八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)菱形知識(shí)點(diǎn)及同步練習(xí)(含答案)

學(xué)科：數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容：菱形學(xué)科：數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容：菱形把握菱形的概念．理解菱形的性質(zhì)及識(shí)別方法．能利用菱形的性質(zhì)及識(shí)別方法，解決一些問(wèn)題．學(xué)法指導(dǎo)點(diǎn)．根底學(xué)問(wèn)講解菱形的定義四條邊都相等的平行四邊形〔或一組鄰邊相等的平行四邊形〕叫做菱形．行四邊形，②鄰邊相等，這兩個(gè)條件缺一不行．菱形的性質(zhì)它具有平行四邊形的一切性質(zhì)它除具有平行四邊形的性質(zhì)外稱軸是兩條對(duì)角線所在的直線．④菱形的對(duì)角線分菱形為4菱形的識(shí)別方法識(shí)別方法．形．菱形的面積計(jì)算44×S.1 a b 1

Rt△設(shè)對(duì)角線長(zhǎng)分別為，．則菱形的面=×2〔2 2=2a，即菱形的面積等于對(duì)角線乘積的一半．5．菱形的性質(zhì)及識(shí)別方法的作用利用它們可以證明線段相等、垂直、平分、平行等關(guān)系．證明角相等，平分等關(guān)系，證明一個(gè)四邊形為菱形和進(jìn)展有關(guān)的計(jì)算．重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn)：菱形的性質(zhì)，識(shí)別方法及其在生活、生產(chǎn)中的應(yīng)用．難點(diǎn)：運(yùn)用菱形的性質(zhì)及識(shí)別方法，敏捷地解答一些問(wèn)題．易錯(cuò)誤區(qū)分析運(yùn)用菱形的定義時(shí)易無(wú)視，鄰邊相等的平行四邊形中的平行四邊形這個(gè)條件．1．推斷以下說(shuō)法對(duì)不對(duì)鄰邊相等的四邊形為菱形〔 〕兩邊相等的平行四邊形為菱形〔 〕錯(cuò)誤分析1〕中應(yīng)為鄰邊相等的平行四邊形〔〕中是指鄰邊相等而不是兩邊相等錯(cuò)解1〔√〕 〔〔×〕正解2〔×〕 〔〔×〕有時(shí)無(wú)視平行四邊形這些條件．由于本節(jié)的性質(zhì)判別方法較多，利用本節(jié)解題時(shí)易犯推理不嚴(yán)密的錯(cuò)誤．2．如圖在菱形ABCDE，F(xiàn)分別是BC，CD的中點(diǎn)連結(jié)AE，AF.求證：AE＝AF錯(cuò)誤分析：此題證明錯(cuò)在BE＝DF，由于并未證明BC＝CD，推理不嚴(yán)格錯(cuò)證：∵菱形ABCD，∴AB＝CD，∠B＝∠D又∵E，F(xiàn)分別為BC，CDBE＝DF∴△ABE≌△ADF∴AE＝AF正證：∵菱形ABCD∵AB＝AD，∠B＝∠D，1 1∴2BC=2CD又∵EF分別為BC，CD的中點(diǎn)∴BE＝DF，∴△ABE≌△ADF∴AE＝AF典型例題lABCDE，F(xiàn)BC、CDD=∠EAF=∠AEF＝60°.∠BAE＝18°，求∠CEFCEFAEBAEBB數(shù)，這一點(diǎn)則可由菱形是特別的平行四邊形可得到.另外，由∠D＝60°．如連結(jié)AC得等邊△ABC△ACD，從而△ABE≌△ACF，有AE＝AF，則△AEFCEF解法一：由于菱形是特別的平行四邊形．所∠B＝∠D＝60°.由于∠BAE＝18°，∠AEB+∠B+∠BAE＝180°所以∠AEB+60°+18°＝180°.即∠AEB=180°-60°-18°＝102°．又∠AEF＝60°，∠AEB+∠AEF+∠CEF＝180°所以∠CEF＝180°-60°-102°＝18°解法二：連結(jié)AC∴四邊形ABCD∴∠B＝∠D＝60°，AB＝BC＝CD＝AD．∴△ABCCDA∴AB＝AC，∠B＝∠ACD＝∠BAC＝60°∵∠EAF＝60°∴△BAE=∠CAF∴△ABE≌△ACF∴AE＝AF又∵∠EAF＝60°∴△EAFAEF＝60°∵∠AEC=∠B+∠BAE=∠AEF+∠CEF∴60°+18°＝60°+∠CEF∴∠CEF＝18°解法三：利用關(guān)心線把菱形轉(zhuǎn)化為三角形來(lái)解答，這是一種常用的作關(guān)心線的方法．2．：如圖，△ABCBAC＝90°，AD⊥BCD，BEABC，交ADM，ANDAC，交BCN.求證：四邊形AMNE∠NAE，所以MNAE，則AMNEAM＝MN所以AMNEAMNE也可以依據(jù)判定定理，證它四邊相等；或證兩條對(duì)角線相互垂直平分，留意到AN是∠DAC的平分線，只要證AM＝AE，則AN垂直平分ME，假設(shè)證AN⊥ME，則再由BEABN易知BE也垂直平分ANANME∠NAE，所以MNAE，則AMNEAM＝MN所以AMNE證法一：由于∠BAC＝90°，AD⊥BC，所以∠BAD＝∠C由于BEABAB＝EBAM＝BADAB＝CEB＝∠AE，AM＝AE，ANDACAM＝MNAM＝MN＝NE＝AEAMNE形．MNA=∠NAE.所以MNAE．所以AMNEAM＝MNAMNEMNA=∠NAE.所以MNAE．所以AMNEAM＝MNAMNE3．：如圖菱形ABCD，DE⊥AB于點(diǎn)E，OA＝DE，邊長(zhǎng)AD＝8，求菱形ABCD的面積．分析：由菱形的對(duì)角線相互垂直知OAABD的邊BD上的高，又由DE⊥AB，OA＝DE，易知△AOD≌△DEAABDABCDABCDAC⊥BD，所以△AODDE⊥AB，所以△AED是直角三角形．Rt△AODRt△AEDAD＝AD，DE＝OARt△AOD≌Rt△DEA．所以∠ADO＝∠DAE，由于ABCDADO＝∠ABO，所以△ABD是等邊三角形．由于AD＝8，AD2 AD2 AE23

