清華大學(xué)電路原理課件-10

第10章正弦電流電路的穩(wěn)態(tài)分析10.1正弦量的基本概念10.2周期性電流、電壓的有效值10.3復(fù)數(shù)復(fù)習(xí)10.4正弦量的相量表示10.5電阻、電感和電容元件電壓電流的相量關(guān)系本章重點(diǎn)10.6基爾霍夫定律的相量形式及電路的相量模型10.7復(fù)阻抗、復(fù)導(dǎo)納及其等效變換10.8用相量法分析電路的正弦穩(wěn)態(tài)響應(yīng)10.9正弦電流電路中的功率10.10復(fù)功率10.11最大功率傳輸定理本章重點(diǎn)正弦量的三要素，兩個(gè)正弦量的相位差

正弦量的相量表示

復(fù)阻抗與復(fù)導(dǎo)納

相量圖

用相量法分析正弦穩(wěn)態(tài)電路

正弦電流電路中的功率分析返回目錄10.1正弦量的基本概念一、正弦量（sinusoid）的三要素i(t)=Imsin(wt+)Im,w,y——正弦量的三要素波形ti0T=2瞬時(shí)值（instantaneousvalue）表達(dá)式i+_u（1）幅值（amplitude）（振幅、最大值）Im：反映正弦量變化幅度的大小。（2）角頻率（angularfrequency）w

：反映正弦量變化的快慢。w=d(wt+)/dt為相角隨時(shí)間變化的速度。正弦量的三要素：相關(guān)量：頻率f（frequency）和周期T

（period）。

物理量符號(hào)單位名稱角頻率wrad/s

，弧度/秒

頻率f1/sHz，1/秒赫[茲]周期Ts，秒（3）初相位（initialphaseangle）

：反映了正弦量的計(jì)時(shí)起點(diǎn)。（wt+）—

相位角。ti0

=0

=/2=-/2一般規(guī)定：||。（wt+）|t=0=—初相位角，簡稱初相位。同一個(gè)正弦量，計(jì)時(shí)起點(diǎn)不同，初相位不同。二、相位差（phasedifference）：兩個(gè)同頻率正弦量相位角之差。設(shè)電壓u(t)=Umsin(wt+u),電流i(t)=Imsin(wt+i)則電壓、電流間的相位差為

j=(wt+

u)-(wt+

i)=

u-

ij>0電壓

領(lǐng)先（超前）電流j角，或電流

落后（滯后)電壓

j角（u比i先到達(dá)最大值）；j<0電流領(lǐng)先（超前）電壓j角，或電壓落后（滯后）電流

j

角（i比u先到達(dá)最大值）。u

ijtu,i0uij=0，同相（inphase）j=，反相（oppositeinphase）特例：u

itu,i0u

itu,i0=p/2，正交u

itu,i0同樣可比較兩個(gè)電壓或兩個(gè)電流的相位差。規(guī)定：||。返回目錄10.2周期性電流、電壓的有效值電流有效值的數(shù)學(xué)描述：周期性電流i流過電阻R在一周期T內(nèi)消耗的電能，等于一直流電流I流過R在時(shí)間T內(nèi)消耗的電能，則稱電流I為周期性電流i的有效值。一、有效值（effectivevalue）的定義周期性電流i流過電阻R，在一周期T內(nèi)消耗的電能為Ri(t)W2=I2RTRI同樣，可定義電壓有效值有效值也稱方均根值（root-mean-square，簡記為rms）。直流電流I流過R,在時(shí)間T內(nèi)消耗的電能為例正弦周期電壓如圖所示。求其有效值U。u(t)/V211234560t/s解根據(jù)有效值的定義，有二、正弦電流、電壓的有效值設(shè)電流i(t)=Imsin(t+i)同理，可得正弦電壓有效值與最大值的關(guān)系若一交流電壓有效值為U=220V，則其最大值為Um311V；U=380V，Um537V。*區(qū)分電壓、電流的瞬時(shí)值、最大值、有效值的符號(hào)。返回目錄10.3復(fù)數(shù)復(fù)習(xí)一、復(fù)數(shù)（complex）A表示形式極坐標(biāo)A=|A|ejq

=|A|q

AbReIma0直角坐標(biāo)A=a+jbAbReImaO兩種表示法的關(guān)系：或二、復(fù)數(shù)運(yùn)算則A1±A2=(a1±a2)+j(b1±b2)1.加減運(yùn)算—直角坐標(biāo)若A1=a1+jb1，A2=a2+jb2A1A2ReIm0圖解法：用平行四邊形法則進(jìn)行加減運(yùn)算。A1+A22.乘除運(yùn)算—極坐標(biāo)若A1=|A1|1，若A2=|A2|2乘法：模相乘，角相加；除法：模相除，角相減。例1

