人教版九年級數(shù)學(xué)下冊全冊教案-(2)可編輯打印

111111第二十六章反比例函數(shù)本章內(nèi)容屬于“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域，是在已經(jīng)學(xué)習(xí)了平面直角坐標(biāo)系和一次函數(shù)的基礎(chǔ)上，再一次進(jìn)入函數(shù)范疇，讓學(xué)生進(jìn)一步理解函數(shù)的內(nèi)涵，并感受現(xiàn)實(shí)世界中存在各種函數(shù)，掌握如何應(yīng)用函數(shù)知識解決實(shí)際問題．反比例函數(shù)是最基本的函數(shù)之一，是學(xué)習(xí)后續(xù)各類函數(shù)的基礎(chǔ)．本章的主要內(nèi)容是反比例函數(shù)，教材中從幾個學(xué)生熟悉的實(shí)際問題出發(fā)，引入反比例函數(shù)的概念，使學(xué)生逐步從對具體函數(shù)的感性認(rèn)識上升到對抽象的反比例函數(shù)概念的理性認(rèn)識．第一節(jié)的內(nèi)容是反比例函數(shù)的概念以及反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)．反比例函數(shù)y＝eq\f(k,x)(k為常數(shù)，k≠0)的圖象分布在兩個象限，當(dāng)k>0時，圖象分布在第一、三象限，y隨x的增大(減小)而減小(增大)；當(dāng)k<0時，圖象分布在第二、四象限，y隨x的增大(減小)而增大(減小)．第二節(jié)的內(nèi)容是如何利用反比例函數(shù)解決現(xiàn)實(shí)世界中的實(shí)際問題以及如何用反比例函數(shù)解釋現(xiàn)實(shí)世界中的一些現(xiàn)象．教學(xué)中要注重數(shù)學(xué)思想的滲透，注意做好與已學(xué)內(nèi)容的銜接，還要加強(qiáng)反比例函數(shù)與正比例函數(shù)的對比．本章的重點(diǎn)是反比例函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì)，圖象是直觀地描述和研究函數(shù)的重要工具．教材中給出了大量的具體的反比例函數(shù)的例子，用以加深學(xué)生對所學(xué)知識的理解和融會貫通．本章的難點(diǎn)是對反比例函數(shù)及其圖象和性質(zhì)的理解和掌握，教學(xué)時在這方面要投入更多的精力．1．理解并掌握反比例函數(shù)的概念．2．掌握反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)．3．能靈活運(yùn)用反比例函數(shù)知識解決實(shí)際問題．本章教學(xué)約需4課時，具體分配如下：26．1反比例函數(shù)3課時26．2實(shí)際問題與反比例函數(shù)1課時26．1反比例函數(shù)26．1.1反比例函數(shù)知識與技能1．使學(xué)生理解并掌握反比例函數(shù)的概念．2．能判斷一個給定的函數(shù)是否為反比例函數(shù)，并會用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式．過程與方法能根據(jù)實(shí)際問題中的條件確定反比例函數(shù)的解析式，體會函數(shù)的建模思想．情感、態(tài)度與價值觀經(jīng)歷抽象反比例函數(shù)概念的過程，領(lǐng)會反比例函數(shù)的意義，理解反比例函數(shù)的概念，體會數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要性，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣．重點(diǎn)理解反比例函數(shù)的概念，能根據(jù)已知條件寫出函數(shù)解析式．難點(diǎn)理解反比例函數(shù)的概念．一、創(chuàng)設(shè)情境，講授新課活動1.問題：下列問題中，變量間的對應(yīng)關(guān)系可用怎樣的函數(shù)關(guān)系式表示？這些函數(shù)有什么共同特點(diǎn)？(1)京滬線鐵路全程為1463km，乘坐某次列車所用時間t(單位：h)隨該列車平均速度v(單位：km/h)的變化而變化；(2)某住宅小區(qū)要種植一個面積為1000m2的矩形草坪，草坪的長y隨寬x的變化而變化；(3)已知北京市的總面積為1.68×104平方千米，人均占有土地面積S(單位：平方千米/人)隨全市人口n(單位：人)的變化而變化．解：(1)t＝eq\f(1463,v)；(2)y＝eq\f(1000,x)；(3)S＝eq\f(1.68×104,n).其中，v是自變量，t是v的函數(shù)；x是自變量，y是x的函數(shù)；n是自變量，S是n的函數(shù)．上面的函數(shù)關(guān)系式，都具有y＝eq\f(k,x)的形式，其中k是非零常數(shù)．活動2.下列問題中，變量間的對應(yīng)關(guān)系可用怎樣的函數(shù)關(guān)系式表示？(1)一個游泳池的容積為2000m3，注滿游泳池所用的時間t隨注水速度v的變化而變化；(2)某立方體的體積為1000cm3，立方體的高h(yuǎn)隨底面積S的變化而變化．解：(1)t＝eq\f(2000,v)；(2)h＝eq\f(1000,S).概念：如果兩個變量x，y之間的關(guān)系可以表示成y＝eq\f(k,x)的形式，那么y是x的反比例函數(shù)，反比例函數(shù)的自變量x不能為零．活動3.問題1：下列哪個等式中的y是x的反比例函數(shù)？y＝4x，eq\f(y,x)＝3，y＝6x＋1，xy＝123.問題2：已知y是x的反比例函數(shù)，當(dāng)x＝2時，y＝6.寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式．求當(dāng)x＝4時，y的值．師生行為：學(xué)生獨(dú)立思考，然后小組合作交流．教師巡視，查看學(xué)生完成的情況，并給予及時引導(dǎo)．1．解：只有xy＝123是反比例函數(shù)．2．分析：因?yàn)閥是x的反比例函數(shù)，所以可設(shè)y＝eq\f(k,x)，再把x＝2和y＝6代入上式就可求出常數(shù)k的值．解：設(shè)y＝eq\f(k,x)，因?yàn)閤＝2時，y＝6，所以有6＝eq\f(k,2)，解得k＝12，因此y＝eq\f(12,x)，把x＝4代入y＝eq\f(12,x)，得y＝eq\f(12,4)＝3.二、例題講解例1下列等式中，哪些是反比例函數(shù)？(1)y＝eq\f(x,3)；(2)y＝－eq\f(\r(2),x)；(3)xy＝21；(4)y＝eq\f(5,x＋2)；(5)y＝－eq\f(3,2x)；(6)y＝eq\f(1,x)＋3；(7)y＝x－4.解：(2)(3)(5)是反比例函數(shù)．例2函數(shù)y＝－eq\f(1,x＋2)中，自變量x的取值范圍是________．解：x≠－2.例3當(dāng)m取什么值時，函數(shù)y＝(m－2)x3－m2是反比例函數(shù)？分析：反比例函數(shù)y＝eq\f(k,x)(k≠0)的另一種表達(dá)式是y＝kx－1(k≠0)，這種寫法中x的次數(shù)是－1，因此m的取值必須滿足兩個條件，即m－2≠0且3－m2＝－1，特別注意不要遺漏k≠0這一條件，也要防止出現(xiàn)3－m2＝1的錯誤．解：由題意可知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m－2≠0，,3－m2＝－1，))解得m＝－2.三、鞏固練習(xí)1．已知y是x的反比例函數(shù)，并且當(dāng)x＝3時，y＝－8.(1)寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)當(dāng)y＝2時，求x的值．答案(1)y＝－eq\f(24,x)(2)x＝－12四、課堂小結(jié)反比例函數(shù)概念形成的過程中，大家充分利用已有的生活經(jīng)驗(yàn)和背景知識，注意挖掘問題中變量之間的關(guān)系及變化規(guī)律，逐步加深理解．在概念的形成過程中，從感性認(rèn)識提升到理性認(rèn)識，建立概念，擺脫其原型成為數(shù)學(xué)對象．反比例函數(shù)具有豐富的數(shù)學(xué)含義．通過舉例、說理、討論等活動用數(shù)學(xué)眼光審視某些實(shí)際現(xiàn)象．例題非常簡單，在例題的處理上注重培養(yǎng)學(xué)生形成寫出規(guī)范的解題步驟的能力，同時拓寬學(xué)生的思路．在題目的設(shè)計和教學(xué)設(shè)計上注重了由淺入深的梯度，同時充分調(diào)動學(xué)生的積極性，發(fā)揮學(xué)生的主體作用．26．1.2反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)第1課時反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)(1)知識與技能1．會用描點(diǎn)法畫反比例函數(shù)的圖象．2．結(jié)合圖象分析并掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)．過程與方法體會分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用．情感、態(tài)度與價值觀1．體會函數(shù)的表示方法，領(lǐng)會數(shù)形結(jié)合的思想方法．2．在動手作圖的過程中體會其中的樂趣，養(yǎng)成勤于動手、樂于探索的習(xí)慣．重點(diǎn)理解并掌握反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)．難點(diǎn)正確畫出圖象，通過觀察、分析歸納出反比例函數(shù)的性質(zhì)．一、復(fù)習(xí)回顧，引入新課1．畫出函數(shù)y＝3x＋1的圖象．2．求函數(shù)y＝3x＋1的圖象與x軸、y軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)．