第二天-單元選擇及幾何非線性

2-1.單元選擇ANSYS單元類型實體單元梁/管單元殼/膜單元桿/索單元彈簧元接觸單元表面效應單元質量單元超單元mesh200……單元公式傳統(tǒng)位移方法困難：剪切鎖定、體積鎖定Solid45KEYOPT(1)=1

由于剪切鎖定而很少使用增強應變(附加位移形狀)Solid45

缺省選項，彎曲變形選擇縮減積分(B-Bar)幾乎不可壓縮材料，體積變形一致縮減積分(URI)幾乎不可壓縮材料，彎曲變形混合U-P

公式不可壓縮材料，超彈性單元公式為何有如此多的不同單元公式?不同材料行為(彈性、塑性、超彈性)和不同的結構行為(體積變形、彎曲)需要選擇不同的單元公式。普通非線性求解非常費時，采用不同的單元技術可更加有效地解決各種類型的非線性問題。單元手冊的使用單元手冊中對每一種單元的定義、特點、適用范圍、輸入、輸出做了詳細說明。應該習慣于隨時查看單元手冊。傳統(tǒng)單元公式傳統(tǒng)的基于位移單元的積分點遵循Gauss積分法且和單元的階數(shù)相同。這稱為完全積分。換句話說,完全積分意味著數(shù)值積分方法對未發(fā)生幾何扭曲單元的應變能的所有分量是精確的。剪切鎖定在彎曲問題中，完全積分低階單元呈現(xiàn)“過分剛硬”。在彎曲中這種公式包括實際上并不存在的剪切應變，稱為寄生剪切。(從純彎曲中的梁理論可知剪切應變xy

=0)MMMM微體積純彎曲變形中，平直斷面保持平直，上下兩邊變成圓弧，xy=0。完全積分低階單元變形中，上下兩邊保持直線，不再保持直角，xy不等于0。xy體積鎖定泊松比接近或等于0.5引起數(shù)值上的困難:由于泊松比接近0.5,體積模量無窮大。很小的體積應變（可能是誤差）將會引起極大的靜水壓力（偽壓力）。由于體積應變由位移的導數(shù)計算出，所以其值不如位移精確。體積應變中任何小的誤差在靜水壓力(和應力)中被放大，這反過來又會影響位移計算。導致不會引起任何體積改變的位移無法產(chǎn)生，網(wǎng)格會‘鎖定’。體積鎖定體積鎖定可通過壓應力“棋盤狀”模式(相鄰單元間變化顯著)檢測出。

可用單元等值線繪圖(PLESOL)繪制靜水壓力(HPRES)等值線來驗證此行為。如懷疑存在體積鎖定，可試細分高靜水壓力區(qū)域的網(wǎng)格或改變單元類型。單元公式下面的各部分介紹用以克服剪切和體積鎖定的單元技術。

?增強應變(附加位移形狀)：形函數(shù)，剪切鎖定、體積鎖定

?選擇縮減積分(B-Bar)：積分方案，體積鎖定

?一致縮減積分(URI)：積分方案，剪切鎖定、體積鎖定

?混合U-P

公式：特殊自由度，體積鎖定單元公式單元選項允許用戶選擇合適的單元公式。MainMenu>Preprocessor>ElementType>Add/Edit/Delete…

“Options”buttonindialogbox若用命令,KEYOPT(1)用于PLANE182的B-bar,URI和增強應變KEYOPT(2)用于SOLID185的B-bar,URI和增強應變KEYOPT(6)用于所有實體/平面18x單元的混合U-P。SOLID185實例:“完全積分”是B-Bar

“縮減積分”是URI

增強應變是第三個選項“純位移”是缺省值

也可選擇“混合U/P”增強應變（附加位移形狀）公式

（彎曲、體積）給低階完全積分單元添加內(nèi)部自由度，一組（二維:4，三維:9)修正形函數(shù)以允許彎曲，另一組（二維:1，三維:4)處理體積鎖定，因其導致網(wǎng)格的縫隙和重疊，也被稱為非協(xié)調模式。出現(xiàn)剪切或體積鎖定時增強應變單元有用（如彎曲占優(yōu)勢的問題或幾乎不可壓縮材料行為）。以附加自由度為代價增加精度。增強應變公式無增強應變公式F2FFF2FFF2FFF2FF增強應變公式舊的單元支持增強應變的一個子集,稱為“附加位移形狀”。這些單元分別有4個內(nèi)部自由度(2D)和9個內(nèi)部自由度(3D)。來克服剪切鎖定。增強應變公式注意，適用于四邊形或六面體低階單元，當在退化形狀中生成增強應變單元時，增強應變不再起作用。例如Plane42為四邊形時有附加位移形狀,Plane182具有增強應變，但當退化為三節(jié)點三角形時二者成為常應變?nèi)切?。增強應變公式在四邊形或六面體中，有兩個單元可用增強應變:PLANE182(KEYOPT(1)=2)SOLID185(KEYOPT(2)=2)具有附加位移形狀的單元：

solid5,plane42,solid45,shell41,shell43,shell63,shell143,shell181.選擇縮減積分（體積）選擇縮減積分(又名B-bar方法)用低一階的積分方法對體積項積分。應力狀態(tài)可分解為靜水壓力(p)和偏差應力(s)兩項。

