大學(xué)物理機(jī)械波

機(jī)械波第十一章2/3/20231第十一章機(jī)械波機(jī)械波的產(chǎn)生及描述平面簡諧波的波函數(shù)波的能量惠更斯原理波的疊加和干涉駐波2/3/20232§11-1機(jī)械波的形成和傳播

振動波動傳播機(jī)械波：電磁波：波動機(jī)械振動在連續(xù)介質(zhì)中的傳播交變電磁場在空間的傳播產(chǎn)生條件：做機(jī)械振動的物體（波源）、連續(xù)的介質(zhì)（氣體、液體、固體均可）一、機(jī)械波的產(chǎn)生兩類波的不同之處機(jī)械波的傳播需有彈性介質(zhì)電磁波的傳播可不需介質(zhì)數(shù)學(xué)描述相同能量傳播反射折射干涉、衍射兩類波的共同特征波動中使介質(zhì)各部分振動的回復(fù)力為彈性力的為彈性波2/3/20233軟繩波的傳播方向質(zhì)點(diǎn)振動方向1.橫波質(zhì)點(diǎn)振動方向與波的傳播方向相垂直特征：具有交替出現(xiàn)的波峰和波谷傳播媒質(zhì)：固體（要求媒質(zhì)能夠發(fā)生剪切形變）二、波的分類每經(jīng)過一個(gè)周期，將沿著波的傳播方向傳出一個(gè)完整的波形。沿著波的傳播方向向前看去，前面各質(zhì)點(diǎn)的振動相位都依次落后于波源的振動相位。2/3/20234軟彈簧波的傳播方向質(zhì)點(diǎn)振動方向2.縱波質(zhì)點(diǎn)振動方向與波的傳播方向互相平行固體、液體和氣體（要求媒質(zhì)可以發(fā)生體積變形）特征：具有交替出現(xiàn)的密部和疏部（疏密波）傳播媒質(zhì)：二、波的分類機(jī)械波向外傳播的是波源（及各個(gè)質(zhì)點(diǎn)）的振動狀態(tài)和能量。2/3/20235水表面的波既非橫波又非縱波水面的波非彈性波2/3/20236對波的幾點(diǎn)說明：1.波所傳播的只是質(zhì)元的振動狀態(tài)（即傳播的是相位），并非質(zhì)元本身；2.各質(zhì)元都圍繞各自的平衡位置作簡諧振動；3.給定時(shí)刻，y(x)確定——波形曲線確定對橫波：直觀給出該時(shí)刻波形和波峰、波谷的位置，波峰波谷思考：對縱波，波形曲線是不是實(shí)際波形？4.波形在前進(jìn)——簡諧行波Hengbo.swf2/3/20237三、波線、波面、波前波線——表示波的傳播方向的射線波面——媒質(zhì)振動相位相同的點(diǎn)組成的面（同相面）波前（波陣面）——某時(shí)刻波到達(dá)的各點(diǎn)所構(gòu)成的面*球面波平面波波前波面波線對各向同性介質(zhì)，波線與波面垂直。2/3/20238平面波球面波思考：太陽光是平面波還是球面波？2/3/202391.波速u

：振動狀態(tài)傳播的速度它由媒質(zhì)的性質(zhì)決定，與波源的運(yùn)動狀態(tài)無關(guān)。例如：聲波2.周期T：一個(gè)完整的波通過波線上的某點(diǎn)所需的時(shí)間它由波源決定（波源的平衡位置不發(fā)生變化時(shí)）頻率四.描述波的特征量（相速度）固體：流體：縱波橫波弦上橫波縱波3.波長：波線上相鄰的振動狀態(tài)相同的兩質(zhì)元間的距離它由波源和媒質(zhì)共同決定。波長是波的“空間周期”。2-17物體的形變與胡克定律.exe2/3/202310一、長變與彈性模量

二、切變與切變模量

三、體變與體變模量

物體的彈性模量介紹：2/3/202311波面為平面的簡諧波簡諧波：波動傳播的是諧振動，波本節(jié)主要討論在無吸收（即不吸收所傳播的振動能量）、各向同性、均勻無限大媒質(zhì)中傳播的平面簡諧波。平面簡諧波：說明：平面簡諧波是一種最簡單、最基本的波，研究平面簡諧波§11-2

平面簡諧波的波動規(guī)律是研究更復(fù)雜波的基礎(chǔ)。單個(gè)質(zhì)點(diǎn)在振動，描述振動狀態(tài)用

許多質(zhì)點(diǎn)參與波動，描述任意時(shí)刻、任意質(zhì)點(diǎn)的狀態(tài)