=4 .從而S ＝AB·DE菱形ABCD33＝8×4 =32331AC，BD的長(zhǎng)，按S菱形ABCD2AC·BD4□ABCDAD＝2AB，將CDE，F(xiàn)CD＝CE＝DF.求證：AE⊥BF分析：留意□ABCD，AD＝2AB□ABCD從而可以通過(guò)菱形的對(duì)角線相互垂直來(lái)證明．1∠FDH=∠BAH.又由于AB＝CD＝DF，所以△ABH≌△DFH.所以AH＝HD=2AD=AB.所以BCAH，證明：設(shè)1∠FDH=∠BAH.又由于AB＝CD＝DF，所以△ABH≌△DFH.所以AH＝HD=2AD=AB.所以BCAH，BG=AB．則四邊形ABGH是菱形，所以AE⊥BF.5．如下圖，ADABCEFADABEACF，則四邊形AEDFAOFDOF是關(guān)于直線EF到∠OAF＝∠ODF，再結(jié)合得到∠ODF＝∠OAE，從而推斷DF∥AE，得到AEDF是平行四邊形，進(jìn)一步推出對(duì)角線相互垂直平分，得到AEDF解：四邊形AEDF是菱形，理由如下：垂直平分△DOF關(guān)于直線EFADBAC，即∠OAF=∠OAEODF＝∠OAEAE∥DF同樣的道理可得DE∥AFAEDFEO=OF，即□AEDF的對(duì)角線AD，EF分．□AEDF留意：用軸對(duì)稱，平移和旋轉(zhuǎn)的觀點(diǎn)處理幾何問(wèn)題，往往會(huì)得到意想不到的效果．1ABCD，四邊形ABCD分析：紙條的寬度即是圖中線段AE，AF的長(zhǎng)，而AE，AF又分別與BC，CDABCDAE，AFABCD解：四邊形ABCD為菱形．由于：由可得，AB∥CD，AD∥BC，所以，四邊形ABCD是平行四邊形，由紙條的寬度為1，知AE＝AF＝1，又由于□ABCD的面積=BC·AE＝CD·AF，BC＝CD，故平行四邊形ABCD7E為菱形ABCD邊BCAB=AE，AE交BDO，且∠DAE＝2∠BAE，求證：EB＝OA．分析：要EB＝OA，證它們所在的三角形全等，即△AOD≌△BEA證明：∵四邊形ABCDAD∥BC，AD=BA，∠ABC＝∠ADC＝2∠ADB∴∠DAE＝∠AEB∵AB=AE,∴∠ABC＝∠AEB∴∠ABC=∠DAE∵∠DAE＝2∠BAE，∴∠BAE＝∠ADB又∵AD＝BA∴△AOD≌△BEA∴AO＝BE創(chuàng)思維例．：如下圖，菱形ABCE是ABD⊥AAB=〕ABC的度數(shù)〔2〕AC〔3〕菱形ABCD解〔1〕∵EABABCD1 1∴EA＝EB＝2AB＝2AD∵DE⊥AB∴∠1＝30°，∠DAB＝60°3∴△DAB∴∠ABC＝120°33OA＝DE＝23

