高考數(shù)學(xué)模擬試卷（理科）

第第頁高考數(shù)學(xué)模擬試卷（理科）（含答案解析）設(shè)全集，，則(

)A. B. C. D.已知是虛數(shù)單位，若，，則實(shí)數(shù)(

)A.或 B.或 C. D.已知向量，滿足，，，則(

)A. B. C. D.在直角坐標(biāo)系中，一個(gè)質(zhì)點(diǎn)從出發(fā)沿圖中路線依次經(jīng)過，，，，按此規(guī)律一直運(yùn)動(dòng)下去，則(

)A.

B.

C.

D.設(shè)為拋物線：的焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，點(diǎn)，若，則(

)A. B. C. D.執(zhí)行如圖的程序框圖，輸出的(

)A.

B.

C.

D.

在正四面體中，已知，分別是，上的點(diǎn)不含端點(diǎn)，則(

)A.不存在，，使得

B.存在，使得

C.存在，使得平面

D.存在，，使得平面平面已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，，則(

)A. B. C. D.已知球的半徑為，四棱錐的頂點(diǎn)為，底面的四個(gè)頂點(diǎn)均在球的球面上，則當(dāng)該四棱錐的體積最大時(shí)，其高為(

)A. B. C. D.某棋手與甲、乙、丙三位棋手各比賽一盤，各盤比賽結(jié)果相互獨(dú)立．已知該棋手與甲、乙、丙比賽獲勝的概率分別為，，，且記該棋手連勝兩盤的概率為，則(

)A.與該棋手和甲、乙、丙的比賽次序無關(guān)

B.該棋手在第二盤與甲比賽，最大

C.該棋手在第二盤與乙比賽，最大

D.該棋手在第二盤與丙比賽，最大雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)為，，以的實(shí)軸為直徑的圓記為，過作的切線與交于，兩點(diǎn)，且，則的離心率為(

)A. B. C. D.已知函數(shù)，的定義域均為，且，若的圖像關(guān)于直線對稱，，則(

)A. B. C. D.從甲、乙等名同學(xué)中隨機(jī)選名參加社區(qū)服務(wù)工作，則甲、乙都入選的概率為______．過四點(diǎn)，，，中的三點(diǎn)的一個(gè)圓的方程為______．記函數(shù)的最小正周期為若，為的零點(diǎn)，則的最小值為

．已知和分別是函數(shù)且的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)．若，則的取值范圍是______．在中，角，，所對的邊分別為，，，且．

求角；

若，求周長的最大值．如圖，四面體中，，，，為的中點(diǎn)．

證明：平面平面；

設(shè)，，點(diǎn)在上，當(dāng)?shù)拿娣e最小時(shí)，求與平面所成的角的正弦值．某地經(jīng)過多年的環(huán)境治理，已將荒山改造成了綠水青山．為估計(jì)一林區(qū)某種樹木的總材積量，隨機(jī)選取了棵這種樹木，測量每棵樹的根部橫截面積單位：和材積量單位：，得到如下數(shù)據(jù)：樣本號總和根部橫截面積材積量并計(jì)算得，，．

估計(jì)該林區(qū)這種樹木平均一棵的根部橫截面積與平均一棵的材積量；

求該林區(qū)這種樹木的根部橫截面積與材積量的樣本相關(guān)系數(shù)精確到；

現(xiàn)測量了該林區(qū)所有這種樹木的根部橫截面積，并得到所有這種樹木的根部橫截面積總和為已知樹木的材積量與其根部橫截面積近似成正比．利用以上數(shù)據(jù)給出該林區(qū)這種樹木的總材積量的估計(jì)值．

附：相關(guān)系數(shù)，．已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，對稱軸為軸、軸，且過，兩點(diǎn)．

求的方程；

設(shè)過點(diǎn)的直線交于，兩點(diǎn)，過且平行于軸的直線與線段交于點(diǎn)，點(diǎn)滿足證明：直線過定點(diǎn)．已知函數(shù)．

當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；

若在區(qū)間，各恰有一個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍．在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知直線的極坐標(biāo)方程為．

寫出的直角坐標(biāo)方程；

若與有公共點(diǎn)，求的取值范圍．已知，，都是正數(shù)，且，證明：

；

．答案和解析1.【答案】

【解析】【分析】此題考查了補(bǔ)集及其運(yùn)算，熟練掌握補(bǔ)集的定義是解本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．