547+1025=(3.41+j3.657)+(9.063-j4.226)=12.47-j0.567=12.48-2.61例2

3.旋轉(zhuǎn)因子復(fù)數(shù)ejq

=cosq+jsinq=1∠qA?ejq

相當(dāng)于A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度q，而模不變。故把ejq

稱為旋轉(zhuǎn)因子。ejp/2

=j,e-jp/2

=-j,ejp=–1故+j,–j,-1都可以看成旋轉(zhuǎn)因子。返回目錄一、正弦量的相量（phasor）表示設(shè)有一正弦電流作一個(gè)復(fù)函數(shù)A(t)，并應(yīng)用歐拉公式，有可見10.4正弦量的相量表示上式中在確定的頻率下，一個(gè)正弦時(shí)間函數(shù)可與一相量建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系：同樣可以建立正弦電壓與相量的對(duì)應(yīng)關(guān)系：旋轉(zhuǎn)相量(rotatingphasor)與正弦時(shí)間函數(shù)對(duì)應(yīng)關(guān)系的幾何意義：正弦時(shí)間函數(shù)是旋轉(zhuǎn)相量在虛軸上的投影。解解已知例1試用相量表示i,u。例2試寫出電流的瞬時(shí)值表達(dá)式。二、相量運(yùn)算1.同頻率正弦量相加減故同頻的正弦量相加減運(yùn)算就變成對(duì)應(yīng)的相量相加減運(yùn)算。i1i2=i3例在復(fù)平面上用有向線段表示相量的圖形稱為相量圖。有向線段的長度為相量的模；有向線段與實(shí)軸的夾角為相量的輻角，且逆時(shí)針方向?yàn)檎?，順時(shí)針方向?yàn)樨?fù)。相量圖（phasordiagram）同頻正弦量的加、減運(yùn)算可借助相量圖進(jìn)行。解例y1y2ReIm02.正弦量的微分，積分運(yùn)算證明三、相量法的應(yīng)用求解正弦電流電路的穩(wěn)態(tài)解（微分方程的特解）。例一階常系數(shù)線性微分方程自由分量（齊次方程解）：Ae-R/Lt強(qiáng)制分量（特解）：Imsin(wt+yi)Ri(t)u(t)L+-t+u=t+i+i=u=arctan(L/R)用相量法求：qRL返回目錄10.5電阻、電感和電容元件的電壓電流的相量關(guān)系一、電阻（resistor）時(shí)域形式相量形式相量模型uR(t)i(t)R+-有效值關(guān)系UR=RI相位關(guān)系u=i（u,i同相）R+-瞬時(shí)功率（instantaneouspower）波形圖及相量圖

iuRpRu=

i電壓、電流相量圖波形圖t0u,i,p二、電感（inductor）時(shí)域形式i(t)uL(t)L+-相量形式相量模型有效值關(guān)系U=wLI相位關(guān)系u=

i+90°

（u超前i90°）jL+-XL=L，稱為感抗（inductivereactance），單位名稱：歐[姆]，符號(hào)感抗與頻率成正比w0(直流)，XL

0，短路；

w，XL，開路。wXL0BL=-1/L，感納（inductivesusceptance），單位名稱：西[門子]，符號(hào)S瞬時(shí)功率波形圖與相量圖

iuLpLit0u,i,p波形圖電壓、電流相量圖三、電容（capacitor）時(shí)域形式相量形式相量模型有效值關(guān)系IC=wCU相位關(guān)系i=

u+90

（i超前u90）iC(t)u(t)C+-+-令XC=-1/wC，稱為容抗（capacitivereactance），單位名稱：歐[姆]，符號(hào)容抗與頻率成反比

w0，|XC|，直流開路（隔直）w，|XC|0，高頻短路(旁路作用）BC=wC，稱為容納（capacitivesusceptance），單位名稱：西[門子]，符號(hào)Sw|XC|0瞬時(shí)功率波形圖與相量圖

uiCpCu返回目錄電壓、電流相量圖t0波形圖u,i,p10.6基爾霍夫定律的相量形式和電路的相量模型一、基爾霍夫定律的相量形式同頻率的正弦量加減可以用對(duì)應(yīng)的相量形式來進(jìn)行計(jì)算。因此，在正弦電流電路中，KCL和KVL可用相應(yīng)的相量形式表示。上式表明：流入某一節(jié)點(diǎn)的所有電流用相量表示時(shí)仍滿足KCL；而任一回路所有支路電壓用用相量表示時(shí)仍滿足KVL。二、電路的相量模型（phasormodel