這個過程由學(xué)生獨(dú)立思考、操作、交流、回答，教師可與學(xué)生討論交流，提問學(xué)生．問：什么叫做反比例函數(shù)？學(xué)生：如果兩個變量x，y之間的關(guān)系可以表示成y＝eq\f(k,x)(k為常數(shù)，且k≠0)的形式，那么y是x的反比例函數(shù)．反比例函數(shù)的自變量x不能為零．讓學(xué)生猜想反比例函數(shù)的圖象是什么樣的，讓學(xué)生自己嘗試作反比例函數(shù)y＝eq\f(6,x)，y＝eq\f(4,x)，y＝－eq\f(6,x)，y＝－eq\f(4,x)的圖象．二、例題講解例1畫出反比例函數(shù)y＝eq\f(6,x)與y＝－eq\f(6,x)的圖象．反比例函數(shù)是我們第一次遇到的非直線函數(shù)圖象，而且反比例函數(shù)的圖象是由斷開的兩支曲線組成的，我們從描出的點(diǎn)的變化趨勢可以看出，切記不能用直線連接．師生共析：用平滑的曲線按自變量從小到大的順序把描出的點(diǎn)連接起來，就可得到下圖．問：觀察畫出的圖象，思考y＝eq\f(6,x)與y＝－eq\f(6,x)的圖象有什么共同的特征？它們之間有什么關(guān)系？(教師在學(xué)生思考、回答后指出反比例函數(shù)的圖象是雙曲線，是軸對稱圖形，各有兩條對稱軸，它們都不會經(jīng)過原點(diǎn))反比例函數(shù)y＝eq\f(k,x)的圖象是由兩支曲線組成的，當(dāng)k＞0時，兩支曲線分別位于第一、三象限內(nèi)；當(dāng)k＜0時，兩支曲線分別位于第二、四象限．例2已知反比例函數(shù)y＝(m－1)xm2－3的圖象在第二、四象限，求m的值，并指出在每個象限內(nèi)y隨x的變化情況．分析：此題要考慮兩個方面，一是反比例函數(shù)的定義，即y＝kx－1(k≠0)中自變量x的指數(shù)是－1，二是根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)：當(dāng)圖象位于第二、四象限時，k＜0，則m－1＜0，不要忽視這個條件．解：∵y＝(m－1)xm2－3是反比例函數(shù)，∴m2－3＝－1，且m－1≠0.又∵圖象在第二、四象限，∴m－1＜0.解得m＝±eq\r(2)，且m＜1，則m＝－eq\r(2).在每個象限內(nèi)，y隨x的增大而增大．反比例函數(shù)y＝eq\f(k,x)的圖象，當(dāng)k＞0時，在每一個象限內(nèi)，y的值隨x值的增大而減??；當(dāng)k＜0時，在每一個象限內(nèi)，y的值隨x值的增大而增大．例3如圖，過反比例函數(shù)y＝eq\f(1,x)(x＞0)的圖象上任意兩點(diǎn)A，B分別作x軸的垂線，垂足分別為C，D，連接OA，OB，設(shè)△AOC和△BOD的面積分別是S1，S2，比較它們的大小，可得()A．S1＞S2B．S1＝S2C．S1＜S2D．大小關(guān)系不能確定分析：從反比例函數(shù)y＝eq\f(k,x)(k≠0)的圖象上任一點(diǎn)P(x，y)分別向x軸、y軸作垂線段，與x軸、y軸所圍成的矩形面積S＝|xy|＝|k|，由此可得S1＝S2＝eq\f(1,2)|k|，故選B.三、鞏固練習(xí)1．若函數(shù)y＝(2m－1)x與y＝eq\f(3－m,x)的圖象交于第一、三象限，則m的取值范圍是________．答案eq\f(1,2)＜m＜32．反比例函數(shù)y＝－eq\f(2,x)，當(dāng)x＝－2時，y＝________；當(dāng)x＜－2時，y的取值范圍是________；當(dāng)－2＜x＜0時，y的取值范圍是________．答案1y＜1y＞1四、課堂小結(jié)師：你對本節(jié)知識有哪些認(rèn)識？教師可讓學(xué)生隨意說出一個反比例函數(shù)，然后由一個學(xué)生說出它的性質(zhì)．在活動中，教師應(yīng)重點(diǎn)關(guān)注：1．不同層次的學(xué)生對本節(jié)課知識的認(rèn)識程度．2．學(xué)生獨(dú)立面對困難和克服困難的能力．“反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)”是反比例函數(shù)的教學(xué)重點(diǎn)，學(xué)生需要在理解的基礎(chǔ)上熟練運(yùn)用．在本節(jié)課的教學(xué)中，有意識地加強(qiáng)反比例函數(shù)與正比例函數(shù)之間的對比．借助計算機(jī)的動態(tài)演示比較兩函數(shù)的圖象，使學(xué)生更直觀、更清楚地看清兩函數(shù)的區(qū)別，從而使學(xué)生加深對兩函數(shù)性質(zhì)的理解．觀察反比例函數(shù)的圖象，獲取函數(shù)相關(guān)性質(zhì)的信息有較大空間，考查學(xué)生能否對信息做出靈敏反應(yīng)，應(yīng)用時，能否善于分析和決策，靈活運(yùn)用知識有效地解決問題，關(guān)注并追蹤這些活動所引起的學(xué)生的持久變化．第2課時反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)(2)知識與技能1．使學(xué)生進(jìn)一步理解并掌握反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)．2．能靈活運(yùn)用函數(shù)圖象和性質(zhì)解決一些較綜合的問題．過程與方法體會函數(shù)不同表示方法的相互轉(zhuǎn)換，對函數(shù)進(jìn)行認(rèn)識上的整合，逐步提高從函數(shù)圖象中獲取信息的能力，探索并掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)．情感、態(tài)度與價值觀體會分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用，在動手作圖的過程中體會其中的樂趣，養(yǎng)成勤于動手、樂于探索的習(xí)慣．重點(diǎn)理解并掌握反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，并能利用它們解決一些綜合問題．難點(diǎn)學(xué)會從圖象上分析、解決問題．一、復(fù)習(xí)導(dǎo)入首先復(fù)習(xí)上節(jié)課所學(xué)的內(nèi)容：1．什么是反比例函數(shù)？2．反比例函數(shù)的圖象是什么？有什么性質(zhì)？3．作函數(shù)圖象的步驟：列表、描點(diǎn)、連線．4．反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)：(1)反比例函數(shù)的圖象是由兩支曲線組成的(通常稱為雙曲線)；(2)當(dāng)k＞0時，兩支曲線分別位于第一、三象限內(nèi)；當(dāng)k＜0時，兩支曲線分別位于第二、四象限內(nèi)；(3)反比例函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸不相交，它們都不過原點(diǎn)；(4)反比例函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形．(5)反比例函數(shù)y＝eq\f(k,x)的圖象，當(dāng)k＞0時，在每一個象限內(nèi)，y的值隨x的增大而減??；當(dāng)k＜0時，在每一個象限內(nèi)，y的值隨x的增大而增大．二、例題講解例1已知反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(2，6)．(1)這個函數(shù)的圖象分布在哪些象限？隨自變量的增大如何變化？(2)點(diǎn)B(3，4)，C(－2eq\f(1,2)，－4eq\f(4,5))和D(2，5)是否在這個函數(shù)的圖象上？解：(1)設(shè)這個反比例函數(shù)的解析式為y＝eq\f(k,x)，因?yàn)樗?jīng)過點(diǎn)A，把點(diǎn)A的坐標(biāo)(2，6)代入函數(shù)解析式，得6＝eq\f(k,2)，解得k＝12，即這個反比例函數(shù)的表達(dá)式為y＝eq\f(12,x).因?yàn)閗>0，所以這個函數(shù)的圖象在第一、三象限內(nèi)，y隨x的增大而減?。?2)把點(diǎn)B，C和D的坐標(biāo)代入y＝eq\f(12,x)，可知點(diǎn)B、點(diǎn)C的坐標(biāo)滿足函數(shù)關(guān)系式，點(diǎn)D的坐標(biāo)不滿足函數(shù)關(guān)系式，所以點(diǎn)B、點(diǎn)C在函數(shù)y＝eq\f(12,x)的圖象上，點(diǎn)D不在該函數(shù)的圖象上．例2如圖是反比例函數(shù)y＝eq\f(m－5,x)的圖象的一支．根據(jù)圖象回答下列問題：(1)圖象的另一支在哪個象限？常數(shù)m的取值范圍是什么？(2)在上圖的圖象上任取點(diǎn)A(a，b)和點(diǎn)B(a′，b′)，如果a>a′，那么b和b′有怎樣的大小關(guān)系？師生活動：讓學(xué)生先觀察圖象，然后結(jié)合反比例函數(shù)的圖象完成此題．教師應(yīng)給學(xué)生提供充分的交流時間和空間．解：(1)反比例函數(shù)的圖象的分布只有兩種可能，分布在第一、三象限或者分布在第二、四象限，這個函數(shù)的圖象的一支在第一象限，則另一支必在第三象限．因此這個函數(shù)的圖象分布在第一、三象限，所以m－5>0，解得m>5.(2)由函數(shù)的圖象可知，在雙曲線的一支上，y隨x的增大而減小，因?yàn)閍>a′，所以b＜b′.三、鞏固練習(xí)1．若直線y＝kx＋b經(jīng)過第一、二、四象限，則函數(shù)y＝eq\f(kb,x)的圖象在()A．第一、三象限B．第二、四象限C．第三、四象限D(zhuǎn)．第一、二象限答案B2．已知點(diǎn)(－1，y1)，(2，y2)，(π，y3)在雙曲線y＝－eq\f(k2＋1,x)上，則下列關(guān)系式正確的是()A．y1＞y2＞y3B．y1＞y3＞y2C．y2＞y1＞y3D．y3＞y1＞y2答案B四、課堂小結(jié)1．進(jìn)一步掌握了反比例函數(shù)的作圖方法．