由全集及，即可求解結(jié)論．【解答】解：全集，，

則，

故選B．

2.【答案】

【解析】【分析】

本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算以及共軛復(fù)數(shù)的概念，是基礎(chǔ)題，

先求出的共軛復(fù)數(shù)，然后根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算求解即可．

【解答】

解：，

，

則．

故選B．

3.【答案】

【解析】解：因?yàn)橄蛄?，滿足，，，

所以，

兩邊平方得，

，

解得，

故選：．

利用，結(jié)合數(shù)量積的性質(zhì)計(jì)算可得結(jié)果．

本題考查了平面向量數(shù)量積的運(yùn)算和性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．

4.【答案】

【解析】【分析】

本題主要考查了歸納推理的問題，關(guān)鍵是找到規(guī)律，屬于基礎(chǔ)題．

由題意得，，，，，，，，，觀察得到數(shù)列的規(guī)律，求出即可．

【解答】

解：由直角坐標(biāo)系可知，，，，，，

即，，，，，，，，，

由此可知，數(shù)列中偶數(shù)項(xiàng)等于項(xiàng)數(shù)除以，則，

對于奇數(shù)項(xiàng)，由，，，，

歸納可得，，，，

則，，

所以．

故選D．

5.【答案】

【解析】解：為拋物線：的焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，點(diǎn)，，

由拋物線的定義可知不妨在第一象限，所以．

故選：．

利用已知條件，結(jié)合拋物線的定義，求解的坐標(biāo)，然后求解即可．

本題考查拋物線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，距離公式的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．

6.【答案】

【解析】解：模擬執(zhí)行程序的運(yùn)行過程，如下：

輸入，，，

計(jì)算，，，

判斷，

計(jì)算，，，

判斷；

計(jì)算，，，

判斷；

輸出．

故選：．

模擬執(zhí)行程序的運(yùn)行過程，即可得出程序運(yùn)行后輸出的值．

本題考查了程序的運(yùn)行與應(yīng)用問題，也考查了推理與運(yùn)算能力，是基礎(chǔ)題．

7.【答案】

【解析】【分析】本題考查了空間線線垂直、線面垂直以及面面垂直之間的相互轉(zhuǎn)化，同時(shí)也考查了正四面體的性質(zhì)，以及學(xué)生的空間想象能力以及邏輯推理能力，屬于中檔題．

對于，兩項(xiàng)：當(dāng)，分別是，的中點(diǎn)時(shí)，易證，且平面平面．

對于：可利用在上移動(dòng)時(shí)，的范圍判斷．

對于：可將看成三棱錐的頂點(diǎn)，則過做底面的垂線只有一條，即高線，從而否定．【解答】解：對于，選項(xiàng)，取，分別為，的中點(diǎn)如圖：

因?yàn)槭钦拿骟w，所以它的各個(gè)面是全等的等邊三角形．

所以，所以，同理可證故A錯(cuò)誤；

又因?yàn)椋?，且，、平面，故AB平面，又平面，所以平面平面故D正確．

對于選項(xiàng)，將看成正三棱錐的頂點(diǎn)，易知當(dāng)在上移動(dòng)時(shí)，的最小值為直線與平面所成的角，即中的，顯然為銳角，最大角為，故當(dāng)在上移動(dòng)時(shí)，不存在，使得故B錯(cuò)誤．

對于選項(xiàng)，將看成頂點(diǎn)，則由向底面作垂線，垂足為底面正三角形的中心，不落在上，又因?yàn)檫^空間中一點(diǎn)有且只有一條直線與已知平面垂直，故不存在，使得平面，故C錯(cuò)誤．

故選：．

8.【答案】

【解析】解：設(shè)等比數(shù)列的公比為，，由題意，．

前項(xiàng)和為，，

，，

則，

故選：．

由題意，利用等比數(shù)列的定義、性質(zhì)、通項(xiàng)公式，求得的值．

本題主要考查等比數(shù)列的定義、性質(zhì)、通項(xiàng)公式，屬于基礎(chǔ)題．

9.【答案】

【解析】解：由題意可知，當(dāng)四棱錐為正四棱錐時(shí)，其體積最大，設(shè)底面邊長為，底面所在圓的半徑為，

則，

該四棱錐的高，

該四棱錐的體積，

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，

該四棱錐的體積最大時(shí)，其高，

故選：．

由題意可知，當(dāng)四棱錐為正四棱錐時(shí)，其體積最大，設(shè)底面邊長為，由勾股定理可知該四棱錐的高，所以該四棱錐的體積，再利用基本不等式即可求出的最大值，以及此時(shí)的值，進(jìn)而求出的值．