）列微分方程求非齊次方程特解列、解代數(shù)方程LCRuSiLiCiR+-jwL1/jwCR+-時(shí)域模型相量模型返回目錄10.7復(fù)阻抗、復(fù)導(dǎo)納及其等效變換一、復(fù)阻抗Z正弦激勵(lì)下，對(duì)于無源線性網(wǎng)絡(luò)，可定義入端等效復(fù)阻抗(compleximpedance)純電阻Z=R純電感Z=jwL=jXL純電容Z=1/jwC=jXCZ+-無源線性+-R—電阻(阻抗的實(shí)部)；X—電抗(reactance)(阻抗的虛部)；|Z|—復(fù)阻抗的模；—阻抗角(impedanceangle)。關(guān)系或R=|Z|cosX=|Z|sin|Z|=U/I=u-ij|Z|RX<0j|Z|RX>0阻抗三角形(impedancetriangle)由KVLjLR+-+-+-例求RLC串聯(lián)電路的入端阻抗,并畫出相量圖。解畫相量圖：選電流為參考相量(wL>1/wC)wL>1/wC，j>0，電路為感性。wL<1/wC，j<0，電路為容性。wL=1/wC，j=0，電路為電阻性UX二、復(fù)導(dǎo)納Y對(duì)于上述的無源線性網(wǎng)絡(luò)，同樣可定義入端等效復(fù)導(dǎo)納：Y—復(fù)導(dǎo)納(complexadmittance)；G—電導(dǎo)(復(fù)導(dǎo)納的實(shí)部)；B—電納(suspectance)(復(fù)導(dǎo)納的虛部)；|Y|—復(fù)導(dǎo)納的模；—導(dǎo)納角(admittanceangle)。關(guān)系或G=|Y|cos'B=|Y|sin'|Y|=I/U=i-u導(dǎo)納三角形(admittancetriangle)|Y|GB>0|Y|GB<0解由KCLjLR+-例求RLC串聯(lián)電路的入端阻抗,并畫出相量圖。相量圖：選電壓為參考向量(wC<1/wL，<0)'三、復(fù)阻抗和復(fù)導(dǎo)納等效關(guān)系一般情況G1/RB1/X。若Z為感性，X>0，則B<0，即仍為感性。ZRjXGjBY同樣，若由Y變?yōu)閆，則有：GjBYZRjX四、阻抗串聯(lián)、并聯(lián)的電路兩個(gè)阻抗串聯(lián)ZZ1Z2+++---兩個(gè)導(dǎo)納并聯(lián)Y+-Y1Y2n個(gè)阻抗串聯(lián)n個(gè)導(dǎo)納并聯(lián)例已知Z1=10+j6.28,Z2=20-j31.9,Z3=15+j15.7。Z1Z2Z3ab求Zab。解返回目錄10.8用相量法分析電路的正弦穩(wěn)態(tài)響應(yīng)電阻電路與正弦電流電路相量法分析比較?？梢?，二者依據(jù)的電路定律是相似的。只要作出正弦電流電路的相量模型，便可將電阻電路的分析方法用到正弦穩(wěn)態(tài)的相量分析中。電阻電路相量法分析正弦穩(wěn)態(tài)電路列寫電路的節(jié)點(diǎn)電壓方程例1

解+__+Y1Y2Y3Y4Y512解法1電源變換Z2Z1Z3Z+-例2Z2Z1ZZ3解法2戴維南等效變換Z0Z+-例3用疊加定理計(jì)算電流Z2Z1Z3+-解Z2Z1Z3Z2Z1Z3+-由平衡條件Z1Z3=

Z2Zx，得R1(R3+jwL3)=R2(Rx+jwLx)∴Rx=R1R3/R2,Lx=L3R1/R2解極坐標(biāo)形式的平衡條件:*|Z1|1

?|Z3|3

=|Z2|2

?|Zx|x

|Z1|

|Z3|

=|Z2|

|Zx|

1

+3

=2

+x

已知平衡電橋Z1=R1,Z2=R2,Z3=R3+jwL3。

例4求：Zx=Rx+jwLx。Z1Z2ZxZ3解已知：Z=10+j50W,Z1=400+j1000W。例5ZZ1+-用相量圖分析。例6圖示移相橋電路。當(dāng)R2由0時(shí)，解當(dāng)R2=0，q=180；當(dāng)R2