上面的方程中,ev

是體積應變，ed

是偏差應變.k是體積模量,G是剪切模量。選擇縮減積分應變通過下式和位移相關:而計算[B]時,對體積項和偏差項使用不同的積分階數(shù)。[Bv]以一個積分點計算(縮減積分)另一方面,[Bd]以2x2積分點計算(完全積分)選擇縮減積分如前一幻燈片所示，[B]的體積項和偏差項不是以同一積分階數(shù)計算，只有體積項用縮減積分，這就是該方法稱為選擇縮減積分的原因。因為[B]在體積項上平均，因此也稱為B-bar法。體積項[Bv]縮減積分的事實使[Bv]因為沒有被完全積分而‘軟化’，這樣允許求解幾乎不可壓縮行為和克服體積鎖定。然而，因為偏差項[Bd]不變，仍然存在寄生剪切應變，所以這個公式仍然容易剪切鎖定。具有選擇縮減積分的單元有：plane182,solid185一致縮減積分一致縮減積分(URI)采用比數(shù)值精確積分所需要的階數(shù)低一階的積分公式這和選擇縮減積分類似，但體積和偏差項都用縮減積分。這個公式更靈活，可幫助消除剪切和體積鎖定。體積項的縮減積分可以求解幾乎不可壓縮問題。偏差項的縮減積分防止彎曲問題中的剪切鎖定。然而URI可能會引起應變能為零的變形模式，這被稱為零能量或沙漏模式。沙漏模式沙漏模式是由于變形而引起零應變能的變形模式。如右圖所示兩例，在只有一個積分點的低階單元中，此單個積分點未獲得任何單元應變能。這可導致出現(xiàn)不切實際的行為。沙漏模式通常只是低階URI單元中的問題。只要在每一個方向上有多于一個的單元,高階URI單元的零能量模式就不會傳播。為控制沙漏模式ANSYS使用一個小的沙漏剛度來控制變形的零能量模式。ANSYS為沙漏剛度提供了缺省值。大部分情況下可直接使用缺省值，但也可以用一個實常數(shù)縮放因子改變沙漏剛度。任何情況下都應該監(jiān)控由沙漏模式產(chǎn)生的“虛假能量”，可以用單元表格項AENE來存儲“虛假能量”。最好使“虛假能量”與總能量的比值(AENE/SENE)小于5%。沙漏模式

有URI公式的ANSYS低階單元（通過Keyopt選擇）包括:

Plane182、Solid185、Solid45和Shell181。

如果模型中發(fā)生沙漏模式，推薦采取的步驟按優(yōu)先順序排列如下所示：去掉點載荷和點約束細化網(wǎng)格采用其它可選單元類型增大沙漏剛度縮放因子

有URI公式的ANSYS高階（二次）單元（默認）包括:

Plane82（采用2x2高斯積分規(guī)則）、Plane183、

Solid95（采用2x2x2高斯積分）、Solid186只有一個零能量模式，并且只要模型中有不止一個單元，零能量模式就不會傳播。

推薦大部分應用采用這些單元，因其一般無沙漏模式困難。一致縮減積分混合U-P公式U-P混合公式除位移外還把靜水壓力作為一個單獨的自由度，且位移和壓力自由度分別使用單獨的插值函數(shù)。U-P混合公式非常適合于不可壓縮材料模型，如橡膠和橡膠類材料。采用此種公式的ANSYS單元包括超彈性單元Hyper56、Hyper58、Hyper74和Hyper158、粘塑性實體單元Visco106、Visco107和Visco108，以及Plane182、Plane183、Solid185、Solid186、Solid187。單元公式

?增強應變公式：彎曲、體積變形（接近不可壓縮）

?選擇縮減積分(B-Bar)：體積變形（接近不可壓縮）

?一致縮減積分(URI)：彎曲、體積變形（接近不可壓縮）

?混合U-P

公：體積變形（完全不可壓縮）實體單元推薦可壓縮材料采用有附加位移形狀的一階單元(非退化形狀的Plane42,Solid45)，二階單元（plane82,solid95)適用于高應力梯度和應力集中區(qū)域中。需要四面體網(wǎng)格時，采用