a，AC＝2OA＝ a31 13SABCD＝2×AC×BD＝2

3aa 2a2例2．四邊形四邊長(zhǎng)為a、b、c、d，且a4+b4+c4+d4=4abcd.試判定四邊形的外形．分析：由a4+b4+c4+d4=4abcda4-2a2b2+b4+c4-2c2d2+d4=4abcd-2a2b2-2c2d2〔a2-b2〕2+〔c2-d2〕2+2a2b2-4abcd+2c2d2=0.〔a2-b2〕2+〔c2-d2〕2+2(ab-cd)2=0.所以a2-b2=0，c2-d2=0，ab-cd=0.a＝b，c＝d，a＝c．解：此四邊形為菱形．3．如圖：Rt△ABCA＝90°，∠B的平分線交ACD，自AAH⊥BCH，交BD于點(diǎn)E，自DDF⊥BCF，求證：四邊形AEFD分析：由條件可選擇菱形的判別方法，證明四邊相等．證明∵∠AED＝90°-∠DBH，∠ADE＝90°-∠ABD，又∵∠DBH=∠ABD，∴∠AED＝∠ADE又∴AE＝AD∵∠ABD=∠DBH，DA⊥AB，DF⊥BF∴AD＝DF∵AEDF，∴四邊形∵AEDF，∴四邊形ADFE又∵AD＝DF∴四邊形ADFE例4．一張矩形紙片ABCD，AB＝a，BC＞AB.如下圖，將紙片沿EF折疊，使頂點(diǎn)AC試證，四邊形AECF假設(shè)折疊后，紙片重疊的兩局部面積和為2a2，求此矩形的周長(zhǎng)．分析：由軸對(duì)稱性，易知AF＝FC，AE＝EC．ABCDAFO＝∠OEC，所以∠OEC＝∠OFC，所以EC＝FC證明〔1〕由得△AEF△EFC關(guān)于EF∴AF＝FC，AE＝EC，∠AFO＝∠CFO又∵ABCD為矩形∴∠AFO＝∠OEC∴∠OEC＝∠OFC∴EC＝FC即四邊形AECF為菱形解〔2〕由S =a2，AB＝a得EC＝2a△EFCEC2CB2(2a)2a23在Rt△ECB′中，EB′EC2CB2(2a)2a23BE+EC=3a+2a=(2+3)a，所以周長(zhǎng)為〔6+23〕a中考練兵如圖菱形ABCD的周長(zhǎng)為20c∠A∠AB2則對(duì)角線BD的長(zhǎng)等 cm.解：∵四邊形ABCD1∴AB＝AD＝DC＝BC＝4∴∠A+∠ABC＝180°