所到之處，介質(zhì)中各質(zhì)點(diǎn)作同頻率的諧振動。2/3/202312強(qiáng)調(diào)：1.波所傳播的只是質(zhì)元的振動狀態(tài)（即傳播的是相位），并非質(zhì)元本身；2.各質(zhì)元都圍繞各自的平衡位置作簡諧振動；3.波動傳播需要時(shí)間

yxxPOyxxPOC點(diǎn)P點(diǎn)相位時(shí)刻時(shí)刻相位時(shí)刻 時(shí)刻C點(diǎn)P點(diǎn)相位時(shí)刻時(shí)刻相位時(shí)刻 時(shí)刻2/3/202313一.平面簡諧波的波函數(shù)（波的表達(dá)式、波動方程）波動方程（波函數(shù)）yxxPO某一點(diǎn)的振動從時(shí)間看,P點(diǎn)t時(shí)刻的狀態(tài)是O點(diǎn)振動方程波函數(shù)時(shí)刻的狀態(tài);已知P為任意點(diǎn)波函數(shù)或波的表達(dá)式且波動沿x軸正向傳播，則從相位看，P點(diǎn)t時(shí)刻的相位是O點(diǎn)時(shí)刻的相位;“-”號表示P點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)振動相位較O點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)相位落后Hengbo.swf2/3/202314思考：當(dāng)x<0時(shí)是否成立？yxxPO答：成立O點(diǎn)的振動由P點(diǎn)傳來，P點(diǎn)t時(shí)刻的振動狀態(tài)在時(shí)刻傳至O點(diǎn)，即從相位看，P

點(diǎn)t時(shí)刻的相位是O

點(diǎn)時(shí)刻的相位2/3/202315寫平面簡諧波的波函數(shù)（波的表達(dá)式、波動方程）波動沿x軸傳播過程中任意P點(diǎn)（坐標(biāo)為x）在任意時(shí)刻（t）的狀態(tài)波動中任意P點(diǎn)在t時(shí)刻的相位與已知點(diǎn)在？時(shí)刻的相位相同寫出已知點(diǎn)在此時(shí)刻的相位代入已知點(diǎn)的振動表達(dá)式波動方程中位移y是兩個(gè)未知數(shù)x和t的函數(shù)注意關(guān)鍵2/3/202316波函數(shù)波函數(shù)的其它形式：振動方程與波函數(shù)的區(qū)別：波動方程是時(shí)間和空間的函數(shù)。表示波線上任一（所有）質(zhì)點(diǎn)在任意（所有）時(shí)刻離開各自平衡位置的位移。振動方程描述的是某一確定點(diǎn)的振動，是時(shí)間t的函數(shù)2/3/202317思考：沿x軸負(fù)向傳播的平面簡諧波的波函數(shù)如何？yxxPO已知且波動沿x軸負(fù)向傳播，則平面簡諧波的波函數(shù)（波的表達(dá)式、波動方程）：2/3/202318上式成立的條件是：已知的振動點(diǎn)不是波源，波只能向某一側(cè)（正或負(fù)x軸方向）傳播。如果上面已知的振動點(diǎn)是波源，則波同時(shí)向兩個(gè)方向（x由r

替代）傳播。說明:2/3/202319二、波函數(shù)的物理意義1.當(dāng)時(shí)（即指定某一質(zhì)點(diǎn)P時(shí)）描述距O點(diǎn)x處的質(zhì)點(diǎn)P在t時(shí)刻離開平衡位置的位移——P點(diǎn)的振動方程P點(diǎn)的初相為思考：？x1和x2點(diǎn)的振動相位差為:2/3/2023202.當(dāng)時(shí)表示t0時(shí)刻介質(zhì)中所有質(zhì)點(diǎn)離開各自平衡位置的位移——某時(shí)刻的波形思考：曲線的切線斜率表示什么？媒質(zhì)間的相對形變量同一質(zhì)點(diǎn)在相鄰的兩個(gè)時(shí)刻t1和t2時(shí)的振動相位差為:2/3/2023213.當(dāng)x、t都變時(shí)表示波形的傳播即給出了波形上各個(gè)不同質(zhì)點(diǎn)在不同時(shí)刻的位移，或者說包括了各個(gè)不同時(shí)刻的波形2/3/202322Ayxt=t0uo思考：從波形曲線上如何判斷各質(zhì)元的速度方向？方法一：