Solid92(10節(jié)點四面體單元）。實體單元推薦幾乎不可壓縮材料

或

塑性可忽略彎曲的體結構變形采用Plane182,Solid185

選擇縮減積分(B-Bar)。對于小應變應用采用附加位移形狀單元Plane42,Solid45，或Plane182,Solid185

的增強應變。對于大應變應用采用具有URI(特別對于大模型)的Plane182

和Solid185

或具有URI的Plane82、Plane183、Solid95、Solid186

等。也可以采用

Visco106,Visco107和Visco108

單元(甚至對于與速率無關的塑性)。實體單元推薦不可壓縮材料(超彈性)類似橡膠材料的不可壓縮條件約束需要混合U-P公式，可采用單元Hyper56,Hyper58,Hyper158或Hyper74，以及Plane18x、Solid18x系列單元。殼單元-概述當結構的總體厚度相對于典型長度很小時可使用殼單元，長度比厚度大20倍以上的問題可決定使用殼單元。ANSYS中的殼單元根據(jù)要求解的問題類型采用不同的公式，三個基本的殼公式包括:薄膜理論,““薄”殼理論和“厚”殼理論。殼單元-概述薄膜理論

Shell41

采用薄膜理論。Shell41忽略彎曲和橫向剪切，只包含薄膜效應。經(jīng)典Love-Kirchhoff理論

Shell63

是“薄”殼單元。Shell63包含彎曲和薄膜效應但忽略橫向剪切變形。Reissner/Mindlin理論

Shell43,143,181,91,93，99

是“厚”殼單元。其包含彎曲、薄膜和橫向剪切效應。橫向剪切被表示為整個厚度上的常剪切應變,這種一階近似只適用于“中等厚度”殼體。平面變形中的殼單元平面內(nèi)殼的響應可認為是平面應力狀態(tài)，因此對于殼單元不會出現(xiàn)體積鎖定問題。(當絕對不可壓縮，泊松比=0.5時Shell181支持超彈性)對于薄膜現(xiàn)象，殼單元的平面公式與平面實體單元的公式相似(非協(xié)調模式)。Shell41,43,63和181對于平面內(nèi)變形支持非協(xié)調模式。Shell181

也支持具有沙漏控制的一致縮減積分(缺省選項)。殼單元推薦線性分析如殼的厚度較小采用Shell63，Shell63單元不包含橫向剪切效應。如橫向剪切變形重要，對于均勻材料采用Shell43,Shell93或Shell143，對于復合材料采用Shell91、Shell99、Shell181。注意具有一致縮減積分(缺省)的單元Shell181

對大模型較快，但將需要較細的網(wǎng)格。殼單元推薦非線性分析

復合材料采用Shell181，Shell91。

推薦Shell181，其優(yōu)勢包括：大應變、大位移，較小的.esav文件，較少的CPU時間，壓力載荷剛度效果，可以導入初始應力，厚度變化。超彈：采用Shell181薄膜：Shell41其他：采用Shell143,Shell43和Shell93。Shell143適用于小應變塑性，Shell93是彎曲的殼(高階)。梁單元-概述梁單元可用于分析主要受側向或橫向載荷的結構，長度對橫截面的比率超過20:1可作為梁單元應用的原則。典型的梁應用包括：機器主軸，房屋構架，橋梁等。ANSYS中可用的兩個梁單元公式為：Euler/Bernoulli梁

Beam3和Beam4

包括彎曲、軸向和扭轉變形。橫向剪切變形不包括于單元公式中。Timoshenko

梁

Beam188和Beam189

在單元公式中包括彎曲、軸向、扭轉和橫向剪切變形。梁單元推薦線性分析對于線性模型采用Beam3,Beam4,Beam188或Beam189。Beam3和Beam4采用Hermitian

多項式作為形函數(shù)并且在彎曲中具有三次響應。Beam188采用線性多項式作為形函數(shù)，Beam189采用二次多項式作為形函數(shù)。漸變截面采用beam44,beam54注意Beam188和Beam189需要更細化的網(wǎng)格，然而，它們有許多優(yōu)秀的前后處理特色。梁單元推薦非線性分析采用Beam188和Beam189模擬塑性、大應變、屈曲(特征值和非線性屈曲)和/或大轉動問題。用作殼加強單元，Beam188與Shell181完全兼容，并且Beam189與

Shell93完全兼容。

其他單元類型桿/索（link*)彈簧（combin*）接觸（contac*,targe*）表面效應單元(surf*)超單元(matrix*)質量單元(mass21)mesh2002-2.幾何非線性分析幾何非線性基礎幾何非線性(大應變、大位移和應力剛化)如果一個結構經(jīng)歷了大變形,則其變化后的幾何形狀能夠引起非線性行為.在此例中,處于輕微橫向載荷作用下的桿梢是柔軟的.隨著載荷增加,桿的幾何形狀發(fā)生變化(變彎曲),力矩臂減小(載荷移動),引起桿的剛化響應.幾何非線性基礎

