定積分的定義與性質(zhì)-李飛

第五章定積分及其應(yīng)用第一節(jié)定積分的概念與性質(zhì)主講教師李飛5.1定積分的概念與性質(zhì)5.2定積分的積分方法5.4復(fù)習(xí)題5.3定積分的應(yīng)用第五章定積分及其應(yīng)用

規(guī)則圖形的面積

矩形的面積=長(zhǎng)寬.

長(zhǎng)寬高上底直角梯形的面積=

中位線,長(zhǎng)為

直角梯形的面積可用矩形面積計(jì)算.下底一、定積分的概念那么,不規(guī)則圖形的面積如何求呢?一、定積分的概念用若干條平行于軸及

軸的直線

將圖形分割,所求面積應(yīng)為被分割的

所有小面積之和.

如左圖,將其放入平面直角坐標(biāo)系中.

我們分析

:由三條直線和一條曲

線圍成,其中兩條直線互相平行,第三條

直線與這兩條直線垂直,另一邊為曲線,稱這樣的圖形為曲邊梯形.

對(duì)四周的不規(guī)則圖形,面積怎么求?只要將其求出,則大的不規(guī)則圖形面

積也即求出.??????????

求不規(guī)則圖形的面積問(wèn)題

其中,中間部分為矩形,易求面積.轉(zhuǎn)化為

求曲邊梯形的面積問(wèn)題一、定積分的概念如何求曲邊梯形的面積?將曲邊梯形放在平面直角坐標(biāo)系中,則由連續(xù)曲線稱為曲邊梯形.

直線和(即軸)所圍成的平面圖形=面積一、定積分的概念一、定積分的概念

引例:

求曲線

y=x2、直線

x=1和x軸所圍成的曲邊三角形的面積x

yOy=x21觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．x

yOy=x21(4)取極限

取Sn的極限，得曲邊三角形面積：(1)分割(2)近似(3)求和分割求和近似取極限把整體的問(wèn)題分成局部的問(wèn)題在局部上“以直代曲”,求出局部的近似值；得到整體的一個(gè)近似值；得到整體量的精確值；一、定積分的概念二、定積分的問(wèn)題舉例直曲對(duì)立統(tǒng)一在區(qū)間上任意選取分點(diǎn)

…,

每個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度為其中最長(zhǎng)的記作

==分成個(gè)小區(qū)間(1)分割——分曲邊梯形為個(gè)小曲邊梯形以直代曲1.求曲邊梯形的面積

二、定積分的問(wèn)題舉例==

過(guò)每個(gè)分點(diǎn)()

作軸的垂線,把曲邊梯形分成個(gè)窄曲邊梯形.

用表示所求曲邊梯形的面積.

表示第個(gè)小曲邊梯形面積,則有:二、定積分的問(wèn)題舉例==(2)近似代替——用小矩形的面積代替小曲邊梯形的面積

在每一個(gè)小區(qū)間上任選一點(diǎn)(),用與小曲邊梯形同底,以為高的小矩形的面積近似代替小曲邊梯形的面積,即

二、定積分的問(wèn)題舉例==(3)求和——求個(gè)小矩形面積之和

個(gè)小矩形構(gòu)成的階梯形的面積是,這是原曲邊梯形面積的一個(gè)近似值.即二、定積分的問(wèn)題舉例(4)取極限——由近似值過(guò)渡到精確值

分割區(qū)間的點(diǎn)數(shù)越多,即越大,且每個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度越短,即分割越細(xì),階梯形的面積,即和數(shù)與曲邊梯形面積的誤差越小.

現(xiàn)將區(qū)間無(wú)限地細(xì)分下去,并使每個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度都趨于零,這時(shí),和數(shù)的極限就是原曲邊梯形面積的精確值.

其中二、定積分的問(wèn)題舉例求得曲邊梯形的面積:經(jīng)(1)分割;(2)近似代替;(3)求和;(4)取極限.二、定積分的問(wèn)題舉例2.變速直線運(yùn)動(dòng)的路程

已知物體直線運(yùn)動(dòng)的速度vv(t)是時(shí)間t的連續(xù)函數(shù),

且v(t)0,

計(jì)算物體在時(shí)間段[T1,

T2]內(nèi)所經(jīng)過(guò)的路程S.(1)分割:

T1t0<t1<t2<<tn1<tnT2,

Dtititi1;(2)近似代替:

物體在時(shí)間段[ti1,

ti]內(nèi)所經(jīng)過(guò)的路程近似為DSiv(i)Dti(

ti1<

i<ti);物體在時(shí)間段[T1,

T2]內(nèi)所經(jīng)過(guò)的路程近似為(3)求和:

(4)取極限:

記max{Dt1,

Dt2,,

Dtn},物體所經(jīng)過(guò)的路程為以不變代變?nèi)⒍ǚe分的定義定義5.1

用分點(diǎn)

設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上有定義,把區(qū)間分成個(gè)小區(qū)間

其長(zhǎng)度

并記

在每一個(gè)小區(qū)間()上任選一點(diǎn),作乘積的和式

當(dāng)時(shí),若上述和式的極限存在,且這極限與區(qū)間的分法無(wú)關(guān),與點(diǎn)的取法無(wú)關(guān),則稱函數(shù)在上是可積的,并稱此極限值為函數(shù)在上的定積分,記作

即

三、定積分的定義

積分上限積分下限

被積表達(dá)式

被積函數(shù)

積分變量

積分號(hào)稱為積分區(qū)間.

