離散時間隨機過程的功率譜密度

2.3離散時間隨機過程的功率譜密度

前面討論連續(xù)時間隨機過程的功率譜密度及其相關(guān)性質(zhì)，并得出重要的關(guān)系式:(維納—辛欽公式)

隨著快速傅里葉變化(FFT)算法出現(xiàn)以及數(shù)字信號處理(DSP)芯片的飛速發(fā)展，對離散時間隨機過程的研究就顯得非常重要。2023/2/32一離散時間隨機過程的功率譜密度1

平穩(wěn)離散時間隨機過程的相關(guān)函數(shù)

設(shè)X(n)為廣義平穩(wěn)離散時間隨機過程，或簡稱為廣義平穩(wěn)隨機序列，具有零均值。X(n)可以看作對連續(xù)時間隨機過程進行采樣得到的信號，采樣間隔，即。

X(n)自相關(guān)函數(shù)為:簡寫為：

2023/2/332

平穩(wěn)離散時間隨機過程的功率譜密度

序列的傅里葉變換存在的充要條件是滿足絕對可和條件：即

定義的功率譜密度為序列的傅里葉變換，并記為2023/2/34是頻率為的周期性連續(xù)函數(shù)，其周期為

T是隨機序列相鄰各值的時間間隔。奈奎斯特頻率

因為為周期函數(shù)，周期為在時2023/2/353

譜分解①z變換定義

在離散時間系統(tǒng)的分析中，常把廣義平穩(wěn)離散時間隨機過程的功率譜密度定義為的z變換，并記為，即式中式中，D為在的收斂域內(nèi)環(huán)繞z平面原點逆時針旋轉(zhuǎn)的一條閉合圍線。為的逆z變換2023/2/36②

性質(zhì)：

（因為）③譜分解定理

設(shè)X(n)是廣義平穩(wěn)實離散隨機過程，具有有理功率譜密度函數(shù)。則可分解為：

其中包含了單位圓之內(nèi)的全部零點和極點包含了單位圓之外的全部零點和極點2023/2/37例設(shè)，求和解將代人上式，即可求得2023/2/38連續(xù)時間平穩(wěn)隨機過程

離散時間平穩(wěn)隨機過程自相關(guān)函數(shù)功率譜密度功率譜密度自相關(guān)函數(shù)FTDFT2023/2/39連續(xù)時間確知信號離散時間確知信號采樣香農(nóng)采樣定理2023/2/310平穩(wěn)隨機過程的采樣定理其中，為采樣周期，為在時對的采樣。1確知信號的采樣定理(香農(nóng)采樣定理)

設(shè)為一確知、連續(xù)、帶限的實信號，其頻帶范圍，當采樣周期時即頻率時，可唯一由其抽樣點確定（恢復(fù)）。2023/2/311連續(xù)時間確知信號離散時間確知信號采樣香農(nóng)采樣定理2023/2/312連續(xù)時間平穩(wěn)隨機過程離散時間平穩(wěn)隨機過程

采樣2023/2/3132

平穩(wěn)隨機過程的采樣定理

若為平穩(wěn)隨機過程，具有零均值，其功率譜密度為

，則當滿足條件時，可將按它的振幅樣本展開為

是均方意義下的極限（均方極限）：若，則表示，即，在時，Y(t)和X(t)的均方誤差趨于零。2023/2/314證明第一步：

的帶寬也是有限。(1)(2)令，則(3)對，

對應(yīng)用香農(nóng)采樣定理

帶寬有限，是帶限確定信號，由香農(nóng)采樣定理可知是確知函數(shù)，維納-辛欽定理：2023/2/315第二步：令，則這說明，正交

又是的線性組合，正交2023/2/316即

(4)又

(5)第三步：即2023/2/317第一步第二步第三步(1)(2)(3)(4)(5)2023/2/318連續(xù)時間平穩(wěn)隨機過程離散時間平穩(wěn)隨機過程采樣自相關(guān)函數(shù)功率譜密度功率譜密度自相關(guān)函數(shù)FTDFT2023/2/319三功率譜密度的采樣定理

若平穩(wěn)連續(xù)時間實隨機過程，其自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度分別記為和，對采樣后所得離散時間隨機過程，的自相關(guān)函數(shù)和功率譜密