三類幾何非線性三種幾何非線性行為：大應變大位移/旋轉應力剛化幾何非線性基礎

...三類幾何非線性大應變:當材料中的應變變“大”時(比如多于百分之幾),由于變形引起的幾何形狀改變不能再忽略了.“大”是與問題相關的.大應變分析不再假設應變是無窮小,而是有限的或大的.大應變理論考慮了形狀改變(如厚度,面積等)和任意大轉動.幾何非線性基礎

...三類幾何非線性大位移/旋轉:當一個單元的轉動“大”時(比如大于1到2度),單元的局部剛度轉換為全局分量時將發(fā)生顯著的改變.“大”是與問題相關的.大位移理論考慮了大位移/轉動,但是它假設應變是小應變.XY幾何非線性基礎

...三類幾何非線性應力剛化:一個零件中的應力狀態(tài)會影響到該零件的剛度.隨著張力的增大,電纜的橫向剛度增加.隨著壓縮量的增大,柱體橫向剛度下降(最終導致完全喪失剛度–如,屈曲).當應力剛化被激活時,程序計算應力剛度矩陣,并將它添加到原始剛度矩陣去包含此效應.應力剛度矩陣僅僅是應力和幾何的函數(shù).應力剛度矩陣使切向剛度矩陣更加一致(一般會改善收斂).XYFFuyFFu幾何非線性基礎

…綜述分析中將包含幾何非線性,如果:指定大位移分析,并且模型中的單元類型支持幾何非線性效應.可以在單元描述的特殊特征列表中找到這條信息.例如,注意SHELL63支持應力剛化和大位移,但不支持大應變.幾何非線性基礎

…綜述相比而言,SHELL181支持所有的三類幾何非線性:應力剛化,大撓度和大應變.確保選擇的單元類型支持必要的非線性幾何行為!幾何非線性基礎

…綜述改進的應變數(shù)學定義有利于大應變分析.根據(jù)物理意義,應變總是定義為對變形體的規(guī)范化度量.然而,應變有許多種可能的數(shù)學定義.盡管應變的數(shù)學定義有點任意性,但它必須符合一定的要求:沒有變形時,應變應該為零(如純粹剛體運動,包括轉動).有變形時,應變應該不為零.應變應該通過材料的應力-應變關系與應力相聯(lián)系.應力和應變共軛（應力應變相乘時，得到一個標量，其值于所選的應力應變無關）幾何非線性基礎

…綜述ANSYS程序采用三種應變和應力的度量:工程應變和工程應力.對數(shù)應變和真實應力.Green-Lagrange應變和第二Piola-Kirchoff應力.程序根據(jù)分析類型和采用的單元自動選擇用哪一種度量.將通過一個簡單的一維例子說明這些不同的應力和應變定義.F幾何非線性基礎

…綜述工程應變是小應變度量，用初始幾何構形計算:由于工程應變依賴于已知的初始幾何構形(如長度),因此工程應變度量是個線性度量.ANSYS將其用于小應變分析.幾何非線性基礎

…綜述工程應力(s),是工程應變(e)的共軛應力度量.在它的計算中,用當前力F和初始面積A0.幾何非線性基礎

…綜述對數(shù)應變是一種大應變度量,按下式計算:該度量是一種非線性應變度量,因為它是未知的最終長度l的非線性函數(shù).也被稱為log

應變.Log應變的三維等效是

Hencky應變.ANSYS將其用于大位移分析中支持大應變的大多數(shù)單元.幾何非線性基礎

…綜述真實應力(t)是對數(shù)應變(el)的共軛一維應力度量,用力F除以當前(或變形的)面積A來計算:該度量一般也被稱為Cauchy應力.幾何非線性基礎

…綜述Green-Lagrange應變是另外一種大應變度量,在一維中按下式計算:因為該度量依賴于未知的更新的長度l的平方,所以是非線性的.相對于Log或Hencky應變,該應變度量的計算優(yōu)勢是,在大應變問題中,它自動容納任何大轉動.ANSYS將它用于大位移分析中支持大應變的一些單元.幾何非線性基礎