2．學(xué)會了利用反比例函數(shù)的性質(zhì)畫出反比例函數(shù)的圖象．本節(jié)課通過學(xué)習(xí)情境的創(chuàng)設(shè)改變了學(xué)生的學(xué)習(xí)方法，學(xué)生的學(xué)習(xí)能力、思維品質(zhì)、探究意識及其態(tài)度、情感價值觀等有了不同的發(fā)展．在這節(jié)課的教學(xué)中，我比較成功地實(shí)施了誘思探究教學(xué)，學(xué)生的積極性得到充分的調(diào)動．在教學(xué)過程中，注意引導(dǎo)學(xué)生仔細(xì)觀察反比例函數(shù)圖象的特征，根據(jù)其對稱性列表、描點(diǎn)、連線，作圖就會畫得又快又美觀，注意控制時間，充分理解教學(xué)意圖，敢于放手．26．2實(shí)際問題與反比例函數(shù)知識與技能1．能靈活運(yùn)用反比例函數(shù)解決一些實(shí)際問題．2．分析實(shí)際問題中變量之間的關(guān)系，建立反比例函數(shù)模型，進(jìn)而解決問題．過程與方法會用反比例函數(shù)知識分析、解決實(shí)際問題．情感、態(tài)度與價值觀滲透數(shù)形結(jié)合思想，提高學(xué)生用函數(shù)觀點(diǎn)解決問題的能力．重點(diǎn)會用反比例函數(shù)知識分析、解決實(shí)際問題．難點(diǎn)分析實(shí)際問題中的數(shù)量關(guān)系，正確寫出函數(shù)解析式．一、復(fù)習(xí)導(dǎo)入，教授新課問題：市煤氣公司要在地下修建一個容積為104m3的圓柱形煤氣儲存室．(1)儲存室的底面積S(單位：m2)與其深度d(單位：m)有怎樣的函數(shù)關(guān)系？(2)公司決定把儲存室的底面積S定為500m2，施工隊施工時應(yīng)該向下挖進(jìn)多深？(3)當(dāng)施工隊按(2)中的計劃挖進(jìn)到地下15m時，碰上了堅硬的巖石，為了節(jié)約建設(shè)資金，公司臨時改變計劃把儲存室的深改為15m，相應(yīng)的，儲存室的底面積應(yīng)改為多少才能滿足需要？(保留兩位小數(shù))我們知道圓柱的容積是底面積×高，而現(xiàn)在容積一定為104m3，所以S·d＝104.變形就可得到底面積S與其深度d的函數(shù)關(guān)系式，即S＝eq\f(104,d)，所以儲存室的底面積S是其深度d的反比例函數(shù)．根據(jù)函數(shù)S＝eq\f(104,d)，我們知道給出一個d的值就有唯一的S的值和它相對應(yīng)，反過來，知道S的一個值，也可求出d的值．根據(jù)S＝eq\f(104,d)，得500＝eq\f(104,d)，解得d＝20，即施工隊施工時應(yīng)該向下挖進(jìn)20米．根據(jù)S＝eq\f(104,d)，把d＝15代入此式，得S＝eq\f(104,15)≈666.67(m2)．當(dāng)儲存室的深為15m時，儲存室的底面積應(yīng)改為666.67m2才能滿足需要．二、例題講解例1碼頭工人每天往一艘輪船上裝載30噸貨物，裝載完畢恰好用了8天時間．(1)輪船到達(dá)目的地后開始卸貨，平均卸貨速度v(單位：噸/天)與卸貨天數(shù)t之間有怎樣的函數(shù)關(guān)系？(2)由于遇到緊急情況，要求船上的貨物不超過5天卸載完畢，那么平均每天至少要卸載多少噸？解：(1)設(shè)輪船上的貨物總量為k噸，根據(jù)已知條件得k＝30×8＝240，所以v關(guān)于t的函數(shù)解析式為v＝eq\f(240,t).(2)把t＝5代入v＝eq\f(240,t)，得v＝eq\f(240,5)＝48(噸)．從結(jié)果可以看出，如果全部貨物恰好用5天卸載完，那么平均每天卸載48噸．對于函數(shù)v＝eq\f(240,t)，當(dāng)t>0時，t越小，v越大．這樣若貨物不超過5天卸載完，則平均每天至少要卸載48噸．例2小偉欲用撬棍撬動一塊大石頭，已知阻力和阻力臂分別為1200N和0.5m.(1)動力F與動力臂l有怎樣的函數(shù)關(guān)系？當(dāng)動力臂為1.5m時，撬動石頭至少需要多大的力？(2)若想使動力F不超過題(1)中所用力的一半，則動力臂l至少要加長多少？解：(1)根據(jù)“杠桿原理”，得Fl＝1200×0.5，所以F關(guān)于l的函數(shù)解析式為F＝eq\f(600,l).當(dāng)l＝1.5m時，F(xiàn)＝eq\f(600,1.5)＝400(N)．對于函數(shù)F＝eq\f(600,l)，當(dāng)l＝1.5m時，F(xiàn)＝400N，此時杠桿平衡，因此，撬動石頭至少需要400N的力．(2)對于函數(shù)F＝eq\f(600,l)，F(xiàn)隨l的增大而減?。虼?，只要求出F＝200N時對應(yīng)的l的值，就能確定動力臂l至少應(yīng)加長的量．當(dāng)F＝400×eq\f(1,2)＝200時，由200＝eq\f(600,l)得l＝eq\f(600,200)＝3(m)，3－1.5＝1.5(m)．對于函數(shù)F＝eq\f(600,l)，當(dāng)l>0時，l越大，F(xiàn)越?。虼?，若想用力不超過400N的一半，則動力臂至少要加長1.5m.例3一個用電器的電阻是可調(diào)節(jié)的，其范圍為110Ω～220Ω.已知電壓為220V，這個用電器的電路圖如圖所示．(1)功率P與電阻R有怎樣的函數(shù)關(guān)系？(2)這個用電器功率的范圍是多少？解：(1)根據(jù)電學(xué)知識，當(dāng)U＝220時，得P＝eq\f(2202,R).①(2)根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)可知，電阻越大，功率越?。央娮璧淖钚≈礡＝110代入①式，得到功率的最大值P＝eq\f(2202,110)＝440(W)；把電阻的最大值R＝220代入①式，得到功率的最小值P＝eq\f(2202,220)＝220(W)．因此用電器功率的范圍為220W～440W.三、鞏固練習(xí)1．京沈高速公路全長658km，汽車沿京沈高速公路從沈陽駛往北京，則汽車行完全程所需的時間t(h)與行駛的平均速度v(km/h)之間的函數(shù)關(guān)系式為________．答案t＝eq\f(658,v)2．一定質(zhì)量的氧氣，它的密度ρ(kg/m3)是它的體積V(m3)的反比例函數(shù)．當(dāng)V＝10m3時，ρ＝1.43kg/m3.(1)求ρ與V的函數(shù)關(guān)系式；(2)求當(dāng)V＝2m3時氧氣的密度ρ.答案(1)ρ＝eq\f(m,V)，當(dāng)V＝10m3時，ρ＝1.43kg/m3，所以m＝ρV＝10×1.4＝14.3，所以ρ＝eq\f(14.3,v)；(2)當(dāng)V＝2m3時，ρ＝eq\f(14.3,2)＝7.15(kg/m3)．四、課堂小結(jié)本節(jié)課是用函數(shù)的觀點(diǎn)處理實(shí)際問題，并且是蘊(yùn)含著體積、面積這樣的實(shí)際問題，而解決這些問題，關(guān)鍵在于分析實(shí)際情境，建立函數(shù)模型，并進(jìn)一步明確數(shù)學(xué)問題，將實(shí)際問題置于已有的知識背景之中，抽象出數(shù)學(xué)模型，逐步形成解決實(shí)際問題的能力，在解決問題時，應(yīng)充分利用函數(shù)的圖象幫助分析問題，滲透數(shù)形結(jié)合的思想．本節(jié)體現(xiàn)了反比例函數(shù)是解決實(shí)際問題的有效的數(shù)學(xué)模型的思想．創(chuàng)設(shè)問題情境，激發(fā)學(xué)生探究實(shí)際問題的興趣，引發(fā)學(xué)生思考，體驗(yàn)數(shù)學(xué)知識的實(shí)用性，讓學(xué)生經(jīng)歷“問題情境→建立模型→拓展應(yīng)用”的過程，培養(yǎng)學(xué)生善于發(fā)現(xiàn)問題、積極參與學(xué)習(xí)的能力，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識，充分激發(fā)學(xué)生的潛能．

第二十七章相似本章主要學(xué)習(xí)圖形的相似．首先，教材中從生活實(shí)例入手，得到相似圖形的概念，進(jìn)一步得到相似多邊形，研究了相似多邊形的定義和有關(guān)性質(zhì)，為研究相似三角形做了鋪墊．其次，從相似多邊形引入相似三角形，反映了知識間的一種聯(lián)系，同時也揭示了相似三角形所要研究的本質(zhì)就是兩個三角形邊、角之間的關(guān)系．本部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)，應(yīng)突出一種對應(yīng)關(guān)系，即找兩個相似三角形的對應(yīng)邊和對應(yīng)角，關(guān)鍵是先找到其對應(yīng)頂點(diǎn)．相似三角形的性質(zhì)及其判定定理是否能正確地運(yùn)用也是本節(jié)課的一個重點(diǎn)．教材中首先讓學(xué)生選擇合適的方法進(jìn)行探索和歸納，然后運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)，通過計算給出證明，并推導(dǎo)得到相似三角形的周長的比、面積的比與相似比的關(guān)系．最后，教材中介紹了圖形的位似．位似的兩個圖形具有一種特殊的位置關(guān)系，這種關(guān)系是通過位似中心來聯(lián)系的，位似中心的位置決定了兩個位似圖形的位置，其關(guān)鍵是抓住對應(yīng)點(diǎn)的連線都經(jīng)過位似中心；而相似圖形只研究它們的形狀和大小，與這兩個圖形的位置無關(guān)．本節(jié)的位似只要求學(xué)生理解位似圖形，利用位似將一個圖形放大或縮?。?．能夠判斷線段是否成比例，理解并掌握比例的幾個性質(zhì)以及平行線分線段成比例定理．2．通過具體實(shí)例認(rèn)識圖形的相似，探索相似圖形的性質(zhì)，知道相似多邊形的對應(yīng)角相等、對應(yīng)邊成比例．3．了解兩個相似三角形的概念，探索兩個三角形相似的條件、相似三角形對應(yīng)高的比、對應(yīng)中線的比、對應(yīng)角平分線的比、周長的比、面積的比與相似比的關(guān)系．