1-8高等數(shù)學(xué)課后習(xí)題答案

習(xí)題181研究下列函數(shù)的連續(xù)性并畫出函數(shù)的圖形(1)解已知多項(xiàng)式函數(shù)是連續(xù)函數(shù)所以函數(shù)f(x)在[01)和(12]內(nèi)是連續(xù)的在x1處因?yàn)閒(1)1并且所以從而函數(shù)f(x)在x1處是連續(xù)的綜上所述，函數(shù)f(x)在[02]上是連續(xù)函數(shù)(2)解只需考察函數(shù)在x1和x1處的連續(xù)性在x1處因?yàn)閒(1)1并且所以函數(shù)在x1處間斷但右連續(xù)在x1處因?yàn)閒(1)1并且f(1)f(1)所以函數(shù)在x1處連續(xù)綜合上述討論函數(shù)在(1)和(1)內(nèi)連續(xù)在x1處間斷但右連續(xù)2下列函數(shù)在指出的點(diǎn)處間斷說明這些間斷點(diǎn)屬于哪一類如果是可去間斷點(diǎn)則補(bǔ)充或改變函數(shù)的定義使它連續(xù)(1)x1x2解因?yàn)楹瘮?shù)在x2和x1處無定義所以x2和x1是函數(shù)的間斷點(diǎn)因?yàn)樗詘2是函數(shù)的第二類間斷點(diǎn)因?yàn)樗詘1是函數(shù)的第一類間斷點(diǎn)并且是可去間斷點(diǎn)在x1處令y2則函數(shù)在x1處成為連續(xù)的(2)xk(k012)解函數(shù)在點(diǎn)xk(kZ)和(kZ)處無定義因而這些點(diǎn)都是函數(shù)的間斷點(diǎn)因(k0)故xk(k0)是第二類間斷點(diǎn)因?yàn)?kZ)所以x0和(kZ)是第一類間斷點(diǎn)且是可去間斷點(diǎn)令y|x01則函數(shù)在x0處成為連續(xù)的令時(shí)y0則函數(shù)在處成為連續(xù)的(3)x0解因?yàn)楹瘮?shù)在x0處無定義所以x0是函數(shù)的間斷點(diǎn)又因?yàn)椴淮嬖谒詘0是函數(shù)的第二類間斷點(diǎn)(4)x1解因?yàn)樗詘1是函數(shù)的第一類不可去間斷點(diǎn)3討論函數(shù)的連續(xù)性若有間斷點(diǎn)判別其類型解在分段點(diǎn)x1處因?yàn)樗詘1為函數(shù)的第一類不可去間斷點(diǎn)在分段點(diǎn)x1處因?yàn)樗詘1為函數(shù)的第一類不可去間斷點(diǎn)4證明若函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0連續(xù)且f(x0)0則存在x0的某一鄰域U(x0)當(dāng)xU(x0)時(shí)f(x)0證明不妨設(shè)f(x0)>0因?yàn)閒(x)在x0連續(xù)所以由極限的局部保號(hào)性定理存在x0的某一去心鄰域使當(dāng)x時(shí)f(x)>0從而當(dāng)xU(x0)時(shí)f(x)>0這就是說則存在x0的某一鄰域U(x0)當(dāng)xU(x0)時(shí)f(x)05試分別舉出具有以下性質(zhì)的函數(shù)f(x)的例子(1)x012n是f(x)的所有間斷點(diǎn)且它們都是無窮間斷點(diǎn)解函數(shù)在點(diǎn)x012n處是間斷的且這些點(diǎn)是函數(shù)的無窮間斷點(diǎn)(2)f(x)在R上處處不連續(xù)但|f(x)|在R上處處連續(xù)解函數(shù)在R上處處不連續(xù)但|f(x)|1