…綜述Green-Lagrange應變(eG)的共軛應力度量是第二Piola-Kirchhoff

(S).在一維中可按下式計算:應該注意該應力幾乎沒有物理意義.為了輸出,ANSYS總是將其轉化為Hencky或真實應力(t)輸出.幾何非線性基礎

…綜述ANSYS使用哪一種應變和應力度量?為了能夠正確地輸入數(shù)據(jù)和解釋結果,必須知道ANSYS程序用哪一種度量輸入和輸出.對給定的單元類型和分析選項(大或小位移),程序選擇應變度量的種類.除了可以選擇單元類型和分析選項,不能控制程序采用哪一種應變度量.幾何非線性基礎

…綜述一般地:ANSYS將工程應力和工程應變用于小位移分析或僅支持大位移單元的大位移分析.ANSYS將對數(shù)應變和真實應力用于支持大應變的大多數(shù)單元的大撓度.Mooney-Rivlin超彈性例外,見下表所示.輸入時ANSYS需要何種應力應變？對于大應變塑性分析（NLGEOM,ON），ANSYS需要真實應力應變曲線，而對于小應變分析（NLGEOM,OFF），ANSYS需要工程應力應變數(shù)據(jù)。但是，對于小應變響應，工程應變與對數(shù)（真）應變幾乎一樣。真實應力與對數(shù)應變數(shù)據(jù)可用于一般塑性分析。對于超彈性分析ANSYS需要工程應力應變數(shù)據(jù)來計算Mooney-Rivlin常數(shù)。ANSYS輸出采用何種應力形式？不管數(shù)值計算中使用的哪種應力（Cauchy應力或第二Piola-Kirchhoff應力），ANSYS總以實際上可解釋的Cauchy應力形式輸出所有的應力結果。幾何非線性基礎

建模后面將描述在建立、運行和后處理大位移模型時經(jīng)常有用的各種過程技巧.首先介紹建模的一些技巧.幾何非線性基礎

…建模用適當?shù)膯卧愋?并非所有的單元都支持幾何非線性!一些單元沒有幾何非線性能力.例如CONTAC52和PRETS179.其他一些單元只有有限的幾何非線性能力.例如VISCO88不支持大應變或大轉動,SHELL63不支持大應變.必須對計劃采用的每一種單元類型檢查單元描述中的特殊特征列表.幾何非線性基礎

…建?！眠m當?shù)膯卧愋?另外,對于經(jīng)歷塑性、蠕變或超彈性的模型,大應變處的材料變?yōu)閹缀醪豢蓧嚎s。存在體積鎖定問題。剪切鎖定問題?？梢酝ㄟ^仔細地選擇單元類型和單元選項克服這些困難.選擇適當?shù)膯卧?

傳統(tǒng)位移方法困難：剪切鎖定、體積鎖定Solid45KEYOPT(1)=1由于剪切鎖定而很少使用

增強應變(附加位移形狀)Solid45缺省選項，彎曲變形

選擇縮減積分(B-Bar)

幾乎不可壓縮材料，體積變形

一致縮減積分(URI)

幾乎不可壓縮材料，彎曲變形

混合U-P公式

不可壓縮材料，超彈性幾何非線性基礎

…建模預見網(wǎng)格扭曲.ANSYS形狀檢查在第一次迭代之前,檢查網(wǎng)格的質量.在大應變分析中,在第一次迭代之后,網(wǎng)格會變得嚴重扭曲.在每一次迭代中,不希望有不良的單元形狀.通過修改原始網(wǎng)格,防止出現(xiàn)不良形狀.幾何非線性基礎

…建?！A見網(wǎng)格扭曲:例如,可以預見拉伸試件的頸縮區(qū)以后會扭曲,將初始網(wǎng)格在頸縮區(qū)細化.變形后的網(wǎng)格要保持合理的高寬比.幾何非線性基礎

…建模用足夠的網(wǎng)格密度.當然,要防止網(wǎng)格離散化錯誤,必須有足夠的網(wǎng)格密度.(單元等值線圖不連續(xù)就是明顯的證據(jù).)另外,要捕捉彎曲響應,殼和梁單元網(wǎng)格必須足夠多.不應有超過30°彎曲的單元.30°最大.幾何非線性基礎

…建模節(jié)點坐標系不因為考慮大轉動而修正.耦合和約束方程總是作用在原始方向.例如,在線性分析中,銷接頭經(jīng)常用耦合建模.然而在大變形分析中,轉動方向的軸需要修正.非線性分析中用非線性COMBIN7單元代替耦合模擬三維銷接頭.在大位移分析中一般要避免耦合和約束方程幾何非線性基礎

…建?！话阋苊怦詈虾图s束方程:然而,要認識到,在有些情況下,耦合或約束方程在非線性分析中有效.例如:可以在剛體邊界將約束的自由度耦合起來.可以用耦合模擬二維銷接頭.約束方程對大應變、小轉動響應有效.但是…