4．了解圖形的位似，能夠利用位似將一個圖形放大或縮小．5．通過典型實(shí)例觀察并認(rèn)識現(xiàn)實(shí)生活中物體的相似，利用圖形的相似解決一些實(shí)際問題．本章教學(xué)約需11課時，具體分配如下：27．1圖形的相似2課時27．2相似三角形7課時27．3位似2課時27．1圖形的相似第1課時圖形的相似(1)知識與技能從生活中形狀相同的圖形的實(shí)例中認(rèn)識成比例的線段，理解成比例線段的概念．過程與方法在成比例線段的探究過程中，讓學(xué)生運(yùn)用“觀察—比較—猜想”的方法分析問題．情感、態(tài)度與價值觀在探究成比例線段的過程中，培養(yǎng)學(xué)生與他人交流、合作的意識．重點(diǎn)認(rèn)識成比例的線段．難點(diǎn)理解成比例線段的概念．一、問題引入活動1.觀察圖片，體會形狀相同的圖形．(多媒體出示)師：同學(xué)們，請觀察下列幾幅圖片，你能發(fā)現(xiàn)什么？你能對觀察到的圖片特點(diǎn)進(jìn)行歸納嗎？生：這些圖形的形狀相同，而大小不同．二、新課教授活動2.思考：如圖是人們從平面鏡及哈哈鏡里看到的不同鏡像，它們的形狀相同嗎？生：形狀不同．師：我們把形狀相同，大小不同的圖形叫做相似圖形．形狀相同而大小不同的兩個平面圖形，較大的圖形可以看成是由較小的圖形“放大”得到的，較小的圖形可以看成是由較大的圖形“縮小”得到的．在這個過程中，兩個圖形上的相應(yīng)線段也被“放大”或“縮小”，因此，對于形狀相同而大小不同的兩個圖形，我們可以用相應(yīng)線段長度的比來描述它們的大小關(guān)系．如果選用同一個長度單位量得兩條線段AB，CD的長度分別是m，n，那么這兩條線段的比就是它們長度的比，即AB∶CD＝m∶n或?qū)懗蒭q\f(AB,CD)＝eq\f(m,n).其中，線段AB、CD分別叫做這個線段比的前項和后項．如果把eq\f(m,n)表示成比值k，那么eq\f(AB,CD)＝k或AB＝k·CD，兩條線段的比實(shí)際上就是兩個數(shù)的比．活動3.如果把老師手中的教鞭與鉛筆分別看成是兩條線段AB和CD，那么這兩條線段的長度比是多少？師生活動．1．兩條線段的比，就是兩條線段長度的比．2．成比例線段：對于四條線段a，b，c，d，如果其中兩條線段的比與另外兩條線段的比相等，如eq\f(a,b)＝eq\f(c,d)(即ad＝bc)，我們就說這四條線段是成比例線段，簡稱比例線段．注意：(1)兩條線段的比與所采用的長度單位沒有關(guān)系，但在計算時要注意統(tǒng)一單位；(2)線段的比是一個沒有單位的正數(shù)；(3)四條線段a，b，c，d成比例，記作：eq\f(a,b)＝eq\f(c,d)或a∶b＝c∶d；(4)若四條線段滿足eq\f(a,b)＝eq\f(c,d)，則有ad＝bc；(5)如果ad＝bc(a，b，c，d都不等于0)，那么eq\f(a,b)＝eq\f(c,d).三、例題講解例1如圖，下面右邊的四個圖形中，與左邊的圖形形狀相同的是()解：C例2一張桌面長a＝1.25m，寬b＝0.75m，那么長與寬的比是多少？(1)如果a＝125cm，b＝75cm，那么長與寬的比是多少？(2)如果a＝1250mm，b＝750mm，那么長與寬的比是多少？解：eq\f(a,b)＝eq\f(5,3)小結(jié)：上面分別采用m，cm，mm三種不同的長度單位，求得的eq\f(a,b)的值是相等的，所以說，兩條線段的比與所采用的長度單位無關(guān)，但求比時兩條線段的長度單位必須一致．四、課堂小結(jié)1．圖形相似的定義：形狀相同的圖形叫做相似圖形．2．成比例線段：對于四條線段a，b，c，d，如果其中兩條線段的比與另外兩條線段的比相等，如eq\f(a,b)＝eq\f(c,d)(即ad＝bc)，我們就說這四條線段是成比例線段，簡稱比例線段．本節(jié)課在學(xué)習(xí)過程中應(yīng)該注意從生活中形狀相同的圖形的實(shí)例中認(rèn)識相似圖形以及成比例的線段，理解成比例線段的概念．在相似圖形的探究過程中，讓學(xué)生運(yùn)用“觀察——比較——猜想”的方法分析問題，讓學(xué)生經(jīng)歷探究過程．以學(xué)生的自主探究為主線，讓學(xué)生經(jīng)歷實(shí)驗(yàn)操作、探究發(fā)現(xiàn)、證明論證獲得知識．教師只在關(guān)鍵處進(jìn)行點(diǎn)撥，不足處進(jìn)行補(bǔ)充．鼓勵學(xué)生大膽猜測、大膽驗(yàn)證，讓學(xué)生在研究過程中滲透數(shù)學(xué)思想，有意識地培養(yǎng)學(xué)生的解題能力．第2課時圖形的相似(2)知識與技能知道相似圖形的兩個特征：對應(yīng)邊成比例，對應(yīng)角相等．掌握判斷兩個多邊形是否相似的方法——“如果兩個多邊形滿足對應(yīng)角相等、對應(yīng)邊的比相等，那么這兩個多邊形相似”．過程與方法經(jīng)歷從生活中的事物中抽象出幾何圖形的過程，體會由特殊到一般的思想方法，感受圖形世界的豐富多彩．情感、態(tài)度與價值觀在探索中培養(yǎng)學(xué)生與他人交流、合作的意識和品質(zhì)．重點(diǎn)知道相似圖形的對應(yīng)角相等、對應(yīng)邊的比相等．難點(diǎn)能運(yùn)用相似圖形的性質(zhì)解決問題．一、問題引入1．若線段a＝6cm，b＝4cm，c＝3.6cm，d＝2.4cm，那么線段a，b，c，d會成比例嗎？2．兩張相似的地圖中的對應(yīng)線段有什么關(guān)系？(都成比例)二、探究新知1．觀察圖片，體會相似圖形的性質(zhì)．(1)下圖(1)中的△A1B1C1是由正△ABC放大后得到的，觀察這兩個圖形，它們的對應(yīng)角有什么關(guān)系？對應(yīng)邊又有什么關(guān)系呢？(2)對于圖(2)中兩個形狀相同、大小不同的正六邊形，是否也能得到類似的結(jié)論？學(xué)生細(xì)心觀察，認(rèn)真思考，小組討論后回答問題，最后得出：它們的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等．∠A＝∠A1，∠B＝∠B1，∠C＝∠C1.eq\f(AB,A1B1)＝eq\f(BC,B1C1)＝eq\f(AC,A1C1).師：上圖中的△ABC，△A1B1C1是形狀相同的三角形，其中∠A與∠A1，∠B與∠B1，∠C與∠C1分別相等，稱為對應(yīng)角，AB與A1B1，BC與B1C1，AC與A1C1的比都相等，稱為對應(yīng)邊，各角相等、各邊成比例的兩個多邊形叫做相似多邊形．2．探究．如圖(1)中是兩個相似三角形，它們的對應(yīng)角有什么關(guān)系？對應(yīng)邊的比是否相等？對于圖(2)中兩個相似四邊形，它們的對應(yīng)角、對應(yīng)邊是否也有同樣的結(jié)論？師生總結(jié)：相似多邊形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等．(1)如果兩個多邊形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等，那么這兩個多邊形相似．(2)相似多邊形的對應(yīng)邊的比稱為相似比．三、例題講解例如圖，四邊形ABCD和四邊形EFGH相似，求∠α和∠β的大小以及EH的長度x.學(xué)生通過運(yùn)用相似多邊形的性質(zhì)正確解答出∠α和∠β的大小以及EH的長度x.解：四邊形ABCD和四邊形EFGH相似，它們的對應(yīng)角相等．由此可得∠α＝∠C＝83°，∠A＝∠E＝118°，在四邊形ABCD中，∠β＝360°－(78°＋83°＋118°)＝81°.四邊形ABCD和四邊形EFGH相似，它們的對應(yīng)邊成比例．由此可得eq\f(EH,AD)＝eq\f(EF,AB)，即eq\f(x,21)＝eq\f(24,18).解得x＝28cm.四、鞏固練習(xí)1．在比例尺為1∶10000000的地圖上，量得甲、乙兩地的距離是30cm，求兩地的實(shí)際距離．答案3000km2．如圖所示的兩個直角三角形相似嗎？為什么？答案相似，因?yàn)樗鼈兊膶?yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等．3．如圖所示的兩個五邊形相似，求未知邊a，b，c，d的長度．答案a＝3，b＝eq\f(9,2)，c＝4，d＝6.五、課堂小結(jié)1．相似多邊形的定義：如果兩個多邊形的對應(yīng)角相等、對應(yīng)邊的比相等，那么這兩個多邊形相似．2．相似多邊形的性質(zhì)：相似多邊形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等．本節(jié)課在前一節(jié)課學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步加深對相似圖形的認(rèn)識．在相似圖形的探究過程中，繼續(xù)讓學(xué)生運(yùn)用“觀察——比較——猜想”的方法分析問題，讓學(xué)生經(jīng)歷探究過程．以學(xué)生自主探究為主線，讓學(xué)生經(jīng)歷實(shí)驗(yàn)操作、探究發(fā)現(xiàn)、證明論證獲得知識．教師只在關(guān)鍵處進(jìn)行點(diǎn)撥，不足處進(jìn)行補(bǔ)充．鼓勵學(xué)生大膽猜測、大膽驗(yàn)證．讓學(xué)生在研究過程中滲透數(shù)學(xué)思想，有意識地培養(yǎng)學(xué)生的解題能力．27．2相似三角形27．2.1相似三角形的判定第1課時平行線分線段成比例知識與技能使學(xué)生在理解的基礎(chǔ)上掌握平行線分線段成比例定理及其推論，并會靈活應(yīng)用．過程與方法通過學(xué)習(xí)定理再次鍛煉類比的數(shù)學(xué)思想，能把一個稍復(fù)雜的圖形分成幾個基本圖形，通過應(yīng)用鍛煉識圖能力和推理論證能力．情感、態(tài)度與價值觀通過定理的學(xué)習(xí)知道認(rèn)識事物的一般規(guī)律是從特殊到一般，并能欣賞數(shù)學(xué)圖形的對稱美，激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣．重點(diǎn)平行線分線段成比例定理和推論及其應(yīng)用．