計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)03Z變換

第三章Z變換●z變換的定義；●z變換的方法●z反變換的方法§3.1Z變換的定義一．Z變換的引入：●連續(xù)系統(tǒng)：拉氏變換傳遞函數(shù)●離散系統(tǒng)：Z變換Z傳遞函數(shù)（脈沖傳遞函數(shù)）采樣脈沖序列

拉氏變換，注意到f(nT)為常數(shù)

注意:e-kTs是一個(gè)延遲環(huán)節(jié)，延遲時(shí)間為kT，即k個(gè)采樣周期(拍)。1.定義：新變量z

用z作自變量，替換F*(s)中的s

F*(t)的z變換2．討論

（1）z-k的物理意義：

延遲k個(gè)采樣周期。

y(kT)z-k表明z-k的系數(shù)是發(fā)生在第k個(gè)采樣周期，即第k拍的值。

（2）一個(gè)函數(shù)的Z變換只在采樣時(shí)刻才有意義。

如果

不能得出y1(t)=y2(t)的結(jié)論。（3）單邊Z變換

t<0時(shí)，f(t)=0;k<0時(shí),f(kT)=f(k)=0。（4）F(z)=Z[f*(t)],它并不是連續(xù)函數(shù)的Z變換，但習(xí)慣上也稱F(z)為f(t)的Z變換，

Z變換本身包含著離散的概念。

總之：

Z變換的重要含義在于延遲與離散。

無(wú)窮遞減等比級(jí)數(shù)的和1.單位脈沖函數(shù)(脈沖強(qiáng)度)二.典型函數(shù)（或序列）的Z變換

2.單位階躍函數(shù)()3.單位斜坡函數(shù)單位階躍Z變換兩邊對(duì)z求導(dǎo),再乘以z。又：

5.正弦、余弦函數(shù)

歐拉公式4.指數(shù)函數(shù)

§3.2

Z變換的重要性質(zhì)和定理

1.線性性質(zhì)

設(shè)

則

脈沖序列線性組合的Z變換，等于其Z變換的線性組合。

2.平移定理(1)滯后定理（右移定理）

設(shè)

且

則：

一.Z變換的主要性質(zhì)證：按Z變換的定義展開，注意到零初始條件從k=n項(xiàng)開始展開含義：y(kT-nT)是滯后于采樣信號(hào)

y(kT)

n個(gè)采樣周期的采樣信號(hào)，

z-n代表滯后n拍開始采樣。

例1：求有純滯后的單位階躍函數(shù)的Z變換。

例2

求

的Z變換。

解：

ak-1

是序列ak

滯后一拍的采樣函數(shù)。(2)超前定理（左移定理）思考：的Z變換。

y(kT+nT)是超前于y(kT)n拍的采樣信號(hào)，

zn代表超前n拍。例33初值定理

4終值定理若Z[y(kT)]=Y(z),且(z-1)Y(z)的全部極點(diǎn)都在單位圓內(nèi)，則在零初始條件下?證：∵兩式相減：左邊：兩邊取極限右邊：

左邊=∴解

∵F(z)是f(t)=1-e-at的Z變換，顯然例4：

求f(∞)

的全部極點(diǎn)都在單位圓內(nèi)，等效于Y(z)可以有一個(gè)極點(diǎn)為1，在單位圓上,而其余極點(diǎn)必須全在單位圓內(nèi)。否則，不能使用終值定理。

注意：

5迭值定理*設(shè)

(前k項(xiàng)之和)

則6離散卷積定理*

若則

可由Z變換的定義證明（例3.6）教材P49,第18項(xiàng)有誤！

7乘ak

后的Z變換若

則

證：

8復(fù)數(shù)平移定理：(乘

e-at

的Z變換)設(shè)證:

同理：則例5：求te-at

的Z變換由復(fù)數(shù)平移定理：同理可求二.求Z變換的方法

▲按定義計(jì)算（無(wú)窮級(jí)數(shù)求和）見典型函數(shù)Z變換

▲基于Z變換的定理

▲已知F(s)求F(z)

1.按定義計(jì)算

注意z-k的延遲含義。例：用定義法求下列函數(shù)序列的Z變換解：公比：a2z-2;b2z-2

2.基于Z變換的定理(2)部分分式法：將Y(s)展成部分分式，逐項(xiàng)查表(3)留數(shù)計(jì)算法

例6：已知函數(shù)求Y(z)解查表?3.已知F(s)求F(z)

(1)原函數(shù)法：先由F(s)求f(t)，再計(jì)算F(z)留數(shù)計(jì)算法式中：qi為Y(s)的極點(diǎn)pi的階數(shù)（重極點(diǎn)個(gè)數(shù)）；m為Y(s)彼此不同極點(diǎn)的個(gè)數(shù)。留數(shù)計(jì)算法對(duì)有理函數(shù)和無(wú)理函數(shù)都適用。例7求函數(shù)

的Z變換。解：

s=-a為二重根，∴q=2,m=1MATLAB:F=F(s)f=ilaplace(F)Z=ztranse(f)Z=simple(Z)(默認(rèn)T=1)§3.3

Z反變換▼長(zhǎng)除法;▼部分分式法;▼留數(shù)計(jì)算法一.長(zhǎng)除法分母首一化，分子與分母都寫成z-1的升冪形式，逐項(xiàng)相除；給出各拍數(shù)值。例1：求下式的Z反變換(演算)MATLAB程序：v=[012000000]u=[5-1.50.5][q,r]=deconv(v,u)q=[02.40.72–0.024–0.0792–0.0214]Y(z)=2.4z-1+0.72z-2-0.024z-3+...y(0)

=?y(3T)

=?采樣信號(hào)：f*(t)=2.4(t-T)+0.72(t-2T)–0.024(t-3T)+…二.部分分式展開法(1)Y(z)無(wú)重極點(diǎn)將展成部分分式例2：見教材例3.13,3.14.注意結(jié)果的最后表達(dá)(2)有非零的重極點(diǎn)時(shí)，二重極點(diǎn)展成查表或者將重極點(diǎn)展開成：用對(duì)比系數(shù)法或求導(dǎo)法確定b1,b2表3.2第20項(xiàng)?例3：求

的Z反變換解：

求出c1=-20

，b1=7,b2=2,例4：教材例3.15求得b2=b1=-1,c=2,代入注意三留數(shù)計(jì)算法（反演積分法）

f(kT)等于F(z)zk-1全部極點(diǎn)留數(shù)之和

（1）F(z)zk-1中非重極點(diǎn)pi的留數(shù)(2)

F(z)zk-1中q重極點(diǎn)pj的留數(shù)注意：(1)一個(gè)重極點(diǎn)