本題主要考查了四棱錐的結(jié)構(gòu)特征，考查了基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．

10.【答案】

【解析】解：選項(xiàng)，已知棋手與甲、乙、丙比賽獲勝的概率不相等，所以受比賽次序影響，故A錯(cuò)誤；

設(shè)棋手在第二盤與甲比賽連贏兩盤的概率為，棋手在第二盤與乙比賽連贏兩盤的概率為，棋手在第二盤與丙比賽連贏兩盤的概率為，

，

，

，

，，

所以最大，即棋手在第二盤與丙比賽連贏兩盤的概率最大．

故選：．

已知棋手與甲、乙、丙比賽獲勝的概率不相等，所以受比賽次序影響，A錯(cuò)誤；再計(jì)算第二盤分別與甲、乙、丙比賽連贏兩盤的概率，比較大小即可．

本題考查概率的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意相互獨(dú)立事件概率乘法公式的靈活運(yùn)用．

11.【答案】

【解析】解：設(shè)雙曲線的方程為，

設(shè)過的切線與圓：相切于點(diǎn)，

則，，又，

所以，

過點(diǎn)作于點(diǎn)，

所以，又為的中點(diǎn)，

所以，，

因?yàn)?，所以?/p>

所以，則，

所以，

由雙曲線的定義可知，

所以，可得，即，

所以的離心率．

故選：．

由題意設(shè)雙曲線的方程為，設(shè)過的切線與圓：相切于點(diǎn)，從而可求得，過點(diǎn)作于點(diǎn)，由中位線的性質(zhì)可求得，，在中，可求得，，利用雙曲線的定義可得，的關(guān)系，再由離心率公式求解即可．

本題主要考查雙曲線的性質(zhì)，圓的性質(zhì)，考查轉(zhuǎn)化思想與數(shù)形結(jié)合思想，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．

12.【答案】

【解析】解：的圖像關(guān)于直線對稱，則，

，，，故為偶函數(shù)，

，，得由，得，代入，得，故關(guān)于點(diǎn)中心對稱，

，由，，得，

，故，周期為，

由，得，又，

所以，

故選：．

由的對稱性可得為偶函數(shù)，進(jìn)而得到關(guān)于點(diǎn)中心對稱，所以，再結(jié)合的周期為，即可求出結(jié)果．

本題主要考查了函數(shù)的奇偶性、對稱性和周期性，屬于中檔題．

13.【答案】

【解析】解：由題意，從甲、乙等名學(xué)生中隨機(jī)選出人，基本事件總數(shù)，

甲、乙被選中，則從剩下的人中選一人，包含的基本事件的個(gè)數(shù)，

根據(jù)古典概型及其概率的計(jì)算公式，甲、乙都入選的概率．

故答案為：．

從甲、乙等名學(xué)生中隨機(jī)選出人，先求出基本事件總數(shù)，再求出甲、乙被選中包含的基本事件的個(gè)數(shù)，由此求出甲、乙被選中的概率．

本題主要考查古典概型及其概率計(jì)算公式，熟記概率的計(jì)算公式即可，屬于基礎(chǔ)題．

14.【答案】或或或

【解析】解：設(shè)過點(diǎn)，，的圓的方程為，

即，解得，，，

所以過點(diǎn)，，圓的方程為．

同理可得，過點(diǎn)，，圓的方程為．

過點(diǎn)，，圓的方程為．

過點(diǎn)，，中的三點(diǎn)的一個(gè)圓的方程為．

故答案為：或或或．

選其中的三點(diǎn)，利用待定系數(shù)法即可求出圓的方程．

本題考查了過不在同一直線上的三點(diǎn)求圓的方程應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．

15.【答案】

【解析】【分析】本題主要考查余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查了方程思想，屬于基礎(chǔ)題．

由題意，結(jié)合余弦函數(shù)的周期和零點(diǎn)，建立相關(guān)的方程求解即可．【解答】解：函數(shù)的最小正周期為，

若，則，

所以

因?yàn)闉榈牧泓c(diǎn)，所以，

故，，所以，，

則的最小值為．

故答案為：．

16.【答案】

【解析】解：對原函數(shù)求導(dǎo)，分析可知：在定義域內(nèi)至少有兩個(gè)變號零點(diǎn)，

對其再求導(dǎo)可得：，

當(dāng)時(shí)，易知在上單調(diào)遞增，此時(shí)若存在使得，

則在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，

此時(shí)若函數(shù)在和分別取極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)，應(yīng)滿足，不滿足題意；