難點(diǎn)平行線分線段成比例定理的正確性的說明及推論應(yīng)用．一、復(fù)習(xí)導(dǎo)入師：什么是相似多邊形？生：對應(yīng)角分別相等，對應(yīng)邊成比例的兩個多邊形．教師用多媒體展示：如圖，在△ABC和△A′B′C′中，如果∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，∠C＝∠C′，eq\f(AB,A′B′)＝eq\f(BC,B′C′)＝eq\f(AC,A′C′)＝k.師：這樣的兩個三角形有什么關(guān)系呢？生：△ABC和△A′B′C′相似．師：對，兩個三角形相似記作△ABC∽△A′B′C′，“∽”讀作“相似于”．師：上面的兩個三角形的相似比為k，假如k＝1，這兩個三角形有怎樣的關(guān)系？生：當(dāng)k＝1時，AB＝A′B′，BC＝B′C′，AC＝A′C′，△ABC≌△A′B′C′.師：所以全等是相似的特殊情況．師：既然全等有很多種判定方法，我們可以類比全等的判定方法找到兩個三角形相似的方法嗎？在這之前，我們先來探究下面的問題．二、共同探究，獲取新知師：我們知道兩條平行線之間的距離是相等的．如果有三條直線l3∥l4∥l5，任意兩直線l1和l2與它們相交且截得的線段AB＝BC.我們會得到DE＝EF，即eq\f(AB,BC)＝eq\f(DE,EF)＝1.你們知道為什么嗎？生：學(xué)生思考、討論，得出結(jié)論．平行線等分線段定理：兩條直線被三條平行線所截，如果在其中一條上截得的線段相等，那么在另一條上截得的線段也相等．師：如果eq\f(AB,BC)≠1，那么eq\f(DE,EF)和eq\f(AB,BC)還相等嗎？師：引導(dǎo)學(xué)生按要求畫圖，測量．生：操作后，討論．可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)l3∥l4∥l5時，總有eq\f(AB,BC)＝eq\f(DE,EF)，eq\f(BC,AB)＝eq\f(EF,DE)，eq\f(BC,AC)＝eq\f(EF,DF)等．一般地，我們有平行線分線段成比例的基本事實(shí)：兩條直線被一組平行線所截，所得的對應(yīng)線段成比例．師：把平行線分線段成比例的基本事實(shí)應(yīng)用到三角形中，會出現(xiàn)什么樣的情況呢？生：思考、畫圖．圖(1)中把l4看成平行于△ABC的邊BC的直線，圖(2)中把l3看成平行于△ABC的邊BC的直線，可以得到結(jié)論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長線)，所得的對應(yīng)線段成比例．三、例題講解例如圖，在△ABC中，E，F(xiàn)分別是AB和AC上的點(diǎn)，且EF∥BC.(1)如果AE＝7，EB＝5，F(xiàn)C＝4，那么AF的長是多少？(2)如果AB＝10，AE＝6，AF＝5，那么FC的長是多少？解：(1)∵EF∥BC，∴eq\f(AE,EB)＝eq\f(AF,FC).∵AE＝7，EB＝5，F(xiàn)C＝4，∴AF＝eq\f(AE·FC,EB)＝eq\f(7×4,5)＝eq\f(28,5).(2)∵EF∥BC，∴eq\f(AE,AB)＝eq\f(AF,AC).∵AB＝10，AE＝6，AF＝5，∴AC＝eq\f(AB·AF,AE)＝eq\f(10×5,6)＝eq\f(25,3)，∴FC＝AC－AF＝eq\f(25,3)－5＝eq\f(10,3).四、鞏固練習(xí)1．如圖，已知AB∥CD∥EF，那么下列結(jié)論正確的是()A.eq\f(AD,DF)＝eq\f(BC,CE)B.eq\f(BC,CE)＝eq\f(DF,AD)C.eq\f(CD,EF)＝eq\f(BC,BE)D.eq\f(CD,EF)＝eq\f(AD,AF)答案A2．如圖，DE∥BC，AB∶DB＝3∶1，則AE∶AC＝________．答案2∶3五、課堂小結(jié)師：今天你學(xué)習(xí)了哪些定理？學(xué)生口述定理．在思考中，學(xué)生總結(jié)出當(dāng)求證的兩個比例式的線段不在同一基本型的時候應(yīng)該怎樣解題，并且掌握中間比的找法．對于添加輔助線的證明比例式問題，需要“透析”題目中的條件和證明方法．從課堂練習(xí)和作業(yè)反饋上體現(xiàn)出學(xué)生對知識的接受還比較理想，這堂課還是比較成功的．第2課時相似三角形的判定(1)知識與技能掌握“平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似”的判定方法；能夠運(yùn)用三角形相似的條件解決簡單的問題．過程與方法經(jīng)歷兩個三角形相似的探索過程，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的探究、交流能力．情感、態(tài)度與價值觀培養(yǎng)學(xué)生敢于實(shí)踐、勇于發(fā)現(xiàn)、大膽探索、合作創(chuàng)新的精神．重點(diǎn)三角形相似的判定方法1：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似．難點(diǎn)三角形相似的判定方法1的運(yùn)用．一、創(chuàng)設(shè)情境，引入新課師：根據(jù)相似三角形的定義，三角分別相等、三邊成比例的兩個三角形叫做相似三角形．那么，兩個三角形至少要滿足哪些條件就相似呢？能否類比兩個三角形全等的條件尋找判定兩個三角形相似的條件呢？今天這節(jié)課我們就一起來探索三角形相似的條件．二、探究新知問題平行于三角形一邊的直線與其他兩邊相交所構(gòu)成的三角形，與原三角形相似嗎？師生活動：如圖，在△ABC中，DE∥BC，且DE分別交AB，AC于點(diǎn)D，E，△ADE與△ABC有什么關(guān)系？直覺告訴我們，△ADE與△ABC相似，我們通過相似的定義證明它，即證明∠A＝∠A，∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，eq\f(AD,AB)＝eq\f(AE,AC)＝eq\f(DE,BC).由前面的結(jié)論可得，eq\f(AD,AB)＝eq\f(AE,AC).而eq\f(DE,BC)中的DE不在△ABC的邊BC上，不能直接利用前面的結(jié)論．但從要證的eq\f(AE,AC)＝eq\f(DE,BC)可以看出，除DE外，AE，AC，BC都在△ABC的邊上，因此只需將DE平移到BC邊上去，使得BF＝DE，再證明eq\f(AE,AC)＝eq\f(BF,BC)就可以了．只要過點(diǎn)E作EF∥AB，交BC于點(diǎn)F，BF就是平移DE所得的線段．先證明兩個三角形的角分別相等．如圖，在△ADE與△ABC中，∠A＝∠A.∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C.再證明兩個三角形的邊成比例．過點(diǎn)E作EF∥AB，交BC于點(diǎn)F.∵DE∥BC，EF∥AB，∴eq\f(AD,AB)＝eq\f(AE,AC)，eq\f(BF,BC)＝eq\f(AE,AC).∵四邊形DBFE是平行四邊形，∴DE＝BF，∴eq\f(DE,BC)＝eq\f(AE,AC)，∴eq\f(AD,AB)＝eq\f(AE,AC)＝eq\f(DE,BC).這樣，我們證明了△ADE和△ABC的角分別相等，邊成比例，所以△ADE∽△ABC，因此，我們有如下判定三角形相似的定理．三角形相似的判定方法1：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似．(定理的證明由學(xué)生獨(dú)立完成)三、例題講解例如圖，D，E分別是△ABC的邊AB，AC上的點(diǎn)，DE∥BC，AB＝7，AD＝5，DE＝10，求BC的長．解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴eq\f(AD,AB)＝eq\f(DE,BC)，∴BC＝eq\f(AB·DE,AD)＝eq\f(7×10,5)＝14.四、課堂小結(jié)本節(jié)課學(xué)習(xí)了：三角形相似的判定方法1：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似．本節(jié)課主要是探究相似三角形的判定方法1，本課教學(xué)力求使探究途徑多元化，把學(xué)生利用刻度尺、量角器等作圖工具做靜態(tài)探究與應(yīng)用“幾何畫板”等計算機(jī)軟件做動態(tài)探究有機(jī)結(jié)合起來，讓學(xué)生充分感受探究的全面性，豐富探究的內(nèi)涵．另外小組合作學(xué)習(xí)的開展不僅提高了數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的效率，而且培養(yǎng)了學(xué)生的合作能力．第3課時相似三角形的判定(2)知識與技能理解并掌握相似三角形的判定方法2，3.過程與方法培養(yǎng)學(xué)生的觀察、發(fā)現(xiàn)、比較、歸納的能力，感受兩個三角形全等的兩種判定方法SSS和SAS與三角形相似定理的區(qū)別與聯(lián)系，體驗(yàn)事物間特殊與一般的關(guān)系．情感、態(tài)度與價值觀讓學(xué)生經(jīng)歷從試驗(yàn)探究到歸納證明的過程，發(fā)展學(xué)生合理的推理能力．重點(diǎn)兩個三角形相似的判定方法2，3及其應(yīng)用．難點(diǎn)探究兩個三角形相似的判定方法2，3的過程．一、問題引入1．我們學(xué)習(xí)過哪些判定三角形相似的方法？(三角形相似的定理平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似)2．全等三角形與相似三角形有怎樣的關(guān)系？(全等三角形是特殊的相似三角形，相似比k＝1)3．如果要判定△ABC與△A′B′C′相似，是不是一定需要一一驗(yàn)證所有的對應(yīng)角和對應(yīng)邊的關(guān)系？(不需要)二、新課教授由三角形全等的SSS判定方法，我們會想如果一個三角形的三條邊與另一個三角形的三條邊對應(yīng)成比例，那么能否判定這兩個三角形相似呢？探究1：任意畫一個三角形，再畫一個三角形，使它的各邊長都是原來三角形各邊長的k倍，度量這兩個三角形的對應(yīng)角，它們相等嗎？