宏觀上建立了矢量場通過閉合曲面的通量與曲面內產生矢量場的源的關系。通量的物理意義閉合曲面內部有正通量源閉合曲面內部有負通量源閉合曲面內部無通量源601.5矢量場的環(huán)流與旋度

矢量場的環(huán)流與旋渦源

例如：流速場。

不是所有的矢量場都由通量源激發(fā)。存在另一類不同于通量源的矢量源，它所激發(fā)的矢量場的力線是閉合的，它對于任何閉合曲面的通量為零。但在場所定義的空間中閉合路徑的積分不為零。61環(huán)流的概念

矢量場對于閉合曲線C的環(huán)流定義為該矢量對閉合曲線C的線積分，即62

如磁場沿任意閉合曲線的積分與通過閉合曲線所圍曲面的電流成正比，即上式建立了磁場的環(huán)流與電流的關系。

磁感應線要么不穿過曲面磁感應線要么同時穿入和穿出曲面磁感應線

安培環(huán)路定理：磁場強度H沿閉合路徑C的環(huán)流就是通過以C為邊界的有向曲面S的總電流。63

安培環(huán)路定理：磁場強度H沿閉合路徑C的環(huán)流就是通過以C為邊界的有向曲面S的總電流。取則上式建立了磁場強度的環(huán)流與電流的關系。

磁感應線要么穿過曲面磁感應線要么同時穿入和穿出曲面磁感應線

如環(huán)流不為零，則認為場中有產生該矢量的源，這種源不發(fā)出矢量線也不匯聚矢量線，它所產生的矢量場的矢量線是閉合曲線，叫做旋渦源。64如果矢量場的任意閉合回路的環(huán)流恒為零，稱該矢量場為無旋場，又稱為保守場。環(huán)流的概念

矢量場對于閉合曲線C的環(huán)流定義為該矢量對閉合曲線C的線積分，即如果矢量場對于任何閉合曲線的環(huán)流不為零，稱該矢量場為有旋矢量場，能夠激發(fā)有旋矢量場的源稱為旋渦源。電流是磁場的旋渦源。65

矢量場的環(huán)流給出了矢量場與積分回路所圍曲面內旋渦源宏觀聯(lián)系。為了給出空間任意點矢量場與旋渦源的關系，引入矢量場的旋度。

2.矢量場的旋度（）

（1）環(huán)流面密度稱為矢量場在點M處沿方向

的環(huán)流面密度。特點：其值與點M處的方向

有關。

過點M

作一微小曲面S，它的邊界曲線記為C，曲面的法線方向與曲線的繞向成右手螺旋法則。當S0時，極限(1.5.2)p2166而

推導

的示意圖如圖所示。oyDz

DyCMzx1234計算的示意圖

直角坐標系中、、的表達式67于是

同理可得故得泰勒公式68于是

同理可得故得概念：矢量場在M點處的旋度為一矢量，其數(shù)值為M點的環(huán)流面密度最大值，其方向為取得環(huán)量密度最大值時面積元的法線方向，即物理意義：旋渦源密度矢量。性質：（2）矢量場的旋度69概念：矢量場在M點處的旋度為一矢量，其數(shù)值為M點的環(huán)流面密度最大值，其方向為取得環(huán)量密度最大值時面積元的法線方向，即物理意義：旋渦源密度矢量。性質：（2）矢量場的旋度70旋度的計算公式:

直角坐標系寫成行列式形式為（1.2.5)p4（1.2.7)p2371旋度的計算公式:

直角坐標系

圓柱坐標系

球坐標系72旋度的有關公式：矢量場的旋度的散度恒為零標量場的梯度的旋度恒為零733.斯托克斯定理

斯托克斯定理是閉合曲線積分與曲面積分之間的一個變換關系式，也在電磁理論中有廣泛的應用。曲面的剖分方向相反大小相等結果抵消

從旋度的定義出發(fā)，可以得到矢量場沿任意閉合曲線的環(huán)流等于矢量場的旋度在該閉合曲線所圍的曲面的通量，即741.矢量場的源散度源：是標量，產生的矢量場在包圍源的封閉面上的通量等于（或正比于）該封閉面內所包圍的源的總和，源在一給定點的（體）密度等于（或正比于）矢量場在該點的散度；

旋度源：是矢量，產生的矢量場具有渦旋性質，穿過一曲面的旋度源等于（或正比于）沿此曲面邊界的閉合回路的環(huán)量，在給定點上，這種源的（面）密度等于（或正比于）矢量場在該點的旋度。1.6無旋場與無散場752.矢量場按源的分類（1）無旋場性質：

，線積分與路徑無關，是保守場。僅有散度源而無旋度源的矢量場，無旋場可以用標量場的梯度表示為例如：靜電場762.矢量場按源的分類（1）無旋場性質：

，線積分與路徑無關，是保守場。僅有散度源而無旋度源的矢量場，無旋場可以用標量場的梯度表示為例如：靜電場77（2）無散場僅有旋度源而無散度源的矢量場，即性質：無散場可以表示為另一個矢量場的旋度例如，恒定磁場78（3）無旋、無散場（源在所討論的區(qū)域之外）79（3）無旋、無散場（源在所討論的區(qū)域之外）（4）有散、有旋場這樣的場可分解為兩部分：無旋場部分和無散場部分無旋場部分無散場部分80（4）有散、有旋場這樣的場可分解為兩部分：無旋場部分和無散場部分無旋場部分無散場部分814.散度和旋度的區(qū)別

82梯度的表達式：直角坐標系

對于標量場的梯度（或）意義：描述標量場在某點的最大變化率及其變化最大的方向概念：，其中

取得最大值的方向標量場的梯度是矢量場，它在空間某點的方向表示該點場變化最大（增大）的方向，其數(shù)值表示變化最大方向上場的空間變化率。1.7拉普拉斯運算與格林定理

標量場的梯度是矢量場，再對求散度，即，則叫做標量場的拉普拉斯運算，記作。831.7拉普拉斯運算與格林定理

1.拉普拉斯運算

標量拉普拉斯運算概念：——拉普拉斯算符直角坐標系計算公式：圓柱坐標系球坐標系84

矢量拉普拉斯運算概念：即注意：對于非直角分量，直角坐標系中：如：852