當(dāng)時(shí)，易知在上單調(diào)遞增減，此時(shí)若存在使得，

則在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，且，

此時(shí)若函數(shù)在和分別取極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)，且，

故僅需滿足，即：，

解得：或者舍去，

綜上所述：的取值范圍是．

由已知分析函數(shù)至少應(yīng)該兩個(gè)變號零點(diǎn)，對其再求導(dǎo)，分類討論和時(shí)兩種情況，

本題主要考查利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)極值點(diǎn)存在大小關(guān)系時(shí)，導(dǎo)函數(shù)圖像的問題，屬于中檔題．

17.【答案】解：因?yàn)椋?/p>

由正弦定理，

因?yàn)椋?/p>

所以，

即，

因?yàn)椋?/p>

所以，

所以，

所以，

因?yàn)椋?/p>

所以；

由知，，

若，

則，

解得，

由余弦定理得，，

即，

整理得，，

即，

所以，即，

因?yàn)椋?/p>

所以，

即，

整理得，，

所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，

所以，

所以周長的最大值為．

【解析】本題考查了正余弦定理的應(yīng)用，以及三角形周長的最值問題，屬于中檔題

根據(jù)正弦定理結(jié)合兩角和正弦公式化簡條件可求得的值，進(jìn)一步可得；

根據(jù)條件求得值，將三角形周長的最大值問題轉(zhuǎn)化為求的最大值問題，利用基本不等式求解．

18.【答案】證明：，為的中點(diǎn)．，

又，，，≌，

，又為的中點(diǎn)．，

又，，平面，

平面，又平面，

平面平面；

解：連接，由知，，

故EF最小時(shí)，的面積最小，時(shí)，的面積最小，

又平面，平面，，

又，，平面，

平面，又平面，

平面平面，

過作于點(diǎn)，則平面，

故，即為直線與平面所成的角，

由，，知是為邊長的等邊三角形，

故AC，由已知可得，，又，，

，所以，

，

在中，由余弦定理得，

．

故CF與平面所成的角的正弦值為．

【解析】利用三角形全等可得，可證，易證，從而可證平面平面；

由題意可知的面積最小時(shí)，，據(jù)此計(jì)算可求得與平面所成的角的正弦值．

本題考查面面垂直的證明，考查線面角的正弦值的求法，屬中檔題．

19.【答案】解：設(shè)這棵樹木平均一棵的根部橫截面積為，平均一棵的材積量為，

則根據(jù)題中數(shù)據(jù)得：，；

由題可知，；

設(shè)從根部面積總和，總材積量為，則，故

【解析】本題考查線性回歸方程，考查學(xué)生計(jì)算能力，屬于中檔題．

計(jì)算出樣本的一棵根部橫截面積的平均值及一棵材積量平均值，即可估計(jì)該林區(qū)這種樹木平均一棵的根部橫截面積與平均一棵的材積量

代入題給相關(guān)系數(shù)公式去計(jì)算即可求得樣本的相關(guān)系數(shù)值

依據(jù)樹木的材積量與其根部橫截面積近似成正比，列方程即可求得該林區(qū)這種樹木的總材積量的估計(jì)值．

20.【答案】解：設(shè)的方程為，

將兩點(diǎn)代入得，

解得，，

故E的方程為；

由可得直線

若過的直線的斜率不存在，直線為，

代入，可得，，

將代入，可得，

由，得，

易求得此時(shí)直線，過點(diǎn)；

若過的直線的斜率存在，設(shè)，，，

聯(lián)立，得，

故有，且，

聯(lián)立，可得，

可求得此時(shí)，

將代入整理得，

將代入，得，

顯然成立．

綜上，可得直線過定點(diǎn)．

【解析】設(shè)的方程為，將，兩點(diǎn)坐標(biāo)代入即可求解；由可得直線，若過的直線的斜率不存在，直線為，代入橢圓方程，根據(jù)即可求解；若過的直線的斜率存在，設(shè)，，，聯(lián)立，得，結(jié)合韋達(dá)定理和已知條件即可求解．

本題考查了直線與橢圓的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．

21.【答案】解：當(dāng)時(shí)，，則，

，

又，

所求切線方程為；

，

若，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，則，不合題意；

故，，令，注意到，

令，解得或，令，解得，

在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，且時(shí)