這兩個三角形相似嗎？與同學(xué)交流一下，看看是否有同樣的結(jié)論．學(xué)生動手畫圖、測量，獨(dú)立研究后再小組討論．三角形相似的判定方法2：三邊成比例的兩個三角形相似．探究2：利用刻度尺和量角器畫△ABC和△A′B′C′，使∠A＝∠A′，eq\f(AB,A′B′)和eq\f(AC,A′C′)都等于給定的值k，量出它們的第三組對應(yīng)邊BC和B′C′的長，它們的比等于k嗎？另外兩組對應(yīng)角∠B與∠B′，∠C與∠C′是否相等？改變∠A或k值的大小，再試一試，是否有同樣的結(jié)論？學(xué)生動手畫圖、測量，獨(dú)立研究．三角形相似的判定方法3：兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似．三、例題講解例1根據(jù)下列條件，判斷△ABC與△A1B1C1是否相似，并說明理由．(1)∠A＝120°，AB＝7cm，AC＝14cm，∠A1＝120°，A1B1＝3cm，A1C1＝6cm；(2)∠B＝120°，AB＝2cm，AC＝6cm，∠B1＝120°，A1B1＝8cm，A1C1＝24cm.解：(1)eq\f(AB,A1B1)＝eq\f(AC,A1C1)＝eq\f(7,3)，∠A＝∠A1＝120°?△ABC∽△A1B1C1；(2)eq\f(AB,A1B1)＝eq\f(AC,A1C1)＝eq\f(1,4)，∠B＝∠B1＝120°，但∠B與∠B1不是AB與AC，A1B1與A1C1的夾角，所以△ABC與△A1B1C1不相似．例2如圖，在△ABC和△ADE中，eq\f(AB,AD)＝eq\f(BC,DE)＝eq\f(AC,AE)，∠BAD＝20°，求∠CAE的度數(shù)．解：∵eq\f(AB,AD)＝eq\f(BC,DE)＝eq\f(AC,AE)，∴△ABC∽△ADE(三邊成比例的兩個三角形相似)，∴∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC－∠DAC＝∠DAE－∠DAC，即∠BAD＝∠CAE.∵∠BAD＝20°，∴∠CAE＝20°.四、鞏固練習(xí)1．根據(jù)下列條件，判斷△ABC和△A′B′C′是否相似，并說明理由．(1)∠A＝40°，AB＝8cm，AC＝15cm，∠A′＝40°，A′B′＝16cm，A′C′＝30cm；(2)AB＝10cm，BC＝8cm，AC＝16cm，A′B′＝20cm，B′C′＝16cm，A′C′＝32cm.答案(1)相似，兩組對應(yīng)邊的比相等，且夾角相等．(2)相似，三組對應(yīng)邊的比相等．2．圖中的兩個三角形是否相似？答案(1)相似．(2)不相似．五、課堂小結(jié)師：通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，同學(xué)們有什么體會與收獲？可以與大家分享一下嗎？學(xué)生發(fā)言，說說自己的體會與收獲，教師根據(jù)學(xué)生的發(fā)言予以點(diǎn)評．本節(jié)課主要是探究相似三角形的判定方法2和判定方法3，由于上節(jié)課已經(jīng)學(xué)習(xí)了探究兩個三角形相似的判定方法1，而本節(jié)課內(nèi)容在探究方法上與上節(jié)課又具有一定的相似性，因此本課教學(xué)設(shè)計注意方法上的“新舊聯(lián)系”，以幫助學(xué)生形成認(rèn)知上的正遷移．此外，由于判定方法3的條件“相應(yīng)的夾角相等”在應(yīng)用中容易被學(xué)生忽視，所以教學(xué)中教師要強(qiáng)調(diào)，以加深學(xué)生的印象．第4課時相似三角形的判定(3)知識與技能使學(xué)生了解三角形相似的判定方法4及直角三角形相似定理的證明方法并會運(yùn)用．過程與方法1．類比證明三角形全等的方法(AAS，ASA，HL)，繼續(xù)滲透和培養(yǎng)學(xué)生對類比思想的認(rèn)識和理解．2．通過了解定理的證明方法培養(yǎng)和提高學(xué)生利用已學(xué)知識證明新命題的能力．情感、態(tài)度與價值觀通過學(xué)習(xí)培養(yǎng)學(xué)生類比的意識，了解由特殊到一般的唯物辯證法的觀點(diǎn)．重點(diǎn)兩個判定定理的應(yīng)用難點(diǎn)了解兩個判定定理的證明方法與思路一、復(fù)習(xí)引入師：判定兩個三角形全等的方法有哪幾種？生：SAS，ASA(AAS)，SSS，HL師：三角形相似的判定方法2和3是類比三角形全等的判定方法“SAS”，“SSS”得出的，那我們能否類比“ASA(AAS)”，“HL”用同樣的方法得出新的三角形相似的判定方法呢？二、共同探究，獲取新知推理證明探究1：師：由于“ASA(AAS)”中只有一條邊，是不能寫出對應(yīng)邊的比的，那么就剩下兩個角了，即兩角分別相等的兩個三角形相似嗎？教師用多媒體出示：如圖，在△ABC和△A′B′C′中，∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，判斷△ABC和△A′B′C′是否相似，為什么？教師引導(dǎo)學(xué)生在稿紙上按要求畫圖．學(xué)生動手畫圖、測量、獨(dú)立研究．三角形相似的判定方法4：兩角分別相等的兩個三角形相似．探究2：師：判定兩個直角三角形是否全等時，除了用那些一般的方法外還可以用“HL”的方法，那么判定兩個直角三角形相似是否也有類似的方法呢？教師多媒體課件出示：如圖，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，eq\f(AB,A′B′)＝eq\f(AC,A′C′).判斷Rt△ABC與Rt△A′B′C′是否相似，為什么？師：已知一個直角三角形的斜邊、一條直角邊與另一個直角三角形的斜邊、一條直角邊對應(yīng)成比例，你能判斷這兩個直角三角形是否相似嗎？學(xué)生思考、討論后回答．生：設(shè)eq\f(AB,A′B′)＝eq\f(AC,A′C′)＝k，則AB＝kA′B′，AC＝kA′C′，根據(jù)勾股定理BC可以用含AB，AC的式子表示，進(jìn)而可以用含A′B′，A′C′的式子表示，再用勾股定理就得到BC＝kB′C′，所以就得到了三邊對應(yīng)成比例，這兩個三角形相似．師：你回答得太好了！現(xiàn)在請同學(xué)們寫出具體的步驟，然后與課本上的對照，將不完善的地方改正．學(xué)生證明并修改．證明：設(shè)eq\f(AB,A′B′)＝eq\f(AC,A′C′)＝k，則AB＝kA′B′，AC＝kA′C′.∵BC＝eq\r(AB2－AC2)＝eq\r(k2A′B′2－k2A′C′2)＝keq\r(A′B′2－A′C′2)＝kB′C′，∴eq\f(AB,A′B′)＝eq\f(AC,A′C′)＝eq\f(BC,B′C′)＝k，∴△ABC∽△A′B′C′.師：所以我們得到了判定兩個直角三角形相似的一個定理：如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個直角三角形的斜邊和一條直角邊對應(yīng)成比例，那么這兩個直角三角形相似．三、練習(xí)新知1．如圖，銳角△ABC的邊AB，AC上的高CE，BF相交于點(diǎn)D，請寫出圖中的兩對相似三角形．生甲：△ABF和△ACE.生乙：△EDB和△FDC.2．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD是邊AB上的高，求證：(1)CD2＝AD·BD；(2)BC2＝AB·BD，AC2＝AB·AD.證明：(1)∵△ADC和△ACB是直角三角形，∴∠A＋∠ACD＝90°，∠BCD＋∠ACD＝90°，∴∠A＝∠BCD，又∠ADC＝∠CDB＝90°，∴△ADC∽△CDB.∴eq\f(CD,BD)＝eq\f(AD,CD).∴CD2＝AD·BD.(2)∵∠B＝∠B，∠ACB＝∠CDB，∴△ABC∽△CBD.∴eq\f(BC,AB)＝eq\f(BD,BC).∴BC2＝AB·BD.同理可證△ABC∽△ACD.∴eq\f(AC,AD)＝eq\f(AB,AC).∴AC2＝AB·AD.四、課堂小結(jié)本節(jié)課主要學(xué)習(xí)了三角形相似的另一個判定定理：兩角對應(yīng)相等的兩個三角形相似．除了前面講過的針對任意三角形相似的判定方法外，還有斜邊和直角邊分別對應(yīng)成比例的兩個直角三角形相似這一判定定理．在做題時要靈活運(yùn)用，選取合適的方法．前面已經(jīng)學(xué)習(xí)了幾種三角形相似的判定方法，所以這節(jié)課以學(xué)生為主導(dǎo)，教師加以提示、糾正、鼓勵學(xué)生自己探索，討論得出新的判定定理，培養(yǎng)學(xué)生的動手能力，勇于探索的精神．27．2.2相似三角形的性質(zhì)第1課時相似三角形的性質(zhì)(1)知識與技能理解并掌握相似三角形的對應(yīng)線段(高、中線、角平分線)之間的關(guān)系，掌握定理的證明方法，并能靈活運(yùn)用相似三角形的判定定理和性質(zhì)，提高分析和推理能力．過程與方法在對性質(zhì)定理的探究中，學(xué)生經(jīng)歷“觀察—猜想—論證—?dú)w納”的過程，培養(yǎng)學(xué)生主動探究、合作交流的習(xí)慣和嚴(yán)謹(jǐn)治學(xué)的態(tài)度，并在其中體會類比的數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)學(xué)生大膽猜想、勇于探索、勤于思考的數(shù)學(xué)品質(zhì)，提高分析問題和解決問題的能力．情感、態(tài)度與價值觀1．在學(xué)習(xí)和探討的過程中，體驗(yàn)特殊到一般的認(rèn)知規(guī)律．2．通過學(xué)生之間的合作交流使學(xué)生體驗(yàn)到成功的喜悅，樹立學(xué)好數(shù)學(xué)的自信心．重點(diǎn)相似三角形性質(zhì)定理的探究及應(yīng)用．難點(diǎn)綜合應(yīng)用相似三角形的性質(zhì)與判定定理，探索相似三角形中對應(yīng)線段之間的關(guān)系．一、復(fù)習(xí)回顧師：相似三角形的判定方法有哪些？學(xué)生回答．師：相似三角形有哪些性質(zhì)？生：相似三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例．