，q=0。且R2

，q。R2abR2R1R1+_+-+-+-+-C用相量圖進(jìn)行分析。解一q2q已知：U=115V,U1=55.4V,U2=80V,R1=32W,f=50Hz例7R1R2L2+_+_+_求：線圈的電阻R2和電感L2。解得返回目錄解二R1R2L2+_+_+_10.9正弦電流電路中的功率無源一端口網(wǎng)絡(luò)吸收的功率（u,i關(guān)聯(lián)）一、瞬時(shí)功率（instantaneouspower）無源+ui-第一種分解方法第二種分解方法p有時(shí)為正，pUIcos平均分量－UIcos(2t)交變分量p>0,電路吸收功率；p<0，電路發(fā)出功率。瞬時(shí)功率的特點(diǎn)t

i0uu,i,p有時(shí)為負(fù)；第一種分解方法第二種分解方法UIcos(1-cos2t)0為不可逆分量。UIsinsin2t為可逆分量，與外電路周期性交換能量。-UIsinsin2tt

i0uu,i,pUIcos(1-cos2t)二、平均功率（averagepower）P=u-i—

功率因數(shù)角（powerfactorangle）。對(duì)無源網(wǎng)絡(luò)，為其等效阻抗的阻抗角。cos—

功率因數(shù)（powerfactor）P的單位名稱瓦[特]，

符號(hào)

W一般有0cosj1X>0,j>0,感性，滯后功率因數(shù)X<0,j<0,容性，超前功率因數(shù)例：cosj=0.5(滯后)，則j=60o(電壓領(lǐng)先電流60o)。cosj1純電阻0純電抗已知：電動(dòng)機(jī)PD=1000W，U=220V，cosD=0.8（滯后）；C=30F，f=50Hz。求負(fù)載電路的功率因數(shù)。+_DC例解四、視在功率（apparentpower）S反映電氣設(shè)備的容量。三、無功功率（reactivepower）Q表示能量交換速率的最大值。Q>0，表示網(wǎng)絡(luò)內(nèi)部為感性（inductive）；Q<0，表示網(wǎng)絡(luò)內(nèi)部為容性（capacitive）。Q的單位名稱乏，符號(hào)var

單位名稱伏安，符號(hào)VA有功、無功和視在功率的關(guān)系有功功率:P=UIcosj單位：瓦（W）無功功率:Q=UIsinj單位：乏（var）視在功率:S=UI

單位：伏安（VA）功率三角形（powertriangle）jSPQ五、R、L、C元件的有功功率和無功功率PR=UIcos=UIcos0=UI=I2R=U2/R電阻消耗能量。與電源無能量交換。PL=UIcos=UIcos90=0不消耗能量QL>0，電感吸收無功功率。uiR+-QR=UIsin=UIsin0=0iuL+-QL=UIsin=UIsin90=UIPC=UIcos=Uicos(-90)=0不消耗能量QC<0，電容發(fā)出無功功率。iuC+-QC=UIsin=UIsin(-90)=-UI六、交流電路功率的測量單相功率表原理指針偏轉(zhuǎn)角度（由M確定）與P成正比，由偏轉(zhuǎn)角（校準(zhǔn)后）即可測量平均功率P。i1電流線圈*設(shè)電流i1從電流線圈“*”端流入電壓線圈i2R*+-u電壓u正端接電壓線圈“*”端平均功率P=UI1cos解例

三表法測線圈參數(shù)。已知f=50Hz，且測得U=50V，I=1A，P=3W。RL+_ZVAW**返回目錄10.10復(fù)功率一、復(fù)功率（complexpower）負(fù)載+_記為復(fù)功率，單位為VA。復(fù)功率也可以表示為表示為直角坐標(biāo)形式為電壓、電流的有功分量（activecomponent）和無功分量（reactivecomponent）：(以感性負(fù)載為例)RjX+_+_+_GjB+_復(fù)功率守恒定理（Theoremofconservationofcomplexpower）：在正弦穩(wěn)態(tài)下，任一電路所有支路吸收的復(fù)功率之和為零。即此結(jié)論可用特勒根定理證明。對(duì)于復(fù)阻抗或復(fù)導(dǎo)納，復(fù)功率也可以表示為一般情況下+_+_+_已知如圖，求各支路的復(fù)功率。例

+_10∠0oA10Wj25W5W-j15W解法1電源支路支路1支路2解法2+_10∠0oA10Wj25W5W-j15W電源支路支路1支路2二、功率因數(shù)（powerfactor）的提高設(shè)備容量S（額定），向負(fù)載送多少有功要由負(fù)載的阻抗角決定。P=ScosjS75kVA負(fù)載cosj=1,P=S=75kWcosj=0.7,P=0.7S=52.5kW一般用戶：異步電機(jī)空載cosj

=0.2~0.3