由定積分定義知：三、定積分的定義定積分各部分的名稱————積分符號(hào),

f(x)———被積函數(shù),

f(x)dx——被積表達(dá)式,

x————積分變量,

a

————積分下限,

b

————積分上限,

[a,

b]———積分區(qū)間，

———積分和.

三、定積分的定義說(shuō)明：定積分的值只與被積函數(shù)及積分區(qū)間有關(guān),

而與積分變量的記法無(wú)關(guān),

即由定積分定義還可知,案例中:三、定積分的定義注意:定積分與不定積分的區(qū)別定積分和不定積分是兩個(gè)完全不同的概念.不定積分是微分的逆運(yùn)算而定積分是一種特殊的和的極限函數(shù)f(x)的不定積分是(無(wú)窮多個(gè))函數(shù),而f(x)在[a,b]上的定積分是一個(gè)完全由被積函數(shù)f(x)的形式和積分區(qū)間[a,b]所確定的值.三、定積分的定義函數(shù)的可積性如果函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,

b]上的定積分存在,

則稱f(x)在區(qū)間[a,

b]上可積.

定理1

如果函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,

b]上連續(xù),

則函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,

b]上可積.

定理2

如果函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,

b]上有界,

且只有有限個(gè)間斷點(diǎn),

則函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,

b]上可積.

三、定積分的定義由定積分定義知：

積分上限1.定積分是一個(gè)數(shù)值,該數(shù)值取決于被積函數(shù)和積分區(qū)間,與積分變量無(wú)關(guān),即

積分下限2.交換定積分的上下限,定積分變號(hào),即特別地,有三、定積分的定義

3.可以證明：如果在區(qū)間上可積，則在區(qū)間上有界，即函數(shù)有界是其可積的必要條件．這一結(jié)論也可以敘述為：如果函數(shù)在區(qū)間上無(wú)界，則在上不可積．4.可積的充分條件:，且只有有限個(gè)第一類函數(shù)在上連續(xù)在上可積。函數(shù)在上有界在上可積。間斷點(diǎn)三、定積分的定義兩點(diǎn)規(guī)定三、定積分的定義例1

用定積分表示極限解注:

設(shè)f(x)在[0,1]上連續(xù),則有四、定積分的幾何意義特別地,在區(qū)間上,若則由定積分的定義知面積四、定積分的幾何意義在區(qū)間上,若四、定積分的幾何意義

則圖中陰影部分的面積為若有正有負(fù),在區(qū)間上,四、定積分的幾何意義

這是因?yàn)榍吿菪蚊娣e曲邊梯形面積的負(fù)值四、定積分的幾何意義各部分面積的代數(shù)和四、定積分的幾何意義例2用幾何圖形說(shuō)明下列等式成立:

(1)

(1)由定積分的幾何意義,該面積就是作為曲邊的函數(shù)在區(qū)間上的定積分,即上半單位圓的面積為解

四、定積分的幾何意義(2)解

(2)由定積分的幾何意義,該面積就是作為直線的函數(shù)在區(qū)間上的定積分,即該三角形的面積為五、定積分的性質(zhì)性質(zhì)1性質(zhì)2性質(zhì)3注：值得注意的是不論abc的相對(duì)位置如何上式總成立，這條性質(zhì)也稱為積分區(qū)間的可加性。五、定積分的性質(zhì)例4用幾何圖形說(shuō)明下列等式成立:

解

(1)(1)由定積分對(duì)區(qū)間的可加性知

面積

由定積分的幾何意義

==故

奇函數(shù)

五、定積分的性質(zhì)解

(2)由定積分對(duì)區(qū)間的可加性知

面積

由定積分的幾何意義

==故

(2)

偶函數(shù)

五、定積分的性質(zhì)則結(jié)論則(1)若是奇函數(shù),即設(shè)函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上連續(xù),

(2)若是偶函數(shù),即五、定積分的性質(zhì)性質(zhì)1性質(zhì)2性質(zhì)3性質(zhì)4五、定積分的性質(zhì)推論1

如果在區(qū)間[a

b]上f(x)g(x)則

這是因?yàn)間(x)f(x)0

從而所以如果在區(qū)間[a

b]上f(x)0

則性質(zhì)5

五、定積分的性質(zhì)(比較性質(zhì))若函數(shù)和在閉區(qū)間上總有

則由圖,兩個(gè)曲邊梯形的面積有關(guān)系:的面積的面積==五、定積分的性質(zhì)例5比較下列積分值的大小

:

解

(1)與由定積分的比較性質(zhì)(1)在區(qū)間上,因,五、定積分的性質(zhì)解

由定積分的比較性質(zhì)(2)在區(qū)間上,因,(2)與五、定積分的性質(zhì)

這是因?yàn)閨f(x)|f(x)|f(x)|,所以推論1

如果在區(qū)間[a

b]上f(x)g(x)則如果在區(qū)間[a

b]上f(x)0

則性質(zhì)5

推論2

五、定積分的性質(zhì)推論1

如果在區(qū)間[a

b]上f(x)g(x)

則如果在區(qū)間[a

b]上f(x)0

則性質(zhì)5

推論2

性質(zhì)6

（估值定理）設(shè)M及m分別是函數(shù)f(x)在區(qū)間[a

b]上的最大值及最小值則五、定積分的性質(zhì)例4

試證:證明

設(shè)則在上,有即故即五、定積分的性質(zhì)

如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a

b]上連續(xù)則在積分區(qū)間[a

b]上至少存在一個(gè)點(diǎn)x

使下式成立

這是因?yàn)?由性質(zhì)6性質(zhì)7(定積分中值定理)

——