在用耦合或約束方程之前請仔細地想一想!幾何非線性基礎

求解下面學習求解的一些技巧.什么時候用大位移.載荷與邊界條件.求解步長與收斂.幾何非線性基礎

…求解何時應選擇大位移?大位移效應可以改善求解精度,但需要花費時間去運行一個迭代的非線性求解.如果可以100%地確定大位移效應不重要,那么選擇小位移分析以使求解效率最快.如果對此有任何疑問,則始終用大位移.如果模型中有其他非線性,無論如何,它們都將需要迭代求解.在這種情況下,大位移所額外增加的費用是最小的.有疑問時,始終用大位移!幾何非線性基礎

…求解加載和邊界條件.考慮當結構經(jīng)歷大撓度時,載荷會發(fā)生什么變化:在許多情況下,載荷的方向將保持不變.在其他情況下,當單元經(jīng)歷大轉動時載荷方向“跟隨”單元而改變.ANSYS可以根據(jù)所施加載荷的類型模擬這兩種情況.幾何非線性基礎

…求解…載荷和邊界條件:載荷偏轉前的方向偏轉后的方向加速度(方向不變)節(jié)點力(方向不變)單元壓力(隨動力;總是垂直于表面)注意,在大應變分析中,壓力施加于更新的面.因此,由壓力產(chǎn)生的總載荷將隨壓力面的伸長或縮短而變化.幾何非線性基礎

…求解…載荷和邊界條件:確保指定正確的邊界條件.避免在邊界過約束變形體:FF幾何非線性基礎

…求解步長與收斂.時間步長應該足夠小,使在任何一個子步內(nèi),沒有超過10°轉動角的單元.如果,在反復二分之后,模型還不能在全載荷處收斂,原因可能是實際物理上的不穩(wěn)定(屈曲或全塑性截面).畫出載荷-撓度曲線,看看切向剛度是否趨于零.零斜率暗示很可能不穩(wěn)定結構穩(wěn)定性－屈曲分析結構穩(wěn)定性背景當增加軸向載荷(F)時,一個理想化的端部固定的柱體將呈現(xiàn)下述行為。當F<Fcr

時,柱體處于穩(wěn)定平衡狀態(tài)，若引入一個小的擾動力(P0),然后卸載,柱體將返回到它的初始位置。當F>Fcr時,柱體處于不穩(wěn)定平衡狀態(tài),任何擾動力將引起坍塌。當F=Fcr時,柱體處于中性平衡狀態(tài)，把這個力定義為臨界載荷。分叉點uF穩(wěn)定平衡中性平衡不穩(wěn)定平衡FcrFFu結構穩(wěn)定性背景極限載荷在實際結構中,很難達到臨界載荷，因為擾動和非線性行為,低于臨界載荷時結構通常變得不穩(wěn)定。uF分叉點Fcr實際的結構響應,低于臨界載荷時出現(xiàn)不穩(wěn)定性。線性特征值屈曲屈曲和失穩(wěn)載荷分析的技術包括:線性特征值屈曲非線性屈曲分析首先介紹線性特征值屈曲。線性特征值屈曲特征值屈曲分析預測一個理想線彈性結構的理論屈曲強度(分叉點)然而,缺陷和非線性行為阻止大多數(shù)實際結構達到理想的彈性屈曲強度，特征值屈曲一般產(chǎn)生非保守解,使用時應謹慎。但有優(yōu)點：相對不費時(快捷)的分析。為了提供更真實的結果,屈曲模態(tài)形狀可用作非線性屈曲分析的初始幾何缺陷。理想載荷路徑有缺陷結構的載荷路徑Fu前屈曲分叉點極限載荷線性特征值屈曲線性屈曲分析基于經(jīng)典的特征值問題。為推導特征值問題,首先求解線彈性載荷狀態(tài)

{P0}的載荷-位移關系，即{P0}=[Ke]{u0}{u0}= 施加載荷{P0}的位移結果{s0}=與{u0}對應的應力假設位移很小,在任意狀態(tài)下({P},{u},{s})

增量平衡方程由下式給出{DP}=[[Ke]+[Ks(s)]]{Du}

式中[Ke]=彈性剛度矩陣[Ks(s)] =某應力狀態(tài)