×20＝5cm∵AD∥BC設(shè)∠A＝a∠ABC＝2a，∴a+2a＝180°∴a＝60°，2a＝120°∴△ABD∴BD＝AD＝5cm故應(yīng)填5cm.菱形的一條對(duì)角線的長(zhǎng)為12cm，面積是30cm2，則這個(gè)菱形的另一條對(duì)角線的長(zhǎng)為 cm.12ab其中a＝12cmb＝5cm應(yīng)填5cm．如圖在菱形ABCD中，假設(shè)∠ABC＝120°，則BC：AC的值等于〔 〕A．3:2 B．3:3 C．1:2 D．3:1解：BD：AC＝D0：AO設(shè)OD＝a，由于∠DAB＝60°所以∠DA0＝30°，所以DA＝2a，所OA=AD2OD2=3aBD：AC＝OD：OA＝a：3a=3:3應(yīng)選B．，如圖四邊形ABCDFABDFACE，求證：∠AFD=∠CBE證明：∵四邊形ABCD為菱形∴BC＝CD，CD∥AB，∠BCA＝∠DCA∴△CBE≌△CDE∴∠CBE=∠CDE∵∠CDE=∠AFD∴∠AFD=∠CBE5．菱形的兩條對(duì)角線長(zhǎng)分別為6和8，則它的邊長(zhǎng)為 .解：由菱形的性質(zhì)可知，邊長(zhǎng)=3242=55隨堂演練一、填空題菱形的對(duì)角線長(zhǎng)為24和10，則菱形的邊長(zhǎng)為 ，周長(zhǎng)為 .菱形的一邊與兩條對(duì)角線構(gòu)成的二角之比為5：4，則菱形的各內(nèi)角為 ，， ， .菱形的兩條對(duì)角線分別為3和7，則菱形的面積為 ..菱形兩鄰角的比是1：2，周長(zhǎng)為40cm，則較短對(duì)角線的長(zhǎng)是 .菱形的面積等于80cm2，高等于8cm，則菱形的周長(zhǎng)為 .菱形ABCD中A⊥B垂足F分別為BCCD的中點(diǎn)那么EAF的度數(shù)為 .順次連結(jié)菱形各邊的中點(diǎn)，所得的四邊形為 形．二、選擇題能夠判定一個(gè)四邊形是菱形的條件是〔 〕A．對(duì)角線相等且相互平分B．對(duì)角線相等且對(duì)角相等C．對(duì)角線相互垂直D．兩組對(duì)角分別相等且一條對(duì)角線平分一組對(duì)角菱形ABCD，假設(shè)∠A:∠B＝2：1，∠CAD的平分線AE和邊CD之間的關(guān)系是〔 〕A．相等 B．相互垂直且不平分C．相互平分且不垂直 D．垂直且平分4菱形ABCD的周長(zhǎng)為40cm，BD=3AC，則菱形的面積為〔 〕6cm2

4cm2

2cm2

0cm2菱形的周長(zhǎng)等于高的8倍，則這個(gè)菱形較大內(nèi)角是〔 〕A．60° B．90° C．120° D．150°菱形具有而矩形不具有的性質(zhì)是〔 〕A．對(duì)角線相互平分 B．對(duì)角線相互垂直C．對(duì)角線相等 D．對(duì)邊平行且相等6．以下說(shuō)法正確的選項(xiàng)是〔 〕A．對(duì)角線相等且相互垂直的四邊形是菱形B．對(duì)角線相等的四邊形是矩形C．對(duì)角線相互垂直平分的四邊形是菱形D．鄰邊相等的四邊形為菱形7．矩形具有而菱形不具有的性質(zhì)是〔 〕A．對(duì)角相等且互補(bǔ)B．對(duì)角線相互平分C．一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊相等D．對(duì)角線相互垂直8．菱形的對(duì)角線把它分成全等的直角三角形的個(gè)數(shù)是〔 〕A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)三、解答題如圖，在菱形ABCD中，延長(zhǎng)ADE，連結(jié)BECDHAC于F，且BF＝DE，求證：DH＝HF.如圖，在菱形ABCD,EADEF⊥AC交CB的延長(zhǎng)于F，交ACM，求證：ABEF24cm25cm，求該菱形中一組對(duì)邊之間的距離．：如圖，在菱形ABCDBDDDE⊥BABA延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，假設(shè)BD＝2DE，AB＝4，求菱形的面積。如圖，在ABCD中，對(duì)角線AC的垂直平分線交ADE，交BC于F，求證：四邊形AFCE：如圖，四邊形ABCDAC＝BD，E，F(xiàn)，G，H分別為AB，BC，CD，AD求證：四邊形EFGH參考答案一、填空題213．2

4．80°5．10cm點(diǎn)撥：兩鄰有為60°，12010，兩邊和較短的對(duì)角線組成等邊三角形．6.40cm 7．60°8．矩形二、選擇題1．D2．DACD是等邊三角形3．A4．D點(diǎn)撥：畫出圖形即可求解5．B7．A8．A三、解答題證明：如圖(1)1所示，連結(jié)FD，在菱形ABCD,ACBCDCD＝CB∴∠DCF＝∠BCF∵FC＝FC∴△DCF≌△BCF〔SAS〕∴∠FDC＝∠CBFDF=BF∵BF＝DE∴DF＝DE∴∠DFE=∠E∵AE∥BC∴∠E=∠CBF∴∠DFE=∠FDC∴DH＝HF點(diǎn)撥：欲證DH＝HF，在同一個(gè)三角形中，只要兩對(duì)角相等，從而