師：三角形有哪些相關(guān)的線段？生：中線、高和角平分線．二、共同探究，獲取新知教師多媒體課件出示：已知：如圖，△ABC∽△A′B′C′，它們的相似比為k，AD，A′D′是對應(yīng)高．求證：eq\f(AD,A′D′)＝eq\f(AB,A′B′)＝k.師：這個題目中已知了哪些條件？生：△ABC和△A′B′C′相似，這兩個三角形的相似比是k，AD，A′D′分別是它們的高．師：我們要證的是什么？生：它們的高的比等于它們對應(yīng)邊的比，等于這兩個三角形的相似比．師：你是怎樣證明的呢？生：證明△ABD和△A′B′D′相似，然后由相似三角形的對應(yīng)邊成比例得到eq\f(AD,A′D′)＝eq\f(AB,A′B′).師：你怎樣證明△ABD和△A′B′D′相似呢？學(xué)生思考后回答：因?yàn)椤鰽BC和△A′B′C′相似，由相似三角形的對應(yīng)角相等，所以∠B＝∠B′，∠ADB＝∠A′D′B′＝90°.根據(jù)兩角對應(yīng)相等的兩個三角形相似得到△ABD和△A′B′D′相似．學(xué)生寫出證明過程．活動1.已知：如圖，△ABC∽△A′B′C′，它們的相似比為k，AD，A′D′是對應(yīng)的中線．求證：eq\f(AD,A′D′)＝eq\f(AB,A′B′)＝k.證明：∵△ABC∽△A′B′C′，∴∠B＝∠B′，eq\f(AB,A′B′)＝eq\f(BC,B′C′)＝k.又∵AD和A′D′分別是△ABC和△A′B′C′的中線，∴BD＝eq\f(1,2)BC，B′D′＝eq\f(1,2)B′C′，eq\f(BD,B′D′)＝eq\f(\f(1,2)BC,\f(1,2)B′C′)＝eq\f(BC,B′C′)＝k，∴△ABD∽△A′B′D′(兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等的兩個三角形相似)，∴eq\f(AD,A′D′)＝eq\f(AB,A′B′)＝k.活動2.已知：如圖，△ABC∽△A′B′C′，它們的相似比為k，AD，A′D′分別是∠BAC和∠B′A′C′的平分線．求證：eq\f(AD,A′D′)＝eq\f(AB,A′B′)＝k.證明：∵△ABC∽△A′B′C′，∴∠B＝∠B′，∠BAC＝∠B′A′C′.又∵AD和A′D′分別是∠BAC和∠B′A′C′的平分線，∴∠BAD＝eq\f(1,2)∠BAC，∠B′A′D′＝eq\f(1,2)∠B′A′C′，∠BAD＝∠B′A′D′，∴△BAD∽△B′A′D′(兩角對應(yīng)相等的兩個三角形相似)，∴eq\f(AD,A′D′)＝eq\f(AB,A′B′)＝k.師：于是我們就得到了相似三角形的一個性質(zhì)定理．定理1相似三角形對應(yīng)高的比、對應(yīng)中線的比和對應(yīng)角平分線的比都等于相似比．三、例題講解，應(yīng)用新知例如圖，AD是△ABC的高，AD＝h，點(diǎn)R在AC邊上，點(diǎn)S在AB邊上，SR⊥AD，垂足為E.當(dāng)SR＝eq\f(1,2)BC時，求DE的長．如果SR＝eq\f(1,3)BC呢？解：∵SR⊥AD，BC⊥AD，∴SR∥BC，∴∠ASR＝∠B，∠ARS＝∠C，∴△ASR∽△ABC(兩角分別相等的兩個三角形相似)，∴eq\f(AE,AD)＝eq\f(SR,BC)(相似三角形對應(yīng)高的比等于相似比)，即eq\f(AD－DE,AD)＝eq\f(SR,BC).當(dāng)SR＝eq\f(1,2)BC時，得eq\f(h－DE,h)＝eq\f(1,2)，解得DE＝eq\f(1,2)h.當(dāng)SR＝eq\f(1,3)BC時，得eq\f(h－DE,h)＝eq\f(1,3)，解得DE＝eq\f(2,3)h.四、課堂小結(jié)師：今天你又學(xué)習(xí)了什么內(nèi)容？學(xué)生回答．在本節(jié)課的教學(xué)過程中，先讓學(xué)生回顧了相似三角形的性質(zhì)即對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例，為后面的證明做了鋪墊．在已有知識的基礎(chǔ)上用類比化歸的思想去探究新知，讓學(xué)生充分體會數(shù)學(xué)知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，以此激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，能夠使整個課堂氣氛由沉悶變得活躍，尤其是讓學(xué)生板演使學(xué)生有機(jī)會展示他們的學(xué)習(xí)所得，做到了將課堂回歸給學(xué)生，學(xué)生的主體地位得到了很好的體現(xiàn)．第2課時相似三角形的性質(zhì)(2)知識與技能理解并掌握相似三角形周長的比等于相似比、面積比等于相似比的平方，并能用來解決簡單的問題．過程與方法探索相似多邊形周長的比等于相似比、面積比等于相似比的平方，體驗(yàn)化歸思想．情感、態(tài)度與價值觀經(jīng)歷探索相似三角形性質(zhì)的過程，并在探究過程中發(fā)展學(xué)生積極的情感、態(tài)度與價值觀，體驗(yàn)解決問題策略的多樣性．重點(diǎn)理解并掌握相似三角形周長的比等于相似比、面積比等于相似比的平方．難點(diǎn)探索相似多邊形周長的比等于相似比、面積比等于相似比的平方．一、復(fù)習(xí)引入1．回顧相似三角形的概念及判定方法．2．復(fù)習(xí)相似多邊形的定義及相似多邊形的對應(yīng)邊、對應(yīng)角的性質(zhì)．二、新課教授探究1：如果兩個三角形相似，它們的周長之間是什么關(guān)系？如果是兩個相似多邊形呢？學(xué)生小組自由討論、交流，達(dá)成共識．設(shè)△ABC∽△A1B1C1，相似比為k，那么eq\f(AB,A1B1)＝eq\f(BC,B1C1)＝eq\f(CA,C1A1)＝k?AB＝kA1B1，BC＝kB1C1，CA＝kC1A1?eq\f(AB＋BC＋CA,A1B1＋B1C1＋C1A1)＝eq\f(kA1B1＋kB1C1＋kC1A1,A1B1＋B1C1＋C1A1)＝k.由此我們可以得到：相似三角形的性質(zhì)2：相似三角形周長的比等于相似比．用類似的方法，還可以得出：相似多邊形的性質(zhì)1：相似多邊形周長的比等于相似比．探究2：(1)如圖(1)，△ABC∽△A1B1C1，相似比為k1，它們的對應(yīng)高的比是多少？它們的面積比是多少？通過上節(jié)課的學(xué)習(xí)，我們得到了相似三角形的性質(zhì)1：相似三角形對應(yīng)高的比等于相似比．∴eq\f(AD,A1D1)＝eq\f(AB,A1B1)＝k1.由上述結(jié)論，我們有：eq\f(S△ABC,S△A1B1C1)＝eq\f(\f(1,2)BC×AD,\f(1,2)B1C1×A1D1)＝eq\f(\f(1,2)k1B1C1×k1A1D1,\f(1,2)B1C1×A1D1)＝k12.相似三角形的性質(zhì)3：相似三角形面積的比等于相似比的平方．(2)如圖(2)，四邊形ABCD相似于四邊形A1B1C1D1，相似比為k2，它們的面積比是多少？分析：∵eq\f(S△ABC,S△A1B1C1)＝eq\f(S△ACD,S△A1C1D1)＝k22，∴eq\f(S四邊形ABCD,S四邊形A1B1C1D1)＝eq\f(S△ABC＋S△ACD,S△A1B1C1＋S△A1C1D1)＝k22.相似多邊形的性質(zhì)2：相似多邊形面積的比等于相似比的平方．三、例題講解例如圖，在△ABC和△DEF中，AB＝2DE，AC＝2DF，∠A＝∠D，△ABC的周長是24，面積是12eq\r(5)，求△DEF的周長和面積．解：△ABC和△DEF中，∵AB＝2DE，AC＝2DF，∴eq\f(DE,AB)＝eq\f(DF,AC)＝eq\f(1,2).又∵∠A＝∠D，∴△ABC∽△DEF，相似比為eq\f(1,2).∴△DEF的周長＝eq\f(1,2)×24＝12，面積＝(eq\f(1,2))2×12eq\r(5)＝3eq\r(5).四、鞏固練習(xí)填空：(1)如果兩個相似三角形對應(yīng)邊的比為3∶5，那么它們的相似比為________，周長的比為________，面積的比為________；(2)如果兩個相似三角形面積的比為3∶5，那么它們的相似比為________，周長的比為________；(3)連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段把三角形截成的一個小三角形與原三角形的周長比等于________，面積比等于________；(4)兩個相似三角形對應(yīng)的中線長分別是6cm和18cm，若較大三角形的周長是42cm，面積是12cm2，則較小三角形的周長為________cm，面積為________cm2.答案(1)eq\f(3,5)eq\f(3,5)eq\f(9,25)(2)eq\f(\r(3),\r(5))eq\f(\r(3),\r(5))(3)eq\f(1,2)eq\f(1,4)(4)14eq\f(4,3)五、課堂小結(jié)相似三角形的性質(zhì)：性質(zhì)2.相似三角形周長的比等于相似比．性質(zhì)3.相似三角形面積的比等于相似比的平方．相似多邊形的性質(zhì)1：相似多邊形周長的比等于相似比．相似多邊形的性質(zhì)2：相似多邊形面積的比等于相似比的平方．本節(jié)課主要是讓學(xué)生理解并掌握相似三角形周長的比等于相似比、面積比等于相似比的平方，通過探索相似多邊形周長的比等于相似比、面積的比等于相似比的平方讓學(xué)生體驗(yàn)化歸思想，學(xué)會應(yīng)用相似三角形周長的比等于相似比、面積的比等于相似比的平方來解決簡單的問題．因此本課的教學(xué)設(shè)計突出了“相似比?相似三角形周長的比?相似多邊形周長的比”，“相似比?相似三角形面積的比?相似多邊形面積的比”等一系列從特殊到一般的過程，讓學(xué)生深刻體驗(yàn)到有限數(shù)學(xué)歸納法的魅力．