看前一質(zhì)元的y方法二：

做下一時(shí)刻波形2/3/202323寫出波函數(shù)？解：例1.已知波沿正向傳播，波速為，處振動方程為2/3/202324已知：求:例2.（1）以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)解：設(shè)P為波線上任意一點(diǎn)P2/3/202325原點(diǎn)不同時(shí)，波函數(shù)形式變化，但波線上確定點(diǎn)的振動方程不變。P以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)2/3/202326例3、一平面簡諧波的波動表達(dá)式為求：1）該波的波速、波長、周期和振幅；2）x=10m處質(zhì)點(diǎn)的振動方程及該質(zhì)點(diǎn)在t=2s時(shí)的振動速度；3）x=20m,60m處質(zhì)點(diǎn)振動的相位差。解：1)比較系數(shù)法因而

振幅A=0.01m波長λ=20m周期T=1/5=0.2s波速

u=λ/T=20/0.2=100m·s-1

2）將x=10m代入波動表示，則該處振動方程

該式對時(shí)間求導(dǎo)，得將t=2s代入得振動速度

v=03）x=20m,60m兩處質(zhì)點(diǎn)振動的相位差為將波動表達(dá)式寫成標(biāo)準(zhǔn)形式2/3/202327例4、已知平面簡諧波在t=0s（T=8s）時(shí)波形，求波函數(shù)解：原點(diǎn)振動方程:Aλut=0s原點(diǎn)處得波函數(shù)：2/3/202328如圖，在下列情況下試求波函數(shù)：(3)

若u

沿x

軸負(fù)向，以上兩種情況又如何？例5

(1)

以A為原點(diǎn)；(2)

以B為原點(diǎn)；BA已知A

點(diǎn)的振動方程為：在x軸上任取一點(diǎn)P，該點(diǎn)振動方程為：波函數(shù)為：解PBA2/3/202329(2)

B點(diǎn)為原點(diǎn)：以A為原點(diǎn)：以B為原點(diǎn)：波函數(shù)為:PBAP點(diǎn)振動方程為:PBA(3)

若u

沿x

軸負(fù)向2/3/202330一平面簡諧波沿x軸正方向傳播，已知其波函數(shù)為 a.比較法(與標(biāo)準(zhǔn)形式比較）標(biāo)準(zhǔn)形式波函數(shù)為比較可得例解(1)波的振幅、波長、周期及波速；(2)質(zhì)點(diǎn)振動的最大速度。求(1)2/3/202331b.分析法（由各量物理意義，分析相位關(guān)系）振幅波長周期波速(2)2/3/202332例：已知：,t=0的波形如圖所示求：1.振幅、波長和波的周期2.波函數(shù)(波動表達(dá)式）?3.t時(shí)刻x處質(zhì)點(diǎn)的振動速度?解：2/3/202333Tx=0練習(xí)：平面余弦波在t=0時(shí)刻的波形和Ｐ點(diǎn)的振動曲線如圖。⑴波的傳播方向？⑵畫出x=0處質(zhì)點(diǎn)的振動曲線。Aλ(a)t=0PAT(b)xP=λ/2解：（1）由圖（b）知，t=0時(shí)刻Ｐ點(diǎn)的速度為正（看切線斜率）在圖(a)中畫出vＰ方向，則波沿x軸正方向傳播。A（2）u關(guān)鍵：由y0=0，v0<0畫出起始狀態(tài)2/3/202334三、平面波的微分方程一切平面波所滿足的微分方程不僅適用于機(jī)械波，也廣泛地適用于電磁波、熱傳導(dǎo)、化學(xué)中的擴(kuò)散等過程。若物理量是在三維空間中以波的形式傳播，波動方程為2/3/202335一、波動能量的傳播§11.3波的能量A波動能量

質(zhì)點(diǎn)的動能

質(zhì)點(diǎn)振動的勢能

質(zhì)點(diǎn)間因媒質(zhì)形變產(chǎn)生的彈性勢能

平衡位置處，速度最大，動能最大；兩側(cè)具有相反的位移，媒質(zhì)形變最大，彈性勢能最大。點(diǎn)

點(diǎn)

位移最大處，速度最小，因而動能最小。周圍媒質(zhì)質(zhì)點(diǎn)盡管每一個(gè)都具有很大位移，但它們之間的相對位移最小，因而相對形變最小，彈性勢能最小

波動傳播時(shí)，動能最大處，勢能最大；動能最小處，勢能最小

2/3/202336波動媒質(zhì)中一體積元中的能量S1.體積元的動能2/3/2023372.體積元的勢能由胡克定律：S2/3/202338S動能:勢能：機(jī)械能2/3/202339在波的傳播過程中，媒質(zhì)中任一質(zhì)元的動能和勢能是同步變化的，即DWk=DWp，與簡諧彈簧振子的振動能量變化規(guī)律是不同的；如圖所示xyOAB,A點(diǎn)質(zhì)元的動能、勢能同時(shí)達(dá)到最小；B點(diǎn)質(zhì)元的動能、勢能同時(shí)達(dá)到最大；機(jī)械能2/3/202340