{s}下計算的初始應力矩陣線性特征值屈曲假設加載行為是一個外加載荷

{P0}的線性函數(shù),{P}=l{P0} {u}=l{u0} {s}=l{s0}

則可得[Ks(s)]=l[Ks(s0)]因此,增量平衡方程變?yōu)閧DP}=[[Ke]+l[Ks(s0)]]{Du}線性特征值屈曲在不穩(wěn)定性開始

(屈曲載荷{Pcr})時,在

{DP}0的情況下,結構會出現(xiàn)一個變形

{Du}。把上述表達式({DP}0)代入前面的前屈曲范圍內(nèi)的增量平衡方程,則有[[Ke]+l[Ks(s0)]]{Du}={0}

上述關系代表經(jīng)典的特征值問題。為了滿足前面的關系,必須有:det[[Ke]+l[Ks(s0)]]=0在n個自由度的有限元模型中,上述方程產(chǎn)生

l(特征值)的n階多項式，這種情況下特征向量

{Du}n

表示屈曲時疊加到系統(tǒng)上的變形，由計算出的

l最小值給定彈性臨界載荷{Pcr}。特征值屈曲過程特征值屈曲分析包括以下四個主要步驟:

1.建模2. 獲得帶有預應力的靜力解3. 獲得特征值屈曲解4. 查看結果特征值屈曲過程建模該任務與大多數(shù)其它分析類似,除了下面兩點:只有線性行為有效，非線性單元處理為線性，它們的剛度基于初始狀態(tài),且不能改變。

必須定義楊氏模量，材料特性可能是線性、各向同性或各向異性,忽略非線性特性。特征值屈曲過程獲得帶有預應力的靜力解當獲得靜力解時,必須設置預應力標識,以進行后面的特征值屈曲分析。MainMenu>Preprocessor>Loads>AnalysisOptions…或鍵入命令:PSTRES,ON特征值屈曲過程獲得帶有預應力的靜力解通常單位載荷就足夠了，計算出的特征值代表施加載荷上的屈曲載荷因子。注意特征值代表所有載荷的比例因子，所有載荷都作相應的縮放。求解模型MainMenu>Solution>-Solve-CurrentLS…或鍵入命令:SOLVE特征值屈曲過程獲得特征值屈曲解完成靜態(tài)求解后,退出并重新進入求解器,并指定分析類型為特征值屈曲:MainMenu>FinishMainMenu>Solution>-AnalysisType-NewAnalysis…或鍵入命令:

FINISH

/SOLU

ANTYPE,BUCKLE特征值屈曲過程獲得特征值屈曲解指定特征值提取方法和要提取的屈曲模態(tài)數(shù)目:MainMenu>Solution>AnalysisOptions…或鍵入命令:BUCOPT,LANB,3,0BlockLanczos是推薦的特征值提取方法。本例中,要求3個模態(tài)。特征值屈曲過程獲得特征值屈曲解指定要寫入結果文件模態(tài)數(shù)。MainMenu>Solution>-LoadStepOpts-ExpansionPass>ExpandModes...或鍵入命令:MXPAND,3,,,YES,求解MainMenu>Solution>-Solve-CurrentLS…或鍵入命令:SOLVE也可計算出相應的應力分布。特征值屈曲過程查看結果可以在通用后處理器中查看特征值屈曲分析的結果，結果包括載荷因子、屈曲模態(tài)和相對應力分布。MainMenu>GeneralPostproc>ResultsSummary...或鍵入命令:SET,LIST屈曲模態(tài)的最大位移歸一化為1.0，因此,位移不能代表真實的變形，且應力是相對于屈曲模態(tài)?！癝et”列表明屈曲模態(tài)數(shù),“Time”值表示相應的載荷因子。非線性屈曲背景下圖為一般的非線性載荷變形曲線，該圖說明理想載荷路徑、有缺陷結構的載荷路徑和該結構的實際動態(tài)響應。有幾種分析技術用于計算結構的非線性靜力變形響應，這些技術包括:載荷控制位移控制弧長法Fu理想載荷路徑有缺陷結構的載荷路徑實際動態(tài)響應前屈曲后屈曲理想靜態(tài)行為分叉點極限點非線性屈曲背景載荷控制:使用Newton-Raphson載荷控制的困難是求解不能通過不穩(wěn)定點。在不穩(wěn)定點(Fcr),切線剛度矩陣KT是奇異的，使用載荷控制,Newton-Raphson法不收斂。然而,該類型的分析對描述結構的前屈曲行為是有用的。FappuFcrKT=0使用載荷控制只有Fcr可達到。KT<0FFF非線性屈曲背景位移控制:當拱由增量位移加載時,與力相反,采用位移控制進行求解。位移控制的優(yōu)點是,它產(chǎn)生一個穩(wěn)定的解。(強加的位移在不穩(wěn)定點提供一個附加約束。)位移控制的缺點是只有在知道施加什么位移時才適用!FappuUYUYUY用位移控制能夠達到Fapp.(此時Fapp是強加的位移UY處的反作用力。)P非線性屈曲背景弧長法:弧長法是一種求解方法,用于獲得不穩(wěn)定性問題(KT