27.2.3相似三角形應(yīng)用舉例知識與技能進(jìn)一步鞏固相似三角形的知識；能夠運(yùn)用三角形相似的知識解決不能直接測量的物體的長度和高度(如測量金字塔高度問題、測量河寬問題、盲區(qū)問題)等一些實(shí)際問題．過程與方法通過把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成有關(guān)相似三角形的數(shù)學(xué)模型進(jìn)一步了解數(shù)學(xué)建模的思想，培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力．情感、態(tài)度與價值觀體會數(shù)學(xué)在生活中的作用，增強(qiáng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，樹立學(xué)好數(shù)學(xué)的信心．重點(diǎn)運(yùn)用三角形相似的知識計算不能直接測量的物體的長度和高度．難點(diǎn)靈活運(yùn)用三角形相似的知識解決實(shí)際問題，即如何把實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題．一、新課教授例1(測量金字塔高度的問題)根據(jù)史料記載，古希臘數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家泰勒斯利用相似三角形的原理，在金字塔影子的頂部立一根木桿，借助太陽光線構(gòu)成兩個相似三角形來測量金字塔的高度．如圖，木桿EF長2m，它的影長FD為3m，測得OA為201m，求金字塔的高度．分析：根據(jù)太陽光的光線是互相平行的特點(diǎn)，可知在同一時刻的陽光下，豎直的兩個物體的影子互相平行，從而構(gòu)造相似三角形，再利用相似三角形的判定定理和性質(zhì)，根據(jù)已知條件求出金字塔的高度．解法一：∵BA∥DE，∴∠BAO＝∠EDF.又∵∠AOB＝∠DFE＝90°，∴△ABO∽△DEF，∴eq\f(BO,EF)＝eq\f(AO,DF)，∴BO＝eq\f(AO·EF,DF)＝eq\f(201×2,3)＝134.答：此金字塔的高度為134m.問：你還可以用什么方法來測量金字塔的高度？(如用身高等)解法二：用鏡面反射．(如圖，點(diǎn)A是個小鏡子，根據(jù)光的反射定律：由入射角等于反射角構(gòu)造相似三角形，解法略)例2(測量河寬的問題)如圖，為了估算河的寬度，我們可在河對岸選定一個目標(biāo)點(diǎn)P，在近岸處取點(diǎn)Q和S，使點(diǎn)P，Q，S共線且直線PS與岸垂直，接著在過點(diǎn)S且與PS垂直的直線a上選擇適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)T，確定PT與過點(diǎn)Q且垂直于PS的直線b交于點(diǎn)R，測得QS＝45m，ST＝90m，QR＝60m．求河的寬度PQ.分析：設(shè)河寬PQ長為xm，由于此種測量方法構(gòu)造了三角形中的平行截線，故可得到相似三角形，因此有eq\f(PQ,PS)＝eq\f(QR,ST)，即eq\f(x,x＋45)＝eq\f(60,90).再解x的方程可求出河寬．解法一：∵∠PQR＝∠PST＝90°，∠P＝∠P，∴△PQR∽△PST，∴eq\f(PQ,PS)＝eq\f(QR,ST)，即eq\f(PQ,PQ＋QS)＝eq\f(QR,ST)，即eq\f(PQ,PQ＋45)＝eq\f(60,90)，∴PQ×90＝(PQ＋45)×60，解得PQ＝90，因此河的寬度PQ為90m.問：你還可以用什么方法來測量河的寬度？解法二：如圖，構(gòu)造相似三角形．(解法略)例3(盲區(qū)問題)如圖，左、右并排的兩棵大樹的高分別是AB＝8m和CD＝12m，兩樹根部的距離BD＝5m．一個身高1.6m的人沿著正對這兩棵樹的一條水平直線l從左向右前進(jìn)，當(dāng)他與左邊較低的樹的距離小于多少時，就不能看到右邊較高的樹的頂端點(diǎn)C?解：如圖所示，假設(shè)觀察者從左向右走到點(diǎn)E時，他的眼睛的位置點(diǎn)F與兩棵樹的頂端點(diǎn)A，C恰好在一條直線上．由題意可知，AB⊥l，CD⊥l，∴AB∥CD，△AFH∽△CFK，∴eq\f(FH,FK)＝eq\f(AH,CK)，即eq\f(FH,FH＋5)＝eq\f(8－1.6,12－1.6)＝eq\f(6.4,10.4)，解得FH＝8.由此可知，如果觀察者繼續(xù)前進(jìn)，即他與左邊的樹的距離小于8m時，由于這棵樹的遮擋，右邊樹的頂端點(diǎn)C在觀察者的盲區(qū)之內(nèi)，觀察者看不到它．二、鞏固練習(xí)1．如圖，身高1.6m的小華站在距路燈桿5m的C點(diǎn)處，測得她在燈光下的影長CD為2.5m，則路燈的高度AB為________．答案4.8m2．在同一時刻，物體的高度與它的影長成正比例．在某一時刻，有人測得一高為1.8米的竹竿的影長為3米，某一高樓的影長為60米，那么高樓的高度是多少米？答案36m三、課堂小結(jié)本節(jié)課主要讓學(xué)生了解：利用三角形的相似可以解決一些不能直接測量的物體的高度和長度的問題．指導(dǎo)思想是利用相似三角形對應(yīng)邊的比相等，如果四條對應(yīng)邊中已知三條，則可求得第四條，具體研究了如何測量金字塔高度的問題、測量河寬的問題、盲區(qū)問題．通過具體事例加強(qiáng)有關(guān)相似三角形知識的應(yīng)用．本節(jié)課主要是讓學(xué)生學(xué)會運(yùn)用兩個三角形相似的知識解決實(shí)際問題，在解決實(shí)際問題的過程中經(jīng)歷從實(shí)際問題到建立數(shù)學(xué)模型的過程，培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力．因此在教學(xué)設(shè)計中突出了“審題?畫示意圖?明確數(shù)量關(guān)系?解決問題”的數(shù)學(xué)建模過程，學(xué)生可以從中鍛煉把生活中的實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的能力．

27．3位似第1課時位似(1)知識與技能1．了解位似圖形及其有關(guān)概念，了解位似與相似的聯(lián)系和區(qū)別，掌握位似圖形的性質(zhì)．2．掌握位似圖形的畫法，能夠利用作位似圖形的方法將—個圖形放大或縮?。^程與方法經(jīng)歷位似圖形的探索過程，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的探究、交流能力．情感、態(tài)度與價值觀培養(yǎng)學(xué)生動手操作的能力，體驗(yàn)學(xué)習(xí)的樂趣．重點(diǎn)位似圖形的有關(guān)概念、性質(zhì)與作圖．難點(diǎn)利用位似將一個圖形放大或縮小．一、問題引入1．生活中我們經(jīng)常把照片放大或縮小，由于沒有改變圖形的形狀，我們得到的照片是真實(shí)的．2．問：如圖，多邊形ABCDE，把它放大為原來的2倍，即新圖與原圖的相似比為2.應(yīng)該怎樣做？你能說出畫相似圖形的一種方法嗎？二、新課教授活動1：觀察下圖，圖中有多邊形相似嗎？如果有，那么這種相似有什么共同的特征？學(xué)生通過觀察了解到有一類相似的圖形，除具備相似的所有性質(zhì)外，還有其他特性，學(xué)生自己歸納出位似圖形的概念：如果兩個圖形不僅是相似圖形，而且每組對應(yīng)點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn)，對應(yīng)邊互相平行，那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形，這個點(diǎn)叫做位似中心，這時的相似比又稱為位似比．每對位似對應(yīng)點(diǎn)與位似中心共線(位似中心可在形上、形外、形內(nèi))；不經(jīng)過位似中心的對應(yīng)線段平行．利用位似可以將一個圖形放大或縮小．活動2：把圖中的四邊形ABCD縮小到原來的eq\f(1,2).師生活動：教師提出問題，要注意引導(dǎo)學(xué)生能夠用不同的方法畫出所要求作的圖形，要讓學(xué)生通過作圖理解符合要求的圖形不唯一，這和所作的圖形與所確定的位似中心的位置有關(guān)(如位似中心O可能選在四邊形ABCD外，可能選在四邊形ABCD內(nèi)，可能選在四邊形ABCD的一條邊上，可能選在四邊形ABCD的一個頂點(diǎn)上)，并且同一個位似中心的兩側(cè)各有一個符合要求的圖形，因此，位似中心的確定是關(guān)鍵．分析：把圖形縮小到原來的eq\f(1,2)，也就是使新圖形上各頂點(diǎn)到位似中心的距離與原圖形各對應(yīng)頂點(diǎn)到位似中心的距離之比為1∶2.作法一：如圖．(1)在四邊形ABCD外任取一點(diǎn)O；(2)過點(diǎn)O分別作射線OA，OB，OC，OD；(3)分別在射線OA，OB，OC，OD上取點(diǎn)A′，B′，C′，D′，使得eq\f(OA′,OA)＝eq\f(OB′,OB)＝eq\f(OC′,OC)＝eq\f(OD′,OD)＝eq\f(1,2)；(4)順次連接A′B′，B′C′，C′D′，D′A′，所得四邊形A′B′C′D′就是所要求作的圖形．作法二：如圖．(1)在四邊形ABCD外任取一點(diǎn)O；(2)過點(diǎn)O分別作射線OA，OB，OC，OD；(3)分別在射線OA，OB，OC，OD的反向延長線上取點(diǎn)A′，B′，C′，D′，使得eq\f(OA′,OA)＝eq\f(OB′,OB)＝eq\f(OC′,OC)＝eq\f(OD′,OD)＝eq\f(1,2)；(4)順次連接A′B′，B′C′，C′D′，D′A′，所得四邊形A′B′C′D′就是所要求作的圖形．作法三：如圖．(1)在四邊形ABCD內(nèi)任取一點(diǎn)O；(2)過點(diǎn)O分別作射線OA，OB，OC，OD；(3)分別在射線OA，OB，OC，OD上取點(diǎn)A′，B′，C′，D′，使得eq\f(OA′,OA)＝eq\f(OB′,OB)＝eq\f(OC′,OC)＝eq\f(OD′,OD)＝eq\f(1,2)；(4)順次連接A′B′，B′C′，C′D′，D′A′，所得四邊形A′B′C′D′就是所要求作的圖形．三、例題講解例1如圖，指出下列各圖中的兩個圖形是否是位似圖形，如果是位似圖形，請指出其位似中心．解：圖(1)、(2)和(4)三個圖形中的兩個圖形都是位似圖形，位似中心分別是圖(1)中的點(diǎn)A，圖(2)中的點(diǎn)P和圖(4)中的點(diǎn)O.(圖(3