體積元在平衡位置時(shí)，動能、勢能和總機(jī)械能均最大.體積元的位移最大時(shí)，三者均為零.(1)在波動傳播的介質(zhì)中，任一體積元的動能、勢能、總機(jī)械能均隨作周期性變化，且變化是同相位的.說明：(2)

任一體積元都在不斷地接收和放出能量，即不斷地傳播能量.任一體積元的機(jī)械能不守恒.波動是能量傳遞的一種方式.2/3/202341能量密度：單位體積介質(zhì)中的波動能量平均能量密度：能量密度在一個(gè)周期內(nèi)的平均值2/3/202342二、能流和能流密度能流：單位時(shí)間內(nèi)垂直通過某一面積的能量.平均能流：一個(gè)周期內(nèi)的平均值udtS能流密度(波的強(qiáng)度)I:通過垂直于波傳播方向的單位面積的平均能流.

單位：W·m-22/3/202343§11.4惠更斯原理波的疊加和干涉

波的衍射

水波的衍射一、惠更斯原理在波的傳播過程中，波陣面（波前）上的每一個(gè)點(diǎn)都可以看作是發(fā)射球面子波的波源，而在其后的任意時(shí)刻，這些子波的包絡(luò)就是新的波前.2/3/202344球面波平面波O2/3/202345三、波的干涉1.波的疊加原理

波傳播的獨(dú)立性：兩列波在某區(qū)域相遇后再分開，傳播情況與未相遇時(shí)相同，互不干擾.波的疊加性：在相遇區(qū)，任一質(zhì)點(diǎn)的振動為二波單獨(dú)在該點(diǎn)引起的振動的合成.2/3/202346

頻率相同、振動方向平行、相位相同或相位差恒定的兩列波相遇時(shí)，使某些地方振動始終加強(qiáng)，而使另一些地方振動始終減弱的現(xiàn)象，稱為波的干涉現(xiàn)象.2.波的干涉(1)干涉條件波頻率相同，振動方向相同，位相差恒定滿足干涉條件的波稱相干波.例:水波干涉光波干涉2/3/202347波源振動點(diǎn)P的兩個(gè)分振動(2)干涉現(xiàn)象的定量討論*定值P點(diǎn)做振幅不變的諧振動

2/3/202348合振幅最大當(dāng)合振幅最小當(dāng)位相差決定了合振幅的大小.(1)干涉的位相差條件討論位相差2/3/202349加強(qiáng)減弱稱為波程差（波走過的路程之差）則如果即相干波源S1、S2同位相(2)干涉的波程差條件合振幅最大當(dāng)時(shí)（半波長偶數(shù)倍）

當(dāng)時(shí)（半波長奇數(shù)倍）合振幅最小2/3/202350例：如圖A、B兩點(diǎn)為相干波源，振幅皆為5cm，頻率為100Hz，當(dāng)點(diǎn)A為波峰時(shí)，點(diǎn)B為波谷。波速為10m/s，試求P點(diǎn)的干涉結(jié)果。20m15mABP解：由圖可知AP=15mA、B在P點(diǎn)的相位差故：P點(diǎn)因干涉而靜止。2/3/202351A、B為兩相干波源，距離為10m，振幅相同，

相同，a比b相位落后

,u=400m/s,n

=100Hz。例A、B連線上因干涉而靜止的各點(diǎn)位置。求解baP10mrarbP在A、B中間干涉靜止：2/3/202352p在a，b外側(cè)bP10mrarb外側(cè)無因干涉而靜止的點(diǎn)。a2/3/202353§12.5駐波2/3/202354§12.5駐波一.弦線上的駐波實(shí)驗(yàn)波腹(Di)波節(jié)(Ci)兩列等振幅相干波相向傳播時(shí)疊加形成駐波駐波條件：(a)(b)(c)AAABBBC1C2C3C1C2D1D4D2D3D1D2D3每段兩端點(diǎn)都靜止不動2.中間各點(diǎn)做振幅不同、相位相同的獨(dú)立振動,中心點(diǎn)振幅最大，兩邊隨著向端點(diǎn)移動，振幅逐漸減小3.相鄰兩段振動方向相反，波形隨時(shí)在變，但沒有波形移動，弦線上各點(diǎn)基本在其平衡位置附近上下振動

特點(diǎn)4.拉長后，張力變大，因?yàn)樵黾樱砸苍黾?，波長變大2/3/202355二.駐波波函數(shù)（沿+方向）

（沿-方向）

2/3/202356三．駐波特點(diǎn)名稱波腹波節(jié)振幅最大為2A振幅最小為0條件（k=0、1、2）（k=0、1