0)或負的切線剛度(KT

<0)的數(shù)值穩(wěn)定解。弧長法可用于比例載荷的靜態(tài)問題。盡管弧長法能求解復雜的力-變形響應問題,但它最適合求解沒有突然分叉點的平滑響應問題。Fu非線性屈曲背景弧長法:弧長法同時求解載荷和位移,與Newton-Raphson法相似，然而,引入了一個附加的未知項--載荷因子l(-1<l<1)。力平衡方程可重寫為,[KT]{u}=l{Fa}-{Fnr}為了容納附加的未知項,必須引入一個約束方程--弧長，弧長把載荷因子l

和弧長迭代中的位移增量{u}相聯(lián)系。注意若去除約束,則弧長法簡化為全Newton-Raphson法。非線性屈曲背景弧長法:通過圓弧,弧長法把增量載荷因子li與增量位移Du相聯(lián)系，圖示為全Newton-Raphson弧長法的增量載荷因子li

和增量位移Du。非線性屈曲背景弧長法:Newton-Raphson法在每一子步使用一個固定的外加載荷矢量{Fa}，而弧長法在每一子步使用一個可變的載荷矢量l{Fa}。Fu弧長法1234Fu1234Newton-Raphson法非線性屈曲背景弧長法:通過強加弧長迭代以得到沿與平衡路徑相交的圓弧收斂,能夠獲得經(jīng)歷零或負的剛度行為的結構的解。Fu平衡路徑ririririri弧長半徑收斂的子步非線性屈曲非線性屈曲分析采用逐漸增加載荷的非線性靜態(tài)分析,以搜索在哪個載荷水平下結構開始變得不穩(wěn)定。非線性屈曲分析可得到第一個極限點(解開始變得不穩(wěn)定前載荷的最大值)。弧長法能夠用于分析后屈曲行為。非線性屈曲比特征值屈曲更精確,因此推薦用于設計或結構的評價。使用非線性屈曲分析,可以包括初始缺陷、塑性行為、接觸、大變形響應及其它非線性行為。uF弧長法非線性屈曲第一個極限點非線性前屈曲過程非線性屈曲分析包括以下三個主要步驟:1. 建模 (包括一個初始缺陷或擾動)2. 求解3. 查看結果非線性前屈曲過程建模該任務與大多數(shù)其它分析類似,除下述補充點外:為啟動屈曲需要一個小的擾動(如小的力)或幾何缺陷。特征值屈曲分析的屈曲模態(tài)可用于產(chǎn)生初始缺陷。外加載荷值的設定應稍大于(10to20%)特征值屈曲分析預測的臨界載荷。非線性前屈曲過程建模-初始缺陷由屈曲模態(tài)生成初始缺陷。MainMenu>Preprocessor>-Modeling-UpdateGeom…或鍵入命令:UPGEOM缺陷的值應該與實際結構中的缺陷(真實的或假設的)的尺寸匹配，制造公差可用于估計不完整性的量級。施加到原始幾何形狀上的位移的乘子模態(tài)數(shù)特征值屈曲分析的結果文件。非線性前屈曲過程求解非線性屈曲分析是具有幾何非線性效應的靜態(tài)分析,分析延伸至結構的極限載荷點，確保激活幾何非線性(NLGEOM,ON)。推薦使用求解控制(缺省)。幾何不穩(wěn)定性

...非線性前屈曲過程求解激活自動時間步長(求解控制的缺省項)，打開自動時間步長時,程序自動搜索屈曲載荷，若在給定載荷下求解不收斂,則程序二分并在一個更小的載荷下嘗試新的求解，同樣地,最小時間步長將影響結果的精度。務必設置小的最小時間步長以允許二分。務必寫出足夠的子步數(shù)的結果(OUTRES),以便于在通用后處理器中能查看載荷位移曲線。uFappFlimit“Time”1,3,524子步數(shù)Fapp67幾何不穩(wěn)定性

...非線性前屈曲過程查看結果在時間歷程后處理器中查看載荷位移曲線，在面內(nèi)載荷的情況下,需要畫出面外(側向的)位移與載荷。FFUXxy畫出力(F)和X方向(UX)的位移。非線性前屈曲過程其它考慮事項:載荷位移曲線能幫助確定求解發(fā)散的原因是物理不穩(wěn)定性還是數(shù)值不穩(wěn)定性。要認識到不收斂的解未必意味著結構達到其最大載荷!當結構在其屈曲載荷附近時,切線剛度將接近于0，從載荷-位移曲線的斜率可以確定是數(shù)值或物理不穩(wěn)定。數(shù)值不穩(wěn)定性物理不穩(wěn)定性(屈曲)uFapp不收斂解最后收斂解KT>0uFapp不收斂解最后收斂解KT0非線性后屈曲過程后屈曲分析技術包括:位移控制動力學